Сергиев-Посад, 2012 год

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ        

1.        Теоретические  основы  решения  уравнений  с  параметрами        

2.        Подходы решений тригонометрических уравнений с параметрами        

Пример 1. (Введение дополнительных переменных, )        

Пример 2. (Введение дополнительных переменных, )        

Пример 3. (Введение дополнительных переменных, )        

Пример 4. (Функция задана в виде )        

Пример 5. (Применение классических формул)        

Пример 6. Применение классических формул        

Пример 7. (Разделение области возможных значений переменных и параметров)        

Пример 8. (Разделение области возможных значений переменных и параметров)        

Пример 9. (Вспомогательные преобразования)        

Пример 10. (Графический метод)        

ВЫВОДЫ        

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ        

ВВЕДЕНИЕ

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы.

По итогам ЕГЭ-2011 (таблица 1) можно сделать вывод, что решение задач с параметрами  вызывает наибольшую трудность у учащихся. Около 87,9% не приступают к выполнению данного типа заданий, а максимальный балл получают только 0,87 %. Это связано с тем, что программа по математике средней общеобразовательной школы не уделяет большого внимания решению задач с параметрами. Следовательно, каждый учитель должен сам  найти  время на уроке для решения таких задач. Эти задачи представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков.

Таблица 1. Средние результаты выполнения заданий С1-С6

Все рассмотренные  задания в данной работе имеют цель – помочь учащимся составить представление о тригонометрических уравнениях с параметрами, о том, что значит решить уравнение с ним. В самом начале знакомства с параметрами у учеников возникает психологический барьер, который обусловлен его противоречивыми характеристиками. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой, конкретное значение параметра не дано. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении – это «неизвестная величина», «переменная постоянная». Эти противоречивые высказывания точно отражают суть тех сложностей, которые нужно преодолеть ученикам.

1. Теоретические  основы  решения  уравнений  с  параметрами

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Естественно, такой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, - степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

Как начинать решать такие задачи? Прежде всего при решении задач с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства – привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду, если это, конечно, возможно: разложить рациональное выражение на множители; разложить тригонометрический многочлен на множители; избавиться от модулей, логарифмов и т.д. Затем необходимо еще и еще раз прочитать задание.

Основные типы задач с параметрами:

Тип 1. Задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка.

Тип 2. Задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения параметра.

Тип 3. Задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений

Тип 4. Задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

В данной работе рассмативаются тригонометрические уравнения с параметрами и определенные алгоритмы, которые могут помочь в решении столь нелегких заданий.

Итак, рассмотрим уравнение

 F(х, у, ..., z; α,β,  ..., γ) =0  (F)

с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами α,β,  ...,γ; при всякой допустимой системе значений параметров α0,β0,  ..., γ0 уравнение (F) обращается в уравнение      F(х, у, ..., z; α0,β0,  ..., γ0) =0                (F0)

с неизвестными х, у,..., z, не содержащее параметров. Уравнение (Fo) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.

Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти

множество всех решений данного уравнения (системы).

Понятие  эквивалентности  применительно  к  уравнению, содержащему  параметры, и устанавливается  следующим  образом.

Определение. Два уравнения (системы)

F(х, у, ..., z; α,β,  ..., γ) =0 (F),    Ф (х, у, ..., z; α,β,  ..., γ) =0 (Ф)

с неизвестным х, у,..., z и с параметрами α,β,  ..., γ называются  эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.

Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений

параметров имеют одно и то же множество решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.

 Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:

2. Подходы решений тригонометрических уравнений с параметрами

Пример 1. (Введение дополнительных переменных, )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых  уравнение

  имеет решение.

Решение.

Введем новую переменную:  x,  t. Тогда данное уравнение принимает вид:         t2 – (а + 2)t – (a + 3) = 0.

Чтобы решить получившееся квадратное уравнение с переменной t, найдем его дискриминант: D = a2 + 4a + 4 + 4a + 12 = a2 + 8a + 16 = (a + 4)2. Так как  D≥0, квадратное уравнение имеет решение

t1,2 =   =  ;

t1=

t2 =

Число -1 не принадлежит промежутку таким образом, заданное нам тригонометрическое уравнение с параметром имеет решение при условии

0 ≤ а +3 ≤ 1,  -3 ≤ а ≤ -2.

Ответ.  Уравнение  имеет решение при а.

Пример 2. (Введение дополнительных переменных, )

     Найдите все значения параметра р, при которых уравнение

6sin3x = p – 10cos2x не имеет корней.

Решение:

6sin3x  = p – 10cos2x;

6sin3x + 10cos2x = p;

6sin3x + 10(1 – 2sin2x) = p;

6sin3x – 20sin2x + 10 = p.

 Введем новую переменную: , t тогда тригонометрическое уравнение примет вид  6t3 – 20t2 + 10 = p.

Рассмотрим функцию у = 6t3 – 20t2 + 10  и исследуем ее на наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Находим производную:

Определяем критические точки функции:  

Число 2не принадлежит промежутку  , поэтому вычисляем значения функции в точке 0 и на концах отрезка:

у(0) = 0 – 0 + 10 = 10,

у(-1) = -6 – 20 + 10 = -16,

у(1) = 6 – 20 + 10 = -4.

max y(t) = 10, min y(t) = -16 на отрезке .

Значит, при р исходное уравнение не имеет корней.

Ответ.  Уравнение 6sin3x=p–10Cos2x не имеет корней при р

Пример 3. (Введение дополнительных переменных, )

При каких значениях параметра а выражение 2 + cosx(3cosx + asinx)  не равно нулю ни при каких значениях х?

Решение:

Другими словами, необходимо найти все значения параметра а, при которых уравнение 2 + cosx(3cosx + asinx)=0 не имеет корней.

2+cosx(3cosx + asinx)=0;

2(cos2x + sin2x) + cosx(3cosx + asinx)=0;

2cos2x + 2sin2x + 3cos2x + asinxcosx = 0;

2sin2x + asinxcosx + 5cos2x = 0 – однородное уравнение второй степени.

Если бы cosx = 0, то и sinx = 0, что невозможно, так как  cos2x + sin2х  = 1, поэтому разделим левую и правую часть однородного уравнения на .

Получим уравнение вида  2tg2x + atgx + 5 = 0. Для решения этого уравнения введем новую переменную:  t = tgx, t тогда  2t2 + at + 5 = 0.

Далее можно проводить рассуждения двумя способами.

Способ 1.

Найдем сначала множество всех значений параметра а, при которых полученное квадратное уравнение разрешимо. Дополнение этого множества до R и будет искомым ответом.

Квадратное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда D≥0.

D = а2 – 40, а2 – 40 ≥ 0,  а2 ≥ 40,   

а];).

Дополнением этого множества до R является промежуток (-2

Способ 2.  Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда D

D = a2 – 40, a2 – 40 а2  40,    

-2

 a;).

Ответ.  Выражение 2+cosx(3cosx + asinx)  не равно нулю ни при каких значениях х, если a;).

Пример 4. (Функция задана в виде )

При каких значениях a и b уравнение

  имеет единственное решение?

Решение:

Решение задачи основывается на том факте, что если функция f задана равенством  , то условия A=B, C=0 являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы уравнение f(x)=0 имело единственное решение. Таким образом, решение задачи сводится к решению относительно параметров a и b системы:

Из первого уравнения системы находим, что

А так как

 то приходим к рассмотрению систем

   и

Как легко видеть, решениями второй системы являются все значения параметра а, определяемые равенством

Что же касается первой системы, то она оказывается несовместной. Отсюда с учетом второго уравнения системы поиск требуемых параметров a и b сводится к поиску решений системы:

Ответ здесь очевиден:

Пример 5. (Применение классических формул)

Найти наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение

cos2x + asinx = 2a – 7 имеет решение.

Решение:

Преобразуем заданное уравнение:

cos2x + asinx = 2a – 7;

1 – 2sin2х + asinx = 2a – 7;

sin2х - asinx + a – 4 = 0;

Решение уравнения
 дает:

1.  (sinх – 2) = 0;  

sinx=2;

Решений нет, или .

2.

 при  ≤ 1.

Неравенство ≤ 1 имеет решение 2 ≤ а ≤ 6, откуда следует, что наибольшее целое значение параметра а равно 6.

Ответ: 6.

Пример 6. Применение классических формул

Решить уравнение

Решение:

Уравнение легко преобразуется к виду:

.

Если то  и уравнение корней не имеет.

Если  Последнее уравнение имеет корни, если

 тогда

   и  

Ответ: при

при   корней нет.

Пример 7. (Разделение области возможных значений переменных и параметров)

Решение:

При уравнение решений не имеет.

При

Ответ:

Пример 8. (Разделение области возможных значений переменных и параметров)

Решить уравнение

Решение:

Если то x – любое число, так как имеем очевидное равенство

Если

Ответ: при

При .

Пример 9. (Вспомогательные преобразования)

Решить уравнение

Решение:

Выполняем очевидные преобразования:

Последнее уравнение будет иметь решение если

Итак, если

Ответ: при

При

Пример 10. (Графический метод)

Найти все значения а, при которых каждое из уравнений

 и  имеет хотя бы один корень.

Решение:

Посмотрим сначала когда первое уравнение имеет корни. С учетом области значений косинуса выражение под корнем всегда положительное. Получаем:

А вот здесь сейчас будет интересно. Казалось бы, все прекрасно, возводим в квадрат и вперед, по стандартной схеме исследуем корни квадратного уравнения. Но не все так просто. Поскольку на наличие корней будет влиять знак произведения, стоящего в правой части.

Можно очень легко выкрутиться из этой ситуации без рассмотрения большого числа случаев. Как всегда на помощь приходят графики.

Рассмотрим функции . Точка пересечения этих графиков должна попасть в отрезок [-1;1] поскольку .

Точка пересечения для возрастающей прямой для убывающей . Не составляет большого труда увидеть, что точка пересечения будет в промежутке от -1 до 1, если

Теперь займемся вторым уравнением. Здесь все проще.

Функция, стоящая в правой части достигает своего наименьшего значения -10 в точке . График функции в левой части представляет собой «перевернутый» график модуля, смещенный по оси абсцисс на величину а.

Для того, чтобы уравнение имело корни, должно быть выполнено условие

Получаем:

Примечание: Второй случай можно разобрать и иначе, выполнив условие, что наименьшее значение функции  должно быть неположительным. Для этого надо раскрыть модули всеми возможными способами и составить систему неравенств.

С учетом условия, полученного для первого уравнения, пишем ответ:

ВЫВОДЫ

В данной работе представлено несколько подходов для решений тригонометрических уравнений с параметрами. Использование этих методов может намного упростить решение многих сложных заданий. Используя шаблон каждого метода, ученик может быстро распознать и применить к нему соответствующий метод. Представленные примеры могут помочь ученикам приобрести опыт в решении задач данных типов.

        В качестве итога, хотелось бы еще раз записать используемые алгоритмы в общем виде.

- в уравнениях вида

можно вводить дополнительную переменную   и применять следующие подстановки:  

- в уравнениях вида

можно вводить дополнительную переменную     и применять следующие подстановки:

- в уравнениях вида         

можно вводить дополнительную переменную   и применять следующие подстановки: .

- в уравнениях вида

можно вводить дополнительную переменную  , где

,    и применять следующие подстановки:

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами. Справоч. пособие по математике. – 3-е изд. доработ. – Мн.: ООО «Асар», 2004. – 464 с.

2. Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике. – М.: ИЛЕКСА, 2007. – 252 с.: ил.

3. Крамор, В.С. Примеры с параметрами и их решение: пособие для поступающих в вузы / В.С. Крамор. – М.: АРКТИ, 2000.

4. Локоть В.В. Задачи с параметрами и их решение: Тригонометрия: уравнения, неравенства, системы. 10 класс. – 3-изд., испр. и доп. – М.: Аркти, 2008. – 64 с.

5. Родионов, Е.М. Справочник по математике для поступающих в вузы. Решение задач с параметрами/ Е.М. Родионов. – М.: МЦ «Аспект», 1992.

6. Севрюков П.Ф. Школа решения задач с параметрами: учебно-методическое пособие / П.Ф. Севрюков, А.Н.  Смоляков. – Изд. 2-е, испр. и доп. – М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2009 – 212 с.

7. Тиняков, Г.А. Задачи с параметрами / Г.А. Тиняков, Н.Г. Тиняков. – М., 1994