"Как получить максимальную прибыль при минимальных затратах"
элективный курс по алгебре по теме

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Лесниковская общеобразовательная школа

д. Лесниково

Гусь-Хрустального района

Владимирской области

Элективный курс. Предпрофиль

Как получить максимальную прибыль

 при минимальных затратах

Составила:

Янцен Ирина Вальтеровна,

                                                                    учитель математики

МОУ Лесниковская СОШ Гусь-Хрустального района

2010 год

Пояснительная записка

Курс «Как получить максимальную прибыль при минимальных затратах» рассчитан на 12 часов. Для успешного его овладения потребуются навыки решения неравенств и систем неравенств с одной переменной, построения графиков функций на плоскости. Поэтому желательно изучать данный курс во втором полугодии.

Этот курс имеет практическую направленность. Успешное овладение этого курса поможет в решении простейших экономических задач.

Этот блок уроков научит учащихся применять уже изученный материал для более сложных задач. Обучаясь решению неравенств с двумя неизвестными ученики увидят, что часть материала им знакома, а работать с системами неравенств с двумя неизвестными еще и очень интересно.

Целью этих уроков является выработка умений решать неравенства и системы неравенств с двумя переменными.

Любые достижения науки, связаны с использованием математических методов при решении задач из различных областей человеческой деятельности. Важное значение приобретают использование методов линейного программирования при решении экономических задач.

Задача этого курса научить школьников сводить текст простейшей экономической задачи (задачи на максимальную прибыль при минимальных затратах) к решению системы нескольких неравенств с двумя переменными.

Этот курс предназначен, прежде всего, для тех, кто желает приобрести необходимые навыки к решению практических задач.

Содержание курса

Тематика курса разбита на две части. В первой части ведется обучение решений неравенства с двумя переменными и их систем. Ребята должны уметь изображать множество решений неравенств и систем неравенств с двумя переменными на плоскости.

Во второй части учащиеся будут учиться решать практические задачи, используя полученные навыки, знания и умения. Также учащиеся познакомятся с основами линейного программирования, узнают много новых терминов: целевая функция, оптимальный и допустимые планы - научатся осмысленно применять их при решении задач.

Результатом освоения данного курса является умение анализировать текст предложенной задачи, составить целевую функцию и, учитывая условия задачи, находить максимальное (минимальное) значение функции.

Требования к умениям и навыкам

В процессе изучения данного курса учащиеся научатся изображать множество решений неравенств и системы неравенства с двумя переменными на плоскости, владеть основными понятиями линейного программирования и применять их при решении практических задач.

По окончании курса ребята должны уметь решать следующие задачи.

Задача. Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции данного вида приведены в таблице. В ней же указаны прибыль от реализации одного изделия каждого вида и общее количество сырья данного вида, которое может быть использовано предприятием.

Учитывая, что изделия А и В могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), требуется составить такой план их выпуска, при котором прибыль предприятия от реализации всех изделий является максимальной.

Тематическое планирование

Литература

1. И.Л. Акулич «Математическое программирование в примерах и задачах» - М.:Высшая школа. 1986.
2. В.С. Крамор «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа» - М.: Просвещение. 1990.
3. Н.А. Терешин «Прикладная направленность школьного курса математики». Книга для учителя.- М.: Просвещение. 1990.

Материал для занятий

Занятие 1-2. Неравенства с двумя переменными.

Теоретические основы.

Линейными неравенствами с двумя неизвестными называются неравенства вида:

ax + by + c ≥ 0 (1)  или        ax + by + c ≤ 0

где буквами a, b, c обозначены некоторые числа, x, y - неизвестные.

Решением линейного неравенства называется любая упорядоченная пара чисел (£, ß), для которых это неравенство будет верным числовым неравенством.

Если a = b = c, с > 0, то решением неравенства будет любая пара чисел, если же c < 0, то это неравенство не будет иметь решений.

Неравенство (1) определяет одну из двух полуплоскостей координатной плоскости, на которые прямая ax + by + c = 0 разбивает всю координатную плоскость. Геометрически область решений этого неравенства (1) представляет собой множество всех точек полуплоскости. Чтобы найти для данного неравенства произвольную точку, лежащую в любой координатной полуплоскости. Если окажется, что эта точка удовлетворяет неравенству, то эта полуплоскость - искомая, в противном случае нужно взять другую полуплоскость.

Аналогично рассуждают и при решении нелинейных неравенств с двумя переменными.

Примеры.

Изобразите множество точек неравенства:

а) y + 3x – 5 ≥ 0

б) y + x2 – 2x – 3 ≤ 0

Решение.

а) Данное неравенство равносильно неравенству:

y ≥ 5 – 3x

Построим график прямой y = 5 – 3x.

Данная прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Возьмем точку, принадлежащую одной из этих плоскостей, например, (1;1). Подставляем координаты этой точки в неравенство:

1 ≥ 5 – 3,          1 ≥ 2

Получим неверное числовое неравенство. Значит все точки, лежащие над данной прямой, являются решениями неравенства.

б) Данное неравенство равносильно неравенству:

y < -x2 + 2x + 3

Построим график параболы y = -x2 + 2x + 3.

Эта парабола разбивает всю плоскость на два множества - «внутренность параболы» и «внешнюю область». Возьмем точку, принадлежащую одной из этих областей, например, (0;0).

Очевидно, что 0 + 02– 2 х 0 – 3 < 0 т. к. -3 < 0.

Все решения данного неравенства принадлежат внутренней области параболы(рис. 2).

Рисунок 1.

    У

    6

   5

   4

   3

   2

   1             .

          0        1              3              5        х    

Упражнения.

Изобразите множество решений неравенств:

1) x ≥ 0                        4) y ≤  -1                        7) x – y + 2 ≤  0

2) y ≥ 0                        5) x – y – 3 ≥ 0                8) 2x – y – 1 ≤  0

3) x ≥ 2                        6) x + y – 3 ≤  0                9) 4x – y – 2 ≥ 0

10) x + 3y + 1≥ 0                  11) y + x2 – 2x – 2 ≤ 0            12) y + x2 – 4 ≥ 0

13) x2 + y2 ≤  16                    14) x2 + y2 + 2y + 1 ≥ 9

Занятие 3. Системы линейных неравенств с двумя переменными.

Теоретические основы.

Если задана система неравенств

                f(x,y) > 0,

                g(x,y) > 0;

то решением этой системы называется упорядоченная пара чисел, удовлетворяющая каждому неравенству системы. Если f(x,y) = ax + by + c и g(x,y) = dx + ey + f, то получим систему линейных неравенств с двумя неизвестными.

Примеры.

Найти множество решений систем:

a)     y – 2x ≤        3        б)     y + x ≤ 0                 в)   x + 2y – 4 ≥ 0

        y + 3x ≤ 4                y ≥ 2                        2x – y – 3 ≤ 0

        y – x ≥ 0                    2x – y – 9 ≥ 0             x – 2y ≥ 0        

Решение.

а) Данная система неравенств равносильна системе

        y ≤ 2x + 3

        y ≤ 4 – 3x

        y ≥ x

    Построим графики прямых y =2x + 3, y = 4 – 3x, y = x в одной системе координат.

    Покажем штриховкой решение каждого из данных неравенств.

Множеством решений данной системы неравенств будет совпадать с множеством точек ▲ABC (рис. 3).

б) Рассуждая аналогично (см. предыдущий пример), получим, что система неравенств решений не имеет.

в) Рассуждая так же, как в примере а), получим, что решением системы неравенств является единственная пара чисел (2;1) (рис. 5).

Рисунок 3.

                        у

                                                 у-2х-3=0

                          5

                                                                            у-х=0

                              А

                          3

                                           В

                           1

                             0                                                      х

                        -1                1                 3                 5

                                                    у-4+3х=0

С

Рисунок 5.

         у

        4

                                                            у-2х+3=0

        3

        2                 х+2у-4=0

                                                                                  х-2у=0

        1

               0                1                2              3              х

Упражнения.

Изобразите множество решений системы неравенств на координатной плоскости.

1)  x ≥ 0,                                        2)  x + y ≥ 0,

     y ≥ 0;                                             x – y ≤ 0;

3)  y – x -1 ≤ 0,                                4)  x + y – 1≥ 0,

     3x + y – 6≥0;                                     x – y – 2 ≤ 0;

5)  2x – y 1 ≥ 0,                                6)  2x – y – 1 ≤ 0,

     4x – y – 5 ≤ 0;                                     3x – y -2 ≤ 0;

7)  3x – 2y – 1 ≥ 0,                                    8) 2x + y – 2≥0,

     3x – 2y + 3 ≤ 0;                                         x – 2y + 2 ≤ 0;

9)  2x – y – 1 ≤ 0,                                10)    2x – 3y + 13 ≥ 0,

     4x – 2y + 3≥0;                                               x + y – 6 ≥ 0,

                                                          4x – y – 19 ≤ 0        .

Занятие 4-7. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции при определенных условиях.

Теоретические основы.

Найдем решение задачи, состоящей в определении наибольшего значения функции:

F = c1 x + c2y (2)

при условиях

ai1x + ai2y ≤ bi (i = 1,-k) (3)

y ≥ 0, x ≥ 0 (4)

Каждое из неравенств системы ограничений задачи геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми ai1x + ai2y= bi, x = 0, y = 0. В случае, если система (3), (4) совместна, область ее решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Т.к. множество точек пересечения данных полуплоскостей - выпуклое, то областью допустимых решений задачи (2)-(4) является выпуклое множество, которое называется многоугольником решений. Стороны данного многоугольника лежат на прямых ai1x + ai2y = bi(I = 1, k), x = 0, y = 0.

Таким образом, исходная задача состоит в нахождении такой точки многоугольника решений, в котором функция F принимает наибольшее значение. Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст, и на нем функция F ограничена сверху. При указанных условиях в одной из вершин многоугольника решений функция F принимает максимальное значение.

Для определения данной вершины построим линию с1x + с2y = h (где h - некоторая постоянная), проходящую через многоугольник решений, и будем передвигать ее в направлении вектора ā {c1;c2} до тех пор, пока она не пройдет через последнюю ее общую точку с многоугольником решений.

При нахождении решения данной задачи могут встречаться различные случаи.

Рисунок 6 характеризует случай, когда функция F принимает наибольшее значение в единственной точке А.

Из рисунка 7 видно, что наибольшее значение функция F принимает в любой точке отрезка АВ.

На рисунке 8 изображен случай, когда функция F не ограничена сверху на множестве допустимых решений.

Если же система ограничений несовместна, то задача не имеет решений.

Нахождение наименьшего значения функции F при данной системе ограничений отличается лишь тем, что прямая c1x + c2y = h передвигается в направлении вектора ā {- c1; - c2}. И находится точка (точки) из многоугольных решений, в которой функция F принимает наименьшее значение.

Рисунок 6.                                                        Рисунок 7.

    У                                                                   у

                                                                                                                   А

                                                      Fmax

                                                                                                                                 Fmax

                                             А                                                                                     В

     0                                               х                  0                                                х

Рисунок 8.

   у

                                                           Fmax

     0

                                                                   х

Пример.

Используя геометрическую интерпретацию, найдите максимальное значение функции F = x + y

при ограничениях         x + 2y ≤ 12,

                                -6x + 3y ≤ 15,

                                3y + 6x ≥ 24,

                                x ≥  0, y ≥ 0.

Решение:

Данная система ограничений равносильна системе неравенств.

y = 6 – 0,5x

y ≤ 5 + 2x

y ≥ 8 – 2x

x ≥ 0, y ≥ 0

Строим в одной системе координат графики прямых y = 6 – 0,5x,

y = 5 + 2x, y = 8 – 2x, y = 0, x = 0.

Нанесем на плоскость решения каждого из неравенств.

Рисунок 9.

         у

       7

        5

                         А

        3

       1

          0                                 В                                                                               С

                      1                 3                5                7                   9              11               13               15  х

По рисунку 9 видно, что множество решений системы неравенств совпадает с множеством точек ▲ABC. Построим вектор ā {1;1} и будем двигать прямую x + y = h в его направлении.

По рисунку 9 видно, что функция F достигает наибольшего значения на заданном треугольнике решений в точке C. Найдем координаты этой точки. Для этого решим систему уравнений

x + 2y = 12             x = 12

y = 0           <=>     y = 0

Функция F = x + y при ограничениях принимает наибольшее значение в точке (12; 0). А само значение функции равно 12.

Упражнения.

Используя геометрическую интерпретацию, найдите наибольшее (наименьшее) значение функции при заданных ограничениях:

1) F = x + 2y    →        max                4x – 2y ≤ 12,

                                        -x + 3y ≤ 16,

                                        2x + 4y ≥ 16,

                                        x ≥ 0, y ≥ 0.

2) F = -2x + y    →    min        3x – 2y ≤ 12,

                                        -x + 2y ≤ 8,

                                        2x + 3y ≥ 6,

                                        x ≥ 0, y ≥ 0.

3) F = 2x + 3y    →   max        x – 5y ≤ 5,

                                        -x + y ≤ 4,

                                         x + y ≤ 8,

                                        x ≥0, y ≥ 0.

4) F = -8x + 2y   →   max        3x – y ≥ 4,

                                        x – y ≥ 1,

                                        2x + y ≤ 7,

                                        x ≥ 0, y ≥ 0.

Занятия 8-10. Задача линейного программирования.

Теоретические основы.

Функция F = c1 x + c2 y называется целевой функцией.

Линейное программирование это область применения математики к решению практических вопросов. К таким вопросам относятся:

а) как использовать имеющиеся на предприятии запасы сырья для тех или иных видов продукции, чтобы доход предприятия был наибольшим?

б) как лучше использовать имеющееся на предприятии оборудование, чтобы выполнить заказ по всем видам выпускаемой продукции?

Многие из таких задач приводят к необходимости решать линейные неравенств и уравнений, иногда с очень большим числом переменных.

Стандартной задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции (2) при выполнении условий (3) и (4).

Совокупность чисел (x; y), удовлетворяющих ограничениям (3) и (4) называется допустимым решением или планом.

План (x*; y*), при котором целевая функция (2) задачи принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным.

Итак, для решения практических задач необходимо уметь:

а) составить математическую модель задачи, составить стандартную задачу линейного программирования;

б) решить задачу на нахождение наибольшего (наименьшего) значения целевой функции при данных ограничениях;

в) «перевести решение задач на язык практической задачи».

Пример. Ателье шьет женские юбки и платья. Из ткани двух видов. На одну юбку расходуется ткани одного вида 1,5 м2, другого - 0,5 м2, а на пошив одного платья расходуется ткани одного вида 1,6 м2, другого - 0,8 м2. Сколько платьев и юбок нужно сшить, чтобы добиться наибольшего дохода, если на складе имеются ткани первого вида 141 м2, второго вида 63 м2. При этом известно, что доход мастерской от реализации одного платья составляет 10 руб., одной юбки - 6 руб.

Решение. Оформим условие задачи таблицей:

Пусть x юбок и y платьев надо сшить. По условию задачи нам необходимо найти наибольший доход от реализации, т.е. найти наибольшее значение функции F = 6x + 10y при следующих ограничениях

        1,5x + 1,6y ≤ 141

        0,5x + 0,8y ≤ 63

        x ≥ 0

        y ≥ 0

Построим в одной системе координат графики уравнений:

1,5x + 1,6y ≤ 141, 0,5x + 0,8y ≤ 63, x ≥ 0, y ≥ 0.

Нанесем на плоскость решение каждого из неравенств. Множество решений системы неравенств совпадают с множеством точек многоугольника ABCD (рис 10). Построим прямую 6x + 10y = h (h - любое) и будем двигать ее в направлении вектора {6;10}.

По рисунку видно, что функция F принимает максимальное значение в точке C. Найдем ее координаты, решив систему уравнений        

                        1,5x + 1,6y = 141                x = 30

                        0,5 + 0,8y = 63        <=>        y = 60                

Значит, чтобы получить наибольший доход ателье должно сшить 30 юбок и 60 платьев.

Рисунок 10.

                      у

                90

                         B           1,5х+1,6у=141

                70

                                               С

                50

                30                                                                           0,5х+0,8у=63

                10    

                      0                                                                          D

                          A

               -10          10             30             50            70            90           110           130        х

Примечание.

Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции

F = ∑cj xj

j = 1

при условиях n, k

∑ aij xj ≤bi

j=1

i=1

n, m

∑ aij xj = bi, xj ≥ 0

j=1

i=k+1

где aij, bi, cj – заданные постоянные величины, k < m

В некоторых случаях бывает возможным перейти от большого количества переменных к двум.

Например

F = -x1 + 4x2 + 2x4 – x5 → max при условиях

   x1 – 5x2 + x3 = 5,

   -x1 + x2 + x4= 4,

   x1 + x2 + x5 = 8,

   x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0

   x4 ≥ 0, x5 ≥ 0 

Из уравнений системы выразим x4 и х5:

х4 = 4 + х1 – х2, х5 = 8 – х1 – х2. Подставим полученные выражения в функцию:         F= - x1 + 4x2 + 2(4 + x1 – x2) – (8 – x1 – x2);

F = 2x1 + 3x2

Так как х1, х1, х3, х4, х5 – неотрицательно, то равенства системы можно заменить на неравенства:                    х1 – 5х2 ≤ 5,

                                        -х1 + х2 ≤ 4,

                                        х1 + х2 ≤ 8,

                                        х1 ≥ 0, х2 ≥ 0

Итак, сначала решаем задачу на нахождение наибольшего значения функции F = 2x1 + 3x2  при ограничениях         х1 - 5х2 ≤ 5,

                                                        -х1 + х2 ≤ 4,

                                                        х1 + х2 ≤ 8,

                                                        х1 ≥ 0, х2 ≥ 0

При необходимости можно вернуться к исходной задаче, чтобы найти оптимальный план.

Упражнения.

1. На некотором предприятии производят изделия двух типов. Цех сборки готовых изделий этого предприятия может выпускать за сутки 100 изделий первого типа и 300 изделий второго типа. Отдел технического контроля предприятия может проверить не более 150 изделий в сутки. Известно, что одно изделие первого типа стоит в два раза дороже изделия второго типа.

Необходимо найти такой план выпуска изделий каждого вида, чтобы предприятие получило наибольшую прибыль.

2. Для производства двух видов изделий А и В используется токарное, фрезерное и шлифовальное оборудование. Нормы затрат времени для каждого из типов оборудования на одно изделие данного вида приведены в таблице. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия.

Найдите план выпуска изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.

3. На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех видов в количествах, соответственно равных 24, 31, 18 штук. Каждый лист может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых заготовок при данном способе раскроя приведено в таблице. В ней же указана величина отходов, которые получаются при данном способе раскроя одного места фанеры.

Определить сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроить так, чтобы было получено не меньше нужного количества заготовок при минимальных отходах.

1. Бетон, производимый на заводах А и В, надо развести по строительным площадкам № 1, № 2, № 3. Завод А производит 320 т бетона в сутки, а завод В - 380 т. Потребность в бетоне за сутки на стройплощадке № 1 - 200 т, на стройплощадке № 2 - 280 т, и на стройплощадке № 3 - 220 т. Стоимость перевозки одной тонны бетона с завода на стройплощадку дается в таблице:

Требуется составить план перевозок бетона, при котором стоимость перевозок будет наименьшей.

Занятия 11-12. Итоговая работа.

Работа предлагается двух уровней:

А - для среднего ученика,

Б - для ученика, умеющего строить математические модели задачи.

А. Найдите наименьшее значение функции при заданных ограничениях:

F = 2x – 3y

                4x – 5y ≥ 20,

                2x + y ≥ 6,

                5x – y ≤ 45,

                x – y ≤ 6,

                x ≥ 0,

                y ≥ 0.                (максимальный балл - 3)

Б. На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указано общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.

Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной (максимальный балл - 5).