Конференция «Логарифмы» УРОК - СЕМИНАР
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Конференция «Логарифмы»

УРОК - СЕМИНАР

История возникновения логарифмов. Джон Непер. Логарифмическая линейка

Звёзды, шум и логарифмы

Логарифмическая спираль в биологии

Логарифмы в музыке

Методы решения логарифмических неравенств

Цели урока:

• расширить представление учащихся о логарифмической функции;
• рассмотреть применение ее свойств в нестандартных ситуациях;
• продолжить работу по формированию у учащихся умений строить графики логарифмической функции;
• развивать логическое мышление, познавательный интерес к математике.
• Познакомить учащихся с применением метода интервалов при решении логарифмических неравенств с постоянными и переменными основаниями.
• Научить учащихся пользоваться этим методом для решения задач группы С в ЕГЭ.
• Закрепить умение использовать преобразования равносильности при решении неравенств.

Развивающие:

• Выработать умение выделять главное, сравнивать, обобщать.
• Формировать графическую и функциональную культуру учащихся.
• Формировать умение получать знания с помощью различных источников: дополнительной литературы, компьютерных обучающих программ.

Воспитательные:

• Показать взаимосвязь математики с окружающей действительностью.
• Формировать навыки общения, умения работать в коллективе.
• Формировать настойчивость при достижении поставленной цели.
•  Оборудование:

• Медиа-пректор
• Экран
• Авторская презентация к уроку
• Презентации учащихся “Логарифмы в окружающем мире”

Оборудование: шаблоны графиков функций, цветные мелки,  презентация  "Логарифмическая спираль", листочки для самостоятельной работы.

Ход урока

1. Вступительное слово учителя.

• Организационный момент.
• Наш урок я хочу начать со слов А.С.Пушкина:
• “О, сколько нам открытий чудных 
  Готовят просвещенья дух 
  И опыт, сын ошибок трудных,
  И гений, парадоксов друг…”
• Актуализация. Сегодня на уроке мы рассмотрим

II .  Устные  сообщения учащихся и учителя.

Учитель: В математике встречаются немного экзотические графики. Одним из них является логарифмическая спираль. О ней расскажет...(ученица)

Логарифмическая спираль имеет бесконечное множество витков и при раскручивании, и при скручивании.

Рисунок10

Логарифмическую спираль называют еще равноугольной спиралью. Это ее название отражает тот факт, что в любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиус-вектором сохраняет постоянное значение.

Логарифмическая спираль нередко используется в технических устройствах. Например, вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали – под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чему лезвие ножа стачивается равномерно.

Очень часто логарифмическая спираль встречается в природе.

Например, раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении.

Чтобы не слишком вытягиваться, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфган Гёте считал ее математическим символом жизни и духовного развития.

Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины.

В подсолнухе семечки располагаются по дугам, также близким к логарифмической спирали.

Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.

По логарифмическим спиралям закручены и многие Галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

II. Устная самостоятельная работа с последующей проверкой.

• Учитель: Сегодня вам самим предстоит открыть новые знания. Прежде, чем совершать открытие, давайте проверим себя, готовы ли мы совершить его, всё ли было усвоено на уроках, имеются ли слабые места. Для этого проведём разминку по изученному материалу.

На ЕГЭ часто предлагают задание на распознавание графиков функций. Сейчас мы устно выполним такое задание. На доске вы видите 5 графиков функций

Рисунок5

Определите, на каком из рисунков изображены графики следующих функций:

А)

Г)

Д)

Ответы запишите на листочке (на выполнение задания отводится примерно 2 минуты).

Закончили! Обменяйтесь листочками. Проверим!

Ответы: а) 4; б) 2; в) 1; г) 5; д) 3.

Кто определил все графики правильно?

Метод интервалов

В курсе математического анализа для 10-11классов доказывается теорема: “Если  непрерывная на  и не обращается в нуль на открытом промежутке  то  имеет один тот же знак во всех внутренних точках отрезка ”. Это и есть основание для метода интервалов для непрерывной  функции: найти нули  и определить знаки  на промежутках между соседними нулями вычислив значение в пробных точках.

Рассмотрим неравенство вида: 

ПЛАН РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛА

Решение любого неравенства всегда можно свести к определению интервалов знакa постоянства функции.

Решение неравенств методом интервалов основано на следующем свойстве функции:

Всякая функция f(x), непрерывная в своей области определения, может иметь разные знаки слева и справа от некоторой точки хо лишь только в том случае, если

хо - ноль (корень) функции, либо

хо- точка разрыва.

Поэтому, для нахождения интервалов постоянного знака функции достаточно найти ее область определения D(f), корни и точки разрыва нанести их на ось, определить на каждом из полученных интервалов принадлежащих D(f).

Знак функции (например, подстановкой в выражении функции какого-либо значения х из соответствующего интервала) и выбрать нужные интервалы в соответствии со знаком неравенства.

ПЛАН РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ.

1. Переносим все члены неравенства в одну сторону (например, влево)

Не производя абсолютно никаких преобразований, находим область определения функции стоящей в левой части неравенства, после чего в области определения функции с целью упрощения допускается выполнение тождественных преобразований.

2. Находим нули функций.
3. Рисуем пунктиром числовую ось, после чего сплошной линией обводим промежутки оси, принадлежащие области определения функции. На них точки, в которых функция терпит разрыв, отмечаем “пустыми” (не заштрихованными), отмечаем на оси нули (корни) функции:

- “пустыми” (не заштрихованными), точками, если неравенство строгое полными (черными), заштрихованными точками, если неравенство не строгое.

4. Определяем знак функции на каждом из полученных интервалов (например,
   подстановкой в выражении функции какого-либо значения из соответствующего интервала).
5. выбираем для ответа нужные интервалы в соответствии со знаком неравенства.

Записываем ответ.

Отметим, что указанным методом можно решать любое неравенство.

 2. Объяснение нового материала.

1. Решение неравенства . Презентация Слайды 1; 2 и 3.
2. Пример 1. Решение неравенства  Слайд 4 (Учащиеся работают в тетрадях).
3. Решение неравенства  Презентация Слайды 5 и 6.
4. Пример 2. Решение неравенства  Слайды 7, 8, 9 . (Учащиеся работают в тетрадях).

3. Закрепление.Самостоятельная работа с элементами программированного обучения. и  Учащиеся приглашаются занять место у компьютеров, в которых находится самостоятельная работа (слайд 10, ).

Учитель озвучивает задание и информацию о порядке работы с компьютером.

Учащиеся выбирают любое задание и, используя опорный конспект, решают его.

Если у учащегося не возникло вопросов, он проверяет сразу ответ.

Если в ходе решения у учащихся возникают проблемы, то они выбирают гиперссылку «Подсказка 1» и получают консультацию по решению примера (1-я часть решения); «Подсказка 2» содержит 2-ю часть решения; «Подсказка 3» содержит ответ к заданию.

Если подсказка не помогает, у учащегося остаются вопросы, то он обращается к учителю для индивидуальной консультации.

Проверив ответ, учащиеся могут переходить к следующему заданию.

4. Итог урока.

Сегодня мы познакомились с новым методом решения логарифмических неравенств, позволяющим быстро и эффективно решать такие неравенства, не рассматривая отдельно случаи возрастающей или убывающей функции. Этот же метод хорошо работает и в случае показательных, иррациональных, а также комбинированных неравенств и неравенств с модулем, с которыми мы познакомимся на следующих занятиях.

5. Домашнее задание. . 

1. Найдите все значения а, для которых неравенство  выполняется для всех х из интервала  .
2. Изобразить фигуру, образованную всеми точками (x;y) декартовой плоскости Оxy, координаты которых удовлетворяют неравенству .
3. При каких значениях параметра р площадь фигуры, заданной на координатной плоскости условием будет равна 24?

ПЛАН РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ.

Теорема “Если  непрерывная на  и не обращается в нуль на открытом промежутке  то  имеет один тот же знак во всех внутренних точках отрезка ”

1. Переносим все члены неравенства в одну сторону (например, влево)
2. Не производя абсолютно никаких преобразований, находим область определения функции стоящей в левой части неравенства, после чего в области определения функции с целью упрощения допускается выполнение тождественных преобразований.
3. Находим нули функций.
4. Рисуем пунктиром числовую ось, после чего сплошной линией обводим промежутки оси, принадлежащие области определения функции. На них точки, в которых функция терпит разрыв, отмечаем “пустыми” (не заштрихованными), отмечаем на оси нули (корни) функции:

- “пустыми” (не заштрихованными), точками, если неравенство строгое полными (черными), заштрихованными точками, если неравенство не строгое.

5. Определяем знак функции на каждом из полученных интервалов (например,
   подстановкой в выражении функции какого-либо значения из соответствующего интервала).
6. выбираем для ответа нужные интервалы в соответствии со знаком неравенства.

Записываем ответ.

ПЛАН РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ.

Теорема “Если  непрерывная на  и не обращается в нуль на открытом промежутке  то  имеет один тот же знак во всех внутренних точках отрезка ”

1. Переносим все члены неравенства в одну сторону (например, влево)
2. Не производя абсолютно никаких преобразований, находим область определения функции стоящей в левой части неравенства, после чего в области определения функции с целью упрощения допускается выполнение тождественных преобразований.
3. Находим нули функций.
4. Рисуем пунктиром числовую ось, после чего сплошной линией обводим промежутки оси, принадлежащие области определения функции. На них точки, в которых функция терпит разрыв, отмечаем “пустыми” (не заштрихованными), отмечаем на оси нули (корни) функции:

1. - “пустыми” (не заштрихованными), точками, если неравенство строгое полными (черными), заштрихованными точками, если неравенство не строгое.

5. Определяем знак функции на каждом из полученных интервалов (например,
   подстановкой в выражении функции какого-либо значения из соответствующего интервала).
6. выбираем для ответа нужные интервалы в соответствии со знаком неравенства.

2. Записываем ответ.

Ход урока

I. Организационный момент

      Сегодня перед нами стоит задача: повторить метод интервалов для решения рациональных неравенств и обобщить его для решения неравенств, содержащих модули, тригонометрические, показательные и логарифмические функции, а также неравенств, содержащих параметры.

II Воспроизведение повторяемого материала

     Учащимся предлагается задание «Найди ошибку» на кодопозитивах.

        В процессе такой работы повторяется метод интервалов при решении рациональных и дробно-рациональных неравенств.

3. Систематизация и обобщение ранее изученного.

      Вопрос. Что объединяет эти неравенства?

1.               3.                         5.

2.                 4.                 6.

           Первые пять неравенств можно решить обобщенным методом интервалов, который применяется для решения неравенств вида Р(х)> 0 (P(x)<0), где левая часть неравенства— не стандартная функция,  а произведение элементарных функций, не обязательно вида . Метод интервалов допускает обобщение на выражения самого разного вида и по существу делает расщепление неравенства более легким и наглядным.

          Учащиеся вспоминают схему решения неравенств обобщенным методом интервалов и применение его для решения некоторых показательных, логарифмических, тригонометрических неравенств в ходе проверки домашней работы.

Вопрос: А можно ли применить этот же метод для решения задания №6?

         Учащиеся формулируют  более продвинутый метод решения неравенств, а именно, метод «замены функции»: любой неудобный сомножитель fn заменяется более удобным, имеющим тот же знак (но, возможно, другой модуль), а если в результате такой замены расширяется ОДЗ, то в систему с полученным неравенством включаются и пропавшие ограничения.  

Вопрос: Какие задания из домашней работы решались обобщенным методом интервалов  и какие можно решить «заменой функций»?

            С помощью кодоскопа проверяются  решения первых трех заданий из четырех, причем обращается внимание на решение неравенств различными способами.

   IV. Далее учащимся предлагается самостоятельная работа

      Через  15  минут ответы проецируются на доску через кодоскоп. Учащиеся проверяют друг у друга правильность выполнения заданий и выставляют оценки.

Критерии оценок:

«5» - 5 правильно выполненных задания;

«4» - 4 правильно выполненных задания;

«3» - 3 правильно выполненных задания;

«2» - менее 3 правильно выполненных заданий;

Код правильных ответов

    Далее обсуждаются вместе с учителем различные подходы к решению данных неравенств, выбираются более рациональные способы решения, которые демонстрируется на кодопленке.

V. Углубление и расширение знаний 

          Второй урок начинается с проверки и обсуждения последнего (четвертого) задания из домашней работы:

Найти все a, при которых неравенство  выполняется для всех .

           Наряду с аналитическим методом решения, учитель показывает графический метод, так называемый метод областей, который состоит в переходе от координатной прямой к координатной плоскости и представляет собой дальнейшее развитие метода интервалов.        В новой ситуации исследуемые выражения зависят не от одной, как прежде, а от двух переменных: точки, в которых эти выражения обнуляются или теряют смысл, теперь собираются в кривые (в частности, прямые), а интервалы, на которые ранее точки разбивали числовую прямую, теперь превращаются в области, на которые кривые разбивают плоскость. Если исследуемые выражения задаются элементарными функциями, то каждое из них в каждой из полученных областей будут иметь постоянный знак.

       Далее учащиеся разбиваются на четыре  группы. Каждой группе предлагается два одинаковых задания, которые выполняются на больших чистых листах. Ученики выбирают для защиты каждого задания по одному представителю от каждой группы.

1. (2000, геол., МГУ) На координатной плоскости Оxy найдите площадь фигуры, координаты точек которых удовлетворяют неравенству: .
2. Найти все значения параметра а, при которых решением неравенства является отрезок.

Решения:

1.            ;                    .

        Искомая фигура представляет собой кольцо между двумя концентрическими окружностями с  и  (совпадающие центры – начало координат). Площадь такой фигуры находится по формуле и  равна .         Ответ:

2. Данное неравенство равносильно системе . Упрощая, получим     .    Будем рассматривать параметр a, как переменную и отметим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют полученной системе. Эти точки одновременно находятся под обеими параболами , . Приравнивая друг другу правые части этих уравнений, находим координаты  точек пересечения парабол,

       Некоторые прямые, параллельные оси абсцисс, имеют с заштрихованной областью общий отрезок. Наша задача – указать ординаты точек этих прямых. Это, во-первых ординаты вершины параболы (, ) и точек, расположенных ниже нее. Во-вторых, это точки интервала .

Ответ: ,

Дополнительное задание. (2000, ВМиК, МГУ) На координатной плоскости Оxy изобразите множество, координаты точек которых удовлетворяют неравенству .

     VI.   Защита, проверка и обсуждение полученных результатов

VII. Подведение итогов урока

           В заключение урока дается оценка работы класса, подводятся итоги, в журнал выставляются оценки за самостоятельную работу и работу в группах и предлагается домашняя работа:

4. Найдите все значения а, для которых неравенство  выполняется для всех х из интервала  .
5. Изобразить фигуру, образованную всеми точками (x;y) декартовой плоскости Оxy, координаты которых удовлетворяют неравенству .
6. При каких значениях параметра р площадь фигуры, заданной на координатной плоскости условием будет равна 24?