Задачи на проценты
план-конспект занятия (алгебра, 11 класс) по теме

Задачи на проценты

Процентом называется сотая часть.

При решении задач на проценты могут встречаться три случая.

а) Нахождение процентов от данного числа.

В цехе работают 60 человек, из них 30 % женщины. Определите, сколько женщин работает в цехе.

Образец решения:

Требуется найти 30 % от числа 60, то есть   ·60 = 18 (женщин).

О т в е т: 18 женщин.

б) Нахождение числа по его процентам.

Найдите размер вклада, 25 % которого составляют 150 тыс. руб.

Образец решения:

1 % вклада составляет  тыс. руб, а весь вклад, принятый за 100 %, равен  · 100 = 600 тыс. руб.  

О т в е т: 600 тыс. руб.

в) Нахождение процентного отношения двух чисел.

Каково процентное содержание меди в руде, если на 225 кг руды приходится 34, 2 кг меди?

Образец  решения:

 Содержание меди в руде составляет  частей, или    · 100 = 15,2 %.

Ответ: 15,2 %.

Задачи для прорешивания на занятиях и  самостоятельного решения.

1. При добавлении воды к раствору его объем увеличился на 42 % и стал равным 71 л. Определите первоначальный объем раствора.

2. При продаже товара за 1386 тыс. руб получено 10 % прибыли. Определите себестоимость товара.

3. Цистерна вмещает 40 т бензина. После заливки в нее некоторого количества бензина осталось незаполненным 6,5 % вместимости цистерны. Сколько бензина залили в цистерну?

4. Постройка дома стоит 98 млн. руб. Из них 65 % заплатили за материал, а остальные - за работу. Сколько заплатили за работу?

5. После снижения цен на 5 % стоимость 1 м материи стала равна 38 тыс. руб. Сколько стоил 1 м материи до снижения?

6. На соревнованиях спортсмены завоевали 96 медалей, из них 35 бронзовых и 31 серебряную. Сколько процентов от общего числа составили золотые медали?

7. Сколько процентов соли содержится в растворе, если в 200 г раствора содержится 150 г воды?

8. Товар с перевозкой стоил 3900 тыс. руб. Сколько процентов от стоимости товара с перевозкой составляют расходы по перевозке, если стоимость товара равна 3510 тыс. руб?

9. Лекарственная ромашка теряет при сушке 84 % массы.

Сколько килограммов ромашки нужно собрать, чтобы получить 8 кг сухого растения?

10. Мясо теряет при варке около 35 % своего веса. Сколько нужно сырого мяса, чтобы получить 520 г вареного?

11. Кофе при жарении теряет 12 % своей массы. Сколько свежего кофе надо взять, чтобы получить 14 ,8 кг жареного кофе?

12. При перегонке нефти получается 30 % керосина. Сколько  нужно взять нефти, чтобы получить 18,25 т керосина?

                 .

13. Вклaд,  положенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равно и 1312,5 тыс. руб. Каков был первоначальный вклад при 25 % годовых?

Образец решения:

Пусть х (тыс. руб) - первоначальный размер вклада. В конце первого года вклад составит х + 0,25х = 1,25 х (тыс. руб), а в концe второго года 1,25х(1 + 0,25) = 1,252х (тыс. руб), то есть 1,252 х = 1312,5 тыс. руб, откуда х = 840 тыс. руб.

О т в е т: 840 тыс. руб.

14. Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик вложил 1 января 1000 руб и в течение 2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им сумма увеличилась до 1210 рублей. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на этот вклад?

15. На заводе 20 % всех станков были переведены на повышенную скорость, благодаря чему производительность станка повысилась на 80 %. На сколько процентов повысился выпуск продукции?

16. Цена товара понизилась на 40 %, затем еще на 25 %. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальнои?

Образец  решения:

Первоначальную цену принимаем за 100 %. После первого снижения цена товара равна:

100 % - 40 % = 60%.  Второе  снижение происходит от новой цены, то есть 60 ·0,25 = 15 %.

Общее снижение цены товара равно 40 + 15 = 55 %.

Ответ: 55 %.

17. Цену товара сперва снизили на 20 %, затем новую цену снизили еще на 15 %, и, наконец, после пересчета произвели снижение еще на 10 %. На сколько процентов всего снизили первоначальную

цену товара?

Образец решения:

Эту задачу проще решить чисто арифметически, не составляя уравнения.

1. Пусть первоначальная цена товара х рублей, что соответствует 100 %.

2. Тогда после первого снижения цена товара будет х - 0,2х = 0,8х (р.).

3. После второго снижения

0,8х - 0,25· 0,8х = 0,68х (р.)

4. После третьего снижения

0,68х - 0,68х · 0,2 = 0,612х (р.).

5. Всего цена товара снизилась на

х - 0,612х = 0,388х (р.).

х-l00%,

0,388х-у%;

у% =   38,8%  

О т в е т: 38,8 %.

18. За первый год предприятие увеличило выпуск продукции на 8 %. В следующем году выпуск увеличился на 25 %. На сколько процентов вырос выпуск продукции по сравнению с первоначальным?

19. За первый год предприятие увеличило выпуск продукции на 20 %. В следующем году выпуск увеличился на 15 %. На сколько процентов вырос выпуск по сравнению с первоначальным?

20. В январе завод выполнил 105 % месячного плана выпуска готовой продукции, а в феврале дал продукции на 4 % больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?

21. Цена на товар была повышена на 25 %. На сколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену товара?

22. Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением прибыли он повысил цену на билеты на 25 %. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов владелец дискотеки снизил новую цену билетов, если она стала равной первоначальной?

23. Владелец бензозаправки повысил цены на бензин на 10 %. Заметив, что количество клиентов резко сократилось, он понизил цены на 10 %. На сколько процентов в результате этих двух изменений понизились или повысились цены на бензин? Если цены понизились, то перед числом процентов в ответе поставьте знак минус. Если цены стали прежними, в ответе запишите ноль.

24. Цены на компьютерную технику в среднем понижались за год дважды на 10 %. На сколько процентов понизились цены на компьютерную технику за год?

25. На хрустальную люстру подняли цену на 45 %, а затем еще на 20 %. На сколько процентов увеличилась цена люстры после двух повышений?

26. Цену на телефонный аппарат повышали дважды. После второго повышения аппарат стал стоить в 6 раз дороже, чем вначале. На сколько процентов повысили цену во второй раз, если в первый раз цена была повышена на 50 %?

27. После двух последовательных одинаковых процентных повышений зарплата суммой в 100 тыс. руб обратилась в 125,44 тыс. руб. Определите, на сколько процентов повышалась зарплата.

28. Вследствие реконструкции оборудования производительность дважды в течение года повышалась на один и тот же процент. На сколько процентов возрастала каждый раз производительность труда рабочего, если он сначала вырабатывал изделий на 25 тыс. руб., а после реконструкции - на 28, 09 тыс. руб?

29. Цена товара дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 20 000 руб, а окончательная 11 250 руб.?

30. Цену на словарь повышали дважды. После второго повышения словарь стал стоить в два раза дороже, чем вначале. На сколько процентов повысилась цена в первый раз, если во второй раз цена была повышена на 25 %?

31. На мебельный гарнитур повышали цену дважды. На сколько процентов повысили цену на гарнитур во второй раз, если каждый раз повышали цену на одинаковое количество процентов, а после второго повышения гарнитур стоил в 1,44 раза больше, чем до первого повышения?

32. Цветной телевизор два месяца назад стоил на 20 % дешевле, чем месяц назад, когда он стоил на 10% дешевле, чем сейчас. На сколько процентов дешевле стоил телевизор два месяца назад, чем сейчас?

33. Определите первоначальную стоимость продукта, если после подорожания соответственно на 120%, 200 % и 100 % его конечная стоимость составила 264 руб.

34. При выполнении контрольной работы по математике 12 % учеников не выполнили ни одного задания, 32 % допустили ошибки, а остальные 14 человек решили задания верно. Сколько всего учеников в классе?

35. На заводе были изготовлены легковые и грузовые машины, причем 35 % всех изготовленных машин - легковые. Определите число изготовленных машин, если грузовых изготовлено на 240 больше, чем легковых.

36. В библиотеке имеются книги на английском, французском и немецком языках. Английские книги составляют 36 % всех книг на иностранных языках, французские - 75 % английских, а остальные 185 книг - немецкие. Сколько книг на иностранных языках в библиотеке?

37. Две шкурки ценного меха стоимостью в 225 тыс. руб были проданы на международном аукционе с прибылью в 40 %. Какова стоимость каждой шкурки отдельно, если от первой было получено прибыли 25 %, а от второй - 50 %?

38. Стоимость 60 экземпляров первого тома и 75 экземпляров второго тома составляет 270 тыс. руб. В действительности за все книги уплачено только 237 тыс. руб, так как проведена скидка па первый том в размере 15 %, на второй - 10 %. Найдите первоначальпую цену этих книг.

39. Двое рабочих за смену вместе изготовили 72 детали. После того, как первый рабочий повысил производительность труда на 15 %, а второй - на 25 %, вместе за смену они стали изготовлять 86 деталей. Сколько деталей изготовляет каждый рабочий за смену после повышения производительности труда?

40. Собрали 100 кг ягод. После сортировки 60 % собранных ягод были отправлены в магазин для продажи. В магазине 11 % поступивших ягод испортилось, поэтому они не поступили в продажу. Сколько килограммов ягод было продано?

41. Из молока получается 21 % сливок, а из сливок - 24 % масла. Сколько нужно взять молока, чтобы получить 630 кг масла?

42. Предприниматель купил акции и через год продал их по номинальной стоимости, получив прибыль, причем полученная сумма составила 11 500 руб. Сколько акций было куплено предпринимателем, если прибыль составляет 15 % от стоимости акции и равна 150 руб.?

43. Вкладчик взял из сбербанка 25 % своих денег, потом 4/9 оставшихся и еще 64 тыс. руб. После этого у него осталось на сберкнижке 15 % всех денег. Как велик был первоначальный вклад?

44. Сумма двух чисел равна 120. Найдите эти числа, если 40 % одного числа равны 60 % другого.

45. Если А даст 40 % своих денег, а Б - 45 % имеющихся у него денег, то общая сумма составит 215 тыс. руб. Если же А даст 45 % имеющихся у него денег, а Б - 40 % своих денег, то общая сумма составит 210 тыс. руб. Сколько тыс. руб. у А и Б в отдельности?

46. Известно, что 5 % первого числа и 4 % второго составляют в сумме 44, а 4 % первого числа и 5 % второго составляют в сумме 46. Найдите эти числа.

47. Известно, что 30 % числа А на 10 больше, чем 20 % числа В, а 30 % числа В на 35 больше, чем 20 % числа А. Найдите числа АиВ.

48. При продажной стоимости товара 2,2 тыс. руб за 1 кг продовольственный магазин получает 10 % прибыли. Если продать этот товар по 1,8 тыс. руб за 1 кг, то магазин понесет убыток в сумме 43 тыс. руб. Сколько килограммов этого товара было в магазине?

 49. Рабочий день уменьшился с 8 ч до 7 ч. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата выросла на 5 %?

50. Книжный магазин платит издательству 90 % цены, обозначенной на обложке книги, а продает книги по этой цене. Сколько процентов составляет наценка магазина? (Ответ округлите до целых чисел.)

Ответы.