Урок: "Производная и ее применение"
план-конспект занятия по алгебре (10 класс) по теме

Слайд 1

Слайд 2

f(x) f / (x) x На рисунке изображен график производной функции у = f (x) , заданной на промежутке (- 8; 8). Исследуем свойства графика и мы можем ответить на множество вопросов о свойствах функции, хотя графика самой функции не представлено! y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x 6 3 0 -5 Найдем точки, в которых f / (x) =0 (это нули функции). + – – + +

Слайд 3

f(x) f / (x) x По этой схеме мы можем дать ответы на многие вопросы тестов. y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x 6 3 0 -5 + – – + + Исследуйте функцию у = f (x) на экстремум и укажите количество ее точек минимума. 4 точки экстремума, Ответ: 2 точки минимума min min - 8 8

Слайд 4

f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + – – + + Найдите точку экстремума функции у = f (x) на отрезке [ – 6; –1 ] Ответ: x max = – 5 max 6 3 0 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -5 - 8 8

Слайд 5

f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + – – + + Найдите количество точек экстремума функции у = f (x) на отрезке [ – 3; 7 ] Ответ: 3. 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -5 - 8 8 6 3 0

Слайд 6

f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + – – + + Найдите промежутки убывания функции у = f (x) . В ответе укажите длину наибольшего из них. 6 3 0 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -5 Ответ: 5. - 8 8

Слайд 7

f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + – – + + В какой точке отрезка [ – 4; –1 ] функции у = f (x) принимает наибольшее значение? 6 3 0 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -5 Ответ: – 4. - 8 8 На отрезке [ – 4; –1 ] функция у = f (x) убывает, значит, наибольшее значение на данном отрезке функция будет принимать в точке – 4.

Слайд 8

f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + – – + + В какой точке отрезка [ – 4; –1 ] функции у = f (x) принимает наименьшее значение? 6 3 0 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -5 Ответ: – 1. - 8 8 На отрезке [ – 4; –1 ] функция у = f (x) убывает, значит, наименьшее значение на данном отрезке функция будет принимать в конце отрезка точке х= – 1.

Слайд 9

На рисунке изображен график производной функции у = f / (x) , заданной на промежутке (- 5 ; 5 ). Исследуйте функцию у = f (x) на монотонность и укажите число ее промежутков убывания. f(x) f / (x) 4 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + 1

Слайд 10

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 х В. На рисунке изображен график производной функции у = f / (x) , заданной на промежутке [-5;5] . Исследуйте функцию у = f (x) на монотонность и укажите наибольшую точку максимума . y = f / (x) + + + - - - f / (x) - + - + - + f(x) -4 -2 0 3 4 Из двух точек максимума наибольшая х max = 3 max max

Слайд 11

3). Исключим точки, в которых производная равна 0 (в этих точках касательная параллельна оси Ох) -9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 В8. На рисунке изображен график функции у = f(x) , определенной на интервале (-9; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. y = f (x) y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1). f / (x) > 0 , значит, функция возрастает. Найдем эти участки графика. 2). Найдем все целые точки на этих отрезках. Ответ: 8. Решение:

Слайд 12

3). Исключим точки, в которых производная равна 0 (в этих точках касательная параллельна оси Ох) х=0 точка перегиба, в этой точке производная равна 0! -9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 В8. На рисунке изображен график функции у = f(x) , определенной на интервале (-5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. y = f (x) y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1). f / (x) < 0 , значит, функция убывает. Найдем эти участки графика. 2). Найдем все целые точки на этих отрезках. Ответ: 5. Решение:

Слайд 13

3). Исключим точки, в которых производная равна 0 (в этих точках касательная параллельна оси Ох) В точке х=1 производная не существует. -9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 В8. На рисунке изображен график функции у = f(x) , определенной на интервале (-6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. y = f (x) y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1). f / (x) < 0 , значит, функция убывает. Найдем эти участки графика. 2). Найдем все целые точки на этих отрезках. Ответ: 8. Решение:

Слайд 14

В8. Непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [ a;b ] На рисунке изображен ее график. В ответе укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох. y = f(x) y x a b

Слайд 15

В8. Непрерывная функция у = f(x) задана на интервале (-6; 7). На рисунке изображен ее график. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6. y = f(x) y x - 6 -7 y = 6 . В этой точке производная НЕ существует!

Слайд 16

Х У 0 касательная α k – угловой коэффициент прямой ( касательной ) Геометрический смысл производной: если к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной, т.е. Поскольку , то верно равенство

Слайд 17

х у Если α < 90°, то k > 0. Если α > 90°, то k < 0. Если α = 0°, то k = 0. Касательная параллельна оси ОХ. 0

Слайд 18

На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной в точке х 0 . х х 0 у 1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, острый . Значит, значение производной в точке х 0 положительно . Решение: 2). Найдем тангенс этого угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Этот треугольник не подходит. Можно найти несколько удобных треугольников, например,…. 3). Найдем тангенс угла – это отношение 9:6. Ответ: 2 3 O 9 6

Слайд 19

На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной в точке х 0 . х х 0 у O 1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, тупой . Значит, значение производной в точке х 0 отрицательно . Решение: 2). Найдем тангенс смежного угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Этот треугольник не подходит. Можно найти несколько удобных треугольников. 3). Найдем тангенс угла – это отношение 3:4. Ответ: 4 3 – 3 4

Слайд 20

Новые задания В8

Слайд 21

Ответ: 0,5

Слайд 22

№ 1670 Прямая у= 6х+9 параллельна касательной графику функции у = Х 2 + 7х – 6 . Найдите абсциссу точки касания. Решение. 1) у / = (х 2 + 7х – 6) / = 2х+ 7 2) у / (х о ) = к = 6 3) 2х+ 7 = 6 2х+ 7 =6 2х= 6-7 2х =-1 Х= -0,5 Ответ: -0,5

Слайд 23

Самостоятельная работа Вариант 1 Вариант 2 № 1768 № 1877 № 1874 № 1939 № 1753 № 1671 № 1769 № 1878 № 1875 № 1940 № 1754 № 1672 2 2 0,5 1,5 -1 -0,5 6 9 2 1 -1,5 0,5 № заданий из сборника «Подготовка к ЕГЭ 3000 задач» Ященко, Семёнов

Слайд 24

Спасибо за урок! У нас всё получилось!!!