Материалы к программе 7-9 классы
учебно-методический материал по алгебре (7 класс) по теме

           Пояснительная записка

Статус документа

Рабочая программа по  математике  для 7-9 классов составлена на основе:

- примерной программы основного общего образования к федеральному компоненту государственного стандарта основного общего образования;

- программы по   алгебре для 7-9 классов автора  Ю.Н.. Макарычева

- программы по    геометрии для 7-9 классов автора   Л.С.Атанасяна.

Программы общеобразовательных учреждений алгебры и геометрии 7-9 классы.

 Составитель: Бурмистрова Т.А. - М.: Просвещение, 2009

Структура документа

Рабочая программа включает три раздела: пояснительную записку; основное содержание с примерным распределением учебных часов по разделам курса, содержание разделов и тем; требования к уровню подготовки обучающихся.

Общая характеристики учебного предмета

      Математическое образование в основной школе складывается из следующих содержательных компонентов (точные названия блоков): арифметика; алгебра; геометрия; элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики. В своей совокупности они отражают богатый опыт обучения математике в нашей

стране, учитывают современные тенденции отечественной и зарубежной школы и позволяют реализовать поставленные перед школьным образованием цели на информационно емком и практически значимом материале. Эти содержательные компоненты, развиваясь на протяжении всех лет обучения, естественным образом

переплетаются и взаимодействуют в учебных курсах.

      Арифметика призвана способствовать приобретению практических навыков, необходимых для повседневной жизни. Она служит базой для всего дальнейшего изучения математики, способствует логическому развитию и формированию умения пользоваться алгоритмами.

      Алгебра нацелена на формирование математического аппарата для решения задач из математики, смежных предметов, окружающей реальности. Язык алгебры подчеркивает значение математики как языка для построения математических моделей, процессов и явлений реального мира. Одной из основных задач изучения алгебры является развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для освоения курса информатики; овладение навыками дедуктивных рассуждений. Преобразование символических форм вносит свой специфический вклад в развитие воображения, способностей к математическому творчеству. Другой важной задачей изучения алгебры является получение школьниками конкретных знаний о функциях как важнейшей математической модели для описания и исследования разнообразных процессов (равномерных, равноускоренных, экспоненциальных, периодических и др.), для формирования у учащихся представлений о роли математики в развитии цивилизации и культуры.              

       Геометрия – один из важнейших компонентов математического образования, необходимая для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, для развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, для эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства.

      Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования функциональной грамотности – умений воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах.

      При изучении статистики и теории вероятностей обогащаются

представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления.

      Таким образом, в ходе освоения содержания курса учащиеся

получают возможность:

     развить представления о числе и роли вычислений в человеческой практике; сформировать практические навыки выполнения устных, письменных, инструментальных вычислений, развить вычислительную культуру;

      овладеть символическим языком алгебры, выработать формально-оперативные алгебраические умения и научиться применять

их к решению математических и нематематических задач;

     изучить свойства и графики элементарных функций, научиться использовать функционально-графические представления для описания и анализа реальных зависимостей;

     развить пространственные представления и изобразительные умения, освоить основные факты и методы планиметрии, познакомиться с простейшими пространственными телами и их свойствами;

      получить представления о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, об особенностях выводов и прогнозов, носящих вероятностный характер;

     развить логическое мышление и речь – умениия логически обосновывать суждения, проводить несложные систематизации, приводить примеры и контрпримеры, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

      сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.

      Цели

      Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей:

•    овладение системой математических знаний и умений, не     обходимых для        применения в практической деятельности,

     изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

 •     интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых        человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической

культуры, пространственных представлений, способности к      преодолению  трудностей;

•   формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

•   воспитание культуры личности, отношения к математике как к части  общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.

Место предмета в базисном учебном плане

Рабочая программа разработана на основе базисного учебного плана для общеобразовательных учреждений, реализующих программы общего образования, в соответствии с которым на изучение курса алгебры выделено в 7 классе  105 часов,

 в 8 классе105 часов, в 9 классе 105 часов ; на изучение курса  геометрии выделено

в 7 классе    70 часов, в 8 классе   70  часов, в 9 классе   70  часов.

Количество часов по  темам авторской программы изменено в связи со сложностью изучаемых тем, проведена корректировка содержания тем в соответствии с минимумом содержания федерального компонента государственного стандарта основного общего образования.

Результаты обучения

Результаты обучения полностью соответствуют результатам обучения, представленных в Требованиях к уровню подготовки выпускников в федеральном компоненте государственного стандарта основного общего образования.

                  Содержание обучения

Алгебра

                                               7 класс

1. Выражения, тождества, уравнения

Числовые выражения.  Выражения с переменными. Числовое значение буквенного выражения. Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения. Подстановка выражений вместо переменных.  Равенство буквенных выражений. Простейшие преобразования выражений. Тождество, доказательство тождеств. Уравнение, корень уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Решение текстовых задач методом составления уравнений. Статистические характеристики.

2. Функции

Понятие функции. Область определения функции. Вычисление значений функции по формуле. Способы задания функции. График функции. Чтение графиков функций. Функции, описывающие прямую пропорциональную зависимость, их графики. Линейная функция и ее график, геометрический смысл коэффициентов. Условие параллельности прямых.

3. Степень с натуральным показателем

Степень с натуральным показателем и ее свойства. Одночлен. Функции ,  и их графики.

4.Многочлены

Многочлены. Степень многочлена. Корень многочлена. Сложение, вычитание и умножение многочленов. Разложение многочленов на множители.

5. Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности, куб суммы и куб разности. Формула разности квадратов, формула суммы кубов и разности кубов. Применение формул сокращенного умножения в преобразованиях выражений.

6. Система линейных уравнений

Уравнение с двумя переменными. Примеры решения уравнений в целых числах. Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой. Система уравнений, решение системы. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными и его геометрическая интерпретация. Решение подстановкой и алгебраическим сложением. Решение текстовых задач методом составления систем уравнений. Переход от словесной формулировки соотношений между величинами к алгебраической. Графическая интерпретация неравенств с двумя переменными и их систем.

7. Повторение

8 класс

1. Рациональные дроби

Рациональная дробь. (Алгебраическая дробь) Основное свойство дроби, сокращение дробей. Действия с алгебраическими дробями.   Рациональные выражения и их преобразования. Функции, описывающие обратную пропорциональную зависимости, их графики. Функция  и ее график.  Подстановка выражений вместо переменных.  Гипербола. Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы: колебание, показательный рост. Числовые функции, описывающие эти процессы.

2. Квадратные корни

Общие сведения о действительных числах. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Сравнение десятичных чисел, арифметические действия над ними. Этапы развития представления о числе. Понятие об иррациональных числах. Иррациональность числа. Десятичные приближения иррациональных чисел. Квадратный корень из числа. Понятие о нахождении приближенного значения квадратного корня. Нахождение приближённого значения корня с помощью калькулятора. Функция , (график функции: корень квадратный) ее свойства и график.  Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Использование графиков функций для решения уравнений и систем.

3. Квадратные уравнения

Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Решение задач, приводящих к квадратным уравнениям и простейшим рациональным уравнениям. Теорема Виета. Решение рациональных уравнений.

4. Неравенства

 Числовые неравенства и их свойства. Почленное сложение и умножение числовых неравенств. Доказательство числовых  и алгебраических неравенств. Погрешность и точность приближения. Неравенство с одной переменной. Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч. Решение неравенства. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Переход от словесной формулировки соотношений между величинами к алгебраической.

5.Степень с целым показателем. Элементы статистики

Степень с целым показателем и ее свойства. Стандартный вид числа. Выделение множителя – степени десяти в записи числа. Начальные сведения об организации статистических исследований. Множество. Элементы множества. Подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера. Средние результатов измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий.

6. Повторение

9 класс

1. Свойства функций. Квадратичная функция

Функция. Графики функции: модуль. Свойства функций, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства. Многочлены с одной переменной. Квадратный трехчлен. Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Параллельный перенос графиков вдоль осей координат и симметрия относительно осей. Функция . Ее свойства и график. Парабола. Координаты вершины параболы, ось симметрии. Степенные функции с натуральным показателем, их графики. Понятие о корне -й степени из числа. Корень третьей степени. Графики функций: корень кубический. Нахождение приближенного значения корня с помощью калькулятора. Запись корней с помощью степени с дробным показателем.

2. Уравнения и неравенства с одной переменной

Целые уравнения. Дробные рациональные уравнения. Решение текстовых задач алгебраическим способом. Неравенства второй степени с одной переменной. Метод интервалов. Примеры решения дробно-линейных неравенств.

3. Уравнения и неравенства с двумя переменными

Уравнение с двумя переменными и его график. Решение уравнения с двумя переменными. Системы уравнений второй степени. Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и их систем. Уравнение окружности с центром в начале координат,  в любой заданной точке. Неравенства с двумя переменными и их системы. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Уравнения с несколькими переменными.  Примеры решений нелинейных систем.

4. Прогрессии

Понятие последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых нескольких членов арифметической и геометрической прогрессий. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сложные проценты.

5. Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Комбинаторное правило умножения. Перестановки, размещения, сочетания. Частота события, вероятность. Относительная частота и вероятность случайного события. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

6. Повторение.

Геометрия

7 класс

1. Начальные геометрические сведения.

Возникновение геометрии из практики. Геометрические фигуры. Равенство в геометрии. Точка, прямая и плоскость. Отрезок, луч. Ломаная. Угол. Прямой угол. Острые и тупые углы. Сравнение отрезков и углов. Биссектриса угла и ее свойства. Измерение отрезков, длина отрезка. Расстояние. Измерение углов, градусная мера угла. Смежные и вертикальные углы, их свойства.

Определения, доказательства, аксиомы и теоремы; следствия. Перпендикулярность прямых. Контрпример. Доказательство от противного. Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых.

2. Треугольники

Треугольник. Признаки равенства треугольников. Перпендикуляр к прямой. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный и равносторонний треугольники. Прямая и обратная теоремы. Свойства и признаки равнобедренного треугольника. Окружность: центр, радиус, диаметр. Дуга, хорда. Круг. Основные задачи на построение с помощью циркуля и линейки: деление отрезка пополам, построение треугольника по трем сторонам, построение перпендикуляра к прямой, построение биссектрисы.

3. Параллельные прямые

Параллельные и пересекающиеся прямые. Признаки параллельности прямых. Необходимые и достаточные условия. Понятие об аксиоматике и аксиоматическом построении геометрии. Пятый постулат Евклида и его история. Аксиома параллельных прямых. Свойства параллельных прямых.

4. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника. Прямоугольные, остроугольные и тупоугольные треугольники. Зависимость между величинами сторон и углов треугольника. Неравенство треугольника.  Прямоугольные треугольники, их свойства и признаки равенства. Расстояние от точки до прямой. Перпендикуляр и наклонная к прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Построение треугольника по трем элементам.

 8 класс

1. Четырехугольники

Многоугольники, выпуклые многоугольники, четырехугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника. Длина ломаной. Периметр многоугольника. Параллелограмм, его свойства и признаки. Трапеция. Равнобедренная трапеция. Теорема Фалеса. Прямоугольник, ромб, квадрат, их свойства и признаки. Осевая и центральная симметрии.

2. Площадь

Понятие о  площади плоских фигур. Равносоставленные и равновеликие фигуры. Площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции (основные формулы). Теорема Пифагора. Формула Герона. Площадь четырехугольника.

3. Подобные треугольники

Подобие треугольников, коэффициент подобия. Связь между площадями подобных фигур. Признаки подобия треугольников. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. Средняя линия треугольника. Подобие фигур. Деление отрезка на  равных частей. Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника. Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же угла. Решение прямоугольных треугольников.

4. Окружность

Взаимное расположение прямой и окружности. Секущая к окружности. Касательная к окружности, ее свойство и признак. Равенство касательных, проведенных из одной точки.  Центральные и вписанные углы. Величина вписанного угла.  Метрические соотношения в окружности: свойства секущих, касательных, хорд. Взаимное расположение двух окружностей. Понятие о геометрическом месте точек. Замечательные точки треугольника: точки пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку.  Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника. Окружность Эйлера. Формулы, выражающие площадь треугольника через периметр и радиус вписанной окружности Вписанные и описанные четырёхугольники.

5. Повторение. Решение задач

9 класс

1. Векторы. Метод координат

Понятие вектора. Длина (модуль) вектора. Равенство векторов. Операции над векторами. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора. Простейшие задачи в координатах. Уравнения окружности и прямой. Применение векторов и координат при решении задач.

2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов

Синус, косинус, тангенс и котангенс углов от 0 до 1800. Основное тригонометрическое тождество.  Приведение к острому углу. Формула, выражающая площадь треугольника через две стороны и угол между ними. Теоремы синусов и косинусов; примеры их применения для вычисления элементов треугольника.  Угол между векторами. Скалярное произведение векторов и его применение в геометрических задачах.

3. Длина окружности и площадь круга

Правильные многоугольники. Вписанные и описанные многоугольники. Окружности, описанная около правильного многоугольника и  вписанная в него. Построение правильных многоугольников. Длина окружности, число . Длина дуги. Величина угла. Градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности. Площадь круга и площадь сектора.

4. Движения

Отображение плоскости на себя. Понятие движения. Примеры движения фигур. Симметрия фигур. Осевая и центральная симметрии. Параллельный перенос. Понятие гомотетии. Поворот.  Наложения и движения.

5. Об аксиомах геометрии

Беседа об аксиомах геометрии

6. Начальные сведения из стереометрии

Предмет стереометрии. Геометрические тела и поверхности. Наглядные представления о пространственных телах. Многогранники: куб, призма, параллелепипед, пирамида. Тела и поверхности вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Примеры сечений. Примеры разверток. Объем тела.  Формулы объема прямоугольного параллелепипеда, куба, шара, цилиндра и конуса. Правильные многогранники.

7. Повторение. Решение задач