Решение комбинаторных задач.Основные понятия теории вероятности
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме

Теория вероятностей.

Тема: Классическое определение вероятности. Комбинаторные методы решения задач.

Цель:  выработать умение решать задачи на определение классической вероятности с использованием основных формул комбинаторики.

Ход урока.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.

Задача 1. В урне находятся 3 синих, 8 красных и 9 белых шаров одинакового размера и веса, неразличимых на ощупь. Шары тщательно перемешаны. Какова вероятность появления синего, красного и белого шаров при одном вынимании шара из урны? 

Решение. Так как появление любого шара можно считать равновозможным, то мы имеем всего n=3+8+9=20 элементарных событий. Если через А, В, С обозначить события, состоящие в появлении соответственно синего, красного и белого шаров, а через m1, m2, m3 -числа благоприятствующих этим событиям случаев, то ясно, что m1=3, m2=8, m3=9. Поэтому   P(A)=3/20=0,15; P(B)=8/20=0,40; P(C)=9/20=0,45.

Задача 2. Наташа купила лотерейный билет, который участвует в розыгрыше 100 призов на 50000 билетов, а Лена – билет, который участвует в розыгрыше трех призов на 70000. У кого больше шансов выиграть?

Задание 3. В настольной игре потеряли кубик. Как заменить его с помощью разноцветных фишек?

Ответ. Каждой стороне кубика определить цвет фишки.

3. Самостоятельная работа (проверочного характера).

1вариант

задача 1. Монету бросают трижды. Найдите вероятность того ,что первые два броска окончатся одинаково.

Задача 2. Валя выбирает случайно трёхзначное число. Найдите вероятность того ,что оно делится на 51

Задача 3.Двое играют в кости- они по разу бросают игральный кубик. Выигрывает тот, у кого больше очков. Если выпадает поровну то наступает ничья. Первый бросил кубик , и у него выпало 4 очка. Найдите вероятность того , что он выиграет

2вариант

Задача 1 При двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того , что в первый раз выпало меньше 3 очков .

Задача 2 В среднем на 150 карманных фонариков приходится 3 неисправны  .Найдите вероятность купить работающий фонарик

Задача 3 В каждой 5 банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно . Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того , что Галя не найдёт приз в своей банке .

IV. Решение задач

Задача 1. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала ее наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?

Решение. На последнем месте может стоять одна из 10 цифр: от 0 до 9. Значит,  

Задача 2. На четырех карточках написаны буквы О, Т, К, Р. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно эти карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «КРОТ»?

Решение. Исходы – все возможные перестановки из четырех элементов (О, Т, К, Р); общее число исходов:

Событие А = {после открытия карточек получится слово «КРОТ»}:

 (только один вариант расположения букв – «КРОТ»)

Задача 3. На четырех карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно три карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что в результате получилось: а) число 123;  б) число 312 или 321;  в) число, первая цифра которого 2?

Решение. Исходами опыта являются все возможные размещения четырех карточек на трех местах (порядок расположения важен). Общее число исходов:

Рассмотрим события и их вероятности:

а) Событие А={из трех карточек образовано число 123},  (единственный вариант);

б) Событие В={ из трех карточек образовано число 312 и 321},  (два варианта размещения карточек);

в)Событие С={из трех карточек образовано число, первая цифра которого 2}. Если первая цифра фиксирована, то на оставшихся двух местах можно разместить любую из оставшихся трех цифр (с учетом порядка), то есть

Задача 4. В ящике лежат 1 белый и три черных шара. Наугад вынимаются 2 шара. Какова вероятность того, что вынуты: 1) 2 черных шара; 2) белый и черный шар?

Решение. Исходы – все возможные пары шаров, выбираемые из четырех шаров  в ящике; порядок выбора шаров не учитывается. Общее число исходов

1) Событие А={вынуты два черных шара};

2) Событие В={вынуты белый и черный шары};   (выбор белого, затем – черного);

Задача 5. Cлучайным образом одновременно выбираются две буквы из 33 букв русского алфавита. Найдите вероятность того, что:

1) обе они согласные;

2) среди них есть «ъ»;

3) среди них нет «ъ»;

4) одна буква гласная, а другая согласная.

Решение. Исходы – все возможные пары букв русского алфавита без учета порядка их расположения; общее число возможных исходов

Рассмотрим события:

1) А={ обе выбранные буквы – согласные}. Поскольку в русском языке 21 согласная буква, 10 гласных и 2 буквы («ь», «ъ») не обозначающие звуков), то событию А благоприятствует  исходов.

2) В={среди выбранных букв есть «ъ»}. Выбор твердого знака , выбор второй буквы из оставшихся .

3) С={среди выбранных букв нет «ъ»}.

4) D={среди выбранных букв одна буква гласная, а другая согласная}.

V. Домашнее задание.

Задача 1. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, абонент забыл, в какой последовательности идут три последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые четыре цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр !, 5 и 9. Какова вероятность того, что абонент набрал правильный номер?

Решение. Исходы – перестановки из трех элементов (1, 5, 9); общее число исходов:

Событие А={абонент набрал верный номер};

Задача 2. На каждой карточке написана одна из букв О, П, Р, С, Т. Несколько карточек наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании:

а) 3-х карточек получится слово РОТ;

б) 4-х карточек получится слово СОРТ;

в) 5-ти карточек получится слово СПОРТ?

Решение. Исходами опыта будут расположения выбранных карточек в определенном порядке, то есть размещения .

Исходное множество содержит т=5 элементов.

Обозначим буквами А, В, С случайные события, указанные в условии задачи. Найдем их вероятности.

а) Выбираются 3 карточки, k=3, общее число исходов

б)

в)

Задача 3. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все три тетради окажутся в клетку?

Решение. Общее число возможных исходов

А={все три тетради в наборе – в клетку}.

 Дополнительные задачи.

Задача 1. Четыре билета на елку распределили по жребию между 15 мальчиками и 12 девочками. Какова векроятность того, что билеты достанутся 2 мальчикам и 2 девочкам?

Решение.

Задача 2. Случайно нажимают три клавиши из одной октавы. Найдите вероятность того, что:

1. звучат ноты «си» и «до»;
2. не звучит нота «фа»;
3. звучит нота «ля»;
4. получится до-мажорное звучание.

Решение. Исходами являются все наборы по 3 клавиши из 7 имеющихся в октаве; порядок расположения клавиш в наборе не учитывается. Общее количество исходов

1. А={ звучат ноты «си» и «до»}. К двум клавишам добавляют третью – любую из 5 оставшихся,
2. В={ не звучит нота «фа»}. Выбираем три клавиши из шести, исключая «фа»,
3. С={звучит нота «ля»}. Выбираем две клавиши из шести, исключая «ля»,
4. D={получилось до-мажорное звучание};  (должны быть нажаты три соседние клавиши в начале октавы, единственный вариант).