Задачи на проценты
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Задачи на проценты.

Подготовила учитель

                                                 ГБОУ СОШ №1933

                                           Гребенькова Г. В.

Так как для учащихся слабым звеном являются задачи на проценты, в частности задачи на концентрации, смеси, сплавы и сложные проценты, то данная работа посвящается разбору задач данного типа. Предлагаемый материал предназначен для подготовки к экзамену по алгебре и началам анализа выпускников 11 классов общеобразовательных учреждений, а также может быть использован для выпускников 9 классов.

Структура работы.

1. Теоретические сведения.
2. Решение типовых заданий.
3. Примеры заданий с ответами.

Используемая литература.

1. Райхмист Р.Б. Задачник по математике для учащихся средней школы и поступающих в вузы. – М.: Московский лицей, 2004.
2. Максюков Н.И., Никищкин В.А. Математика. – Часть I: Числа, алгебраические преобразования, прогрессии. – М.: МЭСИ, 2003.
3. Максюков Н.И., Никищкин В.А. Математика. – Часть II: Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства. Системы уравнений. - М.: МЭСИ, 2003.
4. Максюков Н.И., Никищкин В.А. Математика. – Часть III: Задачи на составление урарнений. Тригонометрия.
5. Кочагин В.В., Кочагина М.Н. ЕГЭ 2009. Математика. Репетитор. -  М.: Эксмо, 2009.
6. Кочагин В.В., Кочагина М.Н. ЕГЭ 2009. Математика: сборник заданий. - М.: Эксмо, 2008.
7. Корешкова Т.А., Шевелева Н.В., Мирошин В.В. ГИА 2010. Алгебра: тренировочные задания: 9 класс.  -  М.: Эксмо, 2009.
8. Кузнецова Л.В., Суворова С.Б., Бунемович Е.А. и др. ГИА 2009. Алгебра: тематические и тренировочные задания: 9 класс. – М.: Эксмо, 2009.
9. Минаева С.С., Колесникова Т.В. Математика. 9 класс .Государственная итоговая аттестация (в новой форме). Типовые тестовые задания. – М. : Издательство «Экзамен», 2009.
10.  Денищева Л.О. и др. Единый государственный экзамен 2008. Математика. Учебно–тренировочные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект – Центр, 2007.
11.  Семёнов П.В. Математика 2008. Выпуск 4. Текстовые и геометрические задачи. Задачи с развёрнутым ответом. – М.: МЦНМО, 2008.
12.  Егерев В.К. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы (с решениями). В двух книгах. Книга 1. Алгебра/ Под ред. М.И. Сканави. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и образование», 2003.
13.  Шестаков с. А., Гущин Д.Д. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В12. Рабочая тетрадь/ Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2010.
14.  Ященко И.В., Семёнов А.В., Захаров П.И. Подготовка к экзамену по математике ГИА 9 (новая форма) в 2010 году. Методические указания. – М.: МЦНМО, 2009.
15.  Виленкин Н.Я. и др. Математика: Учебник для 6 кл. общеобразовательных учреждений. В 2ч. Ч. 1 – М.: Мнемозина, 2006.

Задачи на проценты.

Теоретические сведения.

Определение. Процентом числа называют его одну сотую часть.

Так как 1% равен сотой части величины, то вся величина равна 100%. Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо её умножить на 100. Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100. Если величину а увеличить на 5%, то  получим 1,05а. Если а уменьшить на  5%, то получим 0,95а.

Примеры.

1% от числа 300 – это число 3.

5% - пять сотых числа.

5% от числа 200 – это число 10.

Решение задач на проценты сводится к основным трём действиям с процентами:

- нахождению процентов от числа

Пример. Найти 12% от числа 30.

Решение. 0,12 ·30=3,6.

Ответ: 3,6.

- нахождению числа по его процентам

Пример. Найти число , 80% которого равны 2400.

Решение.   80% - 2400             80      30                  _  2400 ·100       х=3000.

                  100% - х.               100       х                               80

Ответ:  3000.

Замечание. При составлении краткой записи важно соблюдать правило: проценты пишем под процентами, дома под домами, книги под книгами и так далее.

Другой способ решения.      2400 : 0,8=3000.

Однако более слабым учащимся рекомендуется решать первым способом.

- нахождение процентного отношения чисел

Пример. Сколько процентов составляет 120  от600.

Решение. 120 

                 600

 Ответ: 20%.

Решение типовых заданий.

Задачи на проценты и доли.

Задача 1. Произведение двух положительных чисел равно 4000. Одно из них на 60% меньше другого. Найти большее число.

Решение. Пусть х – большее число, тогда 0,4х – меньшее. Составим уравнение:     х · 0,4х = 4000;

                       0,4х2 = 4000;

                       х2 = 10000;

                       х = ±100.

Но по условию числа положительные, значит 100 – большее число.

Ответ: 100.

Задача 2.  Магазин в первый день продал 40% имеющихся овощей. За второй день он продал 80% овощей, проданных в первый день. В третий день – оставшиеся 28 кг. Сколько килограммов овощей было в магазине первоначально?

Решение. Обозначим за  х (кг) – вес имевшихся в магазине овощей. Тогда в первый день магазин продал 0,4х (кг), а за второй день – 0,8·(0,4х) кг. Зная, что в третий день было продано 28 кг овощей, составим уравнение:

0,4х + 0,8·(0,4х) + 28 = х;

0,28х = 28;

х = 100.

Ответ: 100.

Задача 3. Цена изделия составляла 1000 рублей и была снижена сначала на 10%, а затем ещё на 20%. Какова окончательная цена товара?

Решение. Первое снижение цены товара было на 0,1 · 1000 = 100 (руб.)

После первого снижения цена товара составила 1000 – 100 = 900 (руб.)

Второе снижение цены товара было на 0,2 · 900 = 180 (руб.)

После второго снижения цена товара составила 900 – 180 = 720 (руб.)

Ответ: 720.

Задача 4. Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили ещё на10% и, наконец, после перерасчёта произвели повышение цены ещё на12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?

Решение. Обозначим первоначальную цену товара за х, тогда после первого повышения цена товара стала – 1,25х. Второе повышение цены было на 0,1·1,25х. После этого цена товара стала  1,25х + 0,1·1,25х = 1,375х. Третье повышение цены на 12% производилось от цены, полученной после второго повышения, и составило 0,12 · 1,375х = 0,165х. После последнего повышения цена товара составила 1,375х + 0,165х = 1,54х.

Таким образом, цена была повышена на 1,54х – х = 0,54х, что составляет 54% от первоначальной цены.

Ответ: 54.

Задача 5.  Гипотенуза С = 3√ 5 м. Определить катеты, если известно, что после того, как один из них увеличить на 133⅓%, а другой на 16⅔%, сумма их длин будет 14 м.                                                   

Решение. Пусть длины катетов х и у. Тогда по теореме Пифагора

х2 + у2 = (3√5)2

Длина первого катета после увеличения равна  х + (133⅓ :100)х =2⅓ х 

А длина второго катета  у + (16⅔ : 100)·у =7/6 · у.

Из условия следует  7/3 · х + 7/6 · у = 14.

Ответ: 3 и 6.

Задача 6. При выполнении работы по математике 12% учеников её не решили, 32% решили с ошибками, а остальные 14 учеников решили верно. Сколько учеников в классе?

Решение. 1) 100 – (12 + 32) = 56% - это 14 человек.

         14 чел. – 56%

                       х чел. – 100%

                       х = (14 · 100) : 56 = 25 – число учеников в классе.

Ответ: 25.

Задача 7. На заводе 35% всех рабочих женщины, а остальные мужчины, которых на 252 человека больше, чем женщин. Определить общее число рабочих.

Решение. 1) 100 – 35 = 65% мужчин.

                  2) 65 – 35 = 30%  разница.

                  3)  30% - 252 чел.

                       100% - х чел.

                       Х = 252 : 0,03 = 840.

Ответ: 840.

Задача 9. При продаже товара на 1386 рублей получено 10% прибыли. Определить себестоимость товара.

Решение. Из условия следует, что продажная цена составляет 110% себестоимости. Значит себестоимость равна  1386 : 1,1 = 1260 руб.

Ответ: 1260.

Задача 10. Производственная артель, продав продукции на 3348 руб., понесла убытки 4%. Какова стоимость этой продукции?

Решение.  100 – 4 = 96% продано.

                   96% - 3348 руб.

                   100% - х руб.

                   х = 3348 : 0,96 =3487,5.

Ответ: 3487,5.

Задача 11. Полученный при сушке винограда изюм составляет 32% веса винограда. Из какого количества винограда получится 2 кг изюма?

Решение.   2 кг – 32%

                   х кг – 100%

                   х = 2 : 0,32 = 6,25.

Ответ: 6,25.

Задача 12. От рельса отрезали часть, составляющую 72% его длины. Вес оставшегося куска – 45,2 кг. Определить вес отрезанной части.

Решение. 1) 100 – 72 = 28% - оставшийся кусок.

                      45,2 кг – 28%

                        х кг – 72%

                       х  = (72 · 45,2) : 28 = 116,2.

Ответ: 116,2.

Задача 13. Два завода А и В взялись выполнять заказ в 12 дней. Через 2дня завод А был закрыт на ремонт и в дальнейшем над заказом работал только завод В. Зная , что производительность завода В составляет 66⅔ %  от производительности завода А, определить через сколько дней будет выполнен заказ.

Решение. Пусть производительность завода А– х. Тогда  производительность завода В = 2/3 Х.   (66⅔ % : 100% = 200/3 : 100 =⅔).

Производительность обоих заводов равна  х + 2/3 х =5/3 х.    

По условию 5х/3=1/12;  х = 1/20.

Тогда производительность завода В равна  ⅔  ·  1/20 = 1/30 .

До остановки завода А была выполнена   2 · 1/12 = 1/6 часть всего заказа.

На выполнение оставшейся 5/6 заказа заводу В надо  5/6 : 1/30= 25 (дней).

Всего потребуется   2 + 25 = 27 дней.

Ответ: 27.

Задача 14. Если на 225 кг руды получается 34,2 кг меди, то каково процентное содержание меди в руде?

Решение.    225 кг – 100%

                     34,5 кг – х%

                     х = (34,5 · 100) : 225 = 15,2%

Ответ: 15,2.

Задача 15. Коробка папирос стоила до снижения цен 29 коп., а после снижения цен 26 коп. На сколько процентов снижена цена?

Решение.  29 – 26 = 3(коп)-снижение цены.

                    29 коп – 100%

                    3 коп – х %

                  х = (3· 100) : 29 ≈ 10%

Ответ: 10.

Задача 16. Цена 60 экземпляров первого тома и 75 экземпляров второго тома составляет 405 руб. Однако при 15% скидке на первый том и 10% скидке на второй приходится платить 355 руб. 50 коп. Определить цену I и II томов.

Решение.  Пусть х – цена одного экземпляра I тома, а y – II-го.

Из условия следует, что  60х + 75у =405.

При скидке 15%, цена первого тома составляет 0,85х. При скидке 10%, цена второго тома составляет 0,9у. Следовательно, 60 · 0,85х + 75 · 0,9у = 355,5.

Решая систему уравнений, получим х = 3 руб.,  у = 3 руб.

Ответ: 3; 3.

Задача. В трёх ящиках 64,2 кг сахара. Во втором ящике находится 4/5 того, что есть в первом, в третьем – 42,5% того, что есть во втором. Сколько сахара в каждом?

Решение 17.  Переведём проценты в десятичную дробь 42,5% : 100% = 0,425. Пусть х кг в I-м ящике, тогда во  II-м – 4х/5 = 0,8х (кг),

 а в III-ем – 0,8х · 0,425 = 0,34 (кг). Так как в 3-х ящиках 64,5 кг, то составим уравнение:

                               х + 0,8х + 0,34х = 64,2;

                               х =30.

2) 0,8 · 30 = 24 (кг) – во II-м ящике;

3) 24 · 0,475 = 10,2 (кг) – в III-ем ящике.

Ответ: 30; 24; 10,2.

Задача 18.  Трое рабочих получили вместе 4080 руб. Суммы, полученные I-м и II-м, относятся как 7½ : 1¾. Сумма, полученная III-м, составляет 43⅓ % того, что получил первый. Сколько получил каждый?

Решение. Пусть х – зарплата I-го, а  у – зарплата II-го. Тогда  у = 7х/30 (следует из условия). Переведём в проценты  70х/3 %. Следовательно общий заработок равен    100 + 70х/3 + 130/3 = 500/3 % (от заработка I-го)

х руб. – 100%

4080 руб. – 500/3 %

х =2448.

2) 2448 · 7 : 30 = 571,2 (руб.) – зарплата II-го.

3) 4080 – (2448 + 571,2) = 1060,8 (руб.) – зарплата III-го.

Ответ: 2448; 571,2; 1060,8.

Задача 19. В феврале цена на нефть увеличилась на 12% по сравнению с январём, а в марте цена упала на 25%. На сколько процентов изменилась мартовская цена по сравнению с январём?

Решение. 

                   Январь       х – 100%

                   Февраль     ? – 112%           ? = 1,12х 

                  Февраль      1,12х – 100%

                   Март                ?   -  75%          ? = 0,75 · 1,12х = 0,84х

                  Январь       х – 100%

                  Март   0,84х  - ?%                      ? = 84% - в марте

 Следовательно, изменение цены составило    100 – 84 = 16%

Ответ: 16.

Задача 20. Цена акций после 2-х скачков возросла на 110%, причём  первый раз цена подскочила на 40%. На сколько процентов изменилась цена во второй раз?

Решение. 

                   Было      х руб. – 100%

                   Измен.   ? руб. – 210%                ? = 2,1х – после 2-х скачков

После I-го раза        х руб. – 100%

                                  ? руб. – 140%                 ? = 1,4х

После II-го раза       1,4х – 100%

                                   2,1х - ? %                        ? = (2,1х ·100) : 1,4х = 150%

150 – 100 = 50% - возросла цена.

Ответ: 50.

Задача 21. Найти сумму положительных чисел х и у, если известно, что число (х + 6) на 20% больше числа у, а число (у + 5) на 25% больше х.

Решение.   х, у >0               у – 100%

                                     (х + 6) – 120%

По основному свойству пропорции         120у = 100х + 600;

                                                                     6у – 5х = 30   (I)

С другой стороны               х – 100%

                                     (у + 5) – 125%          125х = 100у + 500;

                                                                        5х – 4у = 20   (II)

Получим систему:       6у – 5х = 30,  (I)

                                   + 5х – 4у = 20   (II)

                                      2у =50;

                                       у = 25.

Подставим в первое уравнение:     6 · 25 – 5х = 30;

                                                            5х = 120;

                                                              х = 24.

Х + у = 24+25 = 49.

Ответ: 49.

Задача 22. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшалось на одно и то же количество процентов. Определить на сколько процентов уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу по цене 8000 рублей, он через два года был продан за 6480 рублей.

Решение. Пусть х%. – ежегодное уменьшение цены.

                  I-й год         8000 руб. – 100%

                                        у руб. – (100 – х)%

                                         у = 80·(100 – х)

                 II- год            80·(100 – х) руб. – 100%

                                           6480 руб.  –  (100 – х)%                                          

                                         6480·100 = 80·(100 – х)2

                                         (100 – х)2  = 8100;

                                          100 – х = ± 90;

                                          х = 10 или х = 190 – не может быть, так как цена не

                                                                            может уменьшаться на 190%.

Значит, ежегодно цена уменьшалась на 10%.

Ответ: 10.

Задача 23. На  сколько процентов уменьшится объём кругового конуса, если уменьшить его высоту на 20%?

Решение. Vконуса = 1/3 ·

 π· R2 ·H, где R – радиус основания, h – высота.

Исходная высота   Н – 100%, тогда новая высота h = 0,8Н.

Исходный объём    V = 1/3 ·

 π· R2 ·H  -  100%

Конечный объём    V = 1/3 ·

 π· R2 ·0,8H  -  х%

Откуда  х = 80%.

Таким образом, объём изменился на 20%.

Предостережение. Неверно за 100% принимать конечный объём.

Ответ: 20.

Задача 24. Разделить число 900 на две части так, чтобы 60% первой части были равны 30% второй части. В ответе записать меньшую часть.

Решение. В качестве неизвестных удобно взять искомые части числа х и у.

Из условия следует:

 х + у = 900,                 х + у = 900,              3х =900,                х =300,

0,6х = 0,3у;              у = 2х;                    у = 2х;             у =600.

Ответ: 300.

Задача 25. В зрительном зале имеется 500 стульев, расположенных рядами по одинаковому числу стульев в каждом ряду. Если в каждом ряду добавить по 5 стульев, а число рядов уменьшить на 2, то общее число мест в зрительном зале увеличится на 8% от прежнего количества стульев. Сколько стульев было в каждом ряду?

Решение. Пусть х – число рядов, а у – количество стульев в ряду.

После увеличения количество стульев будет равно   1,08 · 500 = 540.

Из условия следует      

                                       ху = 500,                            у = 500/х,  (I)

                                       (х – 2)(у + 5) = 540;              500 – (1000/х) + 5х –10 =540

(II)  5х2 – 50х – 1000 = 0;

       х2 – 10х – 200 = 0;

       х1 = 20; х2 = -10 – не подходит, так как х >0.

Подставим в уравнение (I), получим:  у = 500 : 20 = 25.

Ответ: 25.

Задача 26. Семья состоит из мужа, жены  и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, то общий доход увеличился бы на величину, равную зарплате мужа. Следовательно, зарплата мужа составляет 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, то общий доход уменьшилась бы на величину, равную 2/3 стипендии дочери.

Таким образом,     2/3 – 4%. Значит стипендии дочери от общего дохода составляет 6% ( 4 : 2 ·3 = 6 ). Следовательно, зарплата жены составляет:

                                                  100 – (67 + 6) = 27%.

Ответ: 27.

Задача 27.  Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Решение.  Пусть Р – стоимость рубашки, К – стоимость куртки. Из условия следует, что   4Р = 0,92К;  Р = 0,23К.

Тогда  5Р = 1,15К. Значит 5 рубашек дороже куртки на 15%.

Ответ: 15.

Задача 28. Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внёс 14% уставного капитала, Антон – 42000 рублей, Гоша – 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть уставного капитала внёс Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесённому в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли в 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

Решение. 1) 0,14 · 200000 = 28000 (руб.) – внёс Митя.

     2) 0,12 · 200000 = 24000 (руб.) – внёс Гоша.

     3) 200000 – (28000 + 42000 + 24000) =106000 (руб.) – внёс Борис.

Пусть х руб. – часть прибыли, которая причитается Борису. Из условия следует    х : 106000 = 1000000 : 200000;

                                х = 106000 · 5;

                                х = 530 000.

Ответ: 530 000.

Задача 29. В понедельник акции компании  подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение. Пусть а рублей – первоначальная стоимость акций. В понедельник они подорожали на  к%, в результате чего стали стоить  а(1 + к/100) рублей. Составим пропорцию:                а руб. – 100%

                                             а(1 + к/100) – х%

                                            х = 100(1 + к/100).

Во вторник акции подешевели на к% и стали стоить

                         а(1 + к/100) (1 – к/100) = а(1 –(к/100)2)руб.,

что составило 96% от цены акций, которая была в понедельник. Получим:

 В понедельник          а(1 +к/100)руб. – 100(1 + к/100)%

 Во вторник                    а(1 –(к/100)2)руб. – 96%

                                           1 –(к/100)2 = 0,96;

                                           (к/100)2 = 0,04;

                                            к/100 = ±0,2;

                                           к=20 или к = -20 – посторонний корень.

Ответ: 20.

Задача 30. Салон модной одежды выставил на продажу новую коллекцию, сделав наценку 80% от закупочной цены. После продажи 0,75 коллекции салон распродал оставшуюся часть со скидкой 60% от продажной цены. Сколько процентов от закупочной цены составила прибыль?

Решение.   Пусть А – закупочная цена.  

                    Цена           Количество           Стоимость      

     I             1,8А                 0,75               +        1,8А ·0,75 = 1,35А

     II          (3,6/5)А             0,25                   (3,6/5)А ·0,25 = 0,18А

                                                                                                 1,53А

Таким образом, получим  1,53А – А =0,53А, то есть прибыль составила 53%.

Ответ: 53.

Задача 31. Антикварный магазин купил портсигар и статуэтку и продал их, получив 40% прибыли. Во сколько раз портсигар обошёлся дороже статуэтки, если на портсигаре было получено 35% прибыли, а на статуэтке – 60%.

Решение.   х – 135%                              у – 160%                    ( х + у) – 140%

                   ? – 100%                              ? – 100%                         ?руб. – 100%

                   ?=100х/135=20х/27             ?=100у/160=5у/8          ? = (5/7)(х+у)

Получили   7х/27 + 3у/8 = (2/7)(х+у);

                     27у = 8х;

                     у = 8х/27.

Таким образом, 20х/27 : 5у/8 =20х/27 ·(8/5у) = (32х ·27)27·8х) = 4(раза).

Ответ: 4.

Предостережение.  Последовательное увеличение величины на некоторое число процентов, а затем уменьшение результата на то же число процентов не приводит к начальной величине, так как второе действие мы совершаем уже с другой величиной. Об обратной последовательности действий можно сказать то же самое.

Задача 32. Товар m дороже товара n на 60%. На сколько процентов n дешевле m?

Решение. m = 1,6n = 8/5 · n. Значит n = 5/8· m = 0,625m.

                  1 – 0,625 = 0,375; 0,375 · 100% = 37,5%

Значит n дешевле m на 37,5%.

Ответ: 37,5.

Задача 33. На сколько процентов нужно увеличить число 80, чтобы получить 100?

Решение.      80 – 100%

                     100 – х%               х =10000/80 =25%

Ответ: 25.

Задача 34. На сколько процентов 80 меньше, чем 100?

Решение.       100 – 100%

                          80 – х%            х = 8000/100 = 80%

                        100 – 80 = 20%

Ответ: 20.

Сложные проценты.

Пусть некоторая величина А изменяется поэтапно. При этом каждый раз её изменение составляет определённое число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.

Пусть в конце каждого этапа величина изменяется на одно и то же постоянное количество процентов – р%, где А0 – исходное значение. Тогда имеем:

             А1 = А0 + рА0/100 = А0( 1 + р/1000) – в конце I-го этапа;      (1)

             А2  = А1 + рА1/100 = А0( 1 + р/1000)2 – в конце II-го этапа.    (2)

Множитель 1 + р/А показывает во сколько раз А увеличилась за один этап. Ясно, что

                                        Аn = А0(1 + р/100)n.            (3)

Формула (3) применяется при решении многих задач на проценты.

Пример. Сберкасса выплачивает 3% годовых. Через сколько лет внесённая сумма удвоится?

Решение.    А0( 1 + р/1000)  – начальный вклад, через n лет он составит 2А0. Отсюда:       А0(1 + 3/100)n = 2А0 ;   1,03n = 2;   n = log1,032 ≈ 23.

Ответ: 23.

Формулу (3) можно обобщить на случай , когда прирост величины А на каждом этапе свой.

Пусть А в конце первого этапа изменяется на р1%, в конце второго – на р2% и т. д. Тогда

                         Аn = А0(1 + р1/100)(1 + р2/100)…(1 + рk/100).

Средний процент прироста – это процент, который за n этапов делал бы такое же изменение величины А, которое она получает в действительности при неравных поэтапных процентах изменения.

Средний процент прироста (q%) определяется формулой:

           А0(1 + р1/100)…(1 + рn/100) = А0(1 + q/100)n.

Пример. Выработка продукции за год работы возросла на 4%. На следующий год она увеличилась на 8%. Определите средний ежегодный прирост продукции за этот период.

Решение. Если q% - средний ежегодный прирост, то:

                    (1 + 0,04)(1 + 0,08) = (1 + q/100)2,

                      q = √104 · 108  - 100.

Задача 35. Сберегательный банк в конце года начисляет 3% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 1000 рублей через 2 года?

Решение. Рассмотрим два этапа – на первом начисляется процент на сумму, находившуюся на счету первый год, а на втором этапе производится вычисление процентов на сумму, получившуюся после первого этапа, то есть на сумму с уже начисленными процентами после первого года.

1000 рублей – первоначальная сумма вклада. Начисленные проценты после первого года составят 0,03 · 1000. По оканчании первого года на счету окажется 1000 + 0,03·1000 = 1030. По оканчании второго года проценты составят 0,03 · 1030 = 30,9. Таким образом, после двух лет сумма вклада составит 1030 + 30,9 = 1060,9. Первоначальный вклад был увеличен на 60,9 рублей.

Ответ: 60,9.

Задача 36. Найти первоначальную сумму вклада (в рублях), если после истечения двух лет она выросла на 304,5 рубля при 3% годовых.

Решение. Пусть х – первоначальная сумма вклада. Тогда через год сумма вклада составляла х + 0,03х = 1,03х. За второй год проценты составили 0,03·(1,03х). Через два года сумма вклада станет равной  1,03х + 0,03·(1,03х) =

= 1,03х( 1 + 0,03) = 1,03х ·1,03. Составим уравнение:    1,03х ·1,03 = х + 304,5;

0,0609 · х = 304,5;

х = 5000.

Ответ: 5000.

Задача 37. Два приятеля положили в банк по 10000 рублей каждый, причём первый положил деньги на вклад с ежеквартальным начислением 10%, а второй с ежегодным начислением 45%. Через год приятели получили деньги вместе с причитающимися им процентами. Кто получил большую прибыль?

Решение. I квартал – 3 месяца, значит в 1-м году 4 квартала.

1. 10000( 1 + 0,1)4 = 10000 · 1,4641 = 14641 (руб.) – получит I-й.
2. 10000( 1 + 0,45) = 14500 (руб.) – получит II-й.

Ответ: первый.

Задача 38. Клиент взял в банке кредит в размере 50000 рублей на 5 лет под 20% годовых. Какую сумму клиент должен банку в конце срока?

Решение.   5 000( 1 + 0,2)5 = 124 416 (руб.)

Ответ: 124416.

Задачи на концентрацию, смеси, сплавы.

В таких задачах часто встречаются понятия процентного содержания или концентрации. Например, если в задаче идёт речь о девятипроцентном растворе уксуса, то можно понять, что в этом растворе 9% чистого уксуса, а остальные 91% приходится на воду, с которой смешивался чистый уксус. Также можно сказать, что 0,09 частей составляет в этом растворе чистый уксус, а 0,91 часть приходится на воду. Понятно, что объём всего раствора, принимается за 100% (или за 1).

В задачах этого типа обычно присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составлять уравнение:

- концентрация (доля чистого вещества в смеси);

- количество чистого вещества в смеси (или сплаве);

- масса смеси (сплава).

Соотношение между этими величинами следующее:

Масса смеси × концентрация = количество чистого вещества.

Ключевой идеей при решении задач является идея отслеживания изменений, происходящих с чистым веществом.

Если смешать а литров п – процентного водного раствора некоторого с b – литрами т – процентного раствора этого же вещества. Требуется найти концентрацию (к)  получившейся смеси. Можно доказать:

К = (ап+ bт)∕(а+ b)%

Задача 39. Сколько литров воды надо добавить к 20 литрам пятипроцентного

раствора соли, чтобы получить 4-хпроцентный раствор?

Решение.  I способ.

                          20л – 100%

                              х – 5%                х = 20 · 0,05 = 1 (ед.) соли.

Количество соли не меняется. Доливается только вода.

Пусть у л воды добавили. Имеем:

                                                          (20 + у) – 100%

                                                                     1 – 4%

                                                           20 + у = 25;

                                                                    у = 5. 

                II способ.     (20∙5+ b∙0) ∕(20+b)=4;  4∙∕(20+b)=100;  (20+b)=25;  b=5.

Ответ: 5.

Задача 40.  В 30 кг пятипроцентного раствора соли добавили воды, при этом получили 1,5-процентный раствор соли. Сколько кг воды добавили?

Решение.  I способ.

                    30кг – 100%

                      х кг – 5%                          х = 30 · 0,05 = 1,5 (кг) соли.

Пусть у кг воды добавили. Имеем:

                                                            (30 + у) – 100%

                                                                    1,5 – 1,5%          у = 70.

                 II способ.  (30∙5+ b∙0) ∕(30+b)=1,5;  (30+b)∙1,5=150;  30+b=100; b=70.    

Ответ: 70.

Задача 41. Смешали 30-процентный раствор соляной кислоты с 10-процентным раствором, при этом получили 600г 15-типроцентного раствора. Сколько граммов каждого вещества было первоначально?

Решение.  I способ. Пусть первоначально было  х г первого раствора и  у г второго. Из условия следует:     х + у = 600     (1)

х г – 100%                у г – 100%                   600 г – 100%

? г – 30%                   ? г – 10%                        ? г – 15%

? = 0,3х                       ? = 0,1у                       ? = 600 · 0,15 = 90 (г) соляной

                                                                                                             кислоты.

Таким образом, получим уравнение

                                                                  0,3х + 0,1у = 90    (2)

Рассмотрим и решим систему уравнений:

   х + у = 600,                      – 3х + у = 900,                 х = 150,

   0,3х + 0,1у =90   <=>         х + у = 600   <=>         у = 450.

                                               2х = 300;

                                                 х = 150.

II способ.     а+ b=600,                           а=600-b,                                 а=150,       

                    (30а+10b) ∕ 600=15 <=>      30(600-b)+10b=9000  <=>    b=450.

Ответ: 150, 450.

Задача 42. Смешали 10% и 25% растворы соли и получили 3 кг 20% -ного раствора. Какое количество каждого раствора было использовано?

Решение. I способ. Пусть первоначально каждого раствора было х и у соответственно.

Из условия следует:        х + у = 3         (1)

х – 100%            у – 100%                     3 кг – 100%

? – 10%              ? – 25%                       ? кг – 20%

? = 0,1х              ? = 0,25у                      ? = 3 · 0,2 = 0,6 (кг) соли.

Получим 0,1х + 0,25у = 0,6 (2)

  0,1х + 0,25у = 0,6,                 —10х + 25у = 60,                х = 1,

   х + у = 3;                <=>           10х + 10у = 30;     <=>    у = 2.

                                                              15у =30;

                                                                  у = 2.

II способ.     а+ b=3,                            а=3-b,                            а=1,                        

                     (10а+25b) ∕ 3 =20  <=>   10(3-b)+25b=60  <=>    b=2.

Ответ: 1; 2.

Задача 43. Имеется 2 раствора. Первый массой 3кг, содержит 40% сахара, второй содержит 20% сахара. Сколько кг второго раствора надо добавить к первому, чтобы получить новый раствор, содержащий 32% сахара?

Решение.   I способ. 3 кг – 100%

                                   ? кг – 40%          

                                   1) 40 · 3 : 100 = 1,2 (кг) сахара в I-м растворе.

                                    х кг – 100%

                                    ? кг – 20%          2) 0,2х (кг) сахара во II-м растворе.

                  (3 + х) кг – 100%

          (1,2 + 0,2х) кг – 32%

          32(3 + х) = 100(1,2 + 0,2х)

           96 + 32х = 120 + 20х;   12х = 24;   х = 2.

II способ.    (3∙40+20b) ∕ (3+ b) =32;      120+20b=96+32b;       b=2.          

Ответ: 2.

Задача 44. Имеется два куска сплава олова и свинца. Первый, массой 2 кг, содержит 60% олова, а второй содержит 40% олова. Сколько кг второго сплава надо добавить к первому, чтобы получить сплав, содержащий 45% олова?

Решение.  I способ.

I-й кусок                    2 кг – 100%

                                    ? кг – 60%             1) 2 · 0,6 =1,2 (кг) олова.

II-й кусок                   х кг – 100%

                                    ? кг – 40%             2) 0,4х (кг) олова.

Сплав                        (2 + х) кг – 100%

                               (1,2 + 0,4)кг – 45%

                               45(2 + х) = 100(1,2 + 0,4х);

                                90 + 45х =120 + 40х;

                                          5х = 30;

                                            х = 6.

II способ.  (2∙60+40b) ∕ (2+b)=45;  120+40b=90+45b;  5b=30;  b=6.

Ответ: 6.

Задача 45. Смешали 200 г  16-типроцентного сахарного сиропа и 600 г 64-типроцентного сиропа. Какова концентрация в полученном растворе?

Решение. I способ.

                   I-й сироп.    200г – 100%

                                           ? г – 16%               1) 200 · 0,16 = 32 (г) сахара.

                II-й сироп.      600г – 100%

                                           ? г – 64%              2) 600 · 0,64 = 384 (г) сахара.

                Смесь.   (200 + 600)г – 100%

                                (32 + 384)г – х %

                                      800х = 41600;

                                           х = 52.

Таким образом, получится 52% раствор сахара.

II способ.  (200∙16+600∙64) ∕ 800=К;  (3200+38400) ∕ 800=52.

Ответ: 52.

Задача 46. К 200 г 15типроцентного раствора соли добавили 300 г 40%-го раствора соли. Какова концентрация полученного раствора?

Решение.

I-й раствор.          200 г – 100%

                                   ? г – 15%             1) 200 · 0,15 = 30 (г) соли.

II-й раствор.         300 г – 100%

                                   ? г – 40%              2) 300 · 0,4 = 120 (г) соли.

Смесь.                 (200 + 300) г – 100%

                               (30 + 120) г – х %  

                                      500х = 15000;

                                            х = 30.          Итак, получится 30% раствор соли.

II способ.  К = (200∙15+300∙40) ∕ 500= 15000:500=30(%).

Ответ: 30%.

Задача 47. Кусок сплава весом 700г, содержащий 80% олова, сплавили с куском олова весом в 300г. Определить процент содержания олова в полученном сплаве.

Решение. 

I-й кусок.          700г – 100%

                               ?г – 80%                    1) 700 · 0,8 = 560 (г) олова.

Сплав.               (700 + 300)г – 100%

                           (300 + 560)г - х %  

                            х = 86.

В полученном сплаве 86% олова.

II способ.  К=(700∙80+300∙100):1000=(56000+30000):1000=86(%).

Ответ: 86%.

Задача 48. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг, содержит 45% меди. Какую массу меди надо добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 60% меди?

Решение.    I-й кусок.

Медь.          36кг – 100%

                       ?кг – 45%               1) 36 · 0,45 = 16,2 (кг)

Пусть меди надо добавить  х кг, тогда

                   (36 + х) кг – 100%

                   (х + 16,2)кг – 60%

                  60(36 + х) = 100(х + 16,2)

                    6(36 + х) = 10(х + 16,2)

                    216 + 6х = 10х + 162

                             4х = 54

                               х = 13,5.

Таким образом, надо добавить 13,5 кг меди.

II способ.  (36∙45+100b):(36+b)=60;  1620+100b=2160+60b;  40b=540;  b=13,5.

Ответ: 13,5 кг.

Задача 49. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение. Свежие грибы.

                                          1)100 – 90 = 10% -сух. вещ-ва.

                                             22 кг – 100%

                                               ? кг – 10%        

                                 2) 22 · 0,1 = 2,2 (кг) сухого вещ-ва.

               Сухие грибы.

                                            3) 100 – 12 = 88%- сух. вещ-ва.

                                                2,2 кг – 88%

                                                   ? кг – 100%

3. 2,2 · 100 : 88 = 220 : 88 = 2,5(кг) сухих грибов.

II способ. Пусть получится х кг сухих грибов. Отслеживаем массу сухого вещества в грибах. Тогда

                 0,1∙22=0,88∙х;  х=220:88;  х=2,5.   

Ответ: 2,5.

Задача 50. Виноград содержит 80% влаги, а изюм 5%. Сколько кг винограда требуется для получения 5 кг изюма?

Решение.  Свежий виноград.

1. 100 – 80 = 20% - сухого вещества.

 Пусть  х кг винограда потребуется.

                                                               х кг – 100%

                                                               ? кг – 20%

                                                                0,2х (кг) – сухого вещества.

                   Изюм.    Количество сухого вещества остаётся неизменным.

2. 100 – 5 = 95% - сухого вещества.

0,2х (кг) – 95%

       5 кг – 100%

       20х = 475

         х = 23,75.

II способ.  Отслеживаем массу сухого вещества в винограде. Тогда

0,2х=0,95∙5;  х = 23,75.

Ответ: 23,75.

Задача 51. Морская вода содержит 5% солей. Сколько кг пресной воды нужно прибавить к 40 кг воды, чтобы содержание солей в последней было 2%?

Решение.    40 кг – 100%

                       х кг – 5%

                     х = 2 кг

Чтобы 2 кг составляли 2% общего веса, необходимо:

                     у кг – 100%

                     2 кг – 2 %

                     у = 200 : 2 = 100.

3) 100 – 40 = 60 ( кг)

II способ. (40∙5+х∙0):(40+х)=2;  80+2х=200;  2х=120;  х=60.

Ответ: 60.                   

Задача 52.  Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40%меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава.

Решение.  I-й сплав.       Х кг – 100%            II-й сплав.      (х + 3)кг – 100%

                                           ? кг – 10%                                              ?кг – 40%

                                            0,1х (кг) меди                              0,4(х + 3)кг меди      

                  II-й сплав.      (2х + 3)кг – 100%

                                                   ? кг – 30%

                                           0,3(2х + 3)кг меди

Таким образом, составим уравнение:

                                                                  0,1х + 0,4х + 1,2 = 0,6х + 0,9;

                                                                                         0,1х = 0,3;

                                                                                              х = 3.

2) 2 · 3 + 3 = 9(кг) масса третьего сплава.

II способ. (10х+40(х+3)):(х+х+3)=30;  50х+120=60х+90;  10х=30;  х=3; 3кг –

                                                                                                       масса I-го сплава.

                2) 3+ (3+3)=9(кг) – масса полученного сплава.          

Ответ: 9.

Задача 53. Смешав 30-типроцентный и 60-процентный растворы кислоты и, добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-типроцентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько кг 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение.        I-й случай.

       I-й раствор               II-й раствор                                        Смесь

       х кг – 100%      +      у кг – 100%      +    10 кг воды   +    (х + у + 10) – 100%

       ? кг – 30%                ? кг – 60%                                                        ? кг – 36%

      0,3х(кг) кислоты       0,6у(кг) кислоты                                 0,36(х + у +10)кг

Получим уравнение:  

                                       0,3х + 0,6у = 0,36(х + у + 10)

                       II-й случай.

 I-й раствор                II-й раствор             III-й раствор                Смесь

                                                                     10 кг – 100%        (х + у + 10) – 100%

                                                                       ? кг – 50%                        ? кг – 41%

 0,3х(кг) кислоты     0,6у(кг) кислоты      5 кг кислоты           0,41(х + у + 10)кг

Составим уравнение:

                                      0,3х + 0,6у + 5 = 0,41(х + у + 10)

Рассмотрим и решим систему уравнений:

0,3х + 0,6у + 5 = 0,41(х + у + 10),                  —0,3х + 0,6у + 5 = 0,41х+0,41у +4,1,

0,3х + 0,6у = 0,36(х + у + 10);          <=>         0,3х + 0,6у = 0,36х + 0,36у +3,6;  

                                                                                          5 = 0,05х + 0,05у +0,5;

                                                                                          0,05(х + у) = 4,5;

                                                                                                  х + у =90;

                                                                                                  х = 90 – у.   (1)

Подставим во второе уравнение системы, преобразовав его:

              30х + 60у = 36х +36у +360;

              –6х + 24у = 360;

                  х – 4у = – 60;

                90 – у – 4у = – 60;

                          5у = 150;

                            у = 30.

Подставим в уравнение (1), получим:    х = 60.

Значит, использовали 60 кг 30-процентного раствора смеси.

II способ.     (30х+60у):(х+у +10)=36,                      _30х+60у+500=41(х+у+10),

                     (30х+60у+50∙10):(х+у+10)=36;  <=>     30х+60у=36(х+у+10);

                                                                                       500=5(х+у+10)

                                                                                       х = 90 - у

                     х=60,

                     у=30.

Ответ: 60.

Задача 54. Имеются два сосуда. Первый содержит 30кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько кг кислоты содержится в первом сосуде?

Решение. 

1. 30 + 20 = 50 (кг) I-й смеси.

I-й случай.

    I-й сосуд                II-й сосуд                Смесь

  30 кг – 100%            20 кг – 100%           (30 + 20)кг – 100%

   х кг  – ? %                                                           ? кг – 68%

                                                                      ? = 68 · 50 : 100 = 34 (кг) кислоты.

Значит, если в I-м сосуде х кг кислоты, то во II-м – (34 – х) кг.

Получим:

                       I-й сосуд                                II-й сосуд       

                    30 кг – 100%                             20 кг – 100%

                      х кг  – ? %                             (34 – х)кг - ?%

                    ? = 10х/3 % кислоты              ? = 100(34 – х) : 20 = 5(34 – х)

                 II-й случай.

Смешиваем равные массы растворов.

      I-й сосуд                 II-й сосуд                   Смесь

   у кг – 100%              у кг – 100%                 2у – 100%

   ? кг – 10х/3 %          ? кг – 5(34 – х)%         ? кг – 70%

    ? = ху/30 кг              ? = у(34 – х)/20           ? = 7у/5 кг

Составим уравнение:

ху/30 + у(34 – х)/20 = 7у/5;

2х + 102 – 3х = 84;

х =102 – 84;

х = 18.

Итак, в первом сосуде содержится 18 кг кислот                

Ответ: 18.

Задача 55. Имелось два раствора, из которых первый содержал 800 г безводной серной кислоты, а второй – 600 г безводной серной кислоты. Затем их соединили вместе и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Определите вес первого и второго раствора, вошедших в смесь, если известно, что процент содержания безводной серной кислоты в первом растворе на 10 больше, чем процент содержания безводной серной кислоты во втором.

Решение. Пусть I-й раствор весит х кг, тогда II-й – (10 – х) кг.

                  I-й раствор            II-й раствор

                 х кг – 100%         (10 – х)кг – 100%

                   0,8 кг - ?%               0,6 кг - ? %

                   ? = 80/х %            ? = 60/(10 – х) %

Из условия следует:

                                   80/х – 60/(10 – х) = 10;

                                   х = 20 или х = 4.

Если  х = 20, то 10 – х = – 10 – не может быть.

Если  х = 4, то 10 – х = 6.

Ответ: 4; 6.

Задача 56. Имелось два разных сплава меди. Процент содержания меди в первом сплаве был на 40 меньше, чем во втором. Затем их сплавили вместе и получили сплав, содержащий 36% меди. Определите процентное содержание меди в первом и во втором сплавах, если известно, что меди в первом сплаве было 6 кг, а во втором – 12 кг.

Решение. Пусть в I-ом сплаве было х % меди, тогда во II-ом – (х + 40)%.

        I-й сплав.             II-й сплав                    Результат

      ? кг – 100%          ? кг – 100%                   ? кг – 100%

      6 кг –  х%            12 кг – (х + 40)%          (6 + 12) кг – 36%

       ? = 600/х кг       ? = 1200/(х + 40) кг         ? = 50 кг

Составим уравнение:    600/х + 1200/(х + 40) = 50;

                                        х = 20 или х = – 24 – посторонний корень (х > 0)

2) 20 + 40 = 60% во втором сплаве.

Ответ: 20; 60.

Когда логика задачи достаточно сложна, можно использовать метод таблиц. Использование этого метода позволяет легко получить систему уравнений.

Задача 57. Имелось два разных сплава меди. Процент содержания меди в первом сплаве был на 40 меньше, чем во втором. Затем их сплавили вместе и получили сплав, содержащий 36 % меди. Определите процентное содержание меди в первом и во втором сплавах, если известно, что меди в первом сплаве было 6 кг, а во втором 12кг.

Решение.

Система уравнений:      18 · 100/ (х + у) = 36,                           х + у = 50,

                                         12 · 100/ у = 40 + 6 · 100/ х;  <=>       30х – ху – 15у =0;

х = 50 – у,      (1)

1500 – 30у – 50у + у2 – 15у = 0    (2)

(2)    у2 – 95у + 1500 = 0;

         у = 75 или у = 20.

Если  у = 75, то х = – 25 – не может быть (х > 0)

Если  у = 20, то х = 30.

Тогда в I-ом сплаве  600 : 30 = 20% меди, а во II-ом  1200 : 20 = 60% меди.

Ответ:  20; 60.

Задача 58.  Вычислите вес и процентное содержание серебра в сплаве с медью, зная, что сплавив его с 3 кг чистого серебра, в результате получат сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90% серебра, получат сплав с 84% содержанием серебра.

Решение.

Получим систему уравнений:          100(у + 3) = 90(х + 3),            

                                                            100(у + 1,8) = 84(х + 2);         <=>

  10(у + 3) = 9(х +3),                       9х – 10у = 3,                 х = (3 + 10у)/9,   (1)

  25(у + 1,8) = 21(х + 2);    <=>      21х – 25у = 3;   <=>     7(3 + 10у)/3 – 25у = 3  

         (2)    7(3 + 10у) – 75у = 9,

                  5у = 12,

                    у = 2,4.    2,4 кг – вес серебра в I-ом сплаве.

Подставим в уравнение (1):   х = (3 + 24)/9 = 3;  3 кг – масса I-го сплава.

Процентное содержание серебра:  240 : 3 = 80%.

Ответ: 2,4 кг; 80%.

Задача 59. В сосуде было 10 л соляной кислоты. Часть соляной кислоты отлили, а сосуд дополнили таким же количеством воды. Сколько литров отливали каждый раз, если в результате в сосуде оказался 64% раствор соляной кислоты?

Решение. Первый раз отлили х л соляной кислоты. После I-го раза отливания и добавления воды в смеси стало (10 – х) л соляной кислоты и х л воды. Значит, в каждом литре содержится (10 –х)/10 л кислоты.

В сосуде снова 10 л смеси. После отливания х л смеси в сосуде останется

(10 – х) л смеси, причём в каждом литре содержится (10 – х)/10 л кислоты. Значит, всего останется  (10 – х) · (10 – х)/10  л кислоты, то есть (10 –  х)2/10 л.

Снова сосуд дополнили до 10 л. Получим:              10 л – 100%

                                                                             (10 – х)2/10 л - ?%

                                                                                ? = (10 – х)2 %

По условию задачи оно составило 64%. Тогда:  (10 – х)2  = 64;  х = 2.

Ответ: 2.

Примеры заданий с ответами.

Задача 60. На хрустальную люстру подняли цену на 45%, а затем ещё на 20%. На сколько процентов увеличилась цена люстры после двух повышений?    

Ответ: 74.

Задача 61. Цену на телефонный аппарат повышали дважды. После второго повышения аппарат стал стоить в 6 раз дороже, чем в начале. На сколько процентов повысили цену во второй раз, если в первый раз цена была повышена на 50%?

Ответ: 300.

Задача 62. На ковёр повысили цену на 10%, а затем ещё на 15%. На сколько процентов больше стал стоить ковёр в результате обоих повышений цены?

Ответ: 26,5.

Задача 63. Цену на словарь повышали дважды. После второго повышения словарь стал стоить в 2 раза дороже, чем в начале. На сколько процентов повысили цену в первый раз, если во второй раз цена была повышена на 25%?

Ответ: 60.

Задача 64. Цену на калькулятор сначала повысили на25%, а потом ещё на 65%. Во сколько раз увеличилась цена на калькулятор?

Ответ: 2,0625.

Задача 65. На автомобиль сначала подняли цену на 150%.Какой процент от теперешней цены автомобиля составляет его первоначальная цена?

Ответ: 20.

Задача 66. На столовый сервиз сначала повысили цену на 25%, а затем ещё на 20%. Во сколько раз в итоге увеличилась цена на сервиз?

Ответ: 1,5.

Задача 67. На телевизор цена была повышена на 100%, а затем ещё на 20%. На сколько процентов в итоге повысили цену?

Ответ: 140.

Задача 68. На мебельный гарнитур повышали цену дважды. На сколько процентов повысили цену на гарнитур во второй раз, если каждый раз повышали цену на одинаковое число процентов, а после второго повышения гарнитур стоил в 1,44 раза больше, чем до первого повышения?

Ответ:20.

Задача 69. Цветной телевизор два месяца назад стоил на 20% дешевле, чем месяц назад, когда он стоил на 10% дешевле, чем сейчас. На сколько процентов дешевле стоил телевизор два месяца назад, чем сейчас?

Ответ: 28.

Задача 70. Сколько граммов воды надо добавить к 100 г 30%-ной соляной кислоты, чтобы получить 10%-ю кислоту?

Ответ: 200.

Задача 71. Сколько кг воды надо выпарить из 100 кг массы, содержащей 90% воды, чтобы получить массу, содержащую 80% воды?     Ответ: 50.

Задача 72. Известно, что 5% первого числа и 4% второго составляют в сумме44, а 4% первого числа и 5% второго составляют в сумме 46. Найдите эти числа.

Ответ: 400; 600.

Задача 73. Известно, что 30% числа А на 10 больше, чем 20% числа В, а 30% числа В на 35 больше, чем 20% числа А. Найдите числа А и В.

Ответ: 200; 250.

Задача 74. Сумма двух чисел равна 2490. Найти эти числа, если 8,5% одного из них равны 6,5% другого

Ответ: 1079; 1411.

Задача 75.   Токарь и его ученик должны были изготовить за смену 65 деталей. Благодаря тому, что токарь перевыполнил план на10%, а ученик на20%, они изготовили74 детали. Сколько деталей по плану должны были изготовить за смену токарь и сколько его  ученик?

Ответ: 40; 25.

Задача 76. Если А даст 40% своих денег, а В – 45% имеющихся у него денег, то общая сумма составит 215000 рублей. Если же А даст 45% имеющихся у него денег, а В – 40% своих денег, то общая сумма составит 210000 рублей. Сколько тысяч рублей у А и В по отдельности?

Ответ: 200000; 300000.

Задача 77. Морская вода содержит 45% соли. Сколько кг пресной воды нужно добавить к 30кг морской воды, чтобы концентрация составляла 1,5%?

Ответ: 70.

Задача 78. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с с 10%-ным и получили 600 г  15%-ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Ответ: 150; 450.

Задача 79. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 60% меди?

Ответ: 13,5.

Задача 80. Два сплава золота и меди содержат, содержащих золота 95% и 80%, соответственно, сплавляют с двумя кг чистого золота. Получают новый сплав 25 кг, содержащий 90,6% золота. Вычислить вес первого сплава.

Ответ: 15.

Задача 81. Если из 225 кг руды получается 34,2 кг меди, то каково процентное содержание меди в руде?

Ответ: 15,2.

Задача 82. Сплав весит 2 кг и состоит из серебра и меди, причём вес серебра составляет 142/7% веса меди. Сколько кг серебра в этом сплаве?

Ответ: 0,25.

Задача 83. За пять одинаковых тетрадей и блокнот заплачено 2 рубля. Сколько копеек стоит одна тетрадь, если стоимость тетради составляет 20% от стоимости блокнота?       Ответ: 20.

Задача 84. Получаемый при сушке винограда изюм составляет 32% всего веса винограда. Из скольких кг винограда получится 2 кг изюма?

Ответ: 6,25.

Задача 85. Сплав меди с цинком весом 5 кг и с 10% содержанием цинка сплавили с 5 кг чистой меди. Определить процентное содержание цинка в полученном сплаве.

Ответ: 5.

Задача 86. В два литра 10%-го раствора уксусной кислоты добавили 8 л чистой воды. Определить процентное содержание уксусной кислоты в полученном растворе.

Ответ: 2.

Задача 87. Сколько г чистого спирта надо прибавить к 735 г 16%-го раствора йода в спирте, чтобы получить 10%-й раствор?

Ответ: 441.

Задача 88. Сколько л воды нужно выпарить из 20 литров раствора, содержащего 80% воды, чтобы получить раствор с содержанием 75% воды?

Ответ: 4.

Задача 89. Производительная артель, продав продукции на 3348 рублей, понесла 4% убытку. Какова себестоимость этой продукции?

Ответ: 3487,5.

Задача 90.  на сколько процентов уменьшится объём цилиндра, если радиус его основания уменьшить на 20%?

Ответ: 36.

Задача 91. На сколько процентов уменьшится объём параллелепипеда, если все его стороны уменьшить на 90%?

Ответ: 99,9.

Задача 92. В банк положен вклад из расчёта 3% годовых.  Какой доход (в %) принесёт вклад через 4 года?

Ответ:12,55.

Задача 93. Население некоторой страны увеличивается ежегодно на 5%. На сколько процентов увеличивается население за 5 лет?

Ответ: 27,6.

Задача 94. Количество бактерий в колбе увеличивается каждый час на 4%. Сколько % бактерий должна содержать порция, взятая из колбы через 3 ч, чтобы в колбе осталось первоначальное число бактерий?

Ответ: 12,486.

Задача 95. Пятилетний план развития отрасли рассчитан на ежегодный прирост производительности труда на 5%. На сколько процентов повысится производительности труда в отрасли за первые три года пятилетки %

Ответ: 15,763.

Задача 96. Прирост продукции на заводе по сравнению с предыдущим годом составлял 5%, а за второй год по сравнению с первым – 3%. Каким оказался процент прироста продукции за все три года, если процент  прироста продукции за третий год по сравнению со вторым был равен 25?

Ответ: 10,313.

· 100 = 20%