подготовка к ЕГЭ
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Опубликовано 17.03.2013 - 16:03 - Карпенко Алла Петровна

алгебраический и геометрический материал для подготовки  к  егэ,часть B

Скачать:

ВложениеРазмер
Microsoft Office document icon вычисления и упрощения304.5 КБ
Microsoft Office document icon логарифмы и тригонометрия253 КБ
Microsoft Office document icon решение текстовых задач110.5 КБ
Файл геометрия в части В594.31 КБ

Предварительный просмотр:

Преобразования А

А1.  Вычислите:

1.               2.  0,36 +32;       3.  ;        4.  ;          5. ;                          6.  ;       7.  ;    8.  ;     9.  ;  10.  .

А2.  Вычислите:

  1.  ;                     2.                              3.  ;                      4.  ;                    5.  ;               6.  ;                             7.  ;                                 8.  .                                                                                          

 

А3.  Представьте выражение в виде степени:

1.  ;              2.  ;               3.  ;            4.  .        

А4.  Упростите выражение:

1.  ;      2.  ;      3.;       4.  ;     5.  ;            6.  .

А5.  Упростите выражение:

1.  ;                  2.  ;                3.    ;               4.  .     

А6.  Найдите  значение х, если:            1. ;                  2.  .

А7.  Вычислите:

1.  ;        2.  log250-2log25;       3.  ;           4.  ;        5.  .

А8.   Вычислите:

1.  ;                  2.  ;                          3.  log1553+log1534+log155635;                       4.  ;                                                                 5.  .

A9.  Упростите выражение:

1.log4x+2log16x-log2x;                        2.  log5+log5;               3.  log575+log5(25)-1;                       4.  ;        5.      6. .      

А10.  Упростите выражение:

1.  ;                                          2.  ;                     3.  log7()-2log73-5;      4.  ;                                               5.  (log372-log318)log43+2.

А11.  Запишите число в виде логарифма с основанием а:

1.  2;  ;  1;  0  при а = 4;                            2.  3;  -1;   -3;   1   при а = 3;

3.  3;  ;  0;   -1  при а = 2;                         4.  1;  -2;  0;  3  при а = 5.

12.  Упростите выражение:

1.        2.        3.  

4.            5.  sin                   6. 

А13.  Упростите:

1.                                                   2.  

3.                                             4.  

5.                                                           6.    

А14.  Упростите выражение:

1.                      2.  cos                        3 . 2cos                           4.                  5.  sin15                       6.           7.   .

А15.  Вычислите значения обратных тригонометрических функций:

1.                     2.  arcsin                      3  arccos                    4.  arcctg              5.  arccos1;  6.  arcsin2;                      7.  arctg(-1);                           8.  arccos .

А16.  Вычислите:

1.  arcctg1;                    2.arccos(-3);                           3.   arcsin;                 4.  arcctg;           5.  arcsin;                           6.  arctg;               7.  arccos0.

А17.  Найдите значение выражения:

1.  sin          2.               3.                         4.  ctg 

5.  arcsin(sin);            6.            7.                      8.  

А18.  Найдите:

1.                   2.  

3.  ;              4.   

А19.  Вычислите:

1.  ;              2.  ;                              3.  ;  4. ;                                          5.  ;          6..

А20.  Упростите:

1.  7cos2x – 5 + 7sin2x;                                  2.  cosx + tgx sinx;                                     3.  ;                          4.  1-sinx ctgx cosx;                                      5.  1+ctgsinx cosx ;                   6.  1-.

А21.  Упростите выражение:

1.  ;             2.  ;                              3.  ;        4.  ;          5.;                                                                                                                      6.  .

А22.  Упростите:

1.  ;            2.  ;               3.  ;

4.  ;                    5.  ;

6.  .              

А23.  Найдите значение выражения:

1.  sin, если  ;                                       2.                                            3.  ;             4.  ;            5.  .

А24.  Вычислите:

1.  ;                  2.  ;                            3. ;  4.  .

А25.  Найдите ,  если:

1.    ;                    2.  ;                        3.  ;  4.  ;                              5.  .

А26.  Найдите:  

1.  ;                     2.  ;

3.  ;                 4.    ;

5.  .



Предварительный просмотр:

Преобразования В

В1.  Выполните действия:  

1.  ;            2.  ;                    3.  ;                                   4.  ;                           5.  ;

6.  ;            7.  ;           8.  .

В2.  Найдите значение выражения:

1.  ;          2.  ;         3.   ;                                                                     4.  ;                       5.  ;               6.  ;  

7.  ;                           8.  .                  

B3.   1. Известно, что .  Найдите  .                          

В4.   Вычислите ,  если  log2b=3.

B5.   1. Найдите значение выражения lga + lgb , если lg(0,01ab) = 2,5.      

В6.Найдите  ,  если  loga29=24.

B7.  Известно, что log74 = m,  log75 = n.  Выразите через  m и n  log780.

B8.  Найдите х, если:

1.log2x = log49;          2.  log3x = ;            3.  ;          4.  lgx = lg6+lg2;         5.lgx = lg25-lg5;     6.    ;          7.  ;      8.  .

B9.  Вычислите loga х, если  loga b = 3,  loga c = - 2  и  :

1.  ;          2.    ;        3.  ;            4.  ;            5.  .

B10.  Прологарифмируйте по основанию 10, где a>0,  b>0.

1.  100;                                 2.  ;                              3.  ;                                4.  ;                   5.  ;                              6.  ;                               7.  ;                                 8.  .

B11. Упростите  выражение:

1.  ;        2.  ;        3.  ;         4.  ;                             5.  ;                                6.  ;

7.  ;                    8.  .

B12.  Найдите х по данному его логарифму (a>0,  b>0):

1. = + 7log3b;                         2.  log5x = 2log5a-3log5b;                 3.  ;             4.  ;                 5.  .

B13.  Замените все логарифмы логарифмами по основанию 2:    

1.  ;     2.   ;    3.  ;       4.  ;      5.  log 3 a;     6.  ;      7.  ;      8.  .

B14.  Найдите значение выражения:

1.  ,  если а= 81, b=16;                                2.  , если  х=3;  

3. ,  если  а=81,b=16;                                 4.  ,  если  p = 49;

5.  ,  если  x=81,  y=16;                               6.  ,  если  x=16, y=25.

В15.  Известно, что .  Вычислите:

1.   +;              2.  ;                      3.  ;                          4.  ;      5.   ;  6.  .

В16.  Найдите значение выражения:

1.  ;                   2.  ;                  3.  .

В17.  Упростите:

1.  ;                                            2.  ;

3.                                            4.  ;

 5.  ;                        6.  .

В18.  Упростите выражение:

1.      2.  

3.               4.  

5.                                                    6.  

В19.  Найдите значение выражения:

1.  ,  если  ;                             2.  ,  если  ;                                                                        3.   ,  если  ;                        4.    если  tg = 3.

В20.  Вычислите:

1.  ;                                 2.  sin(200arcsin(-0,5));                                   3.  ;   4.  ;     5.   ;                     6.   ;

7.                          8.  

В21.  Найдите значение выражения:

                         

1.                2.                     3.  

4.                                5.                                                     6.  



Предварительный просмотр:

Старинный способ решения задач на сплавы и смеси.

  Один из типов задач на составление уравнений и систем уравнений – задачи на сплавы и смеси, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание», «проба», «влажность».

2 правила:

1. Однородная масса. 2. 1 л – масса3. 1л – единица объема.

Концентрация вещества – это отношение количества этого вещества к общему количеству смеси.

Процентное содержание вещества – это концентрация, выраженное в процентах. ( 30 г. содержит из 100 г.)

Проба  - это число частей металла в 1000 – ах частях сплава. (Серебро 990 пробы – это 990 частей металла из 1000 частей сплава.)

Золото – 5 пробы

Серебро – 6 пробы

Платина – 1 пробы ( 950 )

Палладий – 2 пробы

Задача.

Пусть сплавляются 2 куска металла с массами х и у процентным содержанием некоторых веществ в которых  p % и q %, а сплав, который получается, содержит r %  этого вещества. Тогда отношение масс первого и второго куска равно отношению разности процентного содержания сплава и второго куска; и процентного содержания первого куска и сплава, т.е.

х / у = (r – q) / ( р –r).

х                                     р                                         r – q

                   r

у                                     q                                         р – r

Пусть   q < r.

Докажем.

Пусть р > q, тогда q < r < р.

х/100 * р – масса вещества в 1 куске;

у/100 * q – масса вещества во 2 куске;

х/100 * р + у/100 * q – масса вещества в 1 и во 2 кусках вместе.

( х + у ) / 100 * r  - масса вещества в сплаве;

х/100 * р + у/100 * q =  ( х + у ) / 100 * r  

х * р + у * q = х * r + у * r;

х * р - х * r = у * r - у * q;

х*(р – r ) = у * ( r – q );

х/у = ( r – q ) | ( р – r ).                        Ч. т. д.

Как известно, при составлении уравнения обычно прослеживают содержание какого-нибудь одного вещества из тех, которые сплавляются (смешиваются и т. д. ).

Задача 1.

 При смешивании 5 % -ного раствора кислоты с 40 % -ным раствором кислоты получили 140 г. 30 % раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

Решение

Проследим за содержанием кислоты в растворах. Возьмем для смешивания х г. 5 % -ного раствора кислоты (или 0,05 х г.) и у г. 40 % -ного раствора (или 0,4 у г.).

Так как в 140 г. нового раствора кислоты стало содержаться 30 %, т.е. 0,3*140 г., то получаем следующее уравнение:

0,05 х + 0,4 у = 0,3*140.

Кроме того, х + у  = 140.

Таким образом, приходим к следующей системе уравнений:

         

            5 х + 40 у = 0,3*140  

         х + у = 140

Из этой системы находим х = 40, у = 100. По смыслу задачи 0 < х < 140 , 0 < у< 140.

Найденные значения х и у этим условиям удовлетворяют. Итак, 5%-ного раствора  кислоты следует взять 40г., а 40%-ного раствора—100г.

     Старинный способ решения задачи 1.

Друг под другом пишутся содержание кислот имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине – содержание кислоты в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа черточками, получим такую схему:

                        5

         

 30

                    40        

Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей черточки. Получается такая схема:                           

                        5                       10

                                 

  30              

                     

                         40                      25

 

   Из нее делается заключение, что 5%-ного раствора  следует взять 10 частей, а40%-ного 25 частей, т.е. для получения 140г. 30%-ного раствора нужно взять 5%-ного раствора 40г., а 40%-ного −100г.

    Отметим, что старинный способ решения задач на смешивание (сплавление) двух веществ  всегда позволяет получить правильный ответ.

     Действительно, предположим, что смешиваются х г. а % - ного раствора кислоты (или 0,01 а* х   г.) и у г. в % - ного раствора кислоты (или 0,01 в*у   г.). При этом необходимо получить с % -ный раствор. Пусть, для определенности,  а < с < в.

Ясно, что если с > в или с < а, то задача неразрешима. Так как в полученных (х+у) г. смеси кислоты стало содержаться с %, т.е. 0,01 с(х+у) г., то получаем следующее уравнение:

0,01 а х + 0,01 в у = 0,01 с(х+у).

Отсюда    х / у = (в-с) / (с-а).

Но именно это отношение и дает старинный способ:

                         а                           в-с      

с                  

                         в                           с-а

         

Задача 2.

Смешали 30 % -ный раствор соляной кислоты с 10 % – ым и получили 600 г. 15 % - ого раствора. Сколько граммов каждого было взято.

                               30 %                            5                     5 /15 = 1 / 3

                                                                                         

15 %                                                                                   1 часть  --- 30 %      

600 г.                                                                                  3 части  --- 10 %

                               10 %                           15

  1. 1 + 3 = 4 (части) – всего
  2. 600 : 4 = 150 (г.) – составляет 1 часть.
  3. 150 * 3 = 450 (г.) составляет 3 части.

Ответ: Взяли 150 г . – 30 % - ного раствора

                        450 г. – 10 % - ного раствора.

Задача 3.

Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить

к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%.

        В пресной воде 0% соли.

3 части – морской воды – это 30 кг

7 части – пресной воды

1) 30: 3=10 (кг) – 1 часть.- морская вода.

2) 10*7=70(кг) – 7 частей. – пресная вода.

        Ответ : 70 кг. Пресной воды.

Задача 5.

Собрали 100 кг грибов, влажность которых составляло 99%.Когда грибы подсушили ,их влажность снизилось до 98%.Какова стала их масса.

        1 – ый способ.

        Грибы = вода + грибная масса.

        99% - 99 кг воды

                1 кг грибной массы

        

        98% - 98% воды

                2% грибной массы.

1 кг – 2%

0,5 кг – 1%

50 кг – 100%

                Ответ:  50 кг.

Проследим содержанием воды.

100 %

                           99%                            2                    

                                                                                         

98%                                                                                        

                                                                                 

                               100 %                           1

100 кг приходится на 2 части.

        1) 100:2=50(кг) – 1 ччасть воды

        2) 100 – 50=50(кг)- грибов осталось.

Проследим содержанием грибной массы.

100 кг

                          1%                            2                    

                                                                                         

      2                                                                                

                                                                                 

                               0 %                           1

100 кг приходится на 2части.

        1) 100 : 2=50 (кг) составляет 1 часть грибной массы.

                Ответ: 50 кг грибов осталось.

Задача 6.

Имеются два раствора 68% и 78% серной кислоты. Сколько надо взять каждого раствора серной кислоты, чтобы получить 100г 70% раствора

                          68%                            8                    

                                                                                         

70%                                                                                        

 100 кг                                                                                

                               78 %                           2

  1. 100 : 10=10(кг) – 1 часть
  2. 10* 8= 80(кг) – 1 раствор 68% кислоты
  3. 10 * 2=20(кг) – 2 раствор 78% кислоты

Ответ: 80 кг, 20 кг.

Задача 7.

Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы сплав содержал 30% меди.

        Проследим содержанием меди.

15

                          40%                            30                    

                                                                                         

30%                                                                                        

                                                                                 

                               0 %                              10

15: 3 = 5(кг) – 1 часть (меди).

        Ответ: 5 кг

Задача 8.

Имеется лом содержанием никеля 5,% и 40%. Сколько надо взять металла каждого сорта, чтобы получить 140 кг 30% содержанием никеля.

        

                          5%                            10                  

                                                                                        10/25 = 2/5  

30%                                                                                        

 140г                                                                                

                               40 %                              25

1)140 : 7 = 20(г) – 1 часть

2)20 * 2 = 40(г) – 5% никеля.

3)20 * 5 =100(г) – 40% никеля

        Ответ: 40 г, 100г.

Задача 9.

Нектар содержит 70% воды, а полученный из него мёд 17%. Сколько кг нектара приходится перерабатывать пчелам, чтобы получить 1 кг меда.

Нектар состоит из воды и мёда.

Нектар                                           Мёд

воды – 70%                                    воды – 17%

чистого меда – 30%                       чистого меда – 83%.

1 способ.

1 кг : 100* 83= 1/100 * 83(кг) чистого мёда в мёде. Пусть х кг имеется нектара

х/100 кг – 1%

х/100 * 30(кг) чистого мёда в нектаре.

83/100 = 30х/100

30х = 83

Х=83/30 = 2,77(кг) нектара надо перерабатывать пчелам, чтобы получить 1 кг меда.

2 способ.

1 кг  

                          17%                            30                  

                                                                                        30/53  

70%                                                                                        

                                                                                 

                               100 %                          53

1 кг приходится на 30 частей.

1/30 кг составляет 1 часть.

30+53 = 83(частей) всего в нектаре

1/30 * 83 = 83/30 = 2,77(кг) нектара надо перерабатывать пчелам.

Задача 10.

Имеется серебро одно 11 пробы, другое 14 пробы. Сколько какого серебра нужно взять, чтобы получить 1 фунт серебра 12 пробы

.

                          11                               2                  

                                                                                         

  12                                                                                        

 1 фунт                                                                                

                               14                                1

Всего 3 части приходится на 1 фунт.

  1. 1 : 3 = 1/3(фунта) составляет 1 часть.
  2. 1/3 * 2 = 2/3 (фунта) составляет 2 части.

Ответ: 2/3 фунта 11 пробы.

        1/3 фунта 14 пробы.

Задача 11.

Сплавлено 40г золота одной пробы и 60г золота другой пробы. И получено золото 62 пробы. Какой пробы было золота в 1 и 2 куске, если при сплаве их поровну получится золото 61 пробы.

         Пусть х проба 1 куска

                у проба 2 куска

                Х<У.

40г

                                      х                                  у- 62                    

                                                                                         

               62                                                                                          

                                                                                 

                                            у                                 62 - х

60г

40 / 60 = (у – 62 ) / ( 62 – х )

1                                        х                                 у - 61

               61

1                                        у                                 61 – х

( у – 61 ) / ( 61 – х ) = 1

             ( у – 62 ) / ( 62 – х ) = 2/3;

              у – 61 = 61 – х;

        2*х + 3*у = 310;

           - 2*х – 2*у = -244;

 

            у = 66;

            х = 56;

    Ответ:  40 г.  —— 56 пробы;

                 60 г.  —— 66 пробы.

Задача 12.

      Имеется сплав серебра с медью. Вычислить вес и пробу этого сплава, если его сплав с 3 кг чистого серебра есть сплав 900 пробы, а его сплав с 2 кг сплава 900 пробы – есть сплав 840 пробы.

   Пусть х кг —— вес сплава

              у     ——  его проба.

 1)  х кг                                      у                                        100

                  900

    3 кг                                  1000                                    900 – у

х / 3 = 100 / ( 900 – у )

2)   х кг                                  у                                            60

                   840

      2 кг.                                 900                                        840 – у

х /2 = 60 / (840 – у)

1000 /( 900 – у ) = х / 3;

60 / ( 840-у ) = х / 2;

х = 3;

у = 800;

  Ответ:        3 кг  ——  вес сплава;

  1. кг  ——  проба сплава.

Задача 13.

   В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5 % железа, в оставшейся руде содержание железа повысилась на 20 %. Какое количество железа осталось в руде ( сплаве).

     Пусть х %  железа в 500 кг руды;

             ( х+ 20 ) % железа осталось в очищенной руде.

   200 кг                                                        12,5 %                                20

                               х %

   300 кг                                                   ( х + 20 ) %                            х – 12,5

200 / 300 = 20 / ( х – 12,5 )

2 /3 = 20 / ( х – 12,5 )

х = 42,5

42,5 % железа содержалась в 500 кг руды.

300 / 100 * (42,5 + 20 ) = 187,5 ( кг ) железа в 300 кг оставшейся руды.

   Ответ: 187,5 кг.

Задача 14 ( Сканави, группа В )

  Из бутыли, наполненной 12 % раствором соли, отлили 1 л и снова долили водой. В бутыле оказался 3 % раствора соли. Какова вместимость бутыли.

   Пусть бутыль вмещает х л.

  1. ( х – 1 ) л – осталось в бутыле после того как отлили 1 л.

              1 л – воды долили.

  х – 1                                          12 % раствор                            у

                       у %

  1                                                 0 % вода                                  12 – у

( х – 1 )/ 1 = у / ( 12 – у )

  1. Отлили еще 1 л.

( х – 1 ) л осталось у % раствора;

          1 л  воды долили.

  х – 1                                                 у  %                                   3

                      3 %

               1                                                       0 %                                   у – 3

( х – 1 ) / 1 = 3 / (у – 3 )

       ( х – 1 ) / 1 = у / ( 12 – у )

       ( х – 1 ) / 1 = 3 / ( у – 3 )

у / ( 12 – у ) = 3 / ( у – 3 )

      у = 6;

      х = 2.

                    Ответ: Бутыль была 2 л.

Задача 15.

От двух кусков сплава одинаковой массы, но с различным % содержанием меди, отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска. После чего % содержание меди в обеих кусках стало одинаковой. Во сколько раз отрезанный кусок мен7ьше целого?

                        I                                                                          II

                     ( а –m ) кг                                                        ( а – m) кг

                     

                           m кг                                                                  m  кг

                           х % меди                                                      у % меди

  1. 1 сплав

         m  кг                                     х %                                    у – z

                              z

        ( а – m) кг                              у %                                   z - х

                         

   Пусть х < у

m / (а – m ) = ( у – z ) / (z – х )

  1. 2 сплав

 

    ( а -  m ) кг                                               х %                                  у – z

                                       z

          m  кг                                                   у %                                    z – х

 ( а – m )/ m = ( у – z ) /( z – х );

m / ( а – m ) = ( у – z ) / ( z – х);

( а – m )/ m = ( у – z ) / (z – х );

( у – z ) / (z – х) = ( z – х ) / ( у – z );

( у – z )*( у – z ) = ( z – х )*(z – х );

у >z, z > х, то у – z > 0, z – х > 0;

у – z = z – х, то

m / ( а – m ) = 1, m = а – m, 2m = а, m = 0,5*а.

   Ответ: Отрезанный ( m кг) кусок в 2 раза меньше целого ( а кг ) куска.

Задача 16.

 Масла 10 гривень за ведро смешали с маслом 6 гривень за ведро. Какие части этих масс надо взять, чтобы получить масло 7 гривень за ведро.

                                             10 г                                    1

                7 г

                                             6 г                                       3

  Значит, 1 часть   10 гривенного;

               3 части    6 гривенного.

  Задача 17.

  Имеется серебро 12 –й, 11 –й и 5 – й пробы. Сколько какого серебра надо взять для получения 1 кг серебра 9 –й пробы?

 Решение.

  Необходимо метод, изложенный выше, применить два раза: первый раз, взяв серебро с наименьшей и наибольшей пробой, а во второй раз – с наименьшей и средней пробой.

Получим следующую схему:

                                                 5                                    3                       3 + 2 = 5

        + 4

                     9

                                             12                                       4                               + 4

                                               5                                    2        ____

                     9          13

  1. 4

При этом найдены доли, в которых нужно сплавлять серебро наибольшей и средней пробы ( 4 и 4). Сложив затем доли серебра наименьшей пробы, найденные в первый и во второй раз ( 3 + 2 = 5), получим долю серебра наименьшей пробы в общем сплаве.

Таким образом, надо взять 5/13 кг серебра 5 – й пробы , 4/13 кг серебра 12 – й пробы и 4/13 кг серебра 11 – й пробы.

Ясно, что задачи на смешивание трех веществ могут иметь не единственное решение. Действительно, в задаче 17 серебро 9 пробы можно получить , сплавляя серебро 5 – й и 12 – й пробы в отношении 3 : 4 ( 1 сплав ) или серебро 5 – й и 11 – й пробы в отношении 2 :4 (2 сплав). Соединяя 1 и 2 сплавы в любой пропорции, мы будем получать  различные сплавы серебра 9 – й пробы.

Полученные в задаче 17 числа являются одним из ответов. В самом деле, если возьмем 5/13 кг серебра 5 – й пробы и по 4/13 кг серебра 11 – й и 12 – й пробы, то получим 1 кг серебра 9 – й пробы:

   5/13 * 5 + 4/13 * 11 + 4/13 * 12 = 9.

  Таким способом можно решать задачи на смешивание ( сплавление ) любого числа веществ.

  Замечание.

 Предложенный способ позволяет легче запомнить последовательность действий при решении задач на смешивание и добиться автоматизма при выполнении самих действий. В условиях, когда приходится решать много подобных задач ( а купцы в старое время часто занимались их решением), этот способ экономит время.

 Задача 18.

  Имеется 240 г  70 % - ного раствора уксусной кислоты. Нужно получить 6 % раствор кислоты. Сколько граммов воды ( 0 % - ный раствор) нужно прибавить к имеющемуся раствору.

                                                               0 %                                       64

                               6 %

240 г                                                     70 %                                         6

  1. 240 : 6 = 40 (г) – составляет 1 часть, а воды следует взять 64 части
  2. 64 *40 = 2560 (г) – воды надо взять.

Ответ: 2560 г воды.

                Способ сложного процента.

А0 – исходное значение                        р%

1 этап А1 = А0 + р/100%* А0 = А0(1 + р/100)

2 этап А2 = А1 + р/100 * А1 = А1(1 + р/100) = А0 (1 + р/100)²

N этап Аn = ( 1 + р/100)ⁿ - формула сложного процента.

Если А0 – увеличивается, то Аn = А0(1 + р/100)ⁿ

                А0 – уменьшается, то Аn = А0 ( 1 – р/100)ⁿ

1 этап исходная величина меняется на р1%

2 этап исходная величина меняется на р2%

N этап исходная величина меняется на рn%

Аⁿ = А0(1 + р¹/100)*(1 +р²/100)*(…..)*(1 + рⁿ/100) – обобщенная формула сложного процента.

Задача 1.На товар снизили цену сначала на 20%,затем ещё на 15%, при этом он стал стоить 23,8р.              Решение.

Пусть хр- первоначальная цена товара.

1 этап. х снизили на 20% т.е р¹ = 20%

2 этап      снизили на 15% т.е р² = 15%

А2 = 23,8р

А2 = А0(1 - р¹/100)*(1 - р²/100)

23,8 = х(1 – 20/100)*(1 – 15/100)

23,8 = х * 0,8 * 0,85

Х = 23,8/0,8 * 0,85 = 23,8/0,68 = 35

35р – первоначальная цена товара.          Ответ: 35р

Задача 2.

Цена товара была понижена на 20%, на сколько % её нужно повысить, чтобы получить исходную цену.

Решение

Пусть А0=Х(р) – первоначальная цена товара.

1 этап р¹ = 20% понизили

2 этап р² = q% повысили

А2 = А0 (1 - р¹/100)*(1 + q/100)

А0 = Х,А2 = Х

Х = Х(1 – 20/100)*(1 + q/100)

(1 – 20/100)*(1 + q/100) = 1.

4/5* (1 + q/100)  = 1

1 + q/100 = 5/4

q/100 = ¼

q = 100/4 = 25

        На 25% нужно повысить, чтобы получить исходную цену.

 

                                                       

 


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Основные формулы

Слайд 2

К задачам типа В9

Слайд 4

Стереометрия на ЕГЭ по математике — это задачи В9 и С2. Сначала расскажем, как решать задачи В9. Они простые. Вам понадобится лишь знание формул и элементарная логика. Все формулы есть в наших таблицах. 1.Куб, параллелепипед, призма, пирамида. Объем и площадь поверхности 2.Цилиндр, конус, шар. Объем и площадь поверхности Часто в задачах ЕГЭ, посвященных стереометрии, требуется посчитать объем тела или площадь его поверхности. Или как-то использовать эти данные. Поэтому заглянем в толковый словарь русского языка и уточним понятия. Объем — величина чего-нибудь в длину, ширину и высоту, измеряемая в кубических единицах. Другими словами, чем больше объем, тем больше места тело занимает в трехмерном пространстве. Площадь — величина чего-нибудь в длину и ширину, измеряемая в кубических единицах. Представьте себе, что вам нужно оклеить всю поверхность объемного тела. Сколько квадратных сантиметров (или метров) вы бы обклеили? Это и есть его площадь поверхности.

Слайд 5

Объемные тела — это многогранники (куб, параллелепипед, призма, пирамида) и тела вращения (цилиндр, конус, шар). Если в задаче по стереометрии речь идет о многограннике, вам встретятся термины «вершины» «грани» и «ребра». Вот они, на картинке. Чтобы найти площадь поверхности многогранника, сложите площади всех его граней. Вам могут также встретиться понятия «прямая призма, правильная призма, правильная пирамида». Прямой называется призма , боковые ребра которой перпендикулярны основанию. Если призма — прямая и в ее основании лежит правильный многоугольник, призма будет называться правильной . Правильная пирамида — такая, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Слайд 6

Перейдем к практике. 1. Одна из самых распространенных задач В9 — такая, где надо посчитать объем или площадь поверхности многогранника, из которого какая-нибудь часть вырезана. Например, такого: Что тут нарисовано? Очевидно, это большой параллелепипед, из которого вырезан «кирпичик», так что получилась «полочка». Если вы увидели на рисунке что-то другое — обратите внимание на сплошные и штриховые линии. Сплошные линии — видимы. Штриховыми линиями показываются те ребра, которые мы не видим, потому что они находятся сзади. Объем найти просто. Из объема большого «кирпича» вычитаем объем маленького. Получаем: 75-4 =71.

Слайд 7

А как быть с площадью поверхности? Почему-то многие школьники пытаются посчитать ее по аналогии с объемом, как разность площадей большого и малого «кирпичей». В ответ на такое «решение» можно предложить детскую задачу — если у четырехугольного стола отпилить один угол, сколько углов у него останется? На самом деле нам нужно посчитать сумму площадей всех граней — верхней, нижней, передней, задней, правой, левой, а также сумму площадей трех маленьких прямоугольников, которые образуют «полочку». Можно сделать это «в лоб», напрямую. Но есть и способ попроще. Прежде всего, если бы из большого параллелепипеда ничего не вырезали, его площадь поверхности была бы равна 110. А как повлияет на него вырезанная «полочка»?

Слайд 8

Давайте посчитаем сначала площадь всех горизонтальных участков, то есть «дна», «крыши» и нижней поверхности «полочки». С дном — все понятно, оно прямоугольное, его площадь равна 5*5 = 25. А вот сумма площадей «крыши» и горизонтальной грани «полочки» ?...Посмотрите на них сверху. …В этот момент и наступает понимание. Кому-то проще нарисовать вид сверху. Кому-то — представить, что мы передвигаем дно и стенки полочки и получаем целый большой параллелепипед, площадь поверхности которого равна 110. Каким бы способом вы ни решали, результат один — площадь поверхности будет такой же, как и у целого параллелепипеда, из которого ничего не вырезали. Ответ: 110.

Слайд 9

2.Здесь тоже надо найти площадь поверхности многогранника: S= 2 * 12 + 2 * 15 + 2 * 20 - 2 = 72. Из площади поверхности «целого кирпича» вычитаем площади двух квадратиков со стороной 1 — на верхней и нижней гранях.

Слайд 10

3 . Найти площадь поверхности. Сначала посчитайте сумму площадей всех граней. Представьте, что вы дизайнер, а эта штучка — украшение. И вам надо оклеить эту штуку чем-то ценным, например, бриллиантами Сваровски . И вы их покупаете на свои деньги. (Я не знаю почему, но эта фраза мгновенно повышает вероятность правильного ответа!) Оклеивайте все грани плитки. Но только из площадей передней и задней граней вычтите площадь «окошка». А затем — само «окошко». Оклеивайте всю его «раму». О твет: 96.

Слайд 11

4.Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда . Прежде всего, заметим, что высота цилиндра равна высоте параллелепипеда. Нарисуйте вид сверху, то есть круг, вписанный в прямоугольник. Тут сразу и увидите, что этот прямоугольник — на самом деле квадрат, а сторона его в два раза больше, чем радиус вписанной в него окружности. Итак, площадь основания параллелепипеда равна 4, высота равна 1, объем равен 4.

Слайд 12

5.В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны 4. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. В ответ запишите V/π. Очевидно, высота цилиндра равна боковому ребру призмы, то есть 4. Осталось найти радиус его основания. Рисуем вид сверху. Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Где будет находиться радиус этой окружности? Правильно, посередине гипотенузы. Гипотенузу находим по теореме Пифагора,она равна 10. Тогда радиус основания цилиндра равен пяти. Находим объем цилиндра по формуле и записываем ответ: 100.

Слайд 13

6.В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса 1. Найдите объем параллелепипеда. Нарисуйте вид сверху, сбоку или спереди. В любом случае вы увидите одно и то же — круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом. Можно даже ничего не рисовать, а просто представить себе шарик, который положили в коробочку так, что он касается всех стенок, дна и крышки. Ясно, что такая коробочка будет кубической формы. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара. Ответ: 8.

Слайд 14

Следующий тип задач — такие, в которых увеличили или уменьшили какой-либо линейный размер (или размеры) объемного тела. А узнать нужно, как изменится объем или площадь поверхности. 7. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 12 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах. Слова «другой такой же сосуд» означают, что другой сосуд тоже имеет форму правильной треугольной призмы. То есть в его основании — правильный треугольник, у которого все стороны в два раза больше, чем у первого. Мы уже говорили о том, что площадь этого треугольника будет больше в 4 раза. Объем воды остался неизменным. Следовательно, в 4 раза уменьшится высота. Ответ: 3.

Слайд 15

8.Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой. Давайте вспомним, как мы решали стандартные задачи В12, на движение и работу. Мы рисовали таблицу.И здесь тоже нарисуем таблицу Мы помним, что V= πR 2 h. Высота Радиус Объем Первая кружка h R πR 2 h Вторая кружка 1 /2h 2R π(2R) 2 h/2 Считаем объем второй кружки. Он равен π(2R) 2 h/2 = 2 πR 2 h. Получается, что он в два раза больше, чем объем первой.

Слайд 16

9. Следующая задача тоже решается без формул. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы. Высота меньшей призмы высота такая же, как и у большой. А какой же будет ее площадь основания? Очевидно, в 4 раза меньше. Вспомните свойство средней линии треугольника — она равна половине основания. Значит, объем отсеченной призмы равен 8.

Слайд 17

10. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза? Только не надо обмирать от ужаса при слове «октаэдр». Тем более — он здесь нарисован и представляет собой две сложенные вместе четырехугольные пирамиды. А мы уже говорили — если все ребра многогранника увеличить в три раза, площадь поверхности увеличится в 9 раз, поскольку 3 2 = 9. Ответ: 9.

Слайд 18

11. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π. Изображен не целый цилиндр, а его часть. Из него, как из круглого сыра, вырезали кусок. Надо найти объем оставшегося «сыра». Какая же часть цилиндра изображена? Вырезан кусок с углом 60 градусов, а 60° — это одна шестая часть полного круга. Значит, от всего объема цилиндра осталось пять шестых. Находим объем всего цилиндра, умножаем на пять шестых, делим на π, записываем ответ: 937,5.

Слайд 19

12. Объем параллелепипеда равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды АВDА 1 . Мы помним, что V парал = S осн h. А объем пирамиды равен V=1 / 3 * S осн h Иными словами, если у параллелепипеда и пирамиды одинаковые основания и одинаковые высоты, то объем пирамиды будет в три раза меньше, чем объем параллелепипеда. А у нашей пирамиды еще и площадь основания в два раза меньше. Значит, ее объем в шесть раз меньше объема параллелепипеда. Ответ: 1,5.

Слайд 20

13. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба. Если бы пирамида и куб имели одинаковые высоты, объем пирамиды был бы в 3 раза меньше объема куба (поскольку площади основания у них одинаковые). А у нашей пирамиды высота в два раза меньше, чем у куба. Значит, ее объем будет в 6 раз меньше, чем у куба. Ответ: 2.

Слайд 21

13.Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов. На самом деле это задача по алгебре, причем элементарная. Объем шара равен 4\3πR 3 . Осталось решить уравнение: 4\3π6 3 +4\3 π8 3 +4\3 π10 3 = 4\3 π R 3 6 3 + 8 3 + 10 3 = R 3 R 3 =1728 Как извлечь кубический корень из этого числа? Очень просто — разложите его на множители. 1728 = 2 3 *6 3 R = 2*6 = 12 Ответ: 12.

Слайд 22

14.Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. В ответе укажите V/π. Если вы вдруг забыли, что такое образующая, — смотрите нашу таблицу с формулами. А что значит «наклонена к плоскости основания»? Вспомним, что угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то есть угол OАS. Из прямоугольного треугольника AOS находим, что OS = h =1, АО= R= . Объем конуса найдем по известной формуле и поделим на π. Ответ: 1.

Слайд 23

15. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. Эта задача В9 уже поинтереснее — ей и до С2 недалеко. Прежде всего, что значит «точка делит боковое ребро в отношении 1 : 2,считая от вершины»? Это значит, что она делит его на отрезки, длины которых х и 2х. Плоскость АВМ делит пирамиду АВСS на две. У пирамид АВСM и ABCS общее основание АВС. Ясно, что отношение их объемов равно отношению высот. Проведем перпендикуляры SO и MH к плоскости основания пирамиды. SO — высота пирамиды АВСS, МН — высота пирамиды АВСМ. Очевидно, что отрезок SО параллелен отрезку МН, поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны друг другу. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, причем только одну. Итак, точки S, М, С, О и Н лежат в одной плоскости, Треугольники SOC и МНС подобны, МС : SС= МН : SO =2 : 3. Значит, МН=2/3 SO. Объем пирамиды АВСM равен2/3 объема пирамиды ABCS. Ответ: 10.


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

тестовые задания « Подготовка металлических поверхностей под простую и улучшенную окраску», «Подготовка деревянных поверхностей под штукатурку».

Тестовые задания,которые проводятся в конце четверти....

Элективный курс "Подготовка к экзамену в новой форме по русскому языку в 9 классе" готовит к экзамену девятиклассников. Материалы этого курса могут быть использованы и при подготовке к ЕГЭ по русскому языку в 11 классе.

№п/пДатаТема занятияВиды работ1 Структура экзаменационной работы по русскому языку в новой форме и критерии её оцениванияЛекция учителя2 Этапы работы над изложениемЛекция учителя4 Редак...

Психологическая подготовка учащихся при подготовке к ЕГЭ по физике

Единый государственный экзамен имеет ряд особенностей. Эти особенности могут вызывать у выпускников различные трудности. В материале приведены их краткие характеристики и основные пути профилактики....

Модуль 1Микромодуль 1: Подготовка глины Область работы: подготовка сырьевой смеси

Презентация создана для обучения производственного персонала и студентов, прошедших правтику на промышленных предприятиях, по теме "Оборудование дробильного отделения цементных заводов, работающих по ...

Методическая разработка "Подготовка учащихся к написанию эссе в ходе обобщающего повторительного курса "Обществознания" для подготовки к Единому государственному экзамену.

Аннотация: в работе представлена практическая методика, позволяющая активизировать учебную деятельность учащихся в процессе подготовки успешного написания эссе при сдаче ЕГЭ по обществознанию....

Физическая подготовка, Тактическая подготовка,Тактика защиты, Техническая подготовка

Строевые упражнения. Понятие о строе и командах. Шеренга, колонна, дистанция и интервал. Расчет по порядку. Расчет на «первый—второй». Перестроение из одной шеренги в две. Размыкание и смыкание ...

Контрольно-переводные нормативы по общей физической и специальной физической подготовки для перевода с дополнительной образовательной программы физкультурно-спортивной направленности шахматы на подготовку на этапе начальной подготовки (второй год обучени

Контрольно-переводные  нормативыпо общей физической и специальной физической подготовки для перевода с дополнительной образовательной программы физкультурно-спортивной направленности шахматы на п...