Задачи на проценты и дроби решаем успешно
методическая разработка по алгебре по теме

Задачи на проценты и дроби решаем успешно

Поваляева Ирина Александровна, учитель математики 

Статья отнесена к разделу: Преподавание математики 

Задачи на части и проценты вызывают затруднения у учащихся, так как материал изучается в 5-6 классах непродолжительно, не повторяется углубленно в старших классах.

Задачи на части и проценты встречаются в ГИА 9 классов и в ЕГЭ 11 классов.

Такие задачи необходимо решать и в жизни. Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического применения процентных расчетов расширяется. Необходимо производить несложные процентные расчеты домохозяйкам при варке варенья, финансовые операции при повышении цен, зарплат, росте акций, коммерческую арифметику в торговле и т. д.

Изучение задач на дроби и проценты можно ввести в школьном курсе в следующем порядке.

1. Научить школьников находить дробь от числа, изменять число на некоторую его часть.

Примеры.

1. Длина прямоугольника 55 см., а его ширина составляет 4/11 от длины. Найдите площадь прямоугольника.
2. Число 200 увеличили на 1/10 этого числа, полученный результат уменьшили на 1/10.

Получилось ли снова число 200?

2. Научить школьников находить число по его дроби (обратная задача).

Пример.

Чему равно число, если 2/3 от него равно 4,6?

3. Научить школьников находить, какую часть одно число составляет от другого.

Пример.

Какую часть число 40 составляет от числа 90?

4. Научить школьников выражать проценты в виде обыкновенной и десятичной дроби, выполнять обратное преобразование.

Пример.

Сколько % числа в составляют 0,88в и 0,02в?

На сколько % эти числа меньше (больше) числа в?

5. Научить находить несколько % числа, увеличивать (уменьшать) число на несколько процентов.

Пример.

Цена товара увеличилась сначала на 20 %, потом еще на 30 %. Какой теперь стала цена?

На сколько процентов она больше первоначальной цены?

6. Научить находить, сколько процентов составляет одно число от другого числа, на сколько процентов одно число больше (меньше) другого.

Пример.

1. Шесть человек из 120 - это сколько %?
2. Длину прямоугольного параллелепипеда увеличили на 20 %, ширину уменьшили на 30 % , а высоту не изменили. Изменился ли объём параллелепипеда?
3. Сколько процентов составляет второе слагаемое от первого, если первое слагаемое составляет 60 % от их суммы?

7. Научить находить число по нескольким его %.

Пример.

Найдите число , 6 % которого равно 48.

8. Научить решать задачи на процентное содержание.

Пример.

Имеем сплав двух металлов: олова и цинка. Вес олова и цинка составляет соответственно 10 кг и 15 кг. Каково процентное содержание цинка и олова в сплаве?

9. Научить решать задачи на проценты путем составления пропорций

(прямая и обратная пропорциональные зависимости).

Пример.

Цена на соковарку была повышена на 15 % и составила 3450 рублей. Сколько стоила соковарка до повышения цены?

(за 100% принимается та величина, с которой мы сравниваем).

10. Научить решать задачи на концентрацию.

Пример.

Концентрация серебра в сплаве 55 %. Масса сплава 300 г.

Сколько в этом сплаве чистого серебра?

(Значит в этом сплаве 0,55 * 300= 165 (г) чистого серебра).

11. Научить решать текстовые задачи на «смеси», «на концентрацию», «на отношения».

В курсе алгебры средней школы учащиеся знакомятся с задачами, для решения которых составляют уравнения или системы уравнений.

Многие учащиеся могут преодолеть психологическую трудность, связанную со словами «смесь» и «отношения», решив некоторое количество таких задач.

Пример.

Имеются три смеси, составленные из трех элементов: А, В, С.

В первую смесь входят только элементы А и В в весовом соотношении 3:5, во вторую смесь входят только элементы В и С в весовом отношении1:2 , в третью смесь входят только элементы А и С в весовом отношении 2:3. В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А,В и С содержались в весовом отношении 3:5:2?

12. Научить решать задачи на «смеси», «проценты» и «на прогрессии».

Пример.

Проценты содержания (по весу) спирта в трех растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в весовом отношении 2:3:4 ,то получится раствор, содержащий 32 % спирта. Если же смешать их в весовом отношении 3:2:1 , то получится раствор, содержащий 22 % спирта.

Сколько процентов спирта содержит каждый раствор?

13. Научить решать задачи на проценты арифметическим способом.

Пример.

Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99 %. Когда грибы подсушили, их влажность снизилась до 98 %. Какой стала масса грибов после подсушивания?

14. Задачи на проценты в ЕГЭ.

Примеры.

1. Проезд на автобусе стоит 20 рублей. В дни школьных каникул для учащихся ввели скидку 15 %. Сколько стоит проезд на автобусе в дни школьных каникул?
2. Шариковая ручка стоит 50 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно купить на 500 рублей после понижения цены на 20%?
3. В городе N живет 200000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых 45 % не работает ( пенсионеры, студенты и т.п. ). Сколько взрослых жителей работает?
4. Брюки дороже рубашки на 20 % и дешевле пиджака на 46 %. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака ?

15. Задачи на проценты в ГИА 9 классов.

Пример.

1. Стоимость участия в конференции - 3000 рублей с человека. Группам от организаций предоставляются скидки: от 5 до 10 человек-10%; более 10 человек-12%.Сколько рублей должна заплатить организация, отправившая на конференцию группу из 11 человек?
2. Товар до распродажи уценили на 7 % , при этом он стал стоить 465 рублей. Сколько стоил товар до распродажи?

Итак, важные советы при решении задач на проценты.

1. В задачах на процентах после внимательного изучения условия задачи, переходим от процентов к конкретным величинам и наоборот.
2. Важно правильно выбрать величину, от которой нужно считать проценты. Закончив решать задачу, читаем еще раз и отвечаем на поставленный вопрос.
3. Элементарная логика важна при анализе простых задач.
4. Важно уметь находить связь процентов с дробями и частями.
5. Решать различные задачи на проценты. Решать.