Определение линейной функции
методическая разработка (алгебра, 7 класс) по теме

Определение линейной функции

Цели  урока: введение понятия линейной функции; 

отработка навыка распознавания линейной функции по заданной формуле;

отработка навыка вычисления значения функции по заданному значению аргумента; формирование графической и функциональной культуры учащихся.

Ход урока.

Учитель. Понятие функции первоначально возникло из решения практических задач. Решим и мы несколько задач.

Задача 1. Мама купила несколько конфет по цене 25 условных рублей за конфету и одну шоколадку по цене 300 усл.  руб. Сколько она заплатала за покупку?

Составьте выражение, с помощью которого можно подсчитать стоимость покупки.

Учитель. Прежде чем приступать к составлению выражения с помощью которого можно определить стоимость покупки, заполните пустые клетки табл. 1 (карточки с таблицей находятся у всех ребят на столах).

Замечание. Эти карточки можно использовать неоднократно, если вложить их в пластиковую прозрачную папку. Записи, сделанные шариковой ручкой, легко стираются ластиком и она снова готова к работе.

(Проектор.)                                                                                                       Таблица I

Давайте проверим результат (на экран  спроектировать  таблицу  с ответами).

Учитель. Как вы думаете, от чего зависят стоимость покупки?

Ученик. От числа покупаемых конфет.

Учитель. Попытаемся теперь составить выражение, по которому можно подсчитать стоимость покупки для любого числа конфет.

Обозначим число конфет через d, а стоимость всей покупки - через n. Получаем (ученик диктует):

n =25d +300.

(Записываем эту формулу на доске.) Переменная d может принимать только целые положительные  значения(натуральные, неотрицательные?).

Задача 2. На шоссе расположены пункты А и В, удаленные друг от друга на 20 км.

           ______________А______________В______________

Мотоциклист выехал из пункта  В  в направлении, противоположном А. со  скоростью 50 км/ч. На каком расстоянии  s (км) от пункта А  будет  мотоциклист через  t  часов?

Учитель. От чего зависит  расстояние от пункта А до мотоциклиста, если скорость  и расстояние АВ  постоянны?              

Ученик.  От  времени. Чем  дольше едет мотоциклист, тем большее расстояние он проедет от пункта А.

Учитель Какая формула выражает зависимость расстояния  от времени движения?  Давайте

вспомним общую формулу, знакомую  вам из курса физики:  S = Vt

Посмотрите на таблицу 2. Давайте разберемся, как получены значения расстояния. (Проектор.)          

Таблица 2

В момент начала движения (t = 0 (ч)) мотоциклист находился в пункте В, значит, S= 20 км. За 1 ч он отъехал от пункта B на 50 км, следовательно, расстояние S от пункта А до мотоциклиста

S= 20 + 50 = 70 (км).

За три часа мотоциклист отъехал от пункта В на расстояние, равное 150 км (используем формулу S= Vt). Значат, расстояние от пункта  А  до мотоциклиста составит

S= 20+150 =170 (км).

Попробуйте самостоятельно записать формулу, выражающую зависимость расстояние от времени движения.

Ученик. S= 50t + 20.

Учитель. Эта формула справедлива для любого t?

Ученик. Нет, только, если t > О.

Запись на доске:

S=- 50t + 20, где t > 0.

Учитель. Обратите внимание на то, что полученная формула позволяет найти S для любого момента времени.

Итак, мы получили две формулы, выражающие совершенно  различные факты и явления,

но имеющие одинаковую структуру:

у = kx + Ь,

где k и b - некоторые числа, x- переменная величина.

Можно предположить, что эти факты и явления (и, быть может, многие другие) описываются одной и той же формулой, функция, с которой мы столкнулись в обеих задачах, называется линейной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Линейной называется функция, которую можно задать формулой вида-

у= kх +b.

     где х - независимая переменная, к, b – некоторые  числа.

Учитель. Рассмотрим частные случаи. Если b =0, то формула у=kx +b принимает вид

y=kx (k0).

Какая зависимость задается этой формулой?

Ученик. Прямая пропорциональность.

Учитель. Таким образом, прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции. А что получится, если k=0?

 Ученик.  Имеем  у = 0х +b,  y=b.

Учитель. Значит, при k = 0 формула у = kх +b.принимает вид у = b. Функция, задаваемая этой формулой, являете линейной. Она  принимает одно и то же значение при любом х.

Давайте выясним, является ли линейной функция, заданная следующими формулами (Проектор).

1)у=2х  - 3;          2)у = -х +5;     3) у = 7- 9х;     4)у = 8х;                5) у =                 

6) у = 7) у= х2 - 3; 8) у=;9) у = 5.  

Обратите внимание на то, что функции у = 8х и у = 5 являются линейными (это частные случаи линейной функции).                             .

А является ли линейной функция  у = (5х – 1) + (-8х  + 9),

(проектор)?  Что нужно сделать прежде, чем ответить на этот вопрос?

Ученик.. Упростить правую часть выражения.

 Учитель. Выполните преобразования  самостоятельно, а потом мы сверим результат. (проектор).

у = (5х – 1) + (-8х  + 9),    у= - 3х +8.

Учитель.. Является ли эта функция линейной? Предлагаю вам еще два аналогичных задания (Кою- . скоа):        '                          -,,

у = 4(х - 3) + (х + 2);

у=7(8-х)+(х-10).

Попробуйте также выполнить следующие задания

Задание 1. Линейная функция задана формулой

У=0,5х +6.

заполните таблицу:

Находим у при х=-4, 2,10 совместно. Закончите работу самостоятельно.

Аналогично выполняем задание 2. (Это задание можно предложить ученикам выполнить дома.)

Задание 2. функция задана формулой у= - 3х + 1,5.

Заполните пустые клетки таблицы:

Задание 3. Некоторая линейная функция задана формулой вида у = kх - 1.

 Найдите число k и заполните таблицу:

Для определения воспользуемся тем, что при х = 1,2 функция принимает значение

у (1,2) = 0,8.              

 С другой стороны, у(1,2)=k·1,2-1. Значит, 0,8 = k·1,2-1; 1.2k = 1,8; k = 1,5.

 Таким образом, данная функция задана формулой

У= 1,5x - 1.

Заполним теперь таблицу для x= 0,2; 1; 1,4.

 Закончить работу по заполнению таблицы дома.

В заключение урока можно предложить самостоятельную работу, направленную на отработку навыка распознавания функции по заданной формуле.

Самостоятельная работа

Вариант  1. Является ли линейной функция, заданная формулой;

Вариант  2. Является ли линейной функция, заданная формулой;

Задание на дом: № 298, 299,301 (алгебра -7 под редакцией С.А.Телековского, - М ., Просвещение.