Разложение квадратного трехчлена на множители
методическая разработка (алгебра, 9 класс) по теме
На уроке разбирается и доказывается теорема о разложении на множители квадратного трехчлена, имеющего корни, при решении проблемной ситуации: можно ли разложить квадратный трехчлен на множители, реализубтся все этапы пробдемногометода обучения.
Рассматривается использование теоремы о разложении на множители квадратного трехчлена, имеющего корни, для сокращения дробей, используются задания ГИА.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 27.18 КБ |
![]() | 269.13 КБ |
Предварительный просмотр:
Алгебра 9 класс. Разложение квадратного трехчлена на множители
Красненкова Любовь Александровна,
учитель математики и информатики, МБОУ СОШ п. г. т. Ерофей Павлович.
Цель урока:
- способствовать развитию навыков нахождения корней квадратного трехчлена;
- организовать деятельность учащихся по восприятию, осмысливанию и первичному запоминанию новых знаний;
- разобрать и доказать теорему о разложении на множители квадратного трехчлена, имеющего корни, при решении проблемной ситуации: можно ли разложить квадратный трехчлен на множители;
- рассмотреть использование теоремы о разложении на множители квадратного трехчлена, имеющего корни, для сокращения дробей;
- содействовать развитию логического мышления, внимания, речи и умения работать самостоятельно.
Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.
Оборудование: мультимедиа проектор, презентация к уроку.
«Задача, которую вы решаете, может быть очень скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности, и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы».
Двердь Пойа.
Ход урока
I. Организационный момент
Сегодня на уроке в совместной деятельности мы подтвердим слова Пойа (Слайд 1).
Сообщение о Пойа (Слайд 2)
II. Актуализация опорных знаний
а) Сначала проверим домашнее задание № 60 и № 75.
На доске решают 2 ученика:
- № 60(а). Найти корни квадратного трехчлена: 10х2 + 5х – 5. (Ответ: х1 = -1; х2 =0,5). Дополнительный вопрос: сколько корней может иметь квадратный трехчлен?
- № 75. Разложите на множители многочлен: а) ab + 3b – 5a – 15; б) 2xy – y + 8x – 4. Ответ: а) (а + 3)(b – 5); б) (2х – 1)(у + 4). Дополнительный вопрос: какие способы разложения на множители использовали?
Практическое задание за компьютером:
Предложить двум учащимся-экспериментаторам построить график функции . С помощью электронных таблиц OpenOffice.org Calc и программы графопостроитель.
б) Для остальных учащихся фронтальный опрос. (Слайд 3 и 4). По щелчку мыши появляются ответы).
Проверь свои знания:
Дайте определение квадратного трехчлена. Многочлен вида ах2 + bх + c, где х – переменная, а, b, с – некоторые числа, причем а ≠ 0.
Как найти корни квадратного трехчлена? Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение.
Сформулируйте теорему Виета для полного квадратного уравнения.
Если х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bх + c = 0, х1 + х2 = , х1 х2 =
.
Что называют разложением многочлена на множители? Представление многочлена в виде произведения многочленов.
Какие способы разложения многочлена на множители вам известны?
- Вынесение множителя за скобку;
- Способ группировки;
- Использование формул сокращенного умножения.
в) Проверим работу у доски. Ваши вопросы и выводы. (Оценить ответы).
III. Этап «закрытого» решения проблемы – использование известных способов решения
(Слайд 5) Решите уравнение х3 – 6х2 – 4х + 24 = 0. (ГИА 2012).
Но мы не умеем решать уравнения 3 степени. Как поступить? (Разложить на множители левую часть, а затем каждый множитель приравнять к нулю).
Каким способом будем разлагать на множители? (Способом группировки).
Все решают в тетради, один ученик решает у доски. Ответ: -2; 2; 6. Проверяем на слайде.
IV. Этап «открытого» решения проблемы – возникновение проблемной ситуации, расширение области поиска новых решений
Рассмотрим задание № 11 из ГИА (2013 г.). Постройте график функции .
Давайте посмотрим, что получили наши экспериментаторы. (Слайды 6 и 7). Не кажется ли вам странным, что у них получилась прямая линия. Отчего же это?
(Слайд 8). Возникает проблема: Мы понимаем, что было бы удобно разложить на множители числитель х2 – 5х + 6 и попробовать сократить дробь. Для этого надо разложить квадратный трехчлен на множители.
Но как? Можно ли сгруппировать или вынести общий множитель за скобку в нашем случае? (Нет).
Так как же разложить на множители квадратный трехчлен х2 – 5х + 6? Возможно ли это?
Какие будут предложения? ( А что, если сгруппировать?)
Но с чем? Должно быть, хотя бы 4 слагаемых.
А давайте трехчлен преобразуем в четырехчлен.
Пробуем: х2 – х – 4х + 6 = 0. А разве можно здесь сгруппировать и разложить на множители?
Еще попытки: х2 – 2х – 3х + 6 = (х2 – 2х) – (3х – 6) =х (х – 2) – 3(х – 2) = (х – 2)(х – 3).
Ура! Получилось!
Ребята, теперь можно сократить дробь. =
Получили у = 3 – х , где х ≠ 2. Какая линия будет графиком? (Прямая, с выколотой точкой). Постройте график. (Слайд 9).
Вернемся к трехчлену х2 – 5х + 6 = (х – 2)(х – 3). При каких значениях х он обращается в нуль? А что называют корнем трехчлена? (Значение переменной, при котором трехчлен обращается в нуль).
Вывод: значит 2 и 3 корни этого трехчлена (х1 = 2 и х2 = 3).
Посмотрите внимательно, что представляют из себя, множители? (Первый из них представляет разность между переменной х и первым корнем трехчлена, а второй – разность между переменной х и вторым корнем).
Назовите старший коэффициент трехчлена? (а = 1). Давайте допишем множитель, равный а, т. е. 1, получаем х2 – 5х + 6 = 1(х – 2)(х – 3).
Рассмотрим еще один пример с учебника (стр. 24).
(Слайд 10). Разложить на множители 3х2 – 21х + 30 = 3(х2 – 7х + 10) = 3(х2 – 2х – 5х + 10) = = 3((х2 – 2х) – (5х – 10)) = 3(х(х – 2) – 5(х – 2)) = 3(х – 2)(х – 5).
V. Этап реализации найденного принципа – выдвижение гипотезы
Как вы думаете, можно ли разложить трехчлен ах2 + bx + c на множители? Что для этого надо сделать?
Найти корни квадратного трехчлена, если они есть,
и составить произведение а(х – х1)(х – х2).
Получим ах2 + bx + c = а(х – х1)(х – х2). Это и есть наша гипотеза. Необходимо ее проверить. Для этого рассмотрим теорему о разложении квадратного трехчлена, имеющего корни, на множители.
VI. Этап проверки правильности полученного решения – доказательство гипотезы
Теорема
Если х1 и х2 - корни квадратного трехчлена ах2 + bx + c, то ах2 + bx + c = а(х – х1)(х – х2).
Доказательство (ученики делают самостоятельно под руководством учителя) (Слад 11).
ах2 + bx + c = Так как корни квадратного трехчлена ах2 + bx + c являются корнями квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0, то по теореме Виета
.
Отсюда
Поэтому
ах2 + bx + c ==a(x2 – (x1+ x2 )x +x1 x2 ) = a(x2 – x1 x – x2 x + x1 x2 ) =
=a(x(x – x1 ) – x2 (x – x1 )) = a((x – x1 ) (x – x2 ), ч.т.д.
VII. Возникновение новой проблемной ситуации
А как поступить, если квадратный трехчлен не имеет корней? Можно ли его разложить на множители? Ваше мнение?
Попробуем в этом разобраться.
А что если пойти от противного? То есть предположить, что квадратный трехчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени:
ах2 + bx + c = (kx + m)(px + q), где k, m, p, q – некоторые числа, причем k 0 и p
0.
Найдите, при каких х произведение (kx + m)(px + q)= 0?
При и
Следовательно, при этих значениях х обращается в нуль и трехчлен ах2 + bx + c, то есть числа и
являются его корнями.
Мы пришли к противоречию, так как по условию этот трехчлен корней не имеет.
Вывод: если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители.
VIII. Усвоение и применение изученного
Выполнить задания № 76(а), 84(б), № 86 по учебнику.
№ 76(а). Разложите на множители квадратный трехчлен: 3х2 – 24х + 21.
84(а). Сократите дробь: .
№ 86. Чем различаются графики функций y = x – 4 и Чем различаются графики функций y = x – 4 и ??
IX. Домашнее задание:
Пункт 4 (прочитать примеры 1, 2, 3). Решить № 77(а, б) и № 84 (а).
X. Итог:
Итак, что дает нам теорема о разложении на множители квадратного трехчлена, имеющего корни?
Она дает возможность, найдя корни трехчлена, разложить этот трехчлен на множители, и это используется при сокращении дробей.
Вернуться по ссылке на слайд 1.
Удалось ли вам убедиться в справедливости слов Пойа? Как вы их поняли для себя? (Высказывания учеников:
«Это действительно так, иногда задача бывает такой трудной, что я начинаю злиться, что мне не хватает способностей ее решить, но потом я нахожу решение, и радость победы над собой ни с чем несравнима».
«Только самостоятельное решение помогает что-то понять и сделать открытие»,
«Без самостоятельного решения и размышления ум не развивается, потому что это будет шаблонное мышление, которое никому неинтересно»).
Литература:
- Алгебра. 9 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. А. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова] ; под редакцией С. А. Теляковского. – 16 изд. – М.: Просвещение, 2009.
- ГИА-2012. Математика : типовые экзаменационные варианты :30 вариантов / под редакцией И. В. Ященко. – М. : Национальное образование, 2001.
- Биографический словарь деятелей в области математики. А. И. Бородин, А. С. Бугай. Пер. с укр. – К.: Радянська школа.
- Демо версия ГИА математика. 2013 г.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Дьердь Пойа Американский математик. Родился в Венгрии в 1887 г. С 1914 по 1940 г. работал в Цюрихе (Швейцария). С 1953 г. работал в Принстонском университете (США) Основные труды относятся к функциональному анализу, математической статистике и комбинаторике. На русский язык вышли работы Пойа: «Задачи и теоремы анализа», «Математика и правдоподобные рассуждения», «Как решать задачу», «Математическое открытие».
Проверь свои знания Дайте определение квадратного трехчлена. Многочлен вида ах 2 + b х + c , где х – переменная, а, b , с – некоторые числа, причем а ≠ 0 . Как найти корни квадратного трехчлена? Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение. Сформулируйте теорему Виета для полного квадратного уравнения. Если х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения ах 2 + b х + c = 0, то х 1 + х 2 = , х 1 х 2 =
Проверь свои знания Что называют разложением многочлена на множители? Представление многочлена в виде произведения многочленов. Какие способы разложения многочлена на множители вам известны? Вынесение множителя за скобку; Способ группировки; Использование формул сокращенного умножения.
Решите уравнение х 3 – 6х 2 – 4х + 24 = 0. (ГИА 2012). Решение: (х 3 – 6х 2 ) – (4х - 24 ) = 0; х 2 ( х – 6 ) – 4( х - 6 ) = 0; (х 2 – 4 ) ( х - 6 ) = 0; х 2 – 4 = 0 или х – 6 = 0; Ответ: -2; 2; 6
График функции
В электронной таблице
Постройте график функции ГИА (2013 г.). . = = х ≠ 2
График функции
Разложить на множители 3х 2 – 21х + 30 Решение: 3х 2 – 21х + 30 = 3(х 2 – 7х + 10) = 3(х 2 – 2х – 5х + 10) = 3((х 2 – 2х) – (5х – 10)) = 3( х ( х – 2) – 5( х – 2)) = 3( х – 2)( х – 5). Гипотеза: ах 2 + bx + c = а( х – х 1 )( х – х 2 ) .
Теорема Если х 1 и х 2 - корни квадратного трехчлена ах 2 + bx + c , то ах 2 + bx + c = а( х – х 1 )( х – х 2 ) . Доказательство: ах 2 + bx + c = Так как корни квадратного трехчлена ах 2 + bx + с являются корнями квадратного уравнения ах 2 + bx + c = 0, то по теореме Виета Отсюда Поэтому ах 2 + bx + c = a(x 2 – (x 1 + x 2 )x +x 1 x 2 ) = a(x 2 – x 1 x – x 2 x + x 1 x 2 ) =a(x(x – x 1 ) – x 2 (x – x 1 )) = a((x – x 1 ) (x – x 2 ), ч . т . д .
Можно ли разложить квадратный трехчлен на множители, если он не имеет корней? Предположим, что квадратный трехчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени: ах 2 + bx + c = ( kx + m )( px + q ), где k , m , p , q – некоторые числа, причем k 0 и p 0. Найдите, при каких х произведение ( kx + m )( px + q )= 0? При и Следовательно , при этих значениях х обращается в нуль и трехчлен ах 2 + bx + c , то есть числа и являются его корнями. Мы пришли к противоречию, так как по условию этот трехчлен корней не имеет . Вывод: если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители
Применение теоремы: № 76(а). Разложите на множители квадратный трехчлен: 3х 2 – 24х + 21 . № 84(б). Сократите дробь : № 86. Чем различаются графики функций y = x – 4 и Домашнее задание: Пункт 4 (прочитать примеры 1, 2, 3). Решить № 77(а, б) и № 84 (а).
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Разложение квадратного трехчлена на множители
Данная презентация может быть полезна при подготовке учащихся 9 классов к КДР и ГИА....
Разложение квадратного трехчлена на множители
Данный урок входит в систему уроков по теме "Квадратичная функция" и является уроком изучения новой темы. В разработке даны некоторые методические рекомендации, а также предусмотрено задание для учащи...
![](/sites/default/files/pictures/2013/01/11/picture-176217-1357851479.gif)
Презентация "Квадратный трехчлен. Квадратичная функция. Квадратные уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители" 8 класс
Данная работа может быть использована при объяснении нового материала в 8 классе или в 9 классе как повторительный материал при подготовке к ГИА. В работе есть как теоретический, так и практичес...
![](/sites/default/files/pictures/2013/04/08/picture-238275-1365412311.jpg)
урок по алгебре в 8 классе по теме: "Разложение квадратного трехчлена на множители"
в материале представлена разработка урока и презентация....
![](/sites/default/files/pictures/2013/04/08/picture-238275-1365412311.jpg)
презентация к уроку по алгебре: "Разложение квадратного трехчлена на множители"
презентация к уроку....
Презентация по алгебре 9 класс. "Разложение квадратного трехчлена на множители."
Алгебра 9 класс. Предметная линия учебников Ю.Н. Макарычева. Автор Н.Г.Миндюк. – М.: Просвещение, 2014 г.презентаци предназначена дл суворовских училищ....
Конспект урока алгебры в 9 классе "Разложение квадратного трехчлена на множители".
Продолжительность урока: 45 минут.Учебник: «Алгебра. 9 класс»: учебник для общеобразовательных учреждений / авт. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.; под ред. Теляковско...