Решение задач по математике
элективный курс по алгебре (11 класс) на тему

Пояснительная записка

Автор: Волкова Любовь Ивановна

учитель высшей категории

Муниципальное общеобразовательное учреждение

 Глебовская средняя общеобразовательная школа

Ржевского района

Тверской области

    Для дальнейшего обучения школьников в учебных заведениях после окончания средней школы необходимы более глубокие знания по математике, чем предусмотрено стандартом образования.  Поэтому возникает необходимость ведения данного курса.

    Основными идеями пронизывающими весь курс являются:

- ведущие принципы и методы решения алгебраических уравнений и неравенств остаются таковыми и для тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений и неравенств;

- многие идеи, рассмотренные в теме «Квадратный трёхчлен» получают своё продолжение и развитие в теме «Нестандартные задачи». В этих двух темах и большинстве других большое внимание уделяется методам, основанным на наглядно-геометрических интерпретациях.

    Особое положение темы «Основы математического анализа»  обусловлено, кроме очевидных причин, также и специфическими методическими принципами, которые должны определять структуру и содержание соответствующего раздела школьного математического курса.

    Элективный курс позволяет научиться осознанно и грамотно пользоваться аппаратом математического анализа, не слишком вникая в теоретические детали и обоснования, имея о них общие представления.

   Теоретический материал и условия задач, взяты из перечисленных ниже книг. Предложенный элективный курс обеспечивает:

- возможность изучать некоторые разделы математики углубленно;

- приобретение школьниками образовательных результатов для успешного продвижения на рынке труда.

    Цели:

 – овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для изучения смежных дисциплин и продолжения образования;

- сформировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для продуктивной жизни в обществе.

   Задачи:

    - привить навыков сознательного и рационального использования различных методов решения математических задач в своей учебной, а затем и профессиональной деятельности;

   -   сформировать умения и способы деятельности для решения практических задач.

Элективный курс по математике «Решение задач» предназначен для обучающихся 11 класса и рассчитан на 34 часа из расчёта 1 час в неделю.

Элективный курс построен на следующих принципах:

1. Принцип вариантности. Очень полезно на примере одной задачи рассмотреть различные приемы и методы решения, а затем сравнить получившиеся решения с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и объяснительной работы, эстетическая и практическая ценность.

2. Принцип самоконтроля. Большинство людей склоны прощать себе небольшие,                   (да и  крупные)  ошибки. Школьники  не исключение.  Проявление  этого  недостатка, имеющего большие последствия на экзамене, является привычка подстраиваться под                                                                      ответ. Решив задачу, получив ответ, и заглянул в конец учебника,  обнаружив   некоторые, иногда серьёзные, расхождения, ученик считает, что все в порядке, хотя задача не решена. Регулярный систематический анализ своих  ошибок и неудач должен быть непременным элементом самостоятельной работы.

Содержание курса предусматривает, наряду с лекциями, уроки–практикумы, сочетание традиционных и новых методов обучения, применение объяснительно-иллюстративных и эвристических методов.

Основной формой проведения занятий является урок.

Предусматривается дифференциация заданий, работа в парах и группах.

Формой контроля является выполнение практических работ и тестирование.

Планируемые результаты:

- приобретение школьниками навыков умственного труда – планирование своей работы, поиск рациональных путей ее выполнения, критическую оценку результатов;

- получение учащимися более высоких знаний, дающих им возможность осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения;

- формирование положительного отношения и интереса к предмету.

Оценка результатов изучения курса «бинарная» (зачтено / незачтено).

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

1. Тригонометрия (9 часов)

Сравнение и преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения. Преобразование уравнений, разложение на множители. Замена неизвестного. Системы тригонометрических уравнений. Запись ответа в системах тригонометрических уравнений.

2.  Показательная и логарифмическая функции (10 часов)

Определение. Разные задачи. Показательные и логарифмические уравнения. Показательные и логарифмические неравенства.

3. Элементы математического анализа (8 часов)

Производная и касательная. Задачи на максимум и минимум. Использование производной при решении различных задач.

4. Нестандартные задачи (7 часов)

Уравнения и неравенства. Задачи с параметром. Графическая интерпретация. Задачи с логическим содержанием.

 Тематическое планирование

Методические рекомендации:

Каждая тема начинается с повторения теоретического материала. Рассматриваются ключевые задачи, затем идет закрепление с помощью выполнения практических работ по теме. В конце каждой темы проводится тестирование с использованием открытого банка задач ЕГЭ.

Использование технических средств и Интернет-ресурсов позволяет активизировать деятельность учащихся.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Тема 1. ТРИГОНОМЕТРИЯ

1. Определить знак числа sin 355.

Решение. Нам надо определить, в какой четверти расположен угол, соответствующий 355 радианам. Легко проверить, что 112 < 355(112 < 112*3,15<355). Так же легко проверяется, что114>355. сложнее выяснить, что больше: 113 или 355. лишь взяв  с семью знаками после запятой (!), из неравенства 3,1415926<<3,1415927 найдем, что 113 < 355, а 113+ > 355.

Таким образом, рассматриваемый угол расположен в третьей четверти, его синус отрицателен.

2. Что больше: sin 10 или sin 11?

Решение. Стандартный путь состоит в следующем. Рассмотрим разность

 sin 11 – sin 10, по формуле (4) преобразуем ее в произведение 2 sin 0,5 cos 10,5. поскольку угол (0,5) находится в первой четверти, то sin 0,5 > 0.

Остается выяснить, где расположен угол 10,5. Поскольку 3 < 10,5 < 3 + , то cos 10,5 < 0. Следовательно, sin 11 < sin10.

Если бы речь шла о сравнении разноименных функций sin  и cos , то сначала следовало бы одну из них перевести в другую. Например, заменить cos  = sin (- ).

3. Вычислить: a) cos 105; б) sin 2 arcsin; в) sin 18

Решение. а) Имеем cos 105 = cos (60+45) = -(-1)

 б) Наша задача эквивалентна следующей: найти sin 2, если sin  и -   , т.е. cos  0.

Имеем  sin 2 = 2 sin   =

4. Найти решение уравнения: tg(x+) по формуле тангенса суммы,  а затем введем новое неизвестное y=tg x. Но здесь есть одно «но». Применяя формулу тангенса суммы, мы сужаем область определения данного управления, исключая из нее значения х=+

(сравните с замечанием к формулам (14)). Значит, нам надо проверить, не являются ли значения х=+ корнями уравнения. Оказывается, являются. Теперь выделив найденные корни, можно закончить решение при приведенной схеме.

Можно обойти эту опасность иначе, например выразив левую часть через ctg x: tg(x+)=. При этом область определения не меняется.

Ответ: +, arctg 3 +, arctg +.

5. Найдите корень уравнения:

Выполнение заданий из открытого банка задач.

Тема 2. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

1. Решить уравнение:  83- 23= 2 - 3

Решение. Сделаем замену у=3. Получим уравнение   72у-23=2-3у. После возведения в квадрат и упрощений приходим к квадратному уравнению.

4. Найдите корень уравнения .

5. Найдите корень уравнения .

6. Найдите корень уравнения .

Выполнение заданий из открытого банка задач.

Тема 3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

2. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

3. Найдите точку минимума функции .

4. Найдите точку максимума функции .

5. Найдите точку максимума функции .

6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

7. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

8. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

9. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Выполнение заданий из открытого банка задач.

Тема 4. НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Решить неравенство: >=3-x.

Решение. Подобные неравенства мы уже решали. Есть два стандартных пути: возведение в квадрат(при условии 3-x>0; если же 3-x<=0).

Рассмотрим ещё один способ - нестандартный. Функция, расположена в левой части, монотонно возрастает, в правой части убывает.  Из очередных  графических соображений следует, что уравнение =3-x  имеет не более одного решения, причем если -  решение этого уравнения, то при -3<=x< будет <3-x, а решением данного неравенства будет x>=. Значение  легко подбирается: =1. Таким образом, имеем ответ: x>=1.

2. Решить уравнение 

Решение. Данное уравнение имеет очевидное решение x=1. Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на , получим  +=1. Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Следовательно, каждое своё значение оно принимает один раз, т. е. данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ. x =1.

3. Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости.

4. При температуре рельс имеет длину  м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где  — коэффициент теплового расширения,  — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

5. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле , где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Выполнение заданий из открытого банка задач.

Литература для учителя

1. В. А. Гусев; А. Г. Мордкович. Математика. Справочные материалы. Москва «Просвещение» 1998г.
2. В. К. Егерев; В. В. Зайцев; Б. А. Кордемский и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы (с решениями). Москва «Высшая школа» 1998г.
3. В. С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Москва «Просвещение» 1990г.
4. И. Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике. Решение задач. Москва «Просвещение» 1989г.
5. Ю. М. Колягин; Ю. В. Сидоров; м. В. Ткачева и др. Алгебра и начала анализа 10 класс. «Мнемозина» 2008г.
6.  Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября»;
7. Математика в школе. Ежемесячный научно-методический журнал.
8. Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов / сост. Г.И. Ковалева, Т.И. Бузулина, О.Л. Безрукова, Ю.А. Розка – Волгоград: Учитель, 2005;

Литература для учащихся

1. В. А. Гусев; А. Г. Мордкович. Математика. Справочные материалы. Москва «Просвещение» 1998г.
2. В. К. Егерев; В. В. Зайцев; Б. А. Кордемский и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы (с решениями). Москва «Высшая школа» 1998г.
3. В. С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Москва «Просвещение» 1990г.
4. И. Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике. Решение задач. Москва «Просвещение» 1989г.
5. Ю. М. Колягин; Ю. В. Сидоров; м. В. Ткачева и др. Алгебра и начала анализа 10 класс. «Мнемозина» 2008г.
6. Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов / сост. Г.И. Ковалева, Т.И. Бузулина, О.Л. Безрукова, Ю.А. Розка – Волгоград: Учитель, 2005;

Для обеспечения плодотворного учебного процесса предполагается использование информации и материалов следующих Интернет – ресурсов:

0. Министерство образования РФ:        http://www.ed.gov.ru/ ;   http://www.edu.ru/  
1. Тестирование online: 5 - 11 классы :      http://www.kokch.kts.ru/cdo/
2. Педагогическая мастерская, уроки в Интернет и многое другое:      http://teacher.fio.ru
3. Новые технологии в образовании:      http://edu.secna.ru/main/

4. Путеводитель «В мире науки» для школьников:       http://www.uic.ssu.samara.ru/~nauka/
5. Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия:       http://mega.km.ru
6. сайты «Энциклопедии», например: http://www.rubricon.ru/;   http://www.encyclopedia.ru/