Нестандартные задачи по алгебре.
методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме
Нестандартные задачи по алгебре с решениями
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 32.58 КБ |
Предварительный просмотр:
Нестандартные задачи по алгебре для 7-8 классов
Представленный материал может быть использован на факультативных, групповых занятиях, на заседаниях математического кружка, во внеклассной работе по математике.
Цель данных занятий - развитие творческого мышления учащихся, а также формирование их мировоззрения; возможность углубленного изучения основного курса путем рассмотрения задач, требующих нестандартного подхода при своем решении.
Достижению этой цели служат специально подобранные задачи. Систематические упражнения в решении таких задач помогут обеспечить действенность приобретаемых учащимися знаний по математике, развить у них творческое мышление и интерес к предмету.
Задача 1. В результате деления двузначного числа на его обратное получились равные частное и остаток. Найти это число.
Решение: Пусть a= 10x +y - искомое число, q – частное, остаток,
тогда 10 x + y = (10y + x)q +q или (10 – q)x – (10q – 1)q = q.
При q= 1, получаем равенство 9(x – у) = 1, которое невозможно.
При q = 2 , имеем 8х – 19у = 2, откуда следует, что число у – четное.
При у = 2 получаем х = 5, а при у = 4, 6, 8 правая часть не делится на 8. Другими словами , в этом случае мы имеем решение а = 52.
Далее, при q = 3 из равенства 7х – 29у = 3 при у = 2 х – получается дробным, а при у 3 х
10, то есть в этом случае решений нет.
При q = 4 имеем 6х – 39у = 4, что невозможно, так как 4 не делится на 3.
Наконец, если q 5, то 5х
( 10 – q)х =( 10q – 1)у + q
49 +q
54, откуда
х 11. Следовательно, искомое число равно 52.
Задача 2. Найти все целые числа х и у, для которых выполняется равенство 2ху + х + у = 83.
Решение: Умножив обе части уравнения на 2 и прибавив к обеим частям 1, представим его в виде :
( 2х + 1)( 2у + 1 ) = 167, и поскольку число 167 – простое, то оно раскладывается на целые множители четырьмя способами:
167 = 1∙167 = 167∙1= (- 1)∙(- 167) = (- 167) ∙ (- 1), откуда находим четыре решения уравнения: (0;83), (83;0), ( - 1; - 84), ( - 84; -1).
Задача 3. Имеется несколько мешков с монетами, в одном из которых все монеты фальшивые , а в остальных – настоящие. Фальшивая монета на 1 г легче настоящей. Каким наименьшим числом взвешиваний на пружинных весах можно обнаружить фальшивые монеты, если в каждом мешке монет достаточно много?
Решение. Занумеруем мешки числами от 1 до n, из каждого мешка возьмем столько монет, каков его номер, и взвесим взятые монеты. Всего их S = 1 +2 + 3 + ….+ n штук. Если вес настоящей монеты равен а грамм, а фальшивые монеты содержатся в мешке с номером к, то весы покажут
= а +2а + …+ к( а- 1) +… + nа = Sа – к.
Взвесим теперь S монет из первого мешка. Если все они фальшивые, то их общий вес окажется меньше
, если же все настоящие, то
будет больше
Поэтому, если
, то фальшивые монеты в первом мешке, в противном случае мы узнаем вес Sа настоящих монет, и разность
дает число к фальшивых монет.
Таким образом, найти мешок с фальшивыми монетами можно двумя взвешиваниями. Ясно, что одним взвешиванием обойтись не удастся.
Задача 4.Найти все такие простые числа р и q, что числа 7р + q и рq + 11 также простые.
Решение. Если число рq + 11 простое, то оно нечетно и, поэтому одно из чисел q или р - четное, то есть равно 2.
Пусть р = 2, тогда числа q + 14 и 2 q + 11 простые. Если при делении на 3 число q дает остаток 1, то q + 14 делится на 3, то есть q = 3 и р = 2 удовлетворяют условию задачи.
Аналогично можно показать, что значения р = 3 и q =2, также являются решением задачи.
Задача 5. Показать, что + n + 1 при натуральном n есть нечетное число, не являющееся квадратом никакого другого натурального числа.
Решение. Число + n + 1 может быть представлено в виде n( n + 1) + 1, где n – натуральное число. Произведение n( n + 1) – четное число, следовательно, n( n + 1) + 1 –нечетное.
Ближайшие к числу + n + 1 квадраты натуральных чисел – это
и
.
Действительно, + n + 1
и
+ n + 1
+ n + 1) + n =
.
Так как и
- квадраты последовательных натуральных чисел, а число
+ n + 1 находится между названными квадратами, то само оно квадратом натурального числа быть не может.
Задача 6. Доказать, что дробь является несократимой тогда и только тогда, когда b и d взаимно простые числа.
Доказательство. Необходимость очевидна. В самом деле, если предположить, что b и d имеют общий делитель, то этот делитель имеют числа , следовательно, и сумма
Тогда дробь
сократима, что противоречит условию.
Покажем, что если b и d не имеют общего делителя, отличного от единицы, то дробь несократимая.
Предположим противное. Тогда сумма имеет общий множитель либо cd , либо сb. Примем для определенности, что
имеет общий натуральный делитель сb. Но это невозможно, поскольку число сb кратно b, а число
- взаимнопростое с b ( сомножитель а- числитель несократимой дроби
d и b не имеют общих множителей по условию). Аналогично показываем, что сумма
не имеет общего натурального делителя cd. Таким образом, достаточность доказана.
Задача 7. Доказать, что
=
+
+ …+
.
Доказательство. =
-
,
=
-
, … ,
=
-
.
Сложив почленно эти равенства, получим:
+
+…+
=
-
=
= .
Задача 8. Дано, что mn + pq делится без остатка на m p. Доказать, что mq + np тоже делится без остатка на m
p.
Доказательство. Представим mn = mn np + np = ( m
n + np,
pq = = pq mq + mq = ( p
q + mq.
Отсюда, mn + pq = ( mn + ( p
q + (np + mq).
Первые два слагаемых делятся без остатка на m значит, и np + mq делится на m
.
Задача 9. Доказать, что корень квадратный из натурального числа не может быть выражен несократимой дробью ( n
1).
Доказательство. Предположим, что =
- несократимая дробь, возводя обе части равенства в квадрат, получаем: к =
=
, где
и
- натуральные числа (
1), не имеющие общих множителей, то есть приходим к противоречию.
Задача 10. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби
Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на 2, получим:
.
Задача 11. Какое из двух чисел больше: 2 +
или 4?
Решение. 2 +
=
( 2 +
) =
(
+
)
2
2
= 4.
Задача 12. Доказать, что число [ - 3n +
1 при натуральных значениях n делится без остатка на 5.
Доказательство. Натуральное число n является четным или нечетным.
Если оно четное, то [ =
и данное выражение можно записать так:
- 3n +
1 =
Полученное отрицательное число делится без остатка на 5.
Если же n – число нечетное, то [ =
и тогда получим:
- 3n
1 =
И на этот раз получили целое число, делящееся без остатка на 5. Итак, данное выражение при всех натуральных значениях n делится без остатка на 5.
Задача 13. Какое надо добавить слагаемое, чтобы сумма X+Y+Z+XY+XZ+YZ+ XYZ разлагалась на произведение трех множителей? Какие это множители?
Решение. Добавить следовало число 1:
(1 + X)(1 + Y)(1 + Z) = 1 + X+Y+Z+XY+XZ+YZ+ XYZ.
Задача 14. Известно, что d a + b = c + d, a + d
b + c. Можно ли по этим данным числа a, b, c, d записать в порядке возрастания?
Решение. Из неравенства a + d b + c следует, что d
b < с
a.
Но с a = b
поэтому d
b < b
d, d< b. Из равенства с
a = b
и неравенства d < b, получаем: с
Итак, b > d > c > a.
Задача 15 . Какая из двух дробей А = и В =
больше?
Решение. Если пойти в решении этой задаче традиционным путем, то придется перемножать слишком большие числа, а затем их сравнивать. Мы же воспользуемся следующим приемом. Обозначим числитель дроби А чеез х, знаменатель – через у. Тогда А = , В =
, причем х
у
2х. Определим знак разности: А – В =
=
0.
Следовательно, А В.
Задача 16. Показать, что выражение 8n – 3, где n – натуральное число, не может быть квадратом никакого целого числа.
Решение. Рассмотрим выражение х( х – 1) + 1, где х _ натуральное число. Его значение - нечетное число, потому что х( х – 1) – число четное.
Запишем заведомо противоречивое равенство: х( х – 1) + 1= 2 n (1).
Решим полученное квадратное уравнение х + 1 = 0 относительно х.
Получим, =
.
Если теперь допустить, что является при каком-то значении n квадратом целого числа, то получим, что при этом значении n равенство (1) справедливо. А оно, как нам известно, неверно при всех значениях n.
Следовательно, не может являться квадратом целого числа.
Задача 17. Доказать, что для любого натурального числа n удастся найти такое натуральное число m, что число mn + 1 окажется составным.
Доказательство. Проще всего в качестве m выбрать n + 2. Тогда число
mn + 1 выражает собой квадрат натурального числа n + 1.
Задача 18. Как разделить 7 яблок поровну на 12 человек, не разрезая яблоки более, чем на 4 части ?
Решение. Каждое из трех яблок надо разделить на 4 равные части, а каждое из остальных четырех – на 3 равные части. При дележке каждому достанется по четверти и по трети яблока.
Задача 19. Найти двузначное число, равное удвоенному произведению его цифр.
Решение. Пусть 10х + у - двузначное число. По условию 10х + у = 2ху, откуда следует, что 10х + у – четно, то есть у – четно. Разделив обе части равенства на 2х, получим: 5 + =
, откуда следует, что у
5. Значит, у = 6 или у = 8. Если у = 8, то 5 +
= 8 , откуда х =
, что невозможно. При у = 6, х = 3. Искомое число: 36.
Задача 20. Доказать, что 3, 5, 7 – единственная тройка последовательных нечетных чисел, каждое из которых простое.
Доказательство. Возьмем любую тройку последовательных нечетных чисел: n, n + 2 и n + 4. Пусть меньшее из них простое и не равно 3, тогда оно не делится на 3, то есть может быть представлено как 3к +1, либо 3к +2. Но тогда либо n + 2, либо n + 4 делится на 3, то есть не являются простыми.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2011/10/10/picture-23388.jpg)
Семинар на тему: «Решение нестандартных задач в рамках итогового повторения курса алгебры и начал анализа»
Методический комментарий.Одним из эффективных способов проведения систематизации знаний является самостоятельная работа учащихся с теоретическим материалом в совокупности с его применением...
![](/sites/default/files/pictures/2011/09/16/picture-19403.jpg)
Элективный учебный предмет для учащихся 10-11 классов по алгебре и началам анализа «Решение сложных и нестандартных задач по математике»
Особенностью элективного учебного предмета является возможность обучения учащихся решению задач, не входящих в программный материал, но широко используемый при сдаче единого государственного экз...
![](/sites/default/files/pictures/2013/09/14/picture-267852-1379154054.jpg)
Рабочая программа "Решение нестандартных задач по алгебре и началам анализа" (профильный курс 3 часа в неделю) 11 класс
Для тех, кто предполагает получить в дальнейшем высшее образование, связанное с естественными науками, техникой и социально-экономическими дисциплинами, математическая подготовка носит более фундамент...
![](/sites/default/files/pictures/2021/06/08/picture-286895-1623180069.jpg)
Исследовательская работа, проект "Решение некоторых нестандартных задач по алгебре", презентация, 9 класс
Исследовательская работа учащейся 9 класса, презентация "Решение некоторых нестандартных задач по алгебре", в рамках подготовки к ОГЭ...
![](/sites/default/files/pictures/2017/12/03/picture-102230-1512327900.jpg)
План конспект урока по алгебре в 8 классе по теме "Решение квадратных уравнений содержащих параметры, решение нестандартных задач"
План конспект урока по алгебре в 8 классе по теме "Решение квадратных уравнений содержащих параметры, решение нестандартных задач"...
![](/sites/default/files/pictures/2024/06/21/picture-209667-1718939956.jpg)
Рабочая программа кружка «Решение нестандартных задач по алгебре».
Рабочая программа кружка «Решение нестандартных задач по алгебре»....