Олимпиадный материал для 5-11 класса
олимпиадные задания по алгебре (5 класс) по теме

                          Задачи школьной олимпиады по математике

                           5 класс

Имеются двое песочных часов: на 3 минуты и на 7 минут. Яйцо варится 11 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?   (2 балла)

Митя, Коля, Сеня, Юра и Костя пришли в музей и встали в очередь. Если бы Митя встал посередине очереди, то он оказался бы между Сеней и Костей, а если бы Митя встал в конце очереди, то рядом с ним мог быть Юра, но Митя встал впереди всех своих товарищей. Кто за кем стоит?          (2 балла)

Дочери в настоящее время 8 лет, а матери 38 лет. Через сколько лет мать будет втрое старше дочери?    (3 балла)

Как с помощью двух бидонов 5л и 8л отлить из молочной цистерны 7л молока? Молоко разрешается выливать обратно в цистерну.   (5 баллов)

Катя и Юра купили лотерейные билеты с номерами: 625517 и 322324, и обнаружили, что в каждом из номеров можно расставить знаки арифметических действий и скобки так, что в каждом случае результат будет равняться 100. Как это можно сделать?   (3 балла)

Ответы:

Перевернуть обои часы. Когда пройдет 3 минуты, в семиминутных часах останется 4 минуты. Поставить яйцо в данный момент вариться. Когда 4 минуты закончатся, перевернуть семиминутные часы обратно. Получим 4+7=11.

1 решение: Митя, Толя, Сеня, Костя, Юра

2 решение: Митя, Толя, костя, Сеня, Юра.

Через 7 лет.

1) Налить молоко в пятилитровый бидон и перелить в восьмилитровый.

2) Снова налить молоко в пятилитровый бидон и долить восьмилитровый бидон. Тогда в пятилитровом бидоне останется 2л молока.

3) Вылить молоко в цистерну из восьмилитрового бидона.

4) Перелить 2л молока из пятилитрового бидона в восьмилитровый бидон.

5) Налить молоко в пятилитровый бидон и перелить его в восьмилитровый.

В результате в восьмилитровом бидоне получим 2+5=7 (л) молока.

62+55-17 и (3+22) · (3-2)· 4

                 6 класс

Разместите восемь козлят и девять гусей в пяти хлевах так, чтобы в каждом хлеве были и козлята и гуси, а число их ног равнялось 10.         (5 баллов)

Расшифруйте запись. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами– разные цифры.         (2 балла)

                             УДАР

                           +УДАР

                            ДРАМА

Разместите на трех грузовиках 7 полных бочек, 7 бочек, наполненных на половину, и 7 пустых бочек так, чтобы на грузовиках был одинаковый по массе груз.         (2 балла)

В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?           (3 балла)

В записи 52*2* замените звездочки цифрами так, чтобы полученное число делилось на 36. укажите все возможные варианты.                   (3 балла)

Ответы:

В двух хлевах по 1 козленку и 3 гусям, в трех хлевах – по 2 козленка и 1 гусю.

  8126

      +8126

      16252

 На первый грузовик поместить 3 полных бочки, 1 наполненную наполовину  и 3 пустых бочки; на второй грузовик– 3 полных, 1 наполненную наполовину и 3 пустых; на третий – 1 полную, 5 наполненных наполовину и 1 пустую.

Молоко в кувшине, лимонад в бутылке, квас в банке, вода в стакане.

52524, 52128, 52020, 52920.

                        7 класс

4 черные коровы и 3 рыжих дают за 5 дней столько молока, сколько 3 черные коровы и 3 рыжих за 4 дня. У каких коров удои больше: у черных или у рыжих?        (3 балла)

Натуральное число умножили на каждую из его цифр. Получилось 1995. Найдите исходное число.             (2 балла)

Число 56 разложите на два слагаемых так, чтобы  первого слагаемого была равна

     второго.                   (2 балла)

Из корзины яиц взяли половину всего количества яиц, потом еще половину остатка, затем половину нового остатка и, наконец, половину следующего остатка. В итоге в корзине осталось 10 яиц. Сколько яиц было в корзине первоначально?   (3 балла)

Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?        (5 баллов)

Ответы:

Из условия следует, что 20 черных коров и 15 рыжих дают за 1 день столько же молока, что и 12 черных и 20 рыжих коров. Тогда 8 черных коров дают столько же молока, сколько 5 рыжих. Поэтому у рыжих коров удои больше.

Разложим  1995 на множители: 1995=3·5·7·19. Так как искомое число не может быть ни однозначным, ни трехзначным, то оно является двузначным. Рассматривая возможные варианты для двузначного числа, получаем ответ: 57·5·7=1995.

24+32=56

160 яиц.

В 12.00 стрелки сходятся вместе. После этого за 20 минут минутная стрелка проходит

 окружности, то есть описывает угол в 120º. Часовая стрелка движется в 12 раз  медленнее минутной (так как описывает круг за 12 часов). Поэтому она за 20 минут опишет угол в 120º : 12=10º и будет образовывать с минутной стрелкой угол в

      120º -10º=110º

      Задачи школьной олимпиады по математике 9 класс

1.  Решите неравенство:

                                        х 2 – 5х + 6 < 0 .

                                        х 2  -7х + 12

2.   Путь из села в город таков: сначала 15 км в гору, потом 6 км с горы.      Велосипедист едет без остановок в гору с одной постоянной скоростью, с горы – с другой. В один конец он ехал 3,1 ч, обратно 2,5 ч. какова скорость велосипедиста в гору и с горы?

3.    Уравнение х +    1__   =  30    имеет решение в целых числах ( 4;3;2 ).

                               у + 1       7

                                      z

Найдите еще одно решение уравнения в целых числах.

         Задачи школьной олимпиады по математике 8 класс

Решите уравнение

                            | х –1999| + | 1999 – х | = 2000.

В классе послушных девочек столько же, сколько непослушных мальчиков. Кого в классе больше: послушных детей или мальчиков? ( Объясните ваш ответ ).

На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям – на 45 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит привезенного корма и уткам, и гусям вместе?

8 класс

Поставьте знаки модуля так, чтобы равенство стало верным:

1-2-4-8-16=19.    (2 балла)

Постройте график функции:

y=  (3 балла)

В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.  (3 балла)

Найдите значения a и b, при которых равенство

           Выполняется при всех допустимых значениях переменной x.  (4 балла)

Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению x²-y²=69. (3 балла)

9 класс

1.  Найдите значение выражения:      

     (1+)(1+)(1+)(1+)(1+)(1-) при а=2003   (3 балла)

При каких значениях a квадратные трехчлены x²+ax+1 и x²+x+a имеют общий корень?

(4 балла)

Сколько цифр содержит число ?   (2 балла)

Четыре семьи, дружившие между собой, держат по 10 различных животных. Их питомцы – белки, кролики, хомяки и ежи. Каждая семья держит разное число животных разных видов – от одного до четырех, и в разных семьях разное количество зверушек одного вида. Определите, сколько и каких животных в каждой семье, если известно, что:

у Ивановых, Сидоровых и Петровых ежей не по два;

у Ивановых и Петровых кроликов, а у Кузнецовых кроликов и хомяков не по одному;

в семьях Сидоровых, Петровых и Кузнецовых живут не по три белки;

В семьях Ивановых и Петровых хомяков не по два и не по четыре.  (4 балла)

Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников так, чтобы у соседних прямоугольников стороны не совпадали.    (2 балла)

10 класс

Решите систему уравнений:

      (x+y)(x+y+z)=72,

(y+z)(x+y+z)=120,

(x+z)(x+y+z)=96.    (3 балла)

При каком целом k неравенство

                  х²+2(4k-1)х+15k²-2k-7>0     верно при любом действительном х?  (4 балла)

Решите в целых числах уравнение x²-3xy+2y²=7.   (3 балла)

Малыш и Карлсон разделили круглый торт двумя перпендикулярными разрезами на 4 части. Карлсон взял себе одну наименьшую часть и одну наибольшую часть, а остальные две отдал Малышу. Кому торта досталось не меньше половины?  

                 (3 балла)

Отгадайте ребус:  

                                      - *******   **

                                        ***            **8**

                                             -**

                                               **

                                     -  ***

                                        ***

                                           0

        (2 балла)        

11 класс 

1.   Представьте числа от 1 до 10 с помощью числа π, используя скобки, знаки действий,   извлечение квадратного корня, а также символ функции [x], где [x] – целая часть

 числа x. Например, 11=[+].  (3 балла)

Постройте график функции: у =+ (2балла)

Решите уравнение |x-1|-|x-2|=1.   (4 балла)

Найти четырехзначное число, которое в 4 раза меньше числа, записанного теми же цифрами, но в  обратном порядке.  (3 балла)

Десять машин выпускают одинаковые резиновые мячи массой по 10 г каждый. Одна из машин испортилась и стала выпускать мячи массой по 5 г.  Как найти испортившуюся машину с помощью одного взвешивания мячей?   (3 балла)

Ответы и решения

8 класс

1.   ||1-2|-|4-8|-16|=19.

2.   Упрощая правую часть, имеем: y=x, где x≠±1. Таким образом, графиком указанной  функции является прямая, заданная формулой y=x, без 2 точек: А(1;1) и В(-1; -1).

3.   Пусть такого класса в школе нет, т.е. во всех классах будет 33 и менее учащихся. Тогда во всей школе будет не более 33·30=990 учащихся, что противоречит условию задачи (в школе 1000 учащихся). Значит, наше предположение неверно, поэтому в школе есть класс, в котором не менее 34 учеников.

4.   Приводя в правой части равенства дроби к общему знаменателю и учитывая, что знаменатели у дробей в левой и правой частях равны, получим:

      5х+31=ах+2а+вх-5х;

      5х+31=(а+в)х+(2а-5в).

      Откуда имеем:       а+в=5,

                                      2а-5в=31.

      Решая полученную систему, получаем: а=8, в=-3.

      Ответ: при а=8, в=-3.

5.   х²-у²=69

(х-у)(х+у)=69

69=1·69=69·1=3·23=23·3, учитывая, что х>у, имеем:

х-у=1,                                  х-у=3,

х+у=69,            или             х+у=23.

Решая данные системы, находим два решения: (35,34) или (13,10).

Ответ: (35,34) или (13,10).

Ответы и решения

9 класс

1.  Применяя формулу (х-у)(х+у)=х²-у² последовательно для последних двух множителей, в результате получим:

      (1-)(1+)=1-a.

      При а=2003 получим 1-а=1-2003=-2002.

      Ответ:-2002.

Пусть  – общий корень данных трехчленов, тогда

       +a+1=0 и ++а=0, т.е.

       +a+1=++а  a+1=+аа(-1)= -1(-1)(а-1)=0.

       Тогда а=1 или =1.

       Если а=1, то трехчлены оба имеют вид х²+х+1 и не имеют действительных корней.

       Если =1, то 1²+а·1+1=0 и 1²+1+а=0.  В обоих случаях а=-2.

       Ответ: а=-2.

3.    =()==1 250 000 000 000.

       Ответ: 13 цифр.

4.    

5.                    

Ответы и решения

10 класс

1.  Сложив все три уравнения системы, получим уравнение (х+у+z)(2x+2y+2z)=288, из которого   найдем х+у+z=12 или х+у+z=-12. Подставляя вместо х+у+z числа 12 и -12, получим в первом случае: x=2,y=4,z=6, а во втором: x=-2,y=-4,z=-6.

      Ответ: (2;4;6),(-2;-4;-6).

Неравенство будет верно, если D<0. Найдя дискриминант и учитывая, что он должен быть отрицательным, получим неравенство k²-6k+8<0, которое будет иметь решения при 2

Ответ: при k=3.

Разложим -3ху на два слагаемых –ху и -2ху. Тогда получим: х²-ху-2ху+2у²=7. Сгруппируем  и вынесем за скобки (х-у) и получим: (х-у)(х-2у)=7. Учитывая, что 7=1·7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1), получим следующие четыре системы уравнений:

х-у=1,               х-у=7,               х-у=-1,               х-у=-7,

х-2у=7,             х-2у=1,             х-2у=-7,             х-2у=-1.

Решая данные системы, найдем решения уравнения: (-5;-6), (5;6), (13;6), (-13;-6).

Ответ: (-5;-6), (5;6), (13;6), (-13;-6).

Проведем два разреза, центрально симметричные уже сделанным. Куски 1, 2, 6, 9 достались Малышу, а симметричные им 7, 8, 4 и 3 – Карлсону, которому отошла еще и середина 5. поэтому Карлсону досталось не менее половины торта.

                                      - 1089708     12

                                            108             90809

                                             -   97

                                                  96

                                     - 108

                                       108

                                           0

Ответы и решения

11 класс

1.  1=[];  2=[+];  3=[π];  4=[ π+];  5=[ π];  6=[ π+ π];  7=[ π+]+ [π];

                  8=[( π· π)- ];  9=[( π· π)];  10=[]+[( π· π)].

2. y=+

                y=+

               y= +

               y= 2sin²x+1+2cos²x+1

               y=4

               Ответ: графиком функции является прямая, заданная уравнением у=4.

Ответ: х2

4.   Обозначим искомое число за 1000a+100b+10c+d. По условию задачи имеем:

      4(1000a+100b+10c+d)=1000d+100c+10b+a.

      Так как левая часть – число четное, то и правая часть – число четное, поэтому a– четная  цифра. Тогда a=2, так как в других случаях получим в левой части пятизначное число. Так как 4d оканчивается на 2, то d=8. В итоге имеем:

       4(1000·2+100b+10c+8)=1000·8+100c+10b+2.

      Тогда 4(10b+c)+3=10c+b или 40b+4c+3=10c+b.

      После упрощения получим:  13b+1=2c.

      Решением данного уравнения будут: b=1,c=7. Тогда искомое число будет 2178.

      Ответ: 2178

5.   Возьмем от первой машины один мяч, от второй – два, от третьей – три и т.д., от десятой –   десять. Найдем их общую массу. Это взвешивание будет единственным.

Если бы все мячи были массой по 10г, то весы показали бы

10(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=550 (г).

Если первая машина допускает брак, то общая масса станет меньше на 5г, если вторая, то на 10г, и т.д., если десятая, то на 50г. Таким образом, по массе 55 мячей можно узнать, какая машина испортилась.

ОЛИМПИАДА

6 класс

Выразите число 16 с помощью четырех пятерок, соединяя их знаками действий.

      (2 балла)

В летний лагерь приехали отдыхать три друга– Миша, Володя и Петя. Известно, что каждый из них имеет одну из следующих фамилий: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша – не Герасимов. Отец Володи – инженер. Володя учится в 6 классе. Герасимов учится в 5 классе. Отец Иванова – учитель. Какая фамилия у каждого из трех друзей? (3 балла)

Школьник прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал 0,2 всей книги и еще 16 страниц, во второй день – 0,3 остатка и еще 20 страниц. В третий день – 0,75 остатка и последние 30 страниц книги. Сколько страниц в книге?  (5 баллов)

Расшифруйте запись. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами – разные цифры.       (2 балла)

            КОКА

         + КОКА

            ВОДА

Разрежьте клетчатый прямоугольник размером 5х8 клеток на фигурки из четырех клеток вида:                (3 балла)

ОЛИМПИАДА 10 КЛАСС

Найдите значение выражения:

      (1+)(1+)(1+)(1+)(1+)(1-) при а=2003   (3 балла)

Листок календаря частично закрыт предыдущим листком. Какая его часть больше -закрытая или открытая?   (3 балла)

Автомобиль проехал 600 км. Первую половину пути он двигался со скоростью 100 км/ч, а вторую – 60 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля. (2 балла)

Сколько цифр содержит число 4*5?    (3 балла)

При каком целом k неравенство

              х²+2(4k-1)х+15k²-2k-7>0     верно при любом действительном х?   (4 балла)

ОЛИМПИАДА 10 КЛАСС

Найдите значение выражения:

      (1+)(1+)(1+)(1+)(1+)(1-) при а=2003   (3 балла)

Листок календаря частично закрыт предыдущим листком. Какая его часть больше -закрытая или открытая?   (3 балла)

Автомобиль проехал 600 км. Первую половину пути он двигался со скоростью 100 км/ч, а вторую – 60 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля. (2 балла)

Сколько цифр содержит число 4*5?    (3 балла)

При каком целом k неравенство

              х²+2(4k-1)х+15k²-2k-7>0     верно при любом действительном х?   (4 балла)

ОЛИМПИАДА 10 КЛАСС

Найдите значение выражения:

      (1+)(1+)(1+)(1+)(1+)(1-) при а=2003   (3 балла)

Листок календаря частично закрыт предыдущим листком. Какая его часть больше -закрытая или открытая?   (3 балла)

Автомобиль проехал 600 км. Первую половину пути он двигался со скоростью 100 км/ч, а вторую – 60 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля. (2 балла)

Сколько цифр содержит число 4*5?    (3 балла)

При каком целом k неравенство

              х²+2(4k-1)х+15k²-2k-7>0     верно при любом действительном х?   (4 балла)