Исследовательская работа учащихся на уроках математики
статья по алгебре по теме

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 6»

Исследовательская работа

на уроках математики

ФЕСТИВАЛЬ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАСТЕРСТВА «ЗОЛОТЫЕ РОССЫПИ»

Номинация «Педагогическая мастерская»

Учитель математики

ЛЕДОВСКАЯ ЕВГЕНИЯ НИКОЛАЕВНА

МАРТ 2011 г.

Слайд №1

 Уважаемые коллеги,  я уже много лет работаю в школе, где образовательный процесс  меняется в соответствии с духом времени. Ученики тоже изменились.  Это уже не тот сосуд, который надо заполнить, а факел,  который  нужно зажечь. Поэтому возникает потребность в изменении методов преподавания своего предмета.Хочу поделиться с вами опытом работы по теме: «Исследовательская работа на уроках математики и во внеурочное время».

Слайд №2.

 Остался позади век промышленности,  мы вступили в век информации. И радует, что стала расти ценность образования. Вопрос в том, соответствует ли уровень знаний, который дает школа, требованиям распахнувшегося перед нами нового, удивительного мира? Каким же должен быть современный ученик? В концепции современной модели образования ответ известен: ученик должен быть информирован, коммуникабелен, уметь самообразовываться и самостоятельно организовывать свою деятельность. Учитель теперь технолог в образовательном процессе, который руководит процессом добывания знаний, исследователь, воспитатель, консультант. Инновационное развитие страны требует, чтобы уже к 2015 году все учебные программы и методы обучения были обновлены с использованием компетентностного подхода к образованию. То есть акцент делается на внедрение исследовательских и проектных методов, вовлекающих школьников в практическую и научно – исследовательскую деятельность. В ближайшее время исследование займет центральное место в образовании, это возможность осваивать не суммы готовых знаний, а методы овладения новыми знаниями в условиях стремительного увеличения информации, возможность сохранения и раскрытия в каждом ребенке его индивидуальности, неповторимости, творческого дара, освоение содержания в соответствии с потребностями ребенка, с уровнем развития, с опорой на ситуацию успеха. При исследовании развиваются наблюдательность, внимательность, аналитические навыки.

Слайд № 3 .

Считаю, что при обучении школьников исследовательской деятельности следует:

Формировать рефлексивные умения путем приобщения учащихся к методам научного познания;

Формировать умение критически оценивать получаемую информацию и находить различные пути разрешения проблем;

Использовать проблемную технологию,как основу учебно-исследовательской деятельности и привитие навыка выделять основную проблему в любом материале;

Формировать исследовательские умения и мыслительные функции;

Рассматривать социальные и учебно-научные перспективы выполнения исследовательских работ.

Исследование в сфере образования дает возможность развития инструмента оперативного освоения действительности.

 Цель – реализация специальных индивидуальных способностей школьников. формирование ценностных ориентиров; самореализация. При исследовательской деятельности учащиеся отыскивают не только способы решения поставленных проблем, но и побуждаются к самостоятельной их постановке, к выдвижению целей своей деятельности. Переход к профильному обучению способствует развитию самостоятельности,  возможности вовлечения школьников в практическую и научно – исследовательскую деятельность.

Слайд№4.

Возникают вопросы о том,как подготовить учеников к решению исследовательских задач, то есть какие формы работы и элементы урока помогают развивать исследовательские навыки.

 Изучив литературу, учитывая свой опыт работы, я выработала следующие правила:  Надо строить учебный процесс, способствующий развитию интереса школьников к исследовательской деятельности, к логической переработке информации.  В исследовательскую, самостоятельную деятельность необходимо вовлекать учащихся разного уровня подготовленности, разного возраста. Надо учитывать возможности ребенка, прогнозировать уровень результата, темп реализации программы исследования. В основном, проектами и исследовательской работой занимаются дети, которых характеризует стремление к более глубокой проработке изучаемой темы, концентрированное внимание, способность к длительной работе в определенном направлении, целеустремленность к максимально высокому уровню результатов деятельности.  Создавать условия для развития способностей: выбирать тему и предмет исследования в соответствии с потребностями ребенка; организовать обучение в “зоне ближайшего развития и на достаточном уровне трудностей” ; опираться на “субъектный опыт ребенка”; учить способам деятельности.  Применять на учебных занятиях методы и приемы исследовательской деятельности, так как обучение навыкам исследовательской работы начинается с обычного урока.  Развивать умение определять цели и задачи исследования, его предмет; самостоятельно работать с литературой; анализировать и систематизировать информацию; использовать моделирование, методы выдвижения гипотез; описание результатов; развивать умение делать выводы и обобщать.

           Какие умения необходимо развивать?

Слайд №5, 6.

Приведу конкретные примеры таких исследовательских умений. Решение нестандартных задач.

 Многие учащиеся умеют решать полные квадратные уравнения, умеют переносить слагаемые из одной  части уравнения в другую . Но уравнение вида

2х2 + 11х = -5 отдельные дети решить не могут. То есть комби нировать простые идеи некоторые ученики затрудняются.

Другой пример: уравнение х6 + 100х4 + х2 + 1 = 0. У него нет корней, так как левая часть всегда положительна. Чтобы понять это, не надо знать ничего вне школьной программы, надо только понимать, что значит «решить уравне ние», и не пугаться его вида («мы этого не про ходили»). Установка должна быть четкой: «Не знаем алгоритма — не беда, подумаем».

Слайд №7

Конструируем.

 Школьников постоянно про сят решить пример и реже — придумать свой пример. Между тем такие задания полезны и в чисто учебном отношении: они проверяют понимание, тренируют «конструкторские» способности.

Пример. Придумайте уравнение с целыми коэффициентами, имеющее корень:

а) 1; б) √2; в) 1 + √2; г) √2+ √3

Пример. Придумайте:

а) неравенство второй степени, решением которого является одно число;

 б) неравенство четвертой степени, решением которого являются два числа.

Каждую вновь появляющуюся конструкцию через некоторое время тренируемся строить сами.

Слайд №8.

Задаем вопросы.

 Вопросы обычно задает учитель, причем не потому, что не знает ответа, а потому, что хо чет выяснить, знает ли его ученик. Между тем умение задавать вопрос «по делу» пригодится в жизни всем.

Пример. Пройдена тема «Квадратные уравнения ».  На доске записываю уравнение х2 + bх + 4 = 0 и говорю: «Придумайте вопрос к этому уравнению». Ученики начинают спра шивать: «При каких b уравнение имеет два кор ня?», «При каких b корни целые?», «При каких b есть корень, равный —1?» Отвечать на вопросы могут другие ученики или  я.

Обычно задача жестко задана: составитель разложил конфигурацию бильярдных шаров и ученику надо только грамотно ударить. А здесь ученик начинает сам видеть конфигурации: нет ли лишних данных, что еще можно найти и т.д.

Слайд № 9.

Экспериментируем.

 Математика — наука не только теоретическая, но и экспериментальная. Хочется, чтобы ученик, встречая сложную задачу, к которой не понятно, как подступиться, не пасовал, а начинал изучать частные случаи, пока за ними не выстроится закономерность.

Я убеждена, что правильный путь, нахожде ния формул для сумм типа 1 + 3 + ... + (2п - 1), I3 + 23 + ... + п3, — это подсчитать первые не сколько сумм (для маленьких п), найти законо мерность и доказать ее.

В сложных задачах часто дано большое зна чение параметра, а надо решить сначала для маленького и угадать закономерность. Напри мер, так легче всего найти сумму

-(-1 - (-1 - (-1 - (-1 -...)))), где 2007 или 2008 пар скобок.

Угадать и доказать — в этом нет ничего зазор ного. Настоящие математики так и работают.

Слайд №10.

Выдвигаем гипотезы.

 В геометрии боль шой простор для экспериментирования .  Можно строить довольно сложные геометриче ские конструкции, изменять их и наблюдать различные свойства.

Пример. Когда пройдена тема «Четырех угольники», можно дать новую фигуру — дель тоид, то есть четырехугольник ABCD, у которого АВ = ВС, CD = DA, и попросить учащихся найти его свойства и признаки по аналогии с паралле лограммом и другими изученными фигурами. Затем можно исследовать равноугольные ше стиугольники и равносторонние шестиугольни ки. Ока зывается, у равносторонних шестиугольников никаких интересных свойств нет! Школьникам трудно с этим смириться, но это тоже резуль тат — и это важно понимать.

Слайд №11

Задачи

Какие этапы нужно постепенно пройти на уроке от школьной задачи, в которой есть определенные данные и конкретный вопрос, к исследовательской задаче?

1-й этап. Задача с определенными данными и несколькими вопросами по модели «найти» или «доказать».

Пример. Саша купил два карандаша, че тыре тетради и четыре ручки и заплатил 32 р., а Дима купил четыре карандаша, две тетради и две ручки и заплатил 22 р.

а)        Сколько заплатила Маша, если она купила
карандаш, тетрадь и ручку?

б)        Сколько стоит карандаш?

в)        Сколько заплатил Витя, если он купил три
тетради и три ручки?

Слайд №12

2-й этап. «Заготовка задачи». Данные есть; требуется поставить разумный вопрос, чтобы на него можно было найти ответ.

Пример. В 12.00 из деревни Шахматове вышел шахматист со скоростью 4 км/ч. В тот же момент по той же дороге навстречу ему из дерев ни Шашкино вышел шашист со скоростью 6 км/ч. Они встретились, поговорили 5 мин и пошли дальше. Каждый дошел до другой деревни, по был там 15 мин и пошел обратно. На обратном пути они снова встретились и, не останавливаясь, пошли дальше, каждый в свою деревню. Рас стояние между деревнями 12 км. Задайте к этому тексту все вопросы, какие сможете, и найдите на них ответы.

П р и м е р. В ромбе сторона равна а и равна одной из диагоналей. Задайте вопрос и решите задачу. (Найдите углы ромба, другую диагональ, высоту, площадь, радиус вписанной окружности и т.д.)

Слайд № 13

3-й этап. Анализ данных. Что можно найти, исходя из данных, а что нельзя?

Пример. В трапеции ABCD известны осно вания ВС = a, AD = b высота ВН = h. Диагона ли пересекаются в точке К. Какие из следующих величин можно найти, исходя из этих данных

а)        Сторону АВ.

б)        Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

в)        Диагональ АС.

г)        Площадь треугольника AKD.

Ответ обязательно поясните: если величину можно найти, то найдите ее, если данных недо статочно, то приведите пример двух трапеций с данными основаниями и высотой, но имеющих разные другие величины.

Слайд №14.

4-й этап. Работа с данными. Что нужно за дать, чтобы найти некоторую величину?

Пример. Задайте минимальное количество точек координатной плоскости, лежащих на параболе, чтобы можно было найти квадрат ичную функцию, графиком которой эта парабола является.

Пример. Дано кубическое уравнение х3 + ах2 + bх + с = 0. Какие коэффициенты нужно знать, чтобы найти сумму квадратов корней уравнения.

Слайд №15.

5-й этап. Создание учеником задачи с исполь зованием уже разобранной задачи (задача на ту же идею, обобщение задачи, усиление условия и т.д.).

Пример. Коля доказал, что в прямоугольнике биссектрисы противоположных углов параллель ны друг другу; значит, четыре биссектрисы обра зуют параллелограмм. Верно ли его утверждение? Насколько оно интересно? Можете ли вы его до полнить? Усилить?

Слайд №16.

Формы работы

Диалоги.

 При введении нового материала полезно не давать всё готовым «под запись», а об суждать какие-то кусочки материала с учениками, вместе нащупывать истину.

Пример. Пусть на уроке в 5-м классе вы яснено следующее: чтобы найти число, большее единицы, которое при делении на 2, на 3 и на 5 дает в остатке 1, можно взять число (2 • 3 • 5 + 1). Один ученик спрашивает: «А если вместо 2, 3 и 5 взять другие числа?» Разбираемся, что такой способ всегда дает остаток 1. Другой спрашивает: «А будет ли оно самым маленьким среди таких чи сел?» Приводим пример с 2,4,6, когда способ дает не самое маленькое. Школьники задумываются: а когда же он дает самое маленькое число? Произо шел серьезный исследовательский диалог.

По мере того как учащиеся овладевают типич ными исследовательскими вопросами, учитель из транслятора готовых знаний превращается в руководителя семинара.

Пример. Научились решать квадратные урав нения и сводить к ним биквадратные. Какие еще уравнения можно решить с помощью этой идеи?

Пример. При изучении арифметической про грессии учащиеся узнали свойство

аi+ 1=ai+ai+22

Они сами доказали его, сами нашли и доказали признак. При изучении геометрической прогрес сии мне достаточно дать определение — свой ство и признак учащиеся самостоятельно откроют и докажут по аналогии.

Слайд №17.

Открытые задачи

Почти во всех задачах просят «найти» («решить») или «доказать». А мы будем решать открытые задачи, в которых спрашивают: «верно ли, что...», «существует ли...», «когда существует», «уточните условие», «обобщите», «проверьте справедливость обрат ного утверждения». При открытой постановке учащиеся учатся задавать правильные вопросы, уточнять задачу, выделять ведущий параметр (раньше это была наша прерогатива!).По некоторым темам удается вообще все задачи «открыть».

Слайд №18

Домашняя олимпиада.

 Для учеников 5-7-х классов провожу домашнюю олимпиаду. На неделю выдаю 5 не стандартных задач; затем проверка, разбор и новые задачи . В известном смысле — это «олимпиада наоборот»: можно думать долго, можно советоваться с кем хочешь, награждаются все участники.  Назначается несколько планок (4-5), и ученик, добравшийся до очередной планки (неважно, когда), получает приз. Таким образом, даже не самые сильные ученики, работая в течение года, получают 1-2 приза. Очень важно ещё, что школьники учатся записывать нестандартные решения. Поскольку задачи разнообразны, имеют привлекательную формулировку, учащиеся их очень любят.

Слай №19.

Фронтальное обсуждение «минипроекта».

 В 5-6-х классах исследовательскую рабо ту можно вести с сильными учащимися прямо на уроке. Этим облегчается переход к новой форме работы, требующей самоорганизаци

Пример. Решили на уроке задачу: «На сколько частей можно разрезать блин тремя раз резами?» Далее задается вопрос: «А если разре зов четыре, пять, п?» О наименьшем количестве частей ученики догадываются довольно быстро, о наибольшем кто-то догадывается, кто-то нет.

Другие примеры фронтальных проектов для 5-7-х классов:

1. Полоска. Двое играют на полоске из п х m клеток бумаги. Каждый закрашивает одну или две идущие подряд клетки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Найти выигрышную стра тегию. Обобщить для полосок пхm, для кубиков в пространстве.

2.        Полезные числа. Петя хочет узнать, является ли число 2503 простым или составным. Для этого он делит его последовательно на натуральные числа 2, 3, 4, 5 и т.д. Если на какое-то число оно разделится нацело, значит, оно составное.

а)        Согласны ли вы, что необходимо делить на все подряд натуральные числа?

б)        На каком числе можно остановиться и признать число 2503 простым? Обобщите для числа N.

1. Нелегальный доход. Можно ли выписать п чисел, чтобы сумма любых двух соседних была отрицательна, а сумма всех чисел — положи тельна? Тот же вопрос для любых трех соседних; любых k соседних чисел.
2. Прямоугольники и диагонали. На листе бумаги в клеточку обведите прямоугольник раз мером 2x5 клеток. Сколько клеток пересекает диагональ этого прямоугольника? Через сколько узлов (то есть вершин клеток) проходит диаго наль? Проделайте то же с прямоугольниками 3x6 и 6 х 8 клеток. Какие закономерности видны? Как вы думаете, каким будет ответ для прямоуголь ника 199 х 991 клеток? Попробуйте дать ответ для произвольного прямоугольника размером nхm клеток. Примечание. Диагональ пересекает клетку, если она заходит «внутрь» этой клетки, а не просто проходит через вершину.

Задачи попроще решаются на уроке и тут же (или дома) записываются. Задачи посложнее обсуждаются в классе один раз в неделю, а через 2-4 недели подводятся итоги. Учащиеся, которые думают медленно и от, этого на уроках обычно страдают, тут оказываются в выигрышной си туации. Важно требовать запись решения: ученик еще раз всё продумывает, выстраивает логически, обосновывает. Обычно я не получаю полного решения от всех, каждый доводит решение до своего уровня. Но здесь это не страшно (в отличие от работы с программным материалом).

После того как несколько циклов пройдено, можно дать ученикам несколько задач на выбор, и пусть каждый решит свою. По моему опыту, удается работать с 6-8 заинтере сованными школьниками разом на этапе решения задачи. Когда же дело доходит до оформления результатов и подготовки доклада, стоит каж дому ученику или группе назначить своего кон сультанта, который посмотрит свежим взглядом на его решение, «выловит» ошибки, «дожмет» с подготовкой доклада к нужному сроку. Тут ресурса одного человека на всех не хватает, тем более что обычно учащиеся больше любят решать, чем оформлять.

Важно, чтобы обстановка на конференции была праздничной и делать доклад было престижно. Учащиеся, успешно прошедшие такие мероприя тия в 5-7-х классах, затем при желании легко включаются в решение более сложных исследова тельских задач — уже в индивидуальном порядке, размышляя дома и консультируясь у учителя.

Слайд№20

        Советы по организации исследований во внеклассной работе.

Часто, давая ребятам тему и задание подобрать материал, я получаю стопку листов бумаги с текстами, взятыми из Интернета. Конечно, такая работа по поиску информации мало способствует раз витию учащихся. Но и здесь  можно получить положительный результат, если составить по этой теме вопросы, на которые ученики должны найти ответы, используя данные материалы (но лучше не только их). Работа с текстом и станет первым навыком исследова тельской деятельности, который усвоит ученик. Этот навык очень пригодится в дальнейшем.

Ученику нужно показать, где и как осуществляется сбор фактического материала, как производится его систематизация и анализ. Лучше всего, если на данном этапе ученик выполнит работу реферативного плана, которая позволяет не выдвигать гипотезы, а лишь ис кать ответы на поставленные вопросы. На этом этапе необходимо сделать акцент на значимости работы ученика и предложить ему выступить с докладом перед другими учащимися. Это послужит мотивацией к до стижению новых результатов.

После того как ученик приобрел небольшой опыт работы с текстом и учебной литературой, можно перей ти ко второму этапу. Теперь перед учеником следует поставить задачу, которую он должен решить, и пред ложить ему уже самому составить вопросы, на которые он должен найти ответы. На этом этапе удобно исполь зовать темы, связанные с решением задач различными способами, составлением новых задач и т.д.

На следующем этапе ученик должен самостоя тельно пройти все этапы исследования (возможно, консультируясь с учителем):

1. определение объекта изучения;
2. постановка проблемы;
3. определение цели и задач исследования;
4. выдвижение гипотезы;
5. построение плана исследования;
6. проверка гипотезы;

—оформление результатов исследования.

Слайд№21

В заключение хотелось бы отметить, что сегодня большое количество нерешенных проблем в организации исследований в школьной практике. Много вопросов по методологии исследовательской работы, по психолого-педагогическим навыкам работы с учащимися, по методике исследований в математике, по истории русской научной школы. Но, несмотря на проблемы, на каждом уроке стараюсь находить место микроисследованиям, вовлекаю ребят в исследовательскую деятельность во внеурочное время. Радует, что отдельные работы учеников заслуживают высокой оценки . Так в научно-практической конференции «Юность. Наука. Культура» в этом году мой ученик Романенко Николай занял первое место в физико-математической секции, представив исследовательскую работу «Кредиты в жизни современного человека».