Практико-ориентированная работа "Методика обучения решению заданий с параметром"
рабочая программа по алгебре (10 класс) по теме

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 1

г. Климовска Московской области

_________________________________________________________________________

МО , г Климовск , ул. Рощинская , д. 17 А, тел.\ факс : 60-40-70 ; 62-21-21, 62-21-22

Романова Валентина Александровна

/ учитель математики

МОУ СОШ № 1 г. Климовска /

Методика обучения решению заданий

 с параметрами.

Проект

/ практико – ориентируемая работа /

2012 год

- 2 –

Содержание

Введение…………………………………………………………3 

І. Основная часть.

1.Содержание основного раздела ……………………………………4

2.Тематическое планирование………………………………………..5

3.Поурочные разработки…………………………………………6 - 18

ІІ. Заключение………………………………………………….19

ІІІ. Список литературы…………………………………………20

- 3 -

Введение

Задачи с параметрами – один из труднейших разделов школьного курса математики. Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений и неравенств, приходится обдумывать, по какому признаку нужно разбить множество значений параметра на классы, следить за тем, чтобы не пропустить какие – либо тонкости. Здесь проверяется не натаскивание учащегося на определенные алгоритмы, а понимание смысла конкретной задачи. Поэтому ведущие вузы с повышенной требовательностью к математической подготовке абитуриентов уравнения и неравенства с параметрами часто включают в письменные работы по математике.

Как известно, решению задач с параметрами в общеобразовательной средней школе уделяется очень мало внимания. Потому трудно предположить, что учащиеся, подготовка которых не содержала «параметрического тренажера», смогут в жесткой атмосфере конкурсного экзамена успешно справиться с подобными задачами.

Таким образом, старшеклассникам, готовящимся поступить в вузы, где требуется основательная подготовка по математике, необходимо серьезно поработать над изучением этой темы.

Все многообразие уравнений или систем уравнений, предлагаемых на вступительных экзаменах, приводятся к квадратным уравнениям, корни которых находятся на ограниченном множестве переменной величины.

- 4 -

Предлагаемый элективный  курс « Решение квадратных уравнений и неравенств с параметрами » ( 8 часов ) является предметно – ориентированным и предназначен для реализации в 9 классах общеобразовательной средней школе для расширения теоретических и практических знаний учащихся.Решение уравнений, содержащих параметры, - один из труднейших разделов школьного курса. Запланированный данной программой для усвоения учащимися объем  знаний необходим для овладения ими методами решения некоторых классов заданий с параметрами, для обобщения теоретических знаний.

             Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами при сдаче  Государственной итоговой аттестации.

             Целью данного курса является изучение избранных классов уравнений с параметрами и научное обоснование методов их решения, а так же формирование логического мышления и математической культуры у школьников. Курс имеет общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся. Программа данного элективного курса ориентирована на приобретение определенного опыта решения задач с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана общеобразовательного учреждения.

            В результате курса учащиеся должны научиться применять теоретические знания при решении уравнений с параметрами, знать некоторые методы решения с параметрами ( по определению, по свойствам )

           Данный курс может иметь существенное образовательное значение для изучения алгебры. Он призван способствовать решению следующих задач :

- овладению системой знаний об уравнениях с параметрами как о семействе уравнений, что исключительно важно для целостного осмысления свойств уравнений, их особенностей ;

- формированию логического мышления учащихся ;

- вооружению учащихся специальными и общеучебными знаниями, позволяющими им самостоятельно добывать знания по данному курсу.

            Ставшие уже традиционными такие формы занятий, как лекция и практикум, тем не менее являются непривычными формами работы старшеклассников. Кроме них желательно использовать такие организационные формы, как выступления с докладами дополняющими лекционные выступления учителя. Возможны и разные формы индивидуальной или групповой деятельности учащихся.

           Содержание курса предполагает работу с различными источниками математической литературы. Содержание каждой темы элективного курса включает в себя самостоятельную работу учащихся.

- 5 -

Содержание основного раздела

квадратные уравнения.

Понятие квадратного уравнения с параметром. Алгоритмическое предписание решения квадратных уравнений с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами. Зависимость количества корней уравнения от коэффициента  и дискриминанта. Решение с помощью графика. Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения. Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции . Решение квадратных уравнений с параметрами первого типа ( « для каждого значения параметра найти все решения уравнения »). Решение квадратных уравнений второго типа ( «найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям »).

Тематическое планирование

- 6 -

Урок 1.

Тема : Решение квадратных уравнений с параметрами.

Цели : формировать умение решать квадратные уравнения с параметрами; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации; активизировать познавательную и творческую деятельность.

Ход урока

І.Объяснение материала.

Определение. Уравнение вида  , , где коэффициенты - любые действительные числа, называется квадратным.

Определение. Квадратное уравнение называется приведенным, если ; квадратное уравнение называют неприведённым, если .

Определение. Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором  отличны от нуля.

Определение. Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором один или оба коэффициента равны нулю.

Определение. Корнем квадратного уравнения , называют всякое значение переменной , при котором квадратный трехчлен  обращается в нуль.

    Выражение  называют дискриминантом квадратного уравнения.

    Квадратное уравнение в зависимости от знака дискриминанта D может иметь один, два или не иметь корней.

    Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

    Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственный действительный корень  ( или говорят, что это уравнение имеет два кратных корня  ).

- 7 -

    Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня ; .

Теорема Виета. Если  - корни квадратного уравнения , , то сумма корней равна , а их произведение равно .

Обратное утверждение.  Если числа  таковы, что  , то эти числа – корни уравнения ,.

     При решении квадратного уравнения с параметрами контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при  обращается в 0. Дело в том, что если этот коэффициент равен нулю, то уравнение превращается в линейное и решается по соответствующему алгоритму; если же этот коэффициент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение, которое решается по иному алгоритму (меняется процедура решения, в этом и состоит качественное изменение уравнения ). Дальнейшее решение зависит от D.

Пример 1. Решить уравнение  .

Решение. Здесь коэффициент перед  отличен от нуля, значит данное уравнение при любых значениях параметра является квадратным. Найдем дискриминант.

D > 0, значит квадратное уравнение имеет два различных корня.

       ;          

Ответ : при любых значениях     ;          

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Мы не можем утверждать, что данное уравнение является квадратным. Рассмотрев контрольное значение   имеем два случая.

      Если , то получается уравнение вида которое является линейным и имеет корень

- 8 -

   Если то уравнение является квадратным, можно применять формулы корней квадратного уравнения.

      ;

       ;

Ответ : при    ;  при    

Пример 3. Решить уравнение   .

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при  обращается в 0.

      Если  уравнение примет вид  и является линейным. Корнем этого уравнения является

     Если уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант :

Дальнейшие рассуждения зависят от значения дискриминанта. Если то квадратное уравнение не имеет корней; если то уравнение имеет один корень; если , то уравнение имеет два корня. Дискриминант обращается в нуль при ( можно сказать, что это – второе контрольное значение параметра; при переходе через него происходит качественное изменение уравнения – меняется число корней уравнения ).

      Если  то  и, следовательно, квадратное уравнение не имеет корней.

     Если  ( но, напомним, ), то  и, значит, квадратное уравнение имеет два корня :

    ;  .

    Если , то уравнение имеет единственное решение :

   .

- 9 -

Ответ : при   ;

            при    .;

            при  корней нет ;

           при    ;  .

Пример 4. При каких значениях  m  ровно один из корней уравнения  

                    равен нулю.

Решение. Если нуль является корнем уравнения, значит, квадратный трехчлен  при  обращается в нуль.

;

;

.

Найдем второй корень при найденных значениях  m.

        Если m = 3, то уравнение примет вид ;  .

        Если m = - 3, то уравнение примет вид , которое имеет два кратных корня, равных нулю.

Ответ : при m = 3.

ІІ. Закрепление пройденного материала.

1. Решите уравнения :

а) ;

б) ;

в) ;

г);

д) ;

Ответ :

а) ; 2;

б)

в) при     при    

г) при   при  ;

д) при  ; при  ; при  , ;

2.При каких значениях  m  ровно один из корней уравнения   равен нулю ?

- 10 -

Ответ : m = 1,5.

3.При каких значениях m оба корня уравнения  равны нулю ?

Ответ : m = 0.

ІІІ. Самостоятельная работа по теме « Решение квадратных уравнений с параметрами ».

1.При каких значениях m ровно один из корней уравнения  равен нулю ?

2.Решите уравнения :

  а) ;

  б) .

Ответ :

1. При m = 1,5.  

 2. а)  

    б) при   ; при  m  .

ІV. Домашнее задание.

Решите уравнения :

1. ;

2. ;

3. .

Ответы : 1) при b = 0 ; при b = -1 ; при b = 4 ; при ;при корней нет;

2) при  ;  при корней нет; при   ;

3) при   ; при  ; при корней нет; при   .

Урок 2.

Тема : Использование теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметрами.

- 11 -

Цели : формировать умение решать квадратные уравнения с параметром с использованием теоремы Виета; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации.

Ход урока

І. Подведение итогов самостоятельной работы.

ІІ. Актуализация теоретических знаний.

Провести опрос по теории предыдущего урока.

- Какое уравнение называется квадратным ?

-Квадратным или линейным является уравнение

     ;  

 а) при = 6;  б)  = 0 ;    в)   = 0,5;   г)  = 5 ?

ІІІ. Объяснение нового материала.

ІV. Закрепление пройденного материала.

1. Найдите все значения параметра  , при которых корни  1 и 2  уравнения  удовлетворяют условию

  72  - 41 =47.

2. Найдите все значения параметра , при которых один из корней уравнения    в два раза больше другого.

3. Найдите все значения параметра  , при которых отношение корней уравнения   равно – 4.

4. Найдите все значения параметра  , при которых один корень уравнения  равен квадрату другого.

5. Найдите все значения параметра  , при которых сумма квадратов корней уравнения  равна произведению корней этого уравнения.

6. Найдите все значения параметра  , при каждом из которых больший корень уравнения  в 6 раз больше, чем его меньший корень.

Ответы :

1)  -15.   2) -4.   3) -6; 6.   4) -13,5; 0,5.    5) нет решений. Решениями системы являются 1 = 3 ; 2 = 1,5, но при каждом из этих значений дискриминант квадратного уравнения отрицателен.    6) При .

V. Самостоятельная работа по теме « Решение квадратных уравнений с параметрами ».

1. Решите уравнение .

2. При каком значении параметра разность квадратов корней уравнения   равна 288.

3. Найдите значение  m  , при котором сумма квадратов корней уравнения равна 18.

- 12 -

Ответы :

1. При   ; при  корней нет ; при    ;

2. с = - 108;        3. m = 4; m = -2.

V І. Домашнее задание.

1) При каких значениях параметра  р  сумма корней квадратного уравнения   ?

Ответ : 1; -5.

2) При каких значениях параметра  р  произведение корней квадратного уравнения равно нулю ?

Ответ : 3 ; 4.

3) Дано уравнение . Известно, что произведение корней равно -21. Найдите значение параметра  р .

Ответ : 3; 1,5 .

4) Один из корней уравнения больше другого в 2,5 раза. Найдите значение параметра  р  и корни уравнения.

Ответ : 2 и 5 при р = 20.

Урок 3.

Тема : Решение уравнений с параметрами, приводимых к квадратным.

Цели : использовать полученные навыки для решения нестандартных задач; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации.

Ход урока

І. Подведение итогов самостоятельной работы.

ІІ. Объяснение нового материала.

Некоторые уравнения с дробными членами сводятся к нахождению корней квадратного уравнения. Так же, как и при решении дробных уравнений, сводящихся к линейным, здесь надо проверять значения , при которых уравнение не имеет смысла.

ІІІ.. Закрепление пройденного материала.

1. Решить устно :

  а) ;     б) ;       в)  ;      г)  

Ответы : а) ;  б) при   = -2;  при = -2  = 2; при  =2, = -2;       в) при   = - ; при  = , = - ;  г) при любых    =- .

- 13 -

2. Решите уравнения :

1)   ;           2)   ;

3)  ;       4)

3. При каких значениях параметра    уравнение  

ІV. Домашнее задание.

Решить уравнения :

1.  ;        2.  ;

3.

4.

Урок 4 – 6.

Тема : Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра.

Цели : формировать умение распознавать положение квадратной параболы на плоскости в зависимости от ее коэффициента.

         На  первом уроке после проверки домашнего задания целесообразно подать материал в форме лекции.

         На втором уроке  в начале проводится теоретический опрос.

- Каково расположение графика по отношению к оси абсцисс в зависимости от знаков коэффициента и дискриминанта ?

- По данным схемам назовите, какие системы им соответствуют. Не забудьте, что контрольными являются : направление ветвей параболы, знаки значений  f(M), f(N), расположение вершин параболы.

-  Перечислите основные характеристики квадратного трехчлена.

        Провести практикум.

         В  конце третьего урока целесообразна обучающая самостоятельная работа по теме « Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра ».

Ход урока

І. Проверка домашнего задания.

- 14 -

ІІ. Объяснение нового материала.

    В результате объяснения заполняется таблица.

Расположение графика по отношению к оси абсцисс в зависимости от знаков коэффициента   и дискриминанта

ІІ. Закрепление пройденного материала.

1. При каких значениях параметра  оба корня уравнения  больше 3 ?

2. При каких значениях параметра  оба корня уравнения  больше ?

3. При каких значениях параметра   оба корня уравнения  больше 1 ?

- 15 -

4. При каких значениях параметра   оба корня уравнения  положительны ?

5. При каких значениях параметра    оба корня уравнения  лежат в интервале ( 0; 3 ) ?

6. Существуют ли такие значения параметра  , что корни уравнения  лежат между -1 и 1 ?

7. При каких значениях параметра  все решения уравнения  удовлетворяют условию 0 <  < 3?

8. При каких значениях параметра    уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 0 <  < 3?

9. При каких значениях параметра    оба корня уравнения  

больше  ?

10. При каких значениях параметра    все  корни  уравнения  расположены на отрезке [ -2;6 ] ?

11. При каких значениях параметра    все  корн и  уравнения   расположены на отрезке [ 2; 5 ] ?

ІІІ. Домашнее задание.

1) При каких значениях параметра    оба корня уравнения  положительны ?

2) При каких значениях параметра   m  корни уравнения  имеют разные знаки и каждый по модулю меньше 4 ?

3) При каких значениях параметра    оба корня уравнения  принадлежат интервалу ( 2; 5 ) ?

Ответы : 1)  (-5; -4 ) ;     2)  ( -5,9; - 5,5 ) ;       3) .

Урок 7.

Тема : Взаимное расположение корней двух квадратных уравнений.

Цели : развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации, активизировать познавательную и творческую деятельность.

Ход урока

І. Подведение итогов самостоятельной работы.

ІІ. Объяснение нового материала.

- 16 -

Довольно типичными являются задачи со следующим условием : найти те значения параметра  , при которых два уравнения    и   имеют общий корень. Если одно из этих уравнений можно легко решить относительно переменной , то так и нужно сделать, после

чего подставить найденные корни во второе уравнение. В противном случае следует рассмотреть какое – нибудь вспомогательное уравнение

вида , в котором коэффициенты α  и   β  подбираются так, чтобы уравнение  уже не содержало параметра или легко решалось относительно . Если два уравнения  и  имеют общий корень 0 , то при любых α  и   β  уравнение  имеет тот же корень 0 . Поэтому все общие корни уравнений  и  являются корнем уравнения . Решив последнее уравнение и подставив найденные числа в одно из данных уравнений, можно найти допустимые значения параметра.

ІІІ. Закрепление пройденного материала.

1.Установить, при каких значениях параметра   уравнения  и имеют общий корень. Найти соответствующий корень.

Ответ : = 1, = 1;  , .

1. Даны два уравнения  и , .Определить то значение  , при котором один из корней второго уравнения вдвое больше одного из корней первого уравнения.

Ответ :

ІV. Домашнее задание.

При каких значениях параметра  уравнения  и  имеют общий корень ?

Ответ : = -6.

Урок 8.

Тема : Контрольная работа по теме  « Квадратные неравенства с параметрами »

Цель : осуществить контроль усвоения полученных знаний..

Вариант 1.

- 17 -

1. Определить, квадратным или линейным является уравнение  при а)  = 5;  б) = 3;  в) = -1.
2. При каких значениях параметра   уравнение  имеет два различных корня ?
3. При каких значения параметра   произведение корней уравнения  равно нулю ?
4. При каких значениях параметра  уравнение имеет единственное решение ?
5. Решите уравнения :  а) ;         б) ;

      в) .

Вариант 2.

6. Определить, квадратным или линейным является уравнение  при а)  с = 5;  б) с = -3;  в) с = 1.
7. При каких значениях параметра   уравнение  не имеет  корней ?
8. При каких значения параметра   произведение корней уравнения  равно 1 ?
9.  При каких значениях параметра  уравнение имеет два различных корня ?
10. Решите уравнения :  а) ;         б) ;

      в) .

Ответы :

Вариант1.

1. а) Квадратным ;  б) Линейным ;   в) Квадратным.

2. .      3.  При = 1, = 2.       4. При   = 2.

5. а) При = 0  ; при  = 0,  = -;

    б) При = 0   = - ;  при    ;  при    ;  при  корней нет;

- 18 -

    в) При  корней нет;  при   = 1;  при     .

Вариант 2.

1. а) Квадратным ;  б) Линейным ;   в) Квадратным.

2..      3.  При = 1, = .       4. При  .

5. а) При = 0  у = 0  ; при  у = 0, у = 1 ;  

   б) При  = 0  =1,2 ; при   ;  при   ; при  нет корней ;

   в) При  корней нет ; при   ;  при  = 1  ;  при   .

- 19 -

Заключение

          Во время создания данного проекта я усовершенствовала свои старые знания по теме « Уравнения с параметрами  , связанных со свойствами квадратичной функции » и в какой - то мере получила новые.

          По завершению работы пришла к выводу, что эта тема должна изучаться не только на элективных курсах, так как она формирует логическое мышление и математическую культуру у школьников. Учащимся знания по этой теме помогут сдать Единый Государственный Экзамен и вступительный в ВУЗы.

- 20 -

Используемая литература.

1.  Примеры с параметрами и их решение : пособие для поступающих в вузы /В.С.Крамор. – М.: АРКТИ, 2000.
2. Элективный курс « Задачи с параметрами »[Электронный ресурс] /А.Ф.Нехорошкина, Т.Н.Филимонова //Фестиваль педагогических идей. Открытый урок 2006 – 2007 учебный год. Сайт ИД «Первое сентября»
3. Факультативный курс по математике. Решение задач.: учебное пособие для 10 класса средней школы /  И.Ф.Шарыгин // -М.: Просвещение, 1989.
4. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе / Л.Я.Фальке, Н.Н.Лисничук //- М.: Илекса, 2002.
5. Задачи с параметрами в ЕГЭ.Пособие для школьников, абитуриентов./ А.Х.Шахмейстер // - С.-Петербург, Москва, 2006.