Учебно - методическое пособие Проценты вокруг нас
материал по алгебре (9,11 класс) на тему

Учебно-методическое пособие по математике

Проценты вокруг нас.

Учитель математики Михайловская Светлана Владимировна

Краткая аннотация

Пособие написано доступным языком, содержит исторические сведения, основные теоретические понятия. Материал пособия ориентирован на систематизацию знаний по теме «Проценты» и, таким образом, основательную подготовку к решению задач части В, содержащих проценты в ЕГЭ по математике 2012г.

В пособие включены задачи из ЕГЭ и ГИА. Задачи выбраны из открытого банка заданий по подготовке к ЕГЭ, которые редко встречаются в печатных изданиях. Некоторые из них разобраны и решены разными способами. Пособие рекомендовано учащимся старшей школы.

Пояснительная записка.

В основном тема «Проценты», впервые появляется в шестом классе, когда учащиеся знакомятся с понятием части от числа. Эти задачи довольно трудно усваиваются.

Но к окончанию школы, приобретая житейский опыт, расширяя кругозор, учащиеся лучше справляются с данным видом задач.

Изучая математику, ученики должны осознавать необходимость научиться решать задачи на проценты.

Основной целью данного пособия является возможность показать учащимся, что задачи на проценты не столько сложны, сколько интересны. Проценты нас окружают повсюду. Нам  приходится с ними встречаться практически каждый день.

Содержание

                                                                                                                               стр.

1. Историческая справка                                                                                                 5

2. Основные теоретические понятия                                                                             5

3.Задачи из ГИА и ЕГЭ                                                                                                   7

4. Осторожно, простая задача!                                                                                       8

5. Задачи на процентные отношения                                                                             9

6. Задачи на влажность и сплавы                                                                                   11

7. Самостоятельная работа «Проверь себя»                                                                 12

8. Тестовые задания                                                                                                        12

9. Ответы                                                                                                                          12

10 Используемая литература                                                                                          13

1. Историческая справка

Впервые проценты упоминаются в V веке у индийцев. В Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления.

Существует забавная версия происхождения символа %. Как предполагается, он появился в конце XVII века, благодаря опечатке. В одной из книг наборщик по ошибке вместо принятого в те времена сокращения этого термина набрал . Этот знак вошел в обиход и постепенно преобразовался в знакомый нам символ.

Проценты удобны тем, что позволяют отойти от десятичных дробей.

«100% чего-либо» - означает «все»

«0% чего-либо» - означает «ни один»

«50% чего-либо» - означает «половина»

«150% чего-либо» - означает «полтора»

Слово «процент» произошло от латинского термина pro centum, который означает «сотая доля», а в дословном переводе звучит «на сто». Из средств массовой информации часто слышим это словосочетание, которое используется вместо слова «процент». Например, говорят, что в России на каждые 100 человек приходится 12, имеющих высшее образование. Это означает, что высшее образование в России имеет 12% населения.

Задачи на диаграммы.

Наглядные задачи на проценты  это задачи с использованием диаграмм. Круговые диаграммы удобно использовать в тех случаях, когда нужно представить соотношения между частями целого. Часто данные на круговых диаграммах выражают в процентах. На круговой диаграмме рис.1показаны результаты выборов мэра города.

Используя диаграмму можно решить несколько задач.

Сколько процентов проголосовало за кандидата А? Сколько процентов проголосовало за кандидата Б? Сколько процентов не принимали участия в выборах и т.д.

2. Основные теоретические понятия

Процент от некоторой величины – это одна сотая ее часть.

Для обозначения слова «процент» применяется знак %.

1% - это  = 0,01 величины.

Найдем 1% от 200 р., т. е. = 2, значит 1% от 200 рублей равен 2 рублям.

Найдем 22% от 6 кг: сначала найдем 1% от 6 кг, получим  =  (кг);

теперь найдем 22%:

 ∙ 22 = 1,32 (кг)

Итак, чтобы найти 1% от величины, надо эту величину разделить на 100 или умножить на 0,01.

Чтобы найти р% от величины , надо 1% от величины умножить на число р.

Примеры

Найдите 8% от 100

               17% от 2000

               120 % от 20

 Задача

За год банк начисляет на вклад «Срочный» 12 % от вложенной суммы. Сколько рублей будет начислено на вклад в 5000 рублей?

Решение:

5000 р. – 100%,

через год число процентов будет 100% + 12% = 112%,

найдем 112% от 5000 р. известным нам способом.

50∙112 = 5600 (р)

Решить эту задачу можно проще. 112 % =1,12.

5000∙1,12 =5600 (р)

Итак, если число а увеличивается на р %, то надо а ∙ ( 1+ р ), аналогично, если число а уменьшается на р% , то надо а ∙( 1 - р )

Примеры

Начертите в тетради отрезок длиной 20 клеток.

а) Увеличьте его на 10 %.

б) Уменьшите его на 20 %.

Как  найти процентное отношение двух чисел?

Сколько процентов составляет число 18 от 72?

Сначала найдем какую часть составляет 18 от 72. Для этого =и выражаем в процентах.

Итак, чтобы найти сколько процентов составляет одно число от другого, надо их отношение заменить процентом, т. е. умножить полученную дробь на 100 %.

Примеры

Сколько процентов от числа 80 составляет число 160?

Решение: ∙100 % = 200 %

Вычислите 10 % от числа (8,7 – 4,9 – 3.2)

Наряду с задачами  на нахождение процента от числа, часто надо найти число по его проценту.

Рассмотрим  пример.

Найдите число 36 % которого равны 216.

Пусть это число х, тогда 36 % от х равны 0,36 х.

По условию задачи, составим уравнение

0,36х = 216

х = 216 : 0,36

х =21600 : 36

х = 600

Иными словами, чтобы найти число по известному проценту, надо число разделить на процент.

3. Задачи из ГИА и ЕГЭ.

Повторив основные вопросы теории, можно решить более сложную задачу с использованием диаграммы.

Задача из ГИА часть А.

Результаты районной контрольной работы по алгебре в 9 классе, представили в виде диаграммы. Сколько учащихся получили отметку «2», если всего работу писали 320 девятиклассников?

Задача

Как изменится площадь прямоугольника, если длина его увеличится на 20 %, а ширина  на 10 %?

Решение:

Для решения составим таблицу и введем обозначения а – длина, в – ширина.

Остается сравнить площадь прямоугольника после увеличения его сторон с первоначальной площадью. Как это сделать?

Новая площадь равна 1,32ав. На сколько она больше ав?

1,32ав – ав =0,32ав. Сколько процентов составляет эта разность от первоначальной площади?

Ответ:  увеличится на 32%.

Задачи В1 из открытого банка заданий ЕГЭ 2012г

В1 (2493) Шариковая ручка стоит 30 рублей, Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 500 рублей после повышения цены на 20%.

Решение:

1) 30 ∙ 1,2 = 36 (р) стоит ручка после повышения цены на 20%

2) 500 : 36  = 13, 88…

Ответ: 13 ручек.

В1 (2603) Цена на электрический чайник была повышена на 22% и составила 1830 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Решение: I способ.

Пусть х (руб) стоил чайник до повышения цены, тогда после повышения его стоимость составила 1,22х, что равно 1830 рублей.

1,22х = 1830

х = 1830 : 1,22

х = 1500

Ответ: 1500 рублей.

II способ.

1830 -122%

х – 100%

Составим пропорцию  

х = 1500

Ответ: 1500 рублей.

4. Осторожно, простая задача!

Рассмотрим две задачи.

а) На сколько процентов 5 больше 4?

б) На сколько процентов 4 меньше 5?

На первый взгляд, 5 больше 4 на 1, значит 4 меньше 5 на 1. А если речь о процентах???

Разберемся: а) 1) 5 – 4 = 1 на столько 5 больше 4

                          2)  на столько процентов 5 больше 4

Ответ: на 25%.

б) 1) 5 – 4 = 1 на столько 4 меньше 5

     2)  на столько процентов 4 меньше 5

Ответ: на 20%. 

 Итак, находя процентные отношения, делим на число, с которым сравниваем. 

В1(2623) Футболка стоила 800 рублей, После снижения цены она стала стоить 632 рубля. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

Решение: I способ.

 = 21%

Ответ: 21%

II способ.

Пусть цена была снижена на х%, 0 < х <100. Тогда после снижения цена на футболку стала равной 800 ( 1 -  ), что по условию равно 632 рубля. Составим уравнение             800 ( 1 -  ) = 632

800 – 8х = 632

8х = 168

х = 21

Ответ: 21%

В1 (26631) В городе N живет 200000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых жителей 45% не работает ( пенсионеры, студенты, домохозяйки  т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

Решение: Распространенная ошибка: складывают 15% и 45%. Это проценты от разных величин и складывать их нельзя.

15% = 0,15,

1) 0,15 ∙ 200000 = 30000  дети и подростки

2) 200000 – 30000 = 170000 взрослого населения

3) 100% - 45% = 55% взрослых работает

4) 0,55 ∙ 170000 = 93500

Ответ: 93500

5. Задачи на процентные отношения.

Рассмотрим более сложные задачи В13 из открытого банка заданий ЕГЭ 2012 года.

В13 (99567) Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Решение: I способ.

Пусть цена куртки  - К и это 100%. Если 4 рубашки дешевле куртки на 8%, то их стоимость 100% - 8% = 92% стоимости куртки, т.е.

0,92К – стоимость четырех рубашек, тогда - цена одной рубашки

0,23К ∙ 5 = 1,15К – стоимость пяти рубашек.

Сравним стоимость пяти рубашек и куртки.

Ответ: 15%.

II способ.

Для упрощения рассуждений введем условную стоимость куртки -100 рублей.

Тогда 92 рубля – стоимость 4 рубашек, 92 : 4 = 23 (р) стоимость одной рубашки,

5 ∙ 23 = 115 ( р) стоимость 5 рубашек.

Ответ: 15%.

В13 Брюки дороже рубашки на 30%  и дешевле пиджака на 22%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?

I способ. Введем условную стоимость 100 рублей – стоит рубашка.

Тогда 130 рублей стоят брюки. Пусть х рублей стоит пиджак. По условию задачи брюки дешевле пиджака на 22%. Зная это, составим уравнение

х – 130 = 0,22х

0,78х = 130

х =

х =

 (р) – стоимость пиджака.

Узнаем на сколько процентов рубашка дешевле пиджака.

Ответ: 40%.

II способ.

Пусть стоимость рубашки  Р

Стоимость пиджака  П

Стоимость брюк  Б

По условию задачи стоимость брюк сравнивается со стоимостью рубашки и пиджака, поэтому  0,78 П = В = 1,3 Р

0,78 П = 1.3 Р

Р = П = 0,6 П, т.е. стоимость рубашки составляет 60% от стоимости пиджака,

Значит рубашка дешевле пиджака на 40%.

Ответ: 40%.

В13  (99568) Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение: Введем обозначения и смоделируем задачу.

М – зарплата мужа

Ж - зарплата жены

С - зарплата дочери – студентки

Д – их доход

Надо ответить на вопрос  -?

Исходя из условия М + Ж + С = Д  (1)

                                 2М + Ж + С = 1,67 Д (2)

                                 М + Ж +  = 0,96 Д  (3)

(2) – (1):  М = 0,67 Д

(1) – (3):  ∙ С = 0,04 Д

                  С = 0,06 Д

Вернемся к равенству (1)

0,67 Д + Ж + 0,06 Д = Д

0,73 Д + Ж = Д

Ж = 0,27 Д

∙ 100% = 27%

Ответ: 27%

В13 (99569) Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и тоже число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рубля.

Решение: I способ

Пусть каждый год цена уменьшалась на х %, где 0 < х <100. (*)

Через год цена станет 20000 (1 - ), через два года 20000 ( 1 - ).

Зная, что через два года цена станет равной 15842, составим уравнение

20000 ( 1 - ) = 15842

2 (100 – х) = 15842

(100 – х)= 7921

х- 200х + 2079 = 0

 = 7921 = 89

х = 100 89

х = 189, что не удовлетворяет условию (*)

х = 11

Ответ : на 11%.

II способ.

Заметим, что цена следующего года отличается от цены предыдущего года в К раз.

20000 ∙ К= 15842

 К =

К =

К = 0,89

Цена снижалась каждый год на 11%.

Ответ: на 11%.

6. Задачи на влажность и сплавы.

В13 (99574) Виноград содержит 90% влаги, а изюм 5%. Сколько килограмм винограда требуется для получения 20 килограмм изюма?

Решение: Пусть х (кг), винограда требуется для получения 20 кг изюма.

Проследим за количеством сухого вещества в винограде и изюме.

В винограде 90% влаги, значит 10% сухого вещества. В изюме  5% влаги, значит 95% сухого вещества. Составим таблицу.

Уравняем количество сухого вещества в винограде и изюме, составив уравнение

0,1х = 19

х = 190

190(кг) винограда надо взять.

Ответ: 190 кг.

В13 (99576) Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 килограмма. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в кг.

 Решение: Проследим за количеством меди в каждом сплаве. Пусть х(кг) масса первого сплава, (х + 3) масса второго сплава. Меди в первом сплаве 10%, значит масса меди в первом сплаве 0,1х. Меди во втором сплаве 40%, значит масса меди во втором сплаве   0,4(х + 3). Масса третьего сплава (х + х + 3). Меди в третьем сплаве 30%, значит масса меди в третьем сплаве 0,3 (2х +3). Занесем данные в таблицу.

Составим уравнение, исходя из количества меди в каждом сплаве

0,1х + 0,4 (х + 3) = 0,3 ( 2х + 3)

- 0,1х = - 0,3

х = 3

3(кг) масса первого сплава, масса третьего сплава 9 кг.

Ответ: 9 кг.

7. Самостоятельная работа «Проверь себя».

1. Расходы на одну из статей городского бюджета составляют 12,5%. Выразите эту часть бюджета десятичной дробью.

2. Содержание некоторого вещества в таблетке витамина составляет 7,5%. Выразите эту часть десятичной дробью.

3. Из хлопка получается 30% волокна. Сколько потребуется хлопка, чтобы получить 60т волокна?

4. Для изготовления мороженого взяли 21 кг сахара, 129 кг других продуктов. Определите процент сахара в полученном мороженом.

5. В 140 г воды добавили 60г соли. Сколько процентов соли в этом соленом растворе?

6. Сплав состоит из меди и олова. Меди в нем 60%, что больше олова на 2 кг. Сколько килограмм меди в сплаве?

7. Смешали раствор массой 300г и концентрацией 15% с раствором массой 500г и концентрацией 9%. Чему равна концентрация (%) полученной смеси?

8. Имеются два сплава из свинца и меди. Первый сплав содержит 3кг свинца и 2кг меди, а второй – 13кг свинца и 7кг меди. В каком сплаве процентное содержание свинца больше и на сколько процентов?

8. Тестовые задания.

ГИА часть А

1. Из объявления фирмы, проводящей обучающие семинары: «Стоимость участия в семинаре – 3000р. с человека. Группам от организаций предоставляются скидки: от 3 до 10 человек – 5%; более 10 человек – 8%». Сколько должна заплатить организация, направившая на семинар группу из 4 человек?

1) 11400р.      2) 2850 р.     3) 600р.       4) 12000р.

2. После завершения регистрации на авиарейс оказалось, что число свободных мест в самолете относится к числу занятых, как 1:4. Сколько процентов всех мест в самолете занято?

1) 20%     2) 25%     3) 40%       4) 80%

3. Из 59 девятиклассников школы 22 человека приняли участие в городских спортивных соревнованиях. Сколько примерно процентов девятиклассников приняли участие в соревнованиях?

1) 0,37%     2) 27%     3) 37%       4) 2,7%

9. Ответы.

Самостоятельная работа « Проверь себя»

1. 0,125;  2. 0,075;  3. 200т;  4. 14%;  5. 30%;  6. 6 кг;  7. 11,25%;  8. Во втором на 5%.

Тестовые задания

1.  2);  2.  4);  3.  3).

10. Используемая литература

1. Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. и др. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Алгебра. 2010 / ФИПИ. – М.: Интеллект – Центр,2010г.

2. Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева и др. Учебник для ОУ. Математика. Арифметика. Геометрия. 6 класс, Издательство « Просвещение», 2010

3. А.П. Карп, Л.П. Евстафьева. Математика,7 класс. Дидактические материалы, «Дрофа»,1998

4. Интернет –источники

http://www.mathege.ru

http://uztest.ru/