Организация работы учащихся над проектом по теме «Треугольник Паскаля» для учащихся 7- 9 классов
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Организация работы учащихся над проектом  по теме «Треугольник Паскаля»

СОДЕРЖАНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ.

          стр.

       Проектная деятельность как новый метод организации

       обучения. Цели проекта. Знания, умения и способы

       действий, необходимые в процессе работы над проектом. …………… 2  

2. Содержательная и методическая часть работы

      над    проектом.

       Этап 1. Получение биномиальных коэффициентов. ……………………4    

       Этап 2. Получение треугольника Паскаля.  ……………………………..5

       Этап 3.  Поиск исторического материала.  ………………………………5

       Этап 4.  Поиск и доказательство свойств треугольника Паскаля.  …….6

       Этап 5.  Составление последовательности тренировочных задач   …..11

        по теме “Треугольник Паскаля”.        

 3.  Методика работы над проектом. Критерии оценивания. 12                   

4.  Список литературы.  ……………………………………….... 13

ВВЕДЕНИЕ.

В  ряде методических источников, содержащих материалы о новых формах учебной деятельности в рамках Образовательных стандартов  второго поколения, отмечается, что  наша школа ориентирована на знания, умения и навыки, получаемые традиционным путём в процессе обучения.

Учащиеся относительно успешно выполняют задания, требующие воспроизведения материала и не демонстрируют сформированности отдельных компонентов учебной деятельности (понимание учебной задачи, самоконтроля), не умеют пользоваться имеющимися знаниями в незнакомой или нестандартной ситуации. В основных документах Правительства РФ планируется осуществление компетентностного подхода в образовании, формирование общеучебных умений и навыков (умение самостоятельно добывать знания, обобщать материал, выдвигать гипотезы, строить выводы и умозаключения).

     Одним из методов, который, как предполагается, поможет решать поставленные задачи - организация проектной деятельности учащихся. Это направление предполагает создание условий учащимся для самостоятельного получения учебных знаний в ходе работы над проектом.  Ученик, работая над проектом, самостоятельно осуществляет планирование, анализ, синтез,

выдвигает  цели, выбирает средства для их достижения, обрабатывает информацию и представляет полученного результата (продукт).

     Проектная деятельность должна способствовать более высокому               (компетентностному) уровню усвоения программного материала. В среднем звене планируется сделать проектную деятельность ведущей.

    Цели проекта:

- исследовав зависимость между биномиальными  коэффициентами,            самостоятельно получить арифметический треугольник;

-    научиться решать ряд практических задач, используя треугольник Паскаля;

- самостоятельно составить задачи, связанные с биномиальными   коэффициентами;

-   выявить ряд закономерностей  треугольника Паскаля;

-   доказать простейшие свойства;

-  познакомиться с историческим материалом, связанным с  биномиальными   коэффициентами и треугольником Паскаля;

-   проанализировать полученный результат;

                                                                - подготовить презентацию, содержащую полученные результаты и                   продемонстрировать её другим учащимся на уроке.      

   Знания, умения и способы действия, необходимые в процессе работы:

-   уметь выполнять действия с многочленами;

-   владеть навыками поиска и отбора  информации;

-   уметь находить числовые закономерности;

-   владеть навыками самоконтроля;

-   умение составлять задания по заданной теме;

-   иметь навыки написания компьютерных презентаций;

 2. Содержательная и методическая составляющие проекта.

                                                Описание проблемы.

         Проектная деятельность учащегося будет направлена на  решение двух основных проблем.

       1) На уроках алгебры в разделе “Формулы сокращённого умножения” нами были доказаны формулы квадрата  и  куба  двучлена a+b. Возведение данного двучлена в натуральную степень n больше 3, например в 10, требует внимания и времени. Найдите более короткий способ для выполнения этого задания.

       2)  Решив  первую проблему (получив треугольник Паскаля), выясните, какими свойствами обладают биномиальные коэффициенты.

Ход работы над проектом.

Этап 1. Получение биномиальных коэффициентов.

          Выполнить возведение  двучлена a+b в нулевую степень, первую и натуральные степени n больше 3, найти  коэффициенты полученных разложений (биномиальные). Ученик самостоятельно определяет количество необходимых разложений двучлена. В случае, если   при дальнейшей работе с треугольником данных окажется недостаточно, он может провести дополнительные возведения двучлена в степень.

                                    (a+b)=1

                                    (a+b)=a+b

                                    (a+b)=a+2ab+b  

                                    (a+b)  =a+3ab+3ab+b

                                    (a+b)=a+4ab+6ab+4ab+b

Этап 2. Получение треугольника Паскаля.

        Расположив биномиальные коэффициенты по строкам в определенном порядке, получить таблицу – треугольник Паскаля.  Учащийся, скорее всего, получит следующую таблицу:

                                    1      

                                    1   1

                                    1   2   1

                                    1   3   3   1

                                    1   4   6   4   1

                                    1   5  10 10 5   1  и  т. д.

         Выяснить, какими свойствами обладают числа данной таблицы и провести доказательства ряда из них.

      Подсчитывая суммы элементов каждой строки, можно заметить, что сумма чисел n-ой строки, начиная с нулевой, равна . Но доказать это свойство с данной таблицей, ”открывать” с её помощью  новые свойства трудно.

Можно предложить учащемуся найти информацию о том, кто из ученых занимался данной проблемой, и какие результаты были ими получены. Тогда

в изученном материале, учащийся ”натолкнется ” на другие расположения  коэффициентов, например, на расположение из трудов самого Паскаля. Позже учащемуся предстоит вернуться к поиску свойств треугольника Паскаля.

Этап 3. Поиск исторического материала.

      Исторический материал.       Формула возведения двучлена a+b в натуральную степень n была известна древним грекам только для n=2. Обобщение для любого натурального показателя   сделали   азиатские   математики   Омар   Хайям (1048-1122)   и аль-Каши(XV век), поэтому в Иране треугольник называют треугольником Омара Хайяма.

 В Европе треугольник впервые встречается в руководстве по   арифметике Апиана в 1527 году, а в 1556 итальянский математик Н.Тарталья опубликовал арифметический треугольник, объявив его своим изобретением. В Италии – это треугольник Тартальи, а в Китае– треугольник Хуэя ( по имени китайского математика, опубликовавшего его в своём трактате в 1303 году).  1631 году изучением таблицы занимался Аутред, изобретатель логарифмической линейки.

Работа Паскаля, содержащая подробное описание треугольника, под названием ”Трактат об арифметическом треугольнике”, была опубликована в 1665 году.

Формула бинома была обобщена И.Ньютоном для дробных и отрицательных показателей.

 Этап  4. Поиск и доказательство свойств треугольника Паскаля.

      Рассмотрим расположение биномиальных коэффициентов, которое встречается в работе  Паскаля:

    В работе Паскаля можно обнаружить следующие свойства:

1. Каждое число А таблицы равно сумме чисел предыдущего горизонтального ряда   с первого до   стоящего выше А.                

35=1+3+6+10+15
                                                                 

2. Каждое  число А таблицы равно сумме чисел предыдущего вертикального ряда   с первого до   стоящего левее А.

                           56=1+5+15+35

3. Каждое  число таблицы, будучи уменьшенным на 1, равно сумме всех чисел прямоугольника, ограниченного  вертикальным и горизонтальным рядами, на которых стоит А.

              15-1=1+1+1+1+1+2+3+4

Расположим числа традиционным способом:

                                                                        1      

                                                                 1            1

                                                            1          2           1

                                                      1         3            3          1

                                                1          4          6           4         1

                                           1         5         10          10         5        1

                                      1        6          15        20          15      6         1

                                1         7        21        35          35         21     7         1

                          1          8        28        56        70         56         28       8       1  

  Учащийся должен получить следующие свойства:

1. Таблица симметрична относительно биссектрисы угла.                                              

  Это свойство ученик может обосновать тем, что переменные a и b входит в выражение симметричным образом и, изменив порядок слагаемых, получим

равенство соответствующих коэффициентов.

2. Каждое число таблицы в строках, с номером больше второго, равно

сумме двух вышестоящих чисел.

 Умножая разложение n-ой степени двучлена a+b на двучлен (a+b), получим,  что   коэффициент при буквенном множителе ab, где k+m=n+1, получается при сложении коэффициентов при  ab и  ab, то есть двух вышестоящих чисел.

3. Второе число каждой строки соответствует её номеру.

Данное свойство является следствием свойства 2.

4. Третье  число  каждой  строки  равно  сумме  номеров  строк ей предшествующих.

5.  Сумма чисел n-ой строки треугольника равна .

      Докажем это свойство, положив a=1 и b=1. С одной стороны получим сумму биномиальных коэффициентов, а с другой - .

6.   Если n – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на n.

7.   Третье число каждой строки является треугольным, то есть, имея    соответствующее количество шаров равных диаметров, их можно выложить в виде треугольника (треугольными являются числа: 1; 3; 6; 10;15; 21; 28 и т.д.).

       Каждое последующее треугольное число получается прибавлением к предыдущему треугольному числу номера числа в ряду (1; 3; 6; 10;15; 21…).

Но каждое третье число любой строки с номером больше 2 равно сумме третьего числа (предыдущего треугольного) и второго числа (номера строки) предыдущей строки.

8.   Четвёртое число каждой строки является тетраэдрическим, то есть, имея соответствующее количество шаров равных диаметров, их можно выложить

в виде тетраэдра (тетраэдрическими являются числа: 1; 4; 10; 20; 35 и т.д.).

Каждое последующее тетраэдрическое число получается прибавлением к предыдущему тетраэдрическому числу треугольного числа с тем же номером.

Но каждое четвертое число любой строки   с номером больше 3 равно сумме   четвёртого числа (предыдущего тетраэдрального) и третьего (треугольного числа) предыдущей строки.

9.    Каждая строка треугольника Паскаля содержит чётное количество нечётных чисел.

       Это следует из того, что сумма всех чисел строки – чётное  число

(степень 2), сумма всех четных чисел - чётна. Значит, сумма нечетных чисел - чётна, а, следовательно, нечётных чисел должно быть чётное количество.

 10.     Если все нечётные числа треугольника Паскаля закрасить чёрным цветом, а все чётные – белым, то получится, так называемый, треугольник Серпинского ( назван в честь польского математика,  получившего его в 1915 году).

Этап  5. Составление последовательности тренировочных задач     по теме “Треугольник Паскаля”.

Задача 1.

     Существует ли в треугольнике Паскаля число 2010?

Задача 2.

      Найти сумму биномиальных коэффициентов десятой строки треугольника Паскаля.

Задача 3.

      Выпишите разложение (2a-b).      

Задача 4.

      Найдите коэффициент разложения   (a+3b) для слагаемого, содержащего буквенную часть, равную аb.  

Задача 5.

       В пятнадцатой строке прочередуйте знаки “+” и ”-“. Чему равно значение полученного выражения?

Задача 6.

        Какое число, большее 1, содержится в треугольнике Паскаля более трёх раз? четырех раз?

Задача 7.

         Сколько нечетных чисел в 8-ой строке, в 16-ой, 32-ой?  

Задача 8.

         Во сколько раз сумма чисел в 12-ой строке треугольника больше суммы  чисел в 7-ой строке?

Задача 9.

       Сколькими способами шахматный король может пройти из левого нижнего угла в правый верхний?

Задача 10.

       Сколькими способами можно решить правильно 4 уравнения из 9?

Методика работы над проектом.  Критерии оценивания.

   Работа, планируемая на первом этапе (получение треугольника Паскаля) носит репродуктивный характер. Учащемуся необходимо на практике применить знания, полученные при изучении темы “Многочлены”, при этом важно наличие навыков самопроверки и самоанализа. Этап 2 (корректировки знаний и поиска исторического материала) проходит самостоятельно и не требует специальной подготовки от учителя, кроме, возможно, рекомендаций по выбору учебной литературы. Этап 3 (“открытие” свойств треугольника) является основным в данной работе и предполагает возможность помощи учителя, как при поиске гипотез, так и при их доказательстве. Выбор способа действий ученик осуществляет самостоятельно. Четвёртый этап (составление задач) носит творческий характер. Для его выполнения необходимо понимание школьником принципа возведения двучлена в любую натуральную степень и хорошее знание свойств треугольника. Составление задач является  эффективным способом проверки уровня усвоения материала.

      Оценивание процесса работы над проектом, полученный результат и его представление может быть осуществлено с помощью следующей таблицы

по трехбалльной шкале.

Список литературы.

1. Проектные задачи в начальной школе: пособие для учителя /

 [А. Б. Воронцов, В. М. Заславский, С. В. Егоркина и др.]; под ред.

А. Б. Воронцова.-2-е изд. - М.: Просвещение,  2010. – 176с.

2. Треугольник Паскаля. В. А. Успенский. - 2 - е изд. – М.:Наука,

1979. – 48с.

3. Энциклопедия для детей. Т 11. Математика / Глав. ред. М. Аксенова;

метод. и отв. ред. В. Володин. – М.: Аванта+,2004. – 688с.

4. http://.nkj.ru/archive/articles/13598
5. http://www.kazan-math.info/