статья
статья

Сустова Екатерина Вадимовна,

Студентка Красноярского педагогического колледжа им. Горького №1

«Математическое моделирование как метод решения текстовых задач»

Красочное и прекрасное многообразие окружающего мира, несмотря на сложность и загадочность, подчинено простым правилам. Правилам, о которых размышляли уже древнегреческие философы. Разгадывая тайну устройства Вселенной, люди пытались научиться предсказывать периодические явления, связанные с устройством Вселенной, такие, как затмения Солнца и Луны, наступление времен года. Свое решение представляли в виде схем, таковыми являлись схемы построенные Птолемеем, в которых центральное место занимала наша Земля, или схема Коперника, в которой центр занимало Солнце. С помощью этих схем ученые решали задачи предсказания отдельных астрономических явлений.

Эти схемы, эти картины мира суть модели Вселенной, а метод исследования Вселенной, нахождения законов о Вселенной и решения задач, связанных с нею, с помощью этих моделей является методом моделирования.

Разрезая конус плоскостями, получаем в сечении различные кривые: окружности, эллипсы, параболы, гиперболы. Математики еще в древности начали изучение этих кривых, результаты которых имеют большое значение для физики, астрономии, техники, военного дела, где очень часто встречаются эти кривые. Однако лишь тогда, когда, пользуясь методом Декарта и Ферма, были составлены уравнения этих кривых, их изучение сразу резко подвинулось вперед и с помощью этих уравнений — моделей кривых конических сечений — были решены все основные задачи, с ними связанные. Заметим, что уравнения выступают в качестве моделей окружности, эллипса, параболы и гиперболы, а эти кривые в свою очередь можно рассматривать как геометрические модели указанных уравнений.

Такова история понятия математическая модель.

Математическая модель — это упрощенное описание реальности с помощью математических понятий. Математическое моделирование — процесс построения и изучения математических моделей реальных процессов и явлений. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его моделью и затем изучают последнюю. Как и в случае любого моделирования, математическая модель не описывает полностью изучаемое явление, и вопросы о применимости полученных таким образом результатов являются весьма содержательными.

Как алгоритм математической деятельности метод математического моделирования содержит три этапа:

1. построение математической модели объекта (явления, процесса);
2. исследование полученной модели, т. е. решение полученной математической задачи средствами математики;
3. интерпретация полученного решения с точки зрения исходной ситуации.

В учебном процессе понятия математическая модель и моделирование позволяют решать следующие актуальные задачи: развитие мышления и интеллекта, формирование мировоззрения, овладение элементами математической культуры.

Обучение, как правило, должно начинаться с рассмотрения реальных ситуаций и возникающих в них задач («подводящих» задач) с поиска средств для их математического описания, построения соответствующих математических моделей. Затем объектом изучения становятся уже сами эти модели, их исследование, приводящее к расширению теоретических знаний учащихся. После того, как соответствующая теория построена, её аппарат применяется к решению исходной задачи, а также других задач из других областей, но приводящих к моделям этого же класса. Так можно строить изучение каждого нового вида функций, уравнений, производной, интеграла, операций над векторами, вывода формул вычисления площадей и объемов и т.п.

В школьной практике необходимо различать материальные и идеальные (мысленные) модели.

Идеальные модели, применяемые при изучении естественно-математических дисциплин, позволяют решать задачи, требующие переноса знаний в новую ситуацию. Ведь модель — это мостик от абстрактного к конкретному, по которому движется мысль школьника.

В зависимости от основной дидактической функции различают три вида моделей: описательные, конструктивные и эвристические. Описательные модели дают возможность сжато излагать информацию и воспроизводить её. Конструктивные модели больше ориентированы на применение знаний, эвристические — на овладение новыми знаниями, обобщение и систематизацию.

При этом форма моделей может быть различной: модельная схема, знаковая модель, графическая, образная и т.д.

В работах Мордковича А.Г. определены цели работы с математическими моделями:  «Нам нужно научиться описывать реальные ситуации словами (словесная модель), алгебраически (алгебраическая модель), графически (графическая модель). Бывают еще геометрические модели реальных ситуаций — они изучаются в курсе геометрии. Графические модели также иногда называют геометрическими, а вместо термина «алгебраическая модель» используют термин «аналитическая модель».

Широко известны серьезные трудности, которые испытывают учащиеся при решении задач.

Первая трудность состоит в математизации предложенного текста, т.е. в составлении математической модели, которая может представлять собой уравнение, неравенство или их систему, диаграмму, график, таблицу, функцию и т.д.

Для того, чтобы перевести содержание задачи на математический язык, учащемуся необходимо тщательно изучить и правильно истолковать его, формализовать вопрос задачи, выразив искомые величины через известные величины и введенные переменные.

Вторая трудность — составление уравнений и неравенств, связывающих данные величины и переменные, которые вводит учащийся.

Третья трудность — это решение полученной системы уравнений или неравенств желательно наиболее рациональным способом.

Используя метод Левитаса Г.Г. применяю следующий способ обучения школьников алгебраическому методу решения текстовых задач.

Текстовой задачей, по его словам, назовем не математическую по фабуле задачу, решаемую математически. Например, задача «У Кати и Поли вместе 12 кукол; у Кати на две куклы меньше. Сколько кукол у каждой из них?» — не математическая по фабуле. Но её можно решить математическим методом, моделируя ситуацию уравнением х+(х+2)=12.

Для решения текстовой задачи мы переводим её на математический язык, т.е. создаём её математическую модель. Овладение навыками математического моделирования, по мнению Левитас Г.Г., — едва ли не самое важное, чему мы учим детей на уроках математики. Одна из причин неуспеха, как пишет Левитас Г.Г., состоит в неправильном порядке обучения методу алгебраического решения текстовых задач, а именно в неправильном порядке их перевода на язык математики.

Изучение математического языка происходит аналогично как и вообще совершается перевод с одного языка на другой. Читая лёгкий для перевода текст тут же переводим его на другой язык. Именно так переводит учитель математики лёгкие для него текстовые задачи из школьного курса. Он сразу видит что именно выгодно принять за х, что нужно выразить через х, каким будет уравнение. И учит детей работать именно в таком порядке. И действительно, лёгкие для школьника задачи он решает именно так.

Но вот встретилась задача потруднее. Что обозначать через х? Какие именно неизвестные величины выражать через х? Как составлять уравнение?

Рассмотрим, например, такую задачу. " Когда первый из двух шашечных турниров завершился, во втором было сыграно столько же партий, сколько в первом, и осталось сыграть ещё три тура. Известно, что оба турнира игрались в один круг и что число участников во втором туре было чётным. Сколько партий игралось в каждом туре второго турнира?"

Левитас Г.Г. предлагает сначала составить схему уравнения:

число партий + число партий в = число партий во

в первом турнире трёх турах второго втором туре.

турнира

Затем надо выбрать основные неизвестные так, чтобы через них можно было выразить каждую из величин, имеющихся в этой схеме. Если обозначить через х число участников первого турнира, а через у число участников второго турнира, то получим уравнение:

Итак, последовательность действий следующая: составь схему уравнения, выбери обозначения, составь уравнение.

Например, если школьнику трудно решить приведённую выше задачу с куклами, составим следующую схему:

(число кукол у Кати)+(число кукол у Поли)=12,

и только после этого занимаемся поисками, связанными с переводом на математический язык выражений, стоящих в скобках. Понятно, что та же задача допускает и иное истолкование:

(число кукол у Поли)-(число кукол у Кати)=2,

что приводит к иным обозначениям.

Особенность этого способа заключается в том, что моделирование — перевод на математический язык — проводится в два приёма. Сначала русский текст задачи частично сохраняется и выступает совместно с элементами математического языка: знаками действий и знаком равенства. И только после этого естественный язык полностью заменяется математическим. Именно так, постепенно, переводим мы трудную для нас фразу с одного языка на другой.

Список литературы:

1. Баврин И.И. Начала анализа и математические модели в естествознании и экономике. М.:Просвещение.1999.
2. Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе: Курс лекций. Тобольск: Изд. ТГПИ им. Д.И.Менделеева.1997.
3. Паламарчук В.Ф. Школа учит мыслить. М.:Просвещение. 1987
4. (Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры.. — 2-е изд., испр.. — М.: Физматлит, 2001.)
5. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. М.:Просвещение.1984.
6. Хеннер Е.К., Шестаков А.П. Математическое моделирование. Пособие для учителя. Пермь.1995.
7. Штофф В.А. Моделирование и философия. М.,Л.1966.
8. Левитас Г.Г. Об алгебраическом решении текстовых задач.//Математика в школе, №8, с.13.2000.
9. Мордкович А.Г. Алгебра. Учебник для 7 класса общеобразовательной школы. М.:Мнемозина.1997.
10. Чаплыгин В.Ф. Некоторые методические соображения по решению текстовых задач.//Математика в школе, №4, с.28.2000.
11. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2000."Кирилл и Мефодий".1999.