Олимпиада по математике. 4 класс.
олимпиадные задания по математике (4 класс) на тему

Решения и критерии городской олимпиады по математике 4 класс

Максимум 35 баллов

1. Если дома на улице пронумерованы от 1 до 50, то сколько раз встречается цифра 4?

Ответ: 15 раз

Верный ответ – 1 балл.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Ира, Таня, Коля и Митя собирали ягоды. Таня собрала ягод больше каждого из собиравших, Ира – не меньше одного из мальчиков. Верно ли, что девочки собрали ягод больше, чем мальчики?

Решение. Отметим количество собранных детьми ягод точками на прямой согласно условию. Очевидно, что девочки собрали ягод больше, чем мальчики.

Ответ. Верно

Ответ без объяснения – 0 баллов

Верный ответ с объяснением – 2 балла.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. В кошельке 6 монет: по одной – 1 копеечная, 3 – копеечная, 5 – копеечная, 15 – копеечная и остальные двухкопеечные. Какую сумму меньше 28 копеек нельзя набрать этими монетами.

Решение: из условия получаем, что двухкопеечных монет – две. Поэтому легко набрать суммы от 1 до 13 копеек (4 = 3 + 1, 6 = 5 + 1, 7 = 5 + 2, 8 = 5 + 3, 9 = 5 + 3 + 1, 10 = 5 + 3 + 2, 11 = 5 + 3 + 2 + 1, 12 = 5 + 3 + 2 + 2, 13 = 5 + 3 + 2 + 2 + 1). Получаем, что 14 копеек набрать нельзя, т.к.  если используем все монеты, кроме 15-копеечной, то максимум наберём 13 копеек.

Сумму от 15 копеек до 28 легко набрать: если к каждой из вышеприведённых сумм прибавить монету в 15 копеек.

Ответ: 14 копеек.

Верное решение: 2 балла.

Верный ответ без объяснения– 1 балл

Приведены некоторые примеры сумм – 0 баллов (вне зависимости от количества примеров)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Разрежьте фигуру (см. рисунок) на две одинаковые части (резать можно только по сторонам клеток).

Решение: разрезать можно, например, так ( см. рисунок)

Решил верно – 3 балла.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Напишите наименьшее трёхзначное число, которое делится на 3, так, чтобы первая цифра его была 7, и все цифры были бы различны.

(Число делится на три, если сумма его цифр делится на три)

Решение: т.к. первая цифра числа равна 7, то наименьшая возможная сумма цифр равна 9 (так как 7 и 8 не делятся на три, а 9 делится на три). Получаем следующие варианты: 702, 711, 720. Наименьшее из полученных чисел – 702.

Ответ: 702.

Верное решение: 3 балла.

Верный ответ без объяснения: 1 балл.

Найдены числа, которые делятся на 3, сумма цифр которых равна 9: 2 балла.

Обосновано, что сумма цифр числа равна 9: 1 балл.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6. За 5 килограммов пряников и 3 килограмма печенья заплатили 10 рублей 20 копеек. А за 2 килограмма пряников и 3 килограмма печенья заплатили 6 рублей 60 копеек. Сколько стоит 1 килограмм пряников?

Решение: купим сначала 5 килограмм пряников и 3 килограмма печенья за 10 рублей 20 копеек. А затем продадим 2 килограмма пряников и 3 килограмма печенья за 6 рублей 60 копеек. У нас останется 3 килограмма пряников, и мы потратили 3 рубля 60 копеек. Значит, 1 килограмм пряников стоит 1 рубль 20 копеек.

Ответ: 1 рубль 20 копеек.

Решил верно – 4 балла.

Верный ответ без объяснения – 1 балл.

Найдено, сколько стоит 3 килограмма пряников – 2 балла.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7. Андрей может съесть 600 граммов варенья за 6 минут, а Павлик уверяет, что съест варенье в два раза быстрее. За сколько минут они смогли бы съесть 600 граммов варенья вместе?

Решение

За минуту Андрей съест 600 : 6 = 100 граммов варенья. Павлик может съесть 600 граммов варенья ха 6 : 2 = 3 минуты, поэтому за минуту он съест 600 : 3 = 200 граммов варенья. Вместе мальчики за минуту съедят 100 + 200 = 300 граммов варенья. Получается, что 600 граммов варенья мальчики съедят за 600 : 300 = 2 минуты.

Ответ: за 2 минуты

Решил верно – 4 балла.

Получено, сколько граммов варенья съест Андрей за 1 минуту – 1 балл

Получено, сколько граммов варенья съест Павлик за 1 минуту – 2 балла

Получено, сколько граммов варенья съедят за 1 минуту мальчики вместе – 3 балла

Верный ответ без объяснения – 1 балл.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

8. От Бабы-Яги до Кикиморы ведут 4 дороги, от Кикиморы до Лешего – 6 дорог, от Бабы-Яги до Русалки – 3 дороги, от Русалки до Лешего – 2 дороги. Сколькими способами Баба-Яга может пройти в гости к Лешему?.

Решение: Баба-Яга в гости к Лешему может пройти либо зайдя по пути к Кикиморе, либо – к Русалке. В первом случае Баба-Яга дойдёт до Лешего 6 ∙ 4 = 24 способами, во втором случае – 3∙2 = 6 способами. Получается, что всего способов 24 + 6 = 30.

Ответ: 30 способами.

Решил верно – 4 балла.

Найден один из случаев (через Кикимору или через Русалку) – 2 балла.

Ответ без объяснения – 1 балл.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

9. В коробке могут лежать красные, белые и чёрные шары. Всего шаров 15. Белых шаров в 7 раз больше, чем красных. Сколько чёрных шаров?

Решение: если красных шаров 2, то белых 2 ∙ 7 = 14, и всего уже получается 2 + 14 = 16 шаров, что больше 15. Поэтому в коробке не могут лежать 2 красных шара. Больше, чем 2 красных шара в коробке лежать тоже не может, т.к. в сумме получим ещё больше шаров. Остаются два варианта: 1 красный шар и 0 красных шаров. Если красный шар один, то белых 1 ∙ 7 = 7 шаров. Тогда чёрных шаров 15 – (1 + 7) = 7. Если красных шаров 0, то тогда белых 0 ∙ 7 = 0. Тогда чёрных шаров 15.

Ответ: 7 шаров или 15.

Найдены оба решения – 5 баллов.

Найдено одно решение – 2 балла.

Один верный ответ: 1 балл.

Два верных ответа: 2 балла.

В верном решении не показано, что 2 и более красных шаров не может быть: не более 3 баллов.

В верном решении нет объяснения, почему не может быть 2 и более красных шаров – 4 балла.

 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

10. В Олимпиаде приняли участие 7 учеников в возрасте от 7 до 12 лет включительно. Известно, что:

1. Гриша старше Жени;
2. Саша старше Васи, но моложе Вани;
3. У Ани и Нюши возраст одинаков, меньше, чем у Вани, но больше, чем у Саши;
4. Женя старше как Нюши, так и Вани.

Сколько лет каждому?

Решение

Расположим участников Олимпиады на прямой от младшего к старшему.

Из 3) следует, что на прямой Аня и Нюша находятся между Сашей и Ваней.

Из 2) следует, что Вася будет находиться левее Саши, и Вася будет самым младшим участником – ему 7 лет.

Из 4) следует, что Женя будет находиться правее Вани, а из 1) следует, что Гриша находится правее Жени – он самый старший, ему 12 лет.

Получаем, что

Возможны другие способы рассуждений и модели решения.

Ответ: Васе 7 лет, Саше – 8 лет, Ане и Нюше – 9 лет, Ване – 10 лет, Жене – 11 лет, Грише – 12 лет.

Решил верно – 6 баллов.

Верный ответ без объяснения - 1 балл

Верный ответ + проверка: 2 балла.

Верный ответ, рисунок, но отсутствует объяснение – 3 балла