Особенности формирования понятия натурального числа в начальной школе.
учебно-методический материал по математике по теме

                                                 Введение

Центральным понятием всего курса математики в дошкольной и начальной школе является натуральное число. Счет имеет сложную историю возникновения и развития. Ф. Энгельс считал, что понятие числа заимствовано исключительно из внешнего мира, оно не возникло из чистого мышления. Изучение истории развития понятия числа и операций с числами позволяет выявить, как происходил процесс «опредмечивания» числа, как развивалось понятие числа, какую роль играет овладение исторически выработанным средством отражения числа (овладение системой нумерации) в формировании понятия числа[22].

О целесообразности ранней пропедевтики материала начальной школы говорят многие методисты. В частности Б.П. Эрдниев отмечает, что это «благотворно в смысле достижения целостности знаний, преемственности», считает, что не должно быть никакого ограничения ни в каком классе в «опережении» той или иной программы, в свободном пользовании математическими терминами, названиями, формулами, если это увязывается информационно с изучаемым и оставляет какие-то полезные следы в сознании. Нет необходимости доказывать, насколько ускоряется тем самым усвоение в последствии.

Преемственность в обучении, кроме того, является необходимым условием реализации его развивающей функции, которая в настоящий момент выдвигается на передний план. В.В. Давыдов, в частности, отмечает, что практическое воплощение идеи развития в реальных педагогических технологиях предполагает выработку особого взгляда на традиционную проблему преемственности различных ступеней образования. Преемственность, по мнению В.В. Давыдова, не должна задаваться как формальная связь само замкнутых образовательных концентров. «Подобная система представляет собой «педагогическую машину», которая в своих рабочих режимах воспроизводит лишь самоё себя. Это вполне закономерно. Ведь именно в узлах связи образовательных ступеней закладывается зона отдалённого развития детей. Поэтому вне целостного видения контуров и характера такой связи попытки конструировать содержание образования, проектировать нормы усвоения учебного материала, заранее обречены на неуспех». В работах В.В. Давыдова и других исследователей отмечается неудовлетворительное состояние этой проблемы в сложившейся практике массового образования. Всё сказанное свидетельствует о неблагополучной ситуации, сложившейся в начальной школе с точки зрения её подготовки к дальнейшему обучению, о недостаточном обеспечении преемственности в обучении между дошкольной и начальной школой. Это говорит об актуальности темы.

Возникает противоречие между потребностями общества в высокообразованных людях и невозможностью удовлетворить эту потребность при организации непрерывного образования, в частности из-за того, что не обеспечивается преемственность преподавания в начальной школе.

Для решения обозначенной проблемы необходимо решить ряд частных задач.

1. изучить историю развития понятия числа, теорию формирования натурального ряда чисел, психолого-педагогическую и методическую литературу по проблеме преподавания числа в начальных классах;

2. рассмотреть теоретико-множественное истолкование натурального числа и понятие преемственности;

3. проанализировать программы дошкольного учреждения и начальной школы по преемственности натурального числа;

Решение поставленных задач потребовало следующих методов исследования: изучение и анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы, научной литературы монографического характера и научных статей по методике математики, работ по истории математики; анализ действующих учебников по математике и методической литературы; анализ педагогического опыта отечественных и зарубежных преподавателей начальной школы.

Вместе с тем, необходимо убедиться, что разработанные материалы доступны детям и позволяют строить обучение с учётом пропедевтики материала начальных классов.

Объект исследования, математическая подготовка учащихся начальной школы.

Предмет исследования: преемственность преподавания математики в дошкольной и начальной школе.

Цель исследования: выявление особенностей формирование понятия натального числа в начальной школе.

Глава I. Теоретические основы формирования понятия  натурального числа в начальной школе.

1. История возникновения натурального числа.

Число, важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие число изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним расширения круга вопросов, требовавшего количественного описания и исследования. На первых ступенях развития понятие число определялось потребностями счёта и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем число становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия число определяется потребностями этой науки.

Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта[11]. предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального число протекал в общих чертах следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлечённого числа отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как, например, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись различные словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавалось различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированным понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, т. е. выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как «толпа», «стадо», «куча» и т.д [8].

Источником возникновения понятия отвлечённого число является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени число становится отвлечённым, не зависящим от качества считаемых объектов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности. Расширяющиеся потребности счёта заставили людей употреблять другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших число стала использоваться новая идея — обозначение некоторого определённого число (у большинства народов — десяти) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.

С развитием понятия натурального числа как результата счёта предметов в обиход включаются действия над числами. Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счёта равными частями (по два, по три и т.д.), деление — как деление совокупности на равные части. Лишь в многовековом опыте сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т. е. начинается развитие науки о числе — арифметики. В первую очередь арифметика развивается как система знаний, имеющая непосредственно прикладную направленность. Но в самом процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств чисел как таковых, в уяснении всё более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий. Начинается детализация понятия натурального числа, выделяются классы чётных и нечётных чисел, простых и составных и т.д. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду числу продолжается и составляет раздел математики, носящий название чисел теория[28].

Натуральные числа, кроме основной функции — характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию — характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй и т.д.) тесно переплетается с понятием количественного числа (один, два и т.д.). В частности, расположение в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребительным с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов).

Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа — с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Отчётливое определение понятия натурального числа на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. 19 в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального числа как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается в сопоставлении по одному считаемых предметов и предметов, составляющих «эталонную» совокупность (на ранних ступенях — пальцы рук и зарубки на палочке и т.д., на современном этапе — слова и знаки, обозначающие числа), Определение, данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количеств. Число в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.[12].

Другое обоснование понятия натурального числа базируется на анализе отношения порядка следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе система аксиом была сформулирована Дж. Пеано.

Введение отрицательных чисел было с необходимостью вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного числа возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Возможный отрицательный ответ в задачах такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных величин (таких, как противоположно направленные отрезки, передвижение в направлении, противоположном выбранному, имущество — долг, и т.д.). В задачах же, приводящихся к многократному применению действий сложения и вычитания, для решения без помощи отрицательного числа необходимо рассмотрение очень многих случаев; это может быть настолько обременительным, что теряется преимущество алгебраического решения задачи перед арифметическим. Таким образом, широкое использование алгебраических методов для решения задач весьма затруднительно без пользования отрицательного числа. В Индии ещё в 6—11 вв. отрицательные числа систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время[6].

В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта, давшего геометрическое истолкование отрицательного числа как направленных отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившее рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование, оказалось, по существу одинаковым.

Заключительный этап в развитии понятия число — введение комплексных чисел. Источником возникновения понятия комплексного числа явилось развитие алгебры. По-видимому, впервые идея комплексного числа возникла у итальянских математиков 16 в. (Дж. Кардано, Р. Бомбелли) в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней. Известно, что уже решение квадратного уравнения иногда приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного числа, невыполнимому в области действительного числа. Но это происходит только в том случае, если уравнение не имеет действительных корней. Практическая задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, оказывается не имеющей решения. С открытием алгебраического решения уравнений третьей степени обнаружилось следующее обстоятельство. Как раз в том случае, когда все три корня уравнения являются действительными числами, по ходу вычисления, оказывается, необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательных числа. Возникающая при этом «мнимость» исчезает только по выполнении всех последующих действий.    Это обстоятельство явилось первым стимулом к рассмотрению комплексных чисел. Однако комплексные числа и действия над ними с трудом прививались в деятельности математиков. Остатки недоверия к закономерности пользования ими отражаются в сохранившемся до наших дней термине «мнимое» число. Это недоверие рассеялось лишь после установления в конце 18 в. геометрического истолкования комплексных чисел в виде точек на плоскости и установления несомненной пользы от введения комплексных чисел в теории алгебраических уравнений, особенно после знаменитых работ К. Гаусса. Ещё до Гаусса, в работах Л. Эйлера, комплексные числа начинают играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе. Эта роль стала исключительно большой в 19 в. в связи с развитием теории функций комплексного переменного[17].

Совокупность всех комплексных чисел обладает так же, как совокупность действительных чисел и совокупность рациональных чисел, свойством замкнутости по отношению к действиям сложения, вычитания, умножения и деления. Более того, совокупность всех комплексных чисел обладает свойством алгебраической замкнутости, заключающейся в том, что каждое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет корни снова в области всех комплексных чисел. Совокупность всех действительных чисел (и тем более рациональных) свойством алгебраической замкнутости не обладает. Так, например, уравнение с действительными коэффициентами х2+1=0 не имеет действительных корней. Как установлено Вейерштрассом, совокупность всех комплексных чисел не может быть далее расширена за счёт присоединения новых чисел так, чтобы в расширенной совокупности сохранились все законы действий, имеющие место в совокупности комплексных чисел[6].

Наряду с основной линией развития понятия число (натуральные числа; рациональные числа; действительные числа; комплексные числа), специфические потребности некоторых областей математики вызвали различные обобщения понятия число в существенно других направлениях.

Так, в разделах математики, связанных с теорией множеств, важную роль играют упоминавшиеся выше понятия количественных и порядковых трансфинитных чисел. В современной теории числа получили большое значение. В алгебре изучаются различные системы объектов, обладающие свойствами, в большей или меньшей степени близкими к свойствам совокупности целых или рациональных чисел — группы, кольца, поля, алгебры.

2. Формирование понятия натурального числа в начальной школе.

Понятие натурального числа раскрывается с первых дней обучения детей математике в процессе выполнения ими операций над конечными множествами, а также в процессе измерения длины отрезков, а позднее веса, площади и др. Формирование понятия натурального числа в процессе счета и измерения обогащает содержание этого понятия; кроме того, идея меры и измерения получает при этом правильное истолкование. Поэтому уже при изучении первого и второго десятков включаются единицы измерения длины — сантиметр и дециметр, которые используются для измерения длины отрезков путем наложения, а несколько позднее применяется масштабная линейка [2].

Дальнейшее развитие понятия натурального числа происходит при изучении нумерации, когда само число выступает как элемент упорядоченного множества (натуральной последовательности), при этом раскрывается количественное и порядковое его значение. Эффективность усвоения этих последних понятий значительно повышается, если добиваться формулировки свойств натуральной последовательности.

В дальнейшем натуральные числа выступают в качестве объектов, над которыми выполняются арифметические действия [6].

Нуль как число и как цифра вводится уже в I классе при вычитании вида: 2 — 2, 5 — 5, что соответствует правильному толкованию сущности этого нового числа как количественной характеристики класса пустых множеств. Здесь же нуль выступает и как цифра при записи круглых чисел и как начало отсчета на линейке (начало числового луча).

В дальнейшем число нуль рассматривается в качестве компонента сложения и вычитания (15 + 0; 0 + 28; 17 — 0; 0 + 0), потом в качестве компонента умножения и деления.

Учитывая требования практики измерений, в начальной школе расширяется числовая область введением понятия доли и дроби как совокупности одинаковых долей. Это делается в связи с раскрытием конкретного смысла действия деления. Поскольку сущность образования дробных чисел ярко раскрывается при решении задач на нахождение доли и дроби от числа и числа по его доле, то эти задачи включаются одновременно с введением дробных чисел.

В традиционной программе долгое время сохранялась излишняя монографичность в изучении долей, когда ученики знакомились только с определенным и притом ограниченным кругом долей (1/2, 1/4, 1/8, 1/10). Такая практика суживала возможности посильного для детей обобщения: Опыт показывает, что дети вполне способны усвоить ту закономерность, которая лежит в основе получения любой доли, и сделать необходимые обобщения. Поэтому целесообразно сразу вводить все доли со знаменателями — числами первого десятка и за его пределами.

Учитель начальных классов на первых порах должен быть очень внимателен к ошибкам, которые могут возникнуть у детей в процессе счета. Пропуск или ошибочный порядок в назывании числительных (“один”, “два”, “три”, “пять”), или неумение относить числительное к предмету (ребенок называет, например, одно числительное, а указывает последовательно на два предмета), или неумение определять количественный результат (“один, два, три, четыре… всего восемь”) [2].

При изучении чисел, на наш взгляд, сразу же должна вставать проблема их обозначения. Первоначально эта проблема возникает при обобщении и уточнении числовых представлений первоклассников. Средством такого обобщения и уточнения может быть конструирование способов количественного сравнения предметов и групп предметов по различным качествам – признакам, свойствам, а также конструирование способов, где обозначения результатов этого сравнения в речи и на письме.

Количественное сравнение проводится после установления общего качества – признака, по которому возможно количественное сравнение. Например, книгу и тетрадь можно количественно сравнить по длине, каких – либо сторон, по массе, по объему, по числу страниц, по стоимости, по площади каких – либо поверхностей, по площади общей суммарной поверхности каждого предмета[6].

Уже при установлении отношений “больше”, “меньше” или “столько же” (“равно”) полезно поставить перед детьми проблему обозначения результатов сравнения. В учебных действиях школьника важно умение оценивать силы, рассчитывать и распределить их при выполнении заданий разной сложности. Чтобы приручить умению соразмерять свои возможности и попробовать себя в более трудном деле, педагог дает учащимся дозированные и недозированные задания: кто успешно выполнит минимум, тот по желанию без нормы может выполнить дополнительную работу. Если детям предлагаются задания разной сложности на выбор, то они, как правило, берутся за самое сложное и громоздкое. Обучение делается более осмысленным и успешным, когда начинается формирование общеучебных умений и навыков в области коллективной и познавательной деятельности: работа группами, коллективное выполнение одного общего задания, взаимопомощь, организация ответственной зависимости. Рассмотрение разных способов обозначения результатов количественного сравнения, их сопоставление, обсуждение достоинств и недостатков. При попытках использовать придуманные детьми обозначения чисел создают ту атмосферу осознания единства и различий смысла и знака, который в дальнейшем позволяет обсуждать и другие проблемы познания [11].

Таким образом, изучение чисел способствует развитие младших школьников и включает их в активную умственную деятельность. Кроме того, изучение идет более быстрыми темпами и обеспечивает осознанное усвоение материала, задания доступны младшим школьникам, что облегчает самостоятельное выполнение заданий и выполнение заданий творческого характера.

Глава II. Методические подходы к формированию понятия натурального числа в начальной школе

2.1. Понятие педагогических технологий. Виды педагогических технологий.

Исторически понятие «технология» возникло в связи с техническим прогрессом и согласно словарным толкованиям (techne- искусство, ремесло,  logos- понятие, учение) есть совокупность знаний о способах и средствах обработки материалов.

Технология включает  искусство владения процессом, в результате чего персонализируется.

Технологический процесс всегда предусматривает определенную последовательность операций с использованием необходимых средств (материалов, инструментов) и условий. К числу существенных признаков технологии относят стандартизацию, унификацию процесса и возможность его воспроизводства применительно к заданным условиям[3].

Под педагогической технологией первоначально понималась попытка технизации учебного процесса. Сегодня педагогические технологии выделились в отдельный, относительно самостоятельный раздел педагогики.

Существует несколько определений понятия «педагогическая технология». Вот некоторые из них.

Педагогическая технология – это содержательная техника реализации учебного процесса (В. П. Беспалько).

Педагогическая технология – это описание процесса достижения планируемых результатов обучения (И. П. Волков).

Педагогическая технология – это продуманная во всех деталях модель совместной педагогической деятельности по проектированию, организации и проведения учебного процесса с безусловным обеспечением комфортных условий для учащихся и учителя (В. М. Монахов).

Педагогическая технология – это системный метод создания, применения и определения всего процесса преподавания и усвоения знаний с учетом технических и человеческих ресурсов и их взаимодействия, ставящий своей задачей оптимизацию форм образования (ЮНЕСКО).

Педагогическая технология – это строго научное проектирование и точное воспроизведение гарантирующих успех педагогических  действий (В. А. Сластенин) [6].

Понятие «педагогическая технология» может быть представлено тремя аспектами: научным, процессуально-описательным и процессуально-действенным. Это означает, что педагогическая технология функционирует и в качестве науки, исследующей наиболее рациональные пути обучения, и в качестве системы способов, принципов и правил, применяемых в обучении, и в качестве реального процесса обучения (Г. К. Селевко).

Педагогической технологии присущи следующие признаки:

• диагностическое целеобразование,
• результативность,
• управляемость,
• корректируемость,
• экономичность,
• алгоритмируемость,
• проектируемость,
• целостность.

Диагностическое целеобразование и результативность предполагают гарантированное достижение целей и эффективность процесса обучения.

Экономичность выражает качество педагогической технологии, обеспечивающее резерв учебного времени, оптимизацию труда преподавателя и достижение запланированных результатов обучения в сжатые сроки.

Следующая группа признаков (алгоритмируемость, проектируемость, целостность и управляемость) отражает различные стороны идеи воспроизводимости педагогических технологий [3].

Признак корректируемости предполагает возможность постоянной оперативной обратной связи, последовательно ориентированной на четкое определение цели. В этом смысле, признаки корректируемости, диагностического целеобразования и результативности тесно связаны и дополняют друг друга.

Педагогическая технология взаимосвязана с педагогическим мастерством. Одна и та же технология может осуществляться различными исполнителями более или менее добросовестно, точно по инструкции или творчески. Конечно, результаты будут различными, однако близкими к некоторому среднему значению, характерному для данной технологии. Иначе говоря, в педагогических технологиях элемент субъективности доведен до минимума, хотя надо помнить, что в педагогической деятельности исключить полностью действие субъективного личностного фактора невозможно [6].

Овладение педагогической технологией ни в коем случае не освобождает учителя от творческого решения психолого-педагогических проблем, рождающихся в работе с детьми, а, напротив, обеспечивает готовность к творческому решению.

Технология не отменяет ни методику, ни педагогическую теорию. Педагогическая теория анализирует такие вопросы, как выработка цели воспитания, отбор содержания образования, определения сущности законов и закономерностей, принципов, форм и движущих сил учебно-воспитательного процесса. Методика, детализирует общие вопросы с учетом специфики конкретного предмета. Технология же разрабатывает определенные принципы и правила реализации конкретных задач, конструирует учебный процесс и строго задает определенную последовательность процедур, шагов, направленных на достижение гарантированного результата.

Понятие «методика» шире понятия «технология». В отличие от методики, педагогическая технология жёстко задает способ достижения цели через алгоритмизацию процедур и действий (хотя технологию полностью нельзя сводить к алгоритмизации). Одна из качественных характеристик и особенность технологии – это её воспроизводимость. Условно говоря, методика даёт ответ на вопрос «Что и как можно сделать для достижения тех или иных педагогических целей?», а технология – на вопрос «Что и как необходимо сделать, чтобы добиться конкретных результатов обучения и воспитания?».

Существует много классификаций педагогических технологий (например, Г. К. Селевко выделил 12 классификаций). Многие авторы научных и учебно-методических публикаций придерживаются мнения, что педагогических технологии целесообразно разделить на технологии обучения и технологии воспитания. Дальнейшее выделение классов технологий может идти, например, по преобладающему методу. Так, в учебном процессе метод и средство обучения определяют название многих существующих технологий: репродуктивные, объяснительно–иллюстративные, программированного обучения, проблемного обучения, развивающего обучения и др.

Соответственно этапам решения педагогической задачи вне зависимости от их содержания и временных рамок можно различать взаимосвязанные общие и частные технологии. К общим относятся технологии конструирования, например процесса обучения и его осуществления. Частные - это технологии решения таких задач обучения и воспитания, как педагогическое стимулирование деятельности учащихся, контроль и оценка ее результатов, и более конкретных - типа анализа учебной ситуации, организации начала урока и др. [6].

Одним из решающих условий успешного протекания педагогического процесса является его конструирование, включающее в себя анализ, диагностику, определение прогноза и разработку проекта деятельности. На этом этапе решения педагогической задачи можно выделить тесно связанные между собой виды деятельности учителя, которые относительно независимо направлены на конструирование содержания, средств и программ действий своих и учащихся. Соответственно технологию конструирования педагогического процесса можно представить как единство технологии конструирования содержания (конструктивно-содержательная деятельность), конструирования материальных или материализованных средств (конструктивно-материальная) и конструирования деятельности (конструктивно-операциональная) [3].

Технологию непосредственного осуществления педагогического процесса можно представить как совокупность последовательно реализуемых технологий передачи информации, организации учебно-познавательной и других видов развивающей деятельности, стимулирования активности воспитанников, регулирования и корригирования хода педагогического процесса, его текущего контроля. Центральное место среди них занимает технология организации деятельности, являющейся, по существу, реализацией замысла и проекта функционирования педагогического процесса.

Содержание деятельности педагога на этапе осуществления педагогического процесса может быть представлено взаимосвязанной системой таких педагогических действий, как постановка перед воспитанниками целей и разъяснение задач деятельности; создание условий для принятия задач деятельности коллективом и отдельными воспитанниками; применение отобранных методов, средств и приемов осуществления педагогического процесса; обеспечение взаимодействия субъектов педагогического процесса и создание условий для его эффективного протекания; использование необходимых приемов стимулирования активности учащихся; установление обратной связи и своевременная корректировка хода педагогического процесса.

Учет технологических требований и особенностей деятельности детей, которую предстоит организовать, определяет специфику относительно самостоятельных технологий организации развивающих видов деятельности детей.

В организации учебно-познавательной деятельности учащихся решающее значение имеет технология обучения их решению задач разных типов. Характерно при этом, что количество решенных задач для научения знаниям, умениям и мышлению не имеет принципиального значения.

В целостной технологии организации учебно-познавательной деятельности, по существу сводящейся к управлению процессами решения учащимися учебных задач, важным элементом является обучение их культуре определения понятий. В ходе этой работы учащиеся начинают понимать организующую роль определений в осмысливании предмета в целом.

Универсальным исходным методом и основой технологии организации развивающих видов деятельности является педагогическое требование. Педагогическое требование не утрачивает своего назначения в связи с изменением самой философии образования, поскольку всецело согласуется с принципом приоритета субъект - субъектных отношений в общем объеме отношений педагогического процесса. Овладевая конкретной технологией организации развивающих видов деятельности детей, важно иметь в виду, что педагогическое требование в своем развитии должно проходить закономерный ряд ступеней: от первичного к исходному, от него к требованию-правилу, далее к требованию-норме и в завершение перерастать в требование-принцип.

Технология организации развивающей деятельности школьников по типу рефлексивного управления в отличие от авторитарного предполагает постановку воспитанника в позицию активного субъекта познания, общения, труда и социального оценивания, осуществляемых в общей системе коллективной работы; развитие способности ученика к самоуправлению (саморегуляции, самоорганизации, самоконтролю собственной деятельности); организацию педагогического процесса как решение учебно-познавательных и других задач (проблем) на основе творческого взаимодействия (диалога) педагогов и воспитанников [3].

Таким образом, педагогическая технология функционирует и в качестве науки, исследующей наиболее рациональные пути обучения, и в качестве системы способов, принципов и регулятивов, применяемых в обучении, и в качестве реального процесса обучения.

2.2. Педагогические технологии формирования понятия натурального числа в современной школе.

В начальном курсе математики количественное натуральное число рассматривается как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Поэтому, когда учащиеся изучают число “один”, на странице учебника приводятся изображения одного предмета: одно ведро, одна девочка, один стол и т.д. Когда изучают число “четыре”, на странице учебника приводятся изображения различных совокупностей, содержащих четыре элемента: четыре кубика, четыре дерева, четыре палочки и т.д. Так происходит при изучении всех чисел первого десятка, но число элементов во множестве определяется путем пересчета. Таким образом, количественное и порядковое натуральное число выступает в начальном обучении в тесной взаимосвязи, в единстве[27].

С этими сторонами числа учащиеся знакомятся при изучении первого десятка.

Необходимо предлагать детям считать различные предметы, показывая их в различной группировке, необходимо давать задания на сравнение количественно одинаковых, но качественно различных групп.

В этих случаях дети смогут особенно ясно понять, что ни общее впечатление о пространственном расположении данной группировки, ни общее впечатление о множестве предметов не могут быть основой определения количества, и только последовательный счет предметов может служить средством точного определения количества.

Учитель начальных классов на первых порах должен быть очень внимателен к ошибкам, которые могут возникнуть у детей в процессе счета. Пропуск или ошибочный порядок в назывании числительных (“один”, “два”, “три”, “пять”), или неумение относить числительное к предмету (ребенок называет, например, одно числительное, а указывает последовательно на два предмета), или неумение определять количественный результат (“один, два, три, четыре… всего восемь”) [2].

При изучении чисел, на наш взгляд, сразу же должна вставать проблема их обозначения. Первоначально эта проблема возникает при обобщении и уточнении числовых представлений первоклассников. Средством такого обобщения и уточнения может быть конструирование способов количественного сравнения предметов и групп предметов по различным качествам – признакам, свойствам, а также конструирование способов, где обозначения результатов этого сравнения в речи и на письме.

Таким образом, изучение чисел способствует развитие младших школьников и включает их в активную умственную деятельность. Кроме того, изучение идет более быстрыми темпами и обеспечивает осознанное усвоение материала, задания доступны младшим школьникам, что облегчает самостоятельное выполнение заданий и выполнение заданий творческого характера.

Количественное сравнение проводится после установления общего качества – признака, по которому возможно количественное сравнение. Например, книгу и тетрадь можно количественно сравнить по длине, каких – либо сторон, по массе, по объему, по числу страниц, по стоимости, по площади каких – либо поверхностей, по площади общей суммарной поверхности каждого предмета[6].

Уже при установлении отношений “больше”, “меньше” или “столько же” (“равно”) полезно поставить перед детьми проблему обозначения результатов сравнения. В учебных действиях школьника важно умение оценивать силы, рассчитывать и распределить их при выполнении заданий разной сложности. Чтобы приручить умению соразмерять свои возможности и попробовать себя в более трудном деле, педагог дает учащимся дозированные и недозированные задания: кто успешно выполнит минимум, тот по желанию без нормы может выполнить дополнительную работу. Если детям предлагаются задания разной сложности на выбор, то они, как правило, берутся за самое сложное и громоздкое. Обучение делается более осмысленным и успешным, когда начинается формирование общеучебных умений и навыков в области коллективной и познавательной деятельности: работа группами, коллективное выполнение одного общего задания, взаимопомощь, организация ответственной зависимости. Рассмотрение разных способов обозначения результатов количественного сравнения, их сопоставление, обсуждение достоинств и недостатков. При попытках использовать придуманные детьми обозначения чисел создают ту атмосферу осознания единства и различий смысла и знака, который в дальнейшем позволяет обсуждать и другие проблемы познания.

Формирование понятия числа включает в себя:

количественный смысл числа, т.е., что каждое число является общим свойством класса равномощных множеств;

смысл натурального числа как результат измерения величин;

порядковый смысл натурального числа;

умение определять состав каждого натурального числа;

умение использовать натуральные числа для счета предметов, для установления порядка во множестве, для обозначения результата измерения величин;

умение сравнивать натуральные числа разными способами;

умение выполнять арифметические действия над натуральными числами и нулем и получать новые натуральные числа с помощью арифметических действий;

формирование умения различать понятия “число” и “цифра” и использование цифр для записи натуральных чисел.

Изучение формирования понятия натурального числа, как известно, является основной работой над арифметическими действиями. Здесь применяются все знания, умения и навыки, которые дети получают, знакомясь с десятичной системой счисления и нумераций. Поэтому в ходе изучения происходит естественное закрепление и совершенствование приобретенных знаний.

                                 Заключение

Школа сегодня стоит перед необходимостью строить образовательный процесс так, чтобы обучающийся приобретал и развивал способность к проектированию собственной жизни, к выбору, адекватному наличным внутренним и внешним условиям, к пониманию того, что только высокая нравственность и духовность способны уберечь человечество от самоуничтожения.

Одним из путей совершенствования учебной деятельности является ее индивидуализация, связанная с созданием условий для удовлетворения потребности субъекта в реализации своей познавательной активности в соответствии с индивидуальными стилевыми особенностями. Педагогическая практика свидетельствует о том, что длительное игнорирование индивидуальных стратегий познания со временем приводит к отрицательным последствиям в развитии ребенка, а в крайних случаях может привести к нарушению его здоровья [4] .

Ведущий вид деятельности, определяющий основные новообразования развития младшего школьника, является учебная деятельность. Поэтому основное внимание сосредоточим на анализе взаимодействия младших школьников в рамках учебной деятельности.

При поступлении в школу у ребенка резко меняется его образ жизни в силу того, что основным видом его деятельности становится учение. Подготовка к учебной деятельности (имение необходимого запаса представлений и понятий, определенный уровень развития мышления и речи), но и имение устойчивое желание учиться. Поэтому особенно важное для младших школьников значение имеет мотивация учения, основу которых на первых порах составляет интерес к школе вообще, интерес к новому виду деятельности – учению. И только при условии, что интерес к учению вообще постоянно поддерживается учителем (или учебником), у ребенка постепенно развивается интерес к приобретению новых знаний.

Способность младших школьников к осуществованию свободного выбора целей и средств учебной деятельности во многом зависит от богатства того опыта, который они должны приобрести в процессе учения. В связи с этим Ш. А. Амонашвили отмечал, что “ проблема заключается в том, чтобы… школьник предложенную, педагогически необходимую учебную задачу принимал как свободно выбранную. Так мы можем обнаружить корни, из которых вырастает педагогика как наука о воспитании и как искусство воспитания”. Процесс обучения в начальной школе оценивается с выделенной выше “клеточки” целостной структуры человеческой деятельности. Следует признать, что младшими школьниками в наиболее полном виде передается только исполнительский компонент учебной деятельности. Учитель, как правило, сам ставит учебные цели, сам планирует последовательность и характер содержания учебной деятельности, сам контролирует и оценивает работу учащихся.

Ребенок приходит в школу, формирование общеучебных умений существенно зависит от индивидуальных особенностей.

Выделяется период, когда ребенок еще не может действовать сам, а следит за показом и объяснениям учителя; затем сам начинает действовать конкретными множествами предметов (например, палочками, кубиками, карточками и т.д.) на уроках математики под руководством учителя. Задолго до изучения некоторых тем по математике дети знакомятся с ними во время игр. Используем считалки: дети практически учатся определять порядок предметов при счете. Играем в магазин: готовим монеты, чтобы расплатиться за покупку, дают сдачи. Так усваивается состав числа на практике. За этими реальными действиями с предметами следует этап, когда ребенок моделирует (выражает) то же действие словесно, уже не выполняя его предметно. На этом этапе большую роль играет умение ученика структурно представить себе предметы и действия с ними. Опора на эти представления облегчает переход к следующему этапу – к действию “в уме”. Опыт показал, что при овладении новыми умственными действиями, особенно при обучении математике, недопустим пропуск какого – нибудь из этих этапов. Анализ работы над 1 десятком по общепринятой методики показывает, что она не отвечает требованиям преемственности обучения младших школьников и дошкольников, поскольку при изучении 1 десятка не учитываются в полной мере запас математических сведений у детей-семилеток, а также их интеллектуальные возможности. Вместе с тем недооценивается перспективное значение работы над понятиями числа, действие величины. Так, при изучении нумерации чисел в приделах десяти большое место занимает изучение состава каждого числа из слагаемых, хотя само сложение предстоит еще изучить.

Каждое число, называемое в процессе счета, ставится в соответствие одному из пересчитываемых предметов, характеризуя его порядок при счете (“порядковое число”). Таким образом, порядковая и количественная характеристика числа тесно связаны.

Согласно новой программе в основу формирования у детей понятий о числе и арифметических действиях положены практические операции с конечными множествами предметов. И установление связей между основными свойствами предметных множеств и операций с ними со свойствами чисел и арифметических действий.

Познавательный процесс в младшем школьном возрасте обладает многими особенностями, знание которых дает возможность обеспечить эффективность начального обучения математике.

Восприятие младшего школьника характеризуется на первых порах непроизвольностью и неуправляемостью. Общаясь с теми или иными объектами, дети еще не могут самостоятельно их анализировать. В воспринимаемом объекте они обычно выделяют те его свойства, которые ярко и образно выражены. Понятно, что среди этих свойств немало таких, которые не являются существенными. Вместе с тем они охотно действуют с этими объектами, если те выступают перед ними в естественной реальной форме.

Мышление младших школьников носит конкретно – образный характер. Конкретность мышления и проявляется в том, что часто ту или иную мыслительную задачу младшие школьники могут успешно решить лишь тогда, когда они опираются на конкретные действия с реальными предметами, на конкретные представления.

Понятно, что при этом возникает реальная возможность усиления так называемых активных методов преподавания математики. Изучение математики не только посредством наблюдения, но и посредством активных и самостоятельных действий с соответствующим дидактическим материалом, возникает возможность наглядной материализации изучаемых математических соотношений и возможность открытия некоторых из них самими учащимися. Опыт показывает, что при такой методике обучения интерес учащихся к математике резко возрастает, знания становятся более осмысленными.

Рассматривая в процессе обучения понятия множества, числа и арифметических действий, мы даем возможность учащимся уже в начале изучения математики использовать элементы дедуктивного метода. Воспитываем у них способность и потребность в рассуждении, в обосновании сделанных суждений, в проверке полученных результатов. Тем самым уже на начальной стадии обучения учащиеся получают правильные представления о математике как науке, в которой последующее логически вытекает из предыдущего и в которой каждое суждение нуждается в определенном обосновании.

В обучении математике младшие школьники должны овладеть не только знаниями, умениями и навыками, но и общими методами познания, общими способами учебной деятельности.

                                                  Тезаурус

Адаптация – приспособление, привыкание организма к новым условиям.

Арифметика  -  раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства. Предметом арифметики является понятие числа в развитии представлений о нём (натуральные, целые и рациональные, действительные, комплексные числа) и его свойствах.

Базовая дошкольная общеобразовательная программа воспитания и обучения - нормативный документ, который определяет обязательный минимум содержания образования воспитанников организаций дошкольного воспитания в соответствии с их возрастными и индивидуальными психофизиологическими особенностями.

Базовый уровень развития ребенка - совокупность умений, знаний и навыков, обязательных для усвоения каждым воспитанником и необходимых для его нормального психофизического развития.

Ведущий вид деятельности - деятельность, в наибольшей степени способствующая психическому развитию ребенка в данный период его жизни и ведущая его развитие за собой.

Вербальный – словесный, устный.

Воображение - психический процесс, состоящий в создании представлений и мысленных ситуаций, никогда в целом не воспринимавшихся человеком в действительности.

Воспитание - процесс целенаправленного влияния на развитие личности, ее отношений, черт, качеств, взглядов, убеждений, способов поведения в обществе.

Воспитанник - ребенок, получающий общеобразовательные, дополнительные и специальные программы в дошкольных организациях, дошкольных групп в детских домах и школах- интернатах для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, предшкольных классах, дошкольных группах во внешкольных организациях.

Гендер - это социальный конструкт, набор характеристик, определенных культурой общества, которые иденитифицируют социальное поведение мужчин и женщин и отношения между ними. Гендер конструируется через определенную систему социализации, разделения труда, принятые в обществе культурные нормы, роли и стереотипы.

Готовность к школе – совокупность морфофизиологических и психологических особенностей ребенка старшего дошкольного возраста, обеспечивающая успешный переход к систематическому организованному школьному обучению

Готовность учиться – врожденная способность человеческого интеллекта усваивать знания и овладевать умениями и навыками.

Детство - период жизни от рождения до подросткового возраста. Детство включает младенчество (0-1 год), раннее детство (1-3 года), дошкольный возраст (3 - 6-7 лет), младший школьный возраст (6-7 лет – 10-11 лет)

Дошкольная общеобразовательная программа - программа, определяющая содержание дошкольного воспитания и обучения.

Дошкольное образование - первый уровень системы непрерывного образования, представляющий собой совокупность взаимодействующих преемственных дошкольных образовательных программ (общеобразовательных и специальных) и сети их реализующих дошкольных организаций, дошкольных групп в детских домах и школах-интернатах для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, домов ребенка, предшкольных классов, дошкольных групп во внешкольных организациях.

Задатки - анатомо-физиологические особенности организма, главным образом центральной нервной системы, являющиеся предпосылками формирования способностей.

Задача - данная в определенных условиях (например, в проблемной ситуации) цель деятельности, которая должна быть достигнута преобразованием этих условий согласно определенной процедуре.

Здоровый образ жизни - типичные формы и способы повседневной жизнедеятельности человека, которые укрепляют и совершенствуют резервные возможности организма.

Зона ближайшего развития - реально имеющиеся у ребенка возможности, которые могут быть раскрыты и использованы для его развития при минимальной помощи со стороны окружающих людей.

Индивидуализация обучения - организация учебного процесса с учётом индивидуальных особенностей детей. Осуществляется в условиях коллективной учебной работы в рамках общих задач и содержания обучения. Позволяет создать оптимальные условия для реализации потенциальных возможностей каждого ребенка.

Интеграция - понятие, означающее состояние связанности отдельных дифференцированных частей и функций системы в целое, а также процесс, ведущий к такому состоянию.

Интериоризация - формирование внутренних структур человеческой психики посредством усвоения внешней социальной деятельности.

Компетентность - уровень развития, необходимый для самостоятельного решения возникающих познавательных проблем, определения своей позиции и позволяющий человеку адекватно выполнять нормы и правила жизни в обществе.

Компетентность педагога – умение видеть и формулировать педагогические задачи на основе анализа педагогических ситуаций и находить оптимальные способы их решения

Концепция - система взглядов, то или иное понимание явлений, процессов; единый, определяющий замысел, ведущая мысль какого-либо произведения, научного труда.

Личность – устойчивая система социально значимых черт, характеризующих индивида со стороны его включенности в социальные отношения.

Личностно-ориентированный образовательный процесс - последовательное отношение педагога к воспитаннику как к личности, как к самосознательному ответственному субъекту собственного развития и как к субъекту воспитательного взаимодействия; базовая ценностная ориентация педагога, определяющая его позицию во взаимодействии с каждым ребёнком и коллективом.

Методика – 1) совокупность методов приемов практического применения чего-либо. 2) наука о методах обучения

Моторика – совокупность двигательных реакций, умений, навыков и сложных двигательных действий, свойственных человеку. Выделяют общую, тонкую (ручную) и артикуляционную моторику.

Непрерывное образование - связь, согласованность и перспективность всех компонентов системы (целей, задач, содержания, методов, средств, форм организации воспитания и обучения) на каждой ступени образования для обеспечения преемственности в развитии ребенка.

Образование – конкретно зафиксированная культурно-историческая форма общественной практики, обеспечивающая передачу человеку социального опыта в целях обретения им образа, адекватного данной культуре.

Образовательная среда - целостная качественная характеристика внутренней жизни образовательного учреждения, определяющаяся конкретными задачами которые это учреждение решает в своей деятельности, проявляющаяся в выборе средств, с помощью которых эти задачи решаются, содержательно оцениваемая по тому эффекту в личностном, социальном и интеллектуальном развитии детей, которого эта среда позволяет достичь.

Обучаемость - индивидуальные показатели скорости и качества усвоения человеком содержания обучения. Обучение – целенаправленное и систематическое воздействие на обучаемого с целью передачи ему определенных знаний, навыков и умений.

Общение – взаимодействие людей, направленное на согласование и объединение их усилий с целью налаживания отношений и достижения общего материального или духовного результата.

Открытое планирование – модель планирования, которая допускает отклонение от примерных планов и содержаний тематики воспитательной работы с учетом интересов детей к какой-либо деятельности, теме, явлению или возникшей ситуации.

Педагогика сотрудничества - модель педагогической деятельности, в которой требования педагога к детям в усвоении базового уровня знаний, умений и навыков неразрывно связаны с обязательным уважительным отношением к детям и оказанием помощи в обучении и развитии.

Педагогическая технология – это содержательная техника реализации учебного процесса (В. П. Беспалько).

Педагогическая технология – это описание процесса достижения планируемых результатов обучения (И. П. Волков).

Педагогическая технология – это продуманная во всех деталях модель совместной педагогической деятельности по проектированию, организации и проведения учебного процесса с безусловным обеспечением комфортных условий для учащихся и учителя (В. М. Монахов).

Предметная деятельность – ведущий вид деятельности ребенка раннего возраста, в процессе которой происходит усвоение общественно-выработанных способов использования предметов.

Преемственность - объективная необходимая связь между новым и старым в процессе развития; не только подготовка к новому, но и сохранение и развитие необходимого и целесообразного старого, связь между старым и новым как основа поступательного развития процесса.

Психическое развитие – процесс количественных и качественных изменений в психике ребенка на протяжении онтогенеза; процесс усвоения ребенком общественно-исторического опыта.

Рефлексия - процесс познания человеком самого себя, внутренних психических актов, состояний и особенностей, своего внутреннего мира, осознания того, как он воспринимается другими и построения своего поведения с учетом возможных реакций других.

Самоанализ педагогический - процесс и результат рефлексии педагогом собственной деятельности с целью её улучшения.

Семья – социальный институт воспитания, в котором осуществляется преемственность поколений, социализация детей, передача семейных ценностей и стереотипов поведения.

Сензитивные периоды развития – периоды в жизни ребенка, в которые наиболее интенсивно и гармонично развивается та или иная психическая функция.

Склонность - предрасположенность к чему-либо.

Социализация - процесс и результат усвоения и активного воспроизведения индивидом социального опыта, осуществляемый в общении и деятельности.

Социальная адаптация - процесс интеграции человека в общество, в результате которого достигается формирование самосознания и ролевого поведения, способности к самоконтролю и самообслуживанию, адекватных связей с окружающими.

Способности - индивидуально–психологические особенности личности, являющиеся условием успешного выполнения той или иной продуктивной деятельности. Включают в себя как отдельные знания, умения и навыки, так и готовность к обучению новым способам и приёмам деятельности.

Тонкая моторика – развитие мелких мышц пальцев, обусловливающее способность выполнять ими тонкие скоординированные манипуляции.

Тьютор - человек, сопровождающий ребенка на протяжении ряда лет, выстраивающий его траекторию развития.

Цель - осознанный образ предвосхищаемого результата, на достижение которого направлены действия человека.

Число — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей.

Список использованной литературы

1. Амонашвили Ш.А. Размышления о гуманитарной педагогике. – Москва: Издательство Дом Ш. A. Амонашвили, 1996.

2. Амонашвили Ш. А. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. – Москва: Просвещение, 1975. -462с. 

3. Беспалъко В. П. Слагаемые педагогической технологии. - Москва: Просвещение, 1999.

4. Моро М.И. Математика: Учебник для 1 кл. трехлетней нач. шк. – Москва: Просвещение, 1998 – 175с.

5. Рудакова Е.А. Виды и формы работы с математическими терминами и символами в начальном обучении математике./ Методическое пособие для учителей начальных классов и студентов ФНК. – Новосибирск, изд-во НИПК и ПРО. 2000. – 48с.

6.Сластенин В.А. Педагогика. - Москва: Академия, 2002

7. Царева С.Е. Гуманитарные подходы к изучению нумерации чисел. // Начальная школа.– 1996. №1.-C 39-46.

8. Асмолов А.Г. Психология личности.- Москва: Просвещение, 2000г.

9. Блехер Ф.Н. Счет и число в детском саду. Методическое письмо. - Москва: 1995 г. стр. 6-8.

10. Блонский, П.П. Психология младшего школьника / П.П. Блонский. – Москва: Институт практической психологии, 1997. – 574с.

11. Быкова, Т.П. Пропедевтика введения определения деления на этапе содержательного знакомства с этим понятием / Т.П. Быкова // Начальная школа. 2001. – №31.

12. Васянина, Т.П. Сигнальные карточки / Т.П. Васянина // Начальная школа, 2003. – №5. – С.18.

13. Венгер Л.А., Дьяченко О.М. Игры и упражнения по развитию умственных способностей у детей дошкольного возраста. - Москва: Просвещение, 1999 г.

14. Волковский Д Л.Руководство к "Детскому миру" в числах". - Москва: 1996г. - стр.7-11,13,24.

15. Гальперин П.Я. О методе формирования умственных действий. Хрестоматия по возрастной и педагогической психологии Москва: Просвещение, 1981г.

16. Глаголева Л.В. Сравнение величин предметов в нулевых группах школ. -Москва: Работник просвещения, 1999г. - стр. 4-6, 12-13.

17. Глушкова, О.С. Тесты по математике: учебное пособие для начальной школы / О.С. Глушкова. – Москва: АСТ-Пресс, 2001. – 199с.

18. Грин Р., Лаксон В. Введение в мир числа Москва: Педагогика, 2002г. - стр. 13-20.

19. Дорофеев, Г.В. Непрерывный курс математики в школе и проблема преемственности / Г.В. Дорофеев // Математика в школе. - 2008. – №5. – С.70-76.

20. Дорофеев, Г.В. Непрерывный курс математики в школе и проблема преемственности / Г.В. Дорофеев // Математика в школе. -  2008. – №5. – С.70-76.

21. Ерофеева Т.И. и другие. Математика дня дошкольников. - Москва: Просвещение, 1992г.

22. Жохов, В.И. Преподавание математики в 1 и 3 классах/ В.И. Жохов. – Москва: Мнемозина, 2000. – 155с.

23. Запорожец А.В. и Усовой А.П. Психология и педагогика игры дошкольника Москва: Просвещение, 1996г. -  стр. 216-220.

24. Звонкин А. Малыш и математика, непохожая на математику. Знание и сила, 2005г. - стр. 41-44.

25. Зимовец, Н.А. Интересные приёмы устных вычислений/ Н.А. Зимовец, В.П. Пащенко // Начальная школа. - 2000. – №6. – С.47-51.

26. Каменский Я.А. Избранные педагогические сочинения. - Москва: Учпедиз, 1939г. -  стр. 10-51.

27. Кеньшова, Г.А. Математическое домино/ Г.А. Кеньшова // Начальная школа. - 2003. – №5. – С.37.

28. Клецкина, А.А. Формирование навыков табличного умножения/ А.А. Клецкина // Начальная школа. -  2001. – №9. – С.78-82.

29. Кордемский, Б.А. Умножение ступенькой/ Б.А. Кордемский // Начальная школа, - 2007. – №11. – С.61.

30. Костюк Т.С. Избранные психологические труды. - Москва: Педагогика,  1988г. - стр. 170-194.

31. Лаврова Н.Н. Стойлова А.П. Задачник-практикум по математике. – Москва: Просвещение, 2005г.

32. Ламшина, Т.П. Добавить ноль или отбросить? Организация усвоения темы «Умножение и деление натуральных чисел на 10, 100, 1000…/ Т.П. Ламшина // Начальная школа. 2007. – №30.