Научная публикация на тему: "Задачи с пропорциональными величинами как средство развития логического мышления на уроках математики в 4 классе".
материал по математике (4 класс) по теме

     Задачи с пропорциональными величинами

как средство развития       логического мышления на уроках математики в 4 классе.

   
                                                                            Автор: Сидорова Алла  

                                                                                           Александровна
   учитель начальных классов
                                                                                       ГБОУ СОШ  №564
                                                                                  г.Санкт- Петербурга
                            Содержание
Введение                                                                                                                 3
Глава 1.   Психолого-педагогические основы процесса «мышление»               4
                1.1. Понятие «мышление»                                                                     4
                1.2. Виды мышления                                                                              6
    1.3. Логическое мышление                                                                   7
    1.4. Операции мышления                                                                      7
    1.5. Формирование и развитие мышления                                          8
Глава 2.   Особенности задач с пропорциональными величинами                    9
                2.1. Роль задач в начальном курсе математики                                  9
                2.2. Задачи с пропорциональными величинами                                 10  
                2.3. Методические приёмы обучения младших школьников
                       решению задач с пропорциональными величинами                  12  
                2.4. Методика изучения задач с пропорциональными величи-
                       нами в программе «Школа 2100»                                                 13

Заключение                                                                                                             17
Список литературы                                                                                                 18










Введение
       Велико значение математики в повседневной жизни человека. Без счета, без умения правильно складывать, вычитать, умножать и делить числа немыслимо развитие человеческого общества. Четыре арифметических действия, правила устных и письменных вычислений изучаются, начиная с начальных классов, а устный счет сейчас предлагается детям чуть ли не с пеленок.
Было бы глубокой ошибкой думать, что математика – это застывшая, законченная наука, что достаточно освоить формулы, правила и теоремы. В действительности математика, как и другие науки, непрерывно развивается, обогащается новыми теориями, перестраивается в ответ на новые запросы жизни.
Самое интересное и трудное в математике – это задачи. Размышление над задачами, поиск решений развивают логическое мышление, сообразительность, способствуют повышению уровня математической грамотности. Я считаю, что особую сложность для младших школьников представляют задачи с пропорциональными величинами. Одна из причин возникающих у детей трудностей в процессе решения этих задач заключается в том, что понятие «пропорциональная зависимость» не  является предметом специального изучения и усвоения.
В настоящее время в связи с дифференциацией процесса обучения актуальной становится проблема разработки соответствующих программ обучения. Существующие традиционные методики по рассмотрению данных задач на уроках математики для начальной школы перестали удовлетворять потребностям не только специализированной начальной школы, но и обычной системы начального образования. Содержание этих методик во многом устарело, оно не учитывает тех, безусловно, интересных эффективных наработок в области педагогики, психологии и частных методик, которые уже вошли в практику многих учителей. В связи с этим представляется необходимой разработка усовершенствованных вариантов традиционных программ по математике с учетом этих наработок.
Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что изучение задач с пропорциональными величинами в нетрадиционных программах, таких как «Школа 2100», и их влияния на развитие психических процессов является актуальной темой исследования.
В частности,  предположили, что задачи с пропорциональными величинами могут положительно влиять на развитие логического мышления младших школьников.
Цель работы: выявить возможности задач с пропорциональными величинами для развития логического мышления младших школьников.
Задачи:
1. Уточнить понятия «задача» и «задачи с пропорциональными величинами», «мышление» и «логическое мышление»;
2. Выявить возможности программы «Школа 2100» для формирования умений решения задач с пропорциональными величинами;
3. Определить возможности задач с пропорциональными величинами в развитии логического мышления;
4. Разработать методические рекомендации в помощь преподавателям по использованию задач с пропорциональными величинами для развития логического мышления на уроках математики.

Глава 1. Психолого-педагогические основы мышления

1.1 Понятие «мышление»

Представления о мышлении весьма различаются в разных направлениях научной мысли. Тем не менее, можно выделить три основных подхода: логический, философский и психологический. Представители первого подхода (Г. Фреге, В. Н. Брюшинский и др.) сводят мышление к рассуждениям и другим мыслительным процедурам, подчиняющимся логике. Логику же рассматривают как описание и систематизацию норм мышления. В рамках философского подхода (Аристотель, Р. Декарт, И. кант и др.) мышление полагается как объект философского осмысления. С точки зрения психологического подхода (Л. С. Выгодский, С. Л. Рубинштейн) мышление представляет собой одну из важных способностей психики человека, которая может исследоваться как в самой психологии, так и в других гуманитарных науках.
Что же такое мышление с психологической точки зрения? В своей книге «Мышление и творчество» Вадим Розин выделяет шесть характеристик мышления:
1. Мышление – это способ построения человеком одних знаний на основе других и построение представлений о действительности (схем, понятий).
2. Мышление -  это одновременно способ познания действительности, обеспечивающей становление и функционирование культуры, и необходимое условие реализации личности, разрешающей в коммуникации несовпадение общепринятых и собственных представлений о мире и о себе.
3. Мышление – это такой способ приведения в движение (смены изменения) представлений о действительности, который помимо знаний о действительности и реализации личности выступает условием согласованного социального поведения.
4. Мыслительная активность становится мышлением только в том случае, если эта активность нормирована.
5. Необходимым условием реализации самого мышления является приписывание действительности определённого строения. Так рождаются картины мира и представления личности о себе. В рамках этих картин и представлений осуществляется познание действительности и самопознание.
6. В ситуациях становления новой культуры и решения социальных задач, а также ситуация кризиса и становления личности мышление – это новый опыт жизни, конструирование новой реальности, при этом мышление перестраивается. [
Таким образом, мышление – один из самых сложных познавательных процессов, полное определение которого предполагает использование нескольких частных определений, в которых подчёркиваются разные стороны процесса мышления. Его можно определить как процесс, представляющий собой высший уровень познавательной активности человека, связанный с решением разнообразных задач и с творческим преобразованием действительности. Под задачами здесь понимаются вопросы, на которые не существует очевидных ответов.
Задачи включат в себя условия, путем преобразования которых по определённым правилам, например по законам логики, нужные знания можно получить.
Цель мышления состоит в том, чтобы узнать о мире нечто такое, что недоступно непосредственному познанию с помощью органов чувств.
Мышление – это также процесс опосредованного познания человеком действительности. Данное высказывание следует понимать так: имея дело с мышлением, человек для получения нужных ему знаний использует кроме естественных органов чувств ещё и некоторые специальные, дополнительные средства познания. К примеру, для того, чтобы изучить то, что находится далеко от него, вне пределов досягаемости органов чувств, человек может использовать бинокль, подзорную трубу или телескоп. Правила логики, которыми человек пользуется для вывода одних знаний из других, также представляют собой средства организации мышления.
Ещё одним определением мышления может быть следующее: мышление – это процесс обобщённого познания человеком действительности, то есть получение общих знаний о ней на уровне понятий. Это высказывание надо понимать так: знания, которые человек приобретает в результате мышления, представляют собой не знание всевозможных частных не всегда существенных свойств воспринимаемых предметов и явлений, а обобщённые знании о самом главном и существенном, что характеризует эти явления и предметы. Получаемые в результате мышления знания представлены в понятиях, то есть в форме знания, которое отображает единичное и особенное, являющееся одновременно и всеобщим.

1. 2. Виды мышления

У человека различают несколько видов мышления: наглядно-действенное, наглядно-образное, словесно-логическое.
Наглядно-действенное мышление сводится к реальным, практическим действиям человека в наглядно воспринимаемой ситуации. Здесь внутренние, умственные действия сведены к минимуму, а задачи в основном решаются за счет внешних, практических действий с реальными материальными предметами. Наглядно-действенное мышление – это простейший из видов мышления, свойственный не только человеку, но и высшим животным. Его можно заметить уже у детей раннего возраста, начиная с шестого-восьмого месяца жизни.
Наглядно-образное мышление – это мышление, при котором задачи решаются не путём манипуляций с реальными материальными предметами, а с помощью внутренних действий с образами этих предметов. Это основной вид мышления у дошкольников. В простейших формах проявляется в раннем детстве.
Словесно-логическое мышление – это высший вид мышления человека, имеющий дело с понятиями о предметах и явлениях, а не с  этими предметами, явлениями или их образами. Оно полностью протекает во внутреннем, умственном плане. В литературе встречаются и другие названия этого вида мышления: логическое, рациональное, теоретическое, абстрактное. предпосылки для развития данного вида мышления закладываются в конце раннего детства, когда у ребёнка начинает формироваться знаковая функция сознания. Он начинает понимать, что предмет можно обозначить другим предметом, рисунком, словом. Словесно-логическое мышление проявляется в школе, начиная с первого класса.  

1. 3 Логическое мышление

Логическим называют мышление, которое хорошо осознаётся, контролируется со стороны человека, может быть проверено с точки зрения его правильности или ошибочности путём соотнесения включенных в него сознательных умственных действий с известными правилами логики. Верность такого мышления всегда можно проверить, а истинность выводов убедительно доказать или опровергнуть.
Есть предположение, что преобладание у человека логического мышления в какой-то степени обусловлено генетически. Учёные допускают, что у тех людей, для которых ведущим является левое полушарие головного мозга, преобладает логическое мышление.  
1. 4. Операции мышления

Логические операции мышления – это умственные действия с понятиями, в результате которых из обобщённых знаний получаются новые.
Основные логические операции мышления следующие: сравнение, анализ, синтез, абстрагирование, обобщение и конкретизация.
Сравнение – это логическая операция, в результате которой находят общее и различное между двумя или несколькими разными объектами.
Анализ – логическая операция разделения сложного на части или элементы, из которых он состоит, и выяснение связей, существующих между ними. Цель анализа: изучение внутреннего устройства соответствующего объекта и связей между его элементами.
Синтезом называют логическую операцию объединения частей или элементов в сложное целое для  того, чтобы познать свойства целого, отличные от свойств составляющих его элементов.
Абстрагирование – это выделение и отдельное рассмотрение какого-либо свойства, которое независимо от соответствующих предметов или явлений не существует. Так, например можно выделить и рассматривать цвет, форму, массу предметов как абстрагированные от предмета физические явления.
Обобщение – это логическая операция, в результате которой некоторое частное утверждение, справедливое в отношении одного или нескольких объектов, приобретает обобщённый характер и переносится на другие объекты.
Конкретизация – это логическая операция, противоположная обобщению. Она проявляется в том, что некоторое  общее утверждение переносится на какой-либо конкретный объект. В результате конкретизации объекту приписываются частные свойства, присущие многим другим объектам.  [21], [23]

1. 5. Формирование и развитие мышления

Формирование мышления – это появление и постепенное совершенствование у человека основных видов мышления. Формирование мышления может представлять собой процессы двоякого рода. Прежде всего, это естественные процессы возникновения и прогрессивного изменения мышления, протекающие в обычных, повседневных условиях жизни. Следя за этими процессами, психологи в определённый период времени констатируют, что основные виды мышления человека сформировались под влиянием накопленного жизненного опыта. Можно назвать формированием мышления также искусственный процесс, протекающий в условиях специальным образом организованного обучения. Это имеет место тогда, когда в силу тех или иных причин некоторые виды мышления человека оказываются несформированными. Например, ребёнок может отставать от своих сверстников по уровню развития мышления, и тогда необходимо вести работу по формированию недостающих у него видов мышления. Под развитием, соответственно, понимается процесс дальнейшего совершенствования уже сформированного мышления. Развитие мышления означает переход человека на более высокий уровень общего и специального интеллектуального развития по сравнению с тем уровнем, на котором он ранее находился.  

Глава 2. Особенности  изучения  задач  с  пропорциональными    величинами

2. 1. Роль задач в начальном курсе математики

В начальном обучении математике велика роль текстовых задач. Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Велико значение задач и в воспитании личности учащегося. Существуют простые и составные задачи. Задачи, которые решаются в одно действие называются простыми, задачи, решающиеся в два и более – составными.
Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого- либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения.
Ключ к решению задачи – это поиск её решения, на основе которого устанавливается зависимость между данными и искомыми значениями величин.
При решении многих задач учащиеся допускают ошибки из- за того, что не умеют представить жизненную ситуацию, описанную в задаче, и не умеют осознать отношения между величинами.
Ко всем ли задачам нужна краткая запись? Конечно, нет. В учебниках имеются задачи с небольшими данными, кратко сформулированные, решение которых дети могут легко записать с помощью математического выражения.
Таким образом, планируя на уроке решение составных задач, следует творчески использовать в работе различные методические приёмы.
Сочетание сокращённой записи условия задачи с её анализом, когда записываются не только числа, но и выражения, предполагающие определённые действия, делают задачу более «прозрачной» в поиске её решения. При этом создаются условия для экономии времени и повышения эффективности и самостоятельности работы учащихся. Кроме этого возникают условия для дифференцированной работы учащихся. Дети, после сокращённой записи условия задачи умеют составить план решения задачи, приступают к самостоятельному её выполнению, а для учащихся, которые затрудняются, ведётся более подробный анализ условия задачи с использованием наглядности.
После того как задача решена, получен ответ, не следует торопиться к выполнению другого задания. Полезно подумать, попробовать найти другой способ решения задачи, осмыслить его, попытаться обратить внимание на трудности при поиске решения задачи, проанализировать неверно найденное решение, выявить новую и полезную для учащихся информацию.

2. 2. Задачи с пропорциональными величинами

В курс математики начальных классов включены составные задачи, которые имеют несколько числовых значений различных величин и связанных различными зависимостями, например задачи с пропорциональными величинами, среди которых особо можно выделить 3 типа составных задач: на нахождение четвёртого пропорционального; на пропорциональное деление; на нахождение неизвестного по двум разностям.
Задачи на нахождение четвёртого пропорционального.    
В задачах на нахождение четвёртого пропорционального даны три величины, связанные прямо или обратнопропорциональной зависимостью. Одна из них постоянная, две – переменные. При этом даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений второй переменной величины. Второе значение величины является искомым. С каждым из групп пропорциональных величин можно составить 6 видов задач на четвёртое пропорциональное. 4 вида с прямопропорциональной зависимостью и 2 вида с обратной.
Задачи на пропорциональное деление.
В задачах на пропорциональное деление даны три величины, связанные прямо или обратнопропорциональной зависимостью. Одна из них постоянная, две – переменные. При этом даны два значения одной переменной величины и сумма соответствующих значений другой переменной величины. Слагаемые этой суммы являются искомыми. С каждой из групп можно составить 6 видов задач на пропорциональное деление. В начальной школе изучаются только 4 из них, с прямопропорциональной зависимостью. Все задачи на пропорциональное деление решаются способом нахождения постоянной величины.
Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям.
В задачах на нахождение неизвестных по двум разностям даны три величины, связанные прямо или обратнопропорциональной зависимостью. Одна из них постоянная, две – переменные. При этом даны два значения одной переменной величины и разность соответствующих значений другой переменной величины. Компоненты этой разности являются искомыми. С каждой из троек величин можно составить 6 видов задач на нахождение неизвестного по двум разностям. В начальной школе изучаются 2 из них с прямопропорциональной зависимостью.
В решении таких задач многие учащиеся затрудняются. Сокращённая запись условия задачи, при которой «прозрачные» связи зависимости между числовыми значениями величин записываются с помощью математических выражений, значительно облегчает разбор и решение задачи. При этом задача разделяется на две части: на «прозрачную» часть и часть, в которой зависимость между числовыми значениями величин дана в завуалированном виде.  

2.3. Методические приёмы обучения младших школьников решению задач с пропорциональными величинами

Работа, проведённая на подготовительном этапе к знакомству с текстовой задачей, позволяет организовывать деятельность учащихся, направленную на усвоение её структуры и на осознание процесса её решения.
При этом существенным является не отработка умения решать определённые типы (виды) текстовых задач, а приобретение учащимися опыта в семантическом и математическом анализе различных текстовых конструкций задач и формирования умения представлять в виде схематических и символических моделей.
Средством организации этой деятельности могут быть специальные обучающие задания, включающие методические приёмы сравнения, выбора, преобразования, конструирования.
Для приобретения опыта в семантическом и математическом анализе текстов задач (простых и составных) используется приём сравнения текстов задач.
С целью формирования умения выбирать арифметические действия для решения задач, предлагаются задания, в которых используются приёмы:
1) Выбор схемы;
2) Выбор вопросов;
3) Выбор выражений;
4) Выбор условия к данному вопросу;
5) Выбор данных;
6) Изменение текста задачи в соответствии с данным решением;
7) Постановка вопроса, соответствующего данной схеме;
8) Объяснение выражений, составленных по данному условию;
9) Выбор решения задачи.
При решении простых задач с пропорциональными величинами целесообразно использовать как уже рассмотренные методические приёмы обучения решению задач, так и те приёмы, которые способствуют развитию логического мышления у детей младшего школьного возраста
В числе этих приёмов можно назвать:
а) изменение одного из данных задачи;
б) сравнение результатов решения задачи, в которых изменяется одно из данных;
в) интерпретация задачи в виде схемы, запись задачи в таблице;
г) анализ текстов задач с недостающими и лишними данными.

2.4. Методика обучения решению задач с пропорциональными величинами в программе «Школа 2100»

Задачи с пропорциональными величинами в учебнике Т. Е. Демидовой, С. А. Козловой, А. П. Тонких не выделены в отдельную группу задач, и не рассматривается в отдельности каждый тип задач. В данном учебнике предусмотрен другой подход к решению составных задач. В течение 2 уроков проводится большая подготовительная работа на отработку зависимости между изучаемыми величинами. Учебник направлен на то, что при проведении хорошей подготовительной работы и грамотного разбора задачи,  учащиеся всегда смогут решить задачу любого типа.
На уроках учащиеся выявляют общие свойства зависимостей таких величин, как скорость – время – расстояние, стоимость – цена – количество товара, объём выполненной работы – производительность – время работы.  
       Особенностями изучения задач на движение, на нахождение стоимости, на нахождение производительности в данном курсе являются:
1) соотношение зависимостей между величинами с графическими моделями;
2) систематическое использование таблиц для фиксации и анализа условия текстовых задач;
3) введение в задачи буквенных данных.
В 3 классе сначала вводятся задачи на движение, дальше вводятся задачи на вычисление стоимости и задачи на вычисление работы.
Изучение задач на движение, на вычисление стоимости и на вычисление работы строится по следующему плану:
1) формирование представлений учащихся об изучаемых величинах;
2) выявление зависимости между величинами;
3) построение вспомогательной модели;
4) использование модели при решении задач.
Рассмотрим методику работы над задачами на движение. Учащимся предлагается выполнить задание из учебника: «Реши задачи по формуле пути S=vt:
а) Всадник едет на лошади со скоростью 8 км/ч. Какое расстояние он пройдёт за 4 часа?
б) Чему равна скорость почтового голубя, если за 2 ч он пролетает 120 км?
в) Пчела летит со скоростью 6 м/с. За сколько времени она долетит до улья, если находится на расстоянии 360 м от него?»
По тексту учебника учащиеся выделяют и записывают в таблице известные значения величин и вопрос задачи, далее выполняют вычисления. Задание (а) можно выполнить фронтально, а задания (б) и (в) предложить для работы в парах или группах:
Svt  ? км8 км/ч4 ча)

            8  4 = 32 (км)
Svt120 км2 км/ч2 чб)

            120 : 2 = 60 (км/ч)
Svt360 м6 м/с? св)

            360 : 60 = 6 (с)
Задачи на  нахождение четвёртого пропорционального вводятся на 3 уроке изучения задач на движение в общей системе составных задач. Особое внимание уделяется обучению детей табличному способу записи условия задач и их самостоятельному анализу. Предлагается задача: «Поезд проходит 320 км за 5 ч. Какое расстояние он пройдёт за 8 часов, двигаясь с этой же скоростью?» Учащиеся составляют краткую запись задачи  в виде таблицы и анализируют:
svtI320 км
Одинаковая5 ч II? км8 ч
« Чтобы найти расстояние, пройденное поездом, надо его скорость умножить на время движения. Время известно по условию – 8 ч. Скорость движения поезда можем найти, зная, что за 5 ч он прошёл 320 км. Поэтому по формуле пути скорость поезда равна (320: 5) км/ч.
1) 320: 5 = 64 (км/ч) – скорость поезда;
2) 64  8 = 512 (км/ч).
Ответ: за 8 ч поезд прошёл 512 км.»
В течение многих уроков отрабатывается зависимость между величинами. Аналогичная работа проводится при изучении формул на нахождение стоимости и работы.
Вводятся задачи на пропорциональное деление, например: « Для сада купили в питомнике 14 кустов красной и чёрной смородины по одинаковой цене. За красную смородину заплатили 250 руб., а за чёрную – 450 руб. каких кустов купили больше и на сколько?» но в вопрос задачи в отличие от задач на пропорциональное деление, изучаемых в учебнике Моро М.И. состоит из двух частей. Учащиеся составляют краткую запись задачи в виде таблицы и анализируют её:
стоимостьценаколичествоКрасная смородина250 руб.
Одинаковая
? к.        на ?
? к              большеЧёрная смородина450 руб.К + Ч(250+450) руб.14 к.
«Чтобы ответить на главный вопрос задачи, надо узнать, сколько было кустов красной и чёрной смородины и из большего числа вычесть меньшее. Количество кустов каждого вида можно найти, разделив их стоимость кустов на их общее количество».
1) 250 + 450 = 700 (руб.) – общая стоимость кустов;
2) 700: 14 = 50 (руб.) – цена 1 куста смородины;
3) 250: 50 = 5 (к.) – купили красной смородины;
4) 450: 50 = 9 (к.) – купили чёрной смородины;
5) 9 – 5 = 4 (к.).
Ответ: купили на 4 куста чёрной смородины больше, чем красной.»
В 4 классе  систематически проводится работа  с «типовыми» задачами на пропорциональные величины, в целях формирования у детей устойчивых представлений о взаимосвязи троек величин, характеризующих процессы купли-продажи, движения и впоследствии – работы, а также продолжать учить детей анализировать текст и вспомогательную модель задач.
Таким образом, данные уроки направлены на систематизацию знаний детей о текстовых задачах и знакомство с общим способом действий при построении алгоритма решения. Задача учителя на этих уроках – создать условия для того, чтобы дети поверили в свои силы, осознали, что у каждого из них есть все необходимые знания для решения любой задачи, вопрос лишь в трудолюбии, терпении, целеустремлённости и т. д., т. е. в качествах, которые зависят от самого ребёнка. Это чрезвычайно  важно на данном возрастном этапе, так как самоопределение ребёнка к деятельности, в том числе и к решению текстовых задач, во многом зависит от состояния его эмоционально – волевой сферы.  
В учебниках Т. Е. Демидовой чаще всего предлагается вспомогательная модель к задаче, что в начальной школе позволяет экономить время и сосредотачивает учеников на решение задач, что делает урок более объёмным и информативным.
Методика Т. Е. Демидовой  рассматривает задачи, опираясь на чертёж, на формулы, что позволяет усвоить материал более прочно и понятно.
  Опыт практической работы показывает,  что при целенаправленной работе по развитию логического мышления, решая задачи с пропорциональными величинами, можно добиться хороших результатов у учащихся.
                                                 

                                             Заключение

Изучив методику работы над задачами с пропорциональными величинами: понятие и виды задач, способы её решения, методические приёмы, можно сделать некоторые выводы:
Эти задачи подготавливают детей к практической деятельности;
Задачи с пропорциональными величинами помогли в усвоении детьми понятия «пропорциональная зависимость»;
В учебнике представлено достаточно задач с пропорциональными величинами;
На уроках математики данные задачи стали решаться как обязательные.
На основе вышеизложенного и анализа психолого-педагогической литературы по вопросам логического мышления можно предположить, что задачи с пропорциональными величинами могут влиять на развитие логического мышления младших школьников, так как  для их решения нужно задействовать все операции мышления.
В ходе экспериментальной работы, были разработаны следующие методические рекомендации:
Проводить целенаправленную, систематическую работу по решению задач с пропорциональными величинами.
Подбирать дополнительные задания на нахождение закономерности.
Использовать методические приёмы сравнения, выбора, преобразования, конструирования.
При подготовке к урокам пользоваться методическими рекомендациями  по решению задач с пропорциональными величинами.
                                                 

                                                   Список литературы

1. Возрастная и педагогическая психология./ под ред. М. Гамезо, М.В. Матюхиной, Т.С. Михальчик, М.: Просвещение, 1984. – 225 с.
2. Давыдов В.В. Лекции по педагогической психологии. – М.: Академия, 2006 – с. 5 – 29
3. Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П. «Моя математика» 3 класс. – М.: Баласс, Издательский дом РАО, 2005.
4.  Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П. «Моя математика» 4 класс. – М.: Баласс, Издательский дом РАО, 2006.
5. Демидова Т. Е., Козлова С,А. «Моя математика» - новые учебники для тех, кто хочет научить и научиться самостоятельно решать жизненные проблемы// Начальная школа плюс до и после. – 2005. - №4. – с. 61 – 66.
6. Демидова Т.Е., Козлова С.А. «Школа 2100» как образовательная система// Начальная школа плюс до и после. – 2005. - №8. – с. 62 – 73.
7. Дубровина И.В. Психология: Учебник. – М.: академия, 2002. – 464 с.
8. Зайцев В.В. Математика для младших школьников: Метод. Пособие для учителей и родителей. – М.- Гуманит. Изд. Центр ВЛАДОС, 2001. – 72 с., илл.
       9. Игнатьева Т.В., Вохмянина Л. А. Программы общеобразовательных учреждений: Начальные классы, 1 ч. – 3 – е изд. – М.: Просвещение, 2002. – 283 с.
10. Козлова С.А., Рубин А.Г. Моя математика. 3 класс: Методические рекомендации для учителя. – М.: Баласс, 2008. – 330 с.
11.  Козлова С.А., Рубин А.Г. Моя математика. 4 класс: Методические рекомендации для учителя. – М.: Баласс, 2008. – 336 с.
12. Крутецкий В.П. Психология. – М.: Просвещение, 1986. – 335 с.
13. Леонтьев А.А. Образовательная система «Школа 2100». Педагогика здравого смысла. Сборник материалов. – М.: Баласс, 2003. – 368 с.
14. Немов Р.С. Психология: Словарь-справочник в 2 ч. – М.: ВЛАДОС-ПРЕСС, 2003. – 304 с.
15. Розин В. А. Мышление и творчество. М.: PerSe, 2006. – с. 15, 331, 339
16. Cовременный словарь по педагогике./ автор-составитель Е. С. Рапацевич, Минск: Современное слово, 2001. – 359 с.
17. Чередникова Т. В. Проверьте развитие ребёнка. СПб.: Речь, 2007. – 305 с.