Различные подходы к решению задач
учебно-методический материал по математике (2 класс) на тему

Тема

Различные  подходы к решению задач

Цель

Формировать умение понимать взаимосвязи между данными и искомыми задачи для нахождения новых способов решения.

Чтобы достичь этой цели сформулируем задачи, которые требуют решения:

1. научить        вычленять компоненты или составные части задачи;
2. научить        видеть взаимосвязи между данными и искомыми;
3. создать условия для открытия способа фиксации этих отношений (числовая прямая, схема, формула, таблица, чертеж);
4. поиск плана решения задачи;
5. выполнение        плана;
6. проверка, выбор приема нахождения другого способа решения задачи.

Ожидаемый результат решения поставленных задач будет следующим: дети будут видеть различные подходы к решению задач.

Одна из основных задач современной школы состоит в том , чтобы помочь учащимся в полной мере проявить свои способности , развить инициативу , самостоятельность , творческий потенциал .

Успешная реализация этих задач во многом зависит от форсированности у учащихся познавательных интересов , которые возникают тогда , когда школьники имеют возможность включиться в выполнение таких видов заданий , в которых они могут достичь успеха и вместе с тем чувствуют необходимость преодоления определенных препятствий при достижении цели .

Привитие интереса к учению является важным средством повышения качества обучения школьников . Большие возможности для развития интереса учащихся к математике имеют задачи . Процесс

Решения задач является наиболее эффективным средством развития гибкости мышления . Наибольший эффект при этом может быть достигнут в результате применения различных форм работы над задачей . Поэтому полезно организовать решение задач поиски других способов, запись этих способов, сравнение их с предыдущими, выбор лучшего варианта решения.

Умения ученика увидеть возможности решения задачи разными способами характеризует степень осознания им ситуации данной в задаче, понимание взаимосвязи между данными и искомыми, его наблюдательность, математическую зоркость, математический язык.

Рассмотрим несколько приемов помогающих видеть различные подходы к решению задач.

1. 1 .Построение иной модели задачи, чем та, которая была использована при решения задачи первым способом.
2. Использование другого способа разбора задачи при составлении плана решения.
3. Дополнение условием задачи сведениями не влияющими на результат решения.
4. Представление практического разрешения ситуации, описанной в задачи.
5. Изменение формулировки текста задачи.

Остановимся на приемах нахождения различных способов решения текстовых задач.

1. Построение иной модели задачи, чем та, которая была использована при решении задачи первым способом.

Задача 1.1.

В районных соревнованиях принимали участие 18 пловцов из нашей школы, а из соседней школы в 2 раза больше пловцов. Сколько всего пловцов участвовало в соревнованиях из 2-х школ?

Традиционное решение выглядит таким образом.

1 Способ .

1. 18*2=36(пл)        - из соседней школы;
2. 18+36=54(пл)

Ответ: 54 пловца.

2. Способ .

Строим чертеж к задаче.

В результате анализа чертежа дети приходят к выводу, что решения этой задачи может быть найдено с помощью выполнения одного действия, т.к. 18*3 = 54 (пл).

При решении задач, содержащих пропорциональную зависимость, помогает найти схематический рисунок.

Задача 1.2.

В магазин привезли 12ящиков с яблоками, по 8кг в каждом. До обеденного перерыва было продано 9 ящиков. Сколько килограммов яблок осталось продать после обеденного перерыва?

1 Способ  (путем рассуждений от вопроса к данным)

1. 8     * 12 = 96(кг) - яблок привезли в магазин;
2. 8       * 9= 72(кг) - продали до обеда;
3. 96  - 72 = 24(кг) - осталось продать.

2 Способ.

По рисунку видно, что после обеда осталось продать 3 ящика яблок, по 8 кг в каждом, где (12-9 = 3).

1. 12 —  9 = 3(ящ) - осталось продать;
2. 8 * 3 = 24 (кг)  -  осталось продать.

Ответ: 24 кг яблок.

При решении некоторых задач хорошим подспорьем в отыскивании других способов решения является табличная форма краткой записи и поиск плана решения по таблице.

Задача 1.3.

Утром ушли в море 20 маленьких и 8больших рыбацких лодок, 6 лодок вернулись. Сколько лодок с рыбаками должны еще вернуться?

1 способ.

1. 20+8=28(л) - ушло рыбаков в море;
2. 28-6=22(л)- должны еще вернуться.

2 Способ.

Запишем данные в таблицу:

Вопрос: куда занести сведения о вернувшихся лодках?

1. 20  -   6        = 14(л)
2. 14        +    8 = 22(л)

З Способ.

1. 8   -   6        = 2(л)
2. 20  +   2 = 22(л)

4 Способ.

1. 20   -   1 = 19(л)
2. 8   -   5 = 3(л)
3. 14  -  3  = 22(л)

5 Способ.

1. 20 – 2 = 18(л)
2. 8 - 4        = 4(л)
3. 18 + 4 = 22(л)

6 Способ.

1. 20  -   3  = 17(л)
2. 8  - 3 = 5(л)
3. 17  + 5 = 22(л)

7 Способ.

1. 20-4        = 16(л)
2. 8-2        = 6(л)
3. 16        + 6 = 22(л)

8 Способ.

1. 20-5        =15 (л)
2. 8 - 1 = 7 (л)
3. 15 + 7 = 22(л)

Все приведенные способы могут быть найдены, если будет построена предметная модель.

2.  Использование другого способа разбора задачи при составлении плана решения.

Задача  2.

В зале 8 рядов по 12 стульев в каждом. В зал пришли учащиеся из 3-х классов, в каждом из  которых по 30 человек. Хватит ли стульев для всех учеников? Сколько свободных стульев останется?

Начнем рассуждение с первой пары данных: 8 рядов по 12 стульев.

12 * 8= 96  -  всего  в зале.

Возьмем теперь это число и число учеников в одном классе:

96  :  30  =  3 (ост.6)

Т.е. стульев хватит на 3 класса и 6 стульев останутся не занятыми.

3. Дополнение условия задачи сведениями, не влияющими на результат решения.

Задача 3.

В одном кувшине было 4 литра молока, а в другом 3 литра. За обедом выпили 2 литра молока. Сколько литров осталось?

Дополняя условие этой задачи сведениями о том из какого кувшина пили молока, можно найти кроме основного еще три способа.

1 Способ.

1. 4 + 3 = 7(л)
2. 7 - 2 = 5(л)

2 Способ.

1. 4  -   2        = 2(л)
2. 2 + 3 = 5(л)

3 Способ.

1. 3-2        = 1 (л)
2. 4        + 1 = 5(л)

4 Способ.

1. 4-1   = 3(л)
2. 3-1  =  2(л)
3. 3   + 2 = 5(л)

Применение данного приема может сочетаться с построением модели задачи и особенно тесно с приемом представления практического разрешения ситуации.

4. Представление практического разрешения ситуации, списанной в задаче.

Задача 4.

На товарную станцию прибыло два состава с бревнами. В одном из них было 39 платформ, а в другом на 4 больше. Разгрузили 60 платформ. Сколько еще платформ осталось разгрузить?

1 способ (традиционная структура: было, разгрузили, осталось).

1. 39        + 4 = 43(платформы)
2. 39        + 43 =82(платформы)
3. 82        - 60 = 22(платформы)

Представьте себе что это мы разгружаем вагоны. Сначала один состав, потом другой.

2 Способ.

1. 39        + 4 = 43(платформы)
2. 60        - 39 = 21 (платформа)
3. 43        - 21 = 22(платформы)

3 Способ.

1. 39        + 4 = 43(платформы) - был во втором составе;
2. 60        - 43 =17(платформ) - осталось разгрузить после разгрузки 2 состава;
3. 39        -17 = 22(платформы)

5. Замена данной задачи другой, по результату решения которой можно найти ответ на вопрос данной задачи.

6. Явное выделение всех зависимостей в задаче.

Использование прямо и обратно пропорциональных зависимостей величин при решении задач: цена, количество, стоимость; сколько, время, расстояние; масса одного предмета, их количеством, общая масса позволяет осуществлять поиски другого способа решения.

Задача 6.1.

На пошив А одинаковых изделий израсходовано К метров ткани. Сколько ткани потребуется на пошив В таких же изделий?

1 Способ.

И так, в этой задаче количество изделий и общий расход ткани - переменные величины, а расход ткани на одно изделие - величина постоянная (коэффициент пропорциональности).

Он равен   К : А

X - обозначим искомое число.

X : В (тоже расход на изделие)

К : А = X : В

Такую задачу начинают решать с нахождения постоянной величины.

План решения:

Сначала найдем расход ткани на одно изделие, а затем на В изделий.

X = (К : А)*В

Однако к данной задаче можно составить ещё и другую пропорцию (условимся, что В > А)

В : А = X : К , где В : А показывают во сколько раз увеличилось число изделий.

X : К - во сколько раз увеличился расход ткани.

Равенство отношений выражает прямо пропорциональную зависимость между количеством изделий и общим расходом ткани при постоянной норме расхода на одно изделие.

2 Способ.

X = К * (В : А)

В : А

Но не всегда это возможно, так как В : А делиться не всегда нацело.

Задача 6.2.1.

На пошив 8 одинаковых пальто израсходовано 24 метра ткани. Сколько ткани потребуется на 2 таких пальто?

1 Способ

1. 24  : 8  = 3 (м) – на одно пальто.
2. 2  * 3 =   6 (м) – на два пальто.

2 Способ

1. 8   : 2 = 4   (р) - изделий в 4 раза меньше, потому и ткани израсходовали меньше в 4 раза.
2. 24   :   4 =  6 (м) - в 4 раза меньше, чем 24 метра.

Покажем в задаче два (6.2.2), полученной из задачи один (6.2.1), путем изменения условия и вопроса, другой вариант использования прямо пропорциональной зависимости рассматриваемых величин.

Задача 6.2.2.

На швейной фабрике мастер сшил одинаковые пальто, израсходовав на них 24 метра ткани. Его ученица сшила два таких же пальто и израсходовала на них 6 метров ткани. Сколько пальто сшили мастер и ученица?

1 Способ.

1. 6   : 2 = 3 (м);
2. 24  : 3 =  8 (пальто);
3. 8  + 2 = 10 (пальто).

2 Способ.

1. 6  : 2 = З(метра) - расход на одно пальто;
2. 24  +   6 = 30 (метров) - всего ткани;
3. 30   : 3 = 10 (пальто) - сшили мастер и ученица.

3 Способ.

1. 24  : 6 =  4  (раза) - в 4 раза больше ткани;
2. 2*4   = 8   (пальто) - тоже в 4 раза;
3. 8 + 2   = 10   (пальто).

4 Способ.

1. 24 + 6 =  30  (м) - всего ткани;
2. 30  : 6 =  5  (раз) - в 5 раз больше;
3. 2*5 = 10 (пальто) - их тоже в 5 раз больше.

В задаче один (6.2.1) изменим вопрос и получим новую задачу, решаемую тремя способами.

Задача  6.2.3.

Если на пошив 8 одинаковых пальто требуется 24 метра ткани, то на сколько меньше ткани потребуется на два таких же пальто?

Применим графическую схему

1. 24  :  8 = 3(м) - расход на одно пальто;
2. 8  - 2 = 6(раз) - на столько пальто больше;
3. 3*6 = 18(м) - на столько больше ткани нужно на 8 пальто или меньше на 2 пальто.

Изменим вопрос в задаче два (6.2.2)  на другой и  получим четвертую (6.2.4) задачу решаемую несколькими способами.

Задача 6.2.4.

На сколько больше пальто сшил мастер?  

3 Способ.

1. 24        - 6 = 18(м) - в 3 раза меньше, чем 6 метров;
2. 18        : 6 = З(раза);
3. 2        *   3 = б(пальто) - на столько больше пальто сшил мастер.

Если изменить частично условия второй задачи (6.2.2), получим пятую задачу (6.2.5), решение которой опирается на идеи, использованные в задачах 1 – 4 (6.2.1-6.2.4).

Задача 6.2.5.

На швейной фабрики мастер сшил одинаковые пальто, израсходовав на них 24 метра ткани. Его ученица сшила на 6 пальто меньше, израсходовав на них в 4 раза меньше ткани. Сколько пальто сшили мастер и ученица?

1 Способ.

1. 24 : 4 = 6(м) - ткани израсходовала ученица;
2. 24 - 6 =18(м) - на столько меньше ткани израсходовала ученица, т.е. приходиться на 8 пальто;
3. 18 : 6 = 3(м) - на одно пальто.

2 Способ.

1. 24        : 3 = 8 (пальто)  -  сшил мастер;
2. 8        : 4 = 2 (пальто)  - сшила ученица( в 4 раза меньше, чем мастер);
3. 8        + 2 =10 (пальто)  -  сшили мастер и ученица.

Найдем общий расход ткани: 24 + 6 = 30(м), а затем общее количество пальто: 30 : 3 =10(пальто).

3 Способ

Гораздо быстрее, не находя расход ткани на одно изделие.

Из чертежа - модели текста задачи следует, что на 3 части приходиться 6 пальто, тогда на одну часть - два пальто. Всего 5 частей (4 + 1) или 10 пальто (по 2 - 5 раз, 2*5 =10).

Приведем задачу, связанную с движением, т.е. на 3 пропорционально зависящих величин: скорость, время и расстояние.

Задача 6.3.

Поезд, отправившись со станции А, прошел до станции В за 3 часа 210 км, после чего он снизил скорость на 10 км/ч. Со сниженной скоростью поезд шел от В до следующей станции С в 2 раза дольше, чем от А до В. Определите расстояние АС.

1 Способ.

1. 210:3        = 70(км/ч) - скорость поезда от А до В;
2. 70  -  10 = 60(км/ч) - скорость поезда от В до С;
3. 3   * 2 = 6(ч) - шел от В до С;
4. 60 * 6 = 360(км)
5.                  210 + 360 = 570(км) - расстояние от А до С.

2 Способ.

Скорость изменилась и не является постоянной величиной, но нужно найти другой способ с использованием прямо пропорциональной зависимости расстояния от времени при постоянной скорости.

Предположим скорость не изменилась.

Тогда ВС в 2 раза больше, чем АВ, т.к. от В к С время движения в 2 раза больше.

1. 210 * 2 =420(км) - было бы расстояние ВС, но скорость изменилась, и поезд проходил каждый час на 10 км меньше, за (3 * 2 = 6) часов он прошел на 60 км меньше;
2. 3        * 2 = 6(ч) - шел от В до С;
3. 420        - 60 = 360(км) - расстояние ВС;
4. 210        + 360 = 570(км) - расстояние от А до С.

Поиск этого способа решения способствует осознанию детьми двух различных по характеру зависимостей величин и поиску новых решений задач.

Еще 2 способа.

3 Способ.

1. 210        * 2 = 420(км)
2. 210        + 420 = 630(км)
3. 3 * 2 = 6(ч)
4. 10 * 6 = 60(км)
5. 630-60        = 570(км)

4  Способ.

1. 10*3        = 30(км)
2. 210-30        = 180(км)
3. 180        * 2 = 360(км)
4. 210        + 360 = 570(км)

Полезно, упростив условие (пусть скорость не изменяется, остается постоянной) предложить решить задачу одним действием и указать “ лишние” данные.

При постоянной скорости ВС больше АВ в 2 раза.

Весь путь АС в 3 раза больше, чем АВ (210 км) Решение 210 * 3 =630(км), а 3 часа - лишнее данное.

Если ученики не смогут найти какой-либо из данных способов решения задачи, нужно записать все способы и предложить детям объяснить, что найдено в каждом действии.