7.3 Подготовка к ЕГЭ по математике

Вариант № 1

1. Мобильный телефон стоил 3500 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 2800 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

2. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля.

На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента запуска

двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия.

Определите по графику, до скольких градусов Цельсия нагрелся двигатель за

первые 2 минуты.

3. Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют

 координаты (4; 4), (10; 4), (8; 9), (2; 9).

4. В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка»

и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно

выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась

конфета «Грильяж».

5. Найдите корень уравнения:

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

6. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота, ,

Найдите AH.

7. На рисунке изображён график некоторой функции

Функция  — одна из первообразных функции 

 Найдите площадь закрашенной фигуры.

8. Площадь основания конуса равна 9. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

9. Найдите , если 

10. Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле , где  кг — общая масса навеса и колонны,  — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения  м/с, а , определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 200 000 Па. Ответ выразите в метрах.

11. При двух одновременно работающих принтерах расход бумаги составляет 1 пачку за 12 минут. Определите, за сколько минут израсходует пачку бумаги первый принтер, если известно, что он сделает это на 10 минут быстрее, чем второй.

12. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

13. Решите уравнение:

14. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 7, точка D — середина ребра BB1.

а) Пусть прямые C1D и BC пересекаются в точке E. Докажите, что угол EAC — прямой.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADC1.

15. Решите неравенство

16. В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD= R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R= 5 и CD =15.

17. Владимир поместил в банк 3600 тысяч рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%. Какую сумму Владимир ежегодно добавлял к вкладу?

18. Найдите все значения параметра при каждом из которых на отрезке существует хотя бы одно число удовлетворяющее неравенству

19. Последовательность a1, a2, ...,an,... состоит из натуральных чисел, причем an+2 = an+1 + an при всех натуральных n.

а) Может ли выполняться равенство 4a5 = 7a4?

б) Может ли выполняться равенство 5a5 = 7a4?

в) При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство 

Вариант № 2

1. Среди 40000 жителей города 60% не интересуются футболом. Среди жителей, интересующихся футболом, 80% смотрели по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч по телевизору?

2. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля.

На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя,

на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по

графику, до скольки градусов Цельсия двигатель нагрелся за первые 7 минут.

3. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют

 координаты (0;0), (10;8), (8;10).

4. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в 9 из них встречается вопрос

 по теме "Членистоногие". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном

 на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Членистоногие".

5. Найдите корень уравнения

6. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 8, Найдите AC.

7. На рисунке изображен график некоторой функции

Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл

8. От треугольной пирамиды, объем которой равен 40,

 отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды

и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

9. Найдите значение выражения

10. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности , оперативности , объективности публикаций , а также качества сайта  Каждый отдельный показатель − целое число от -2 до 2.

Составители рейтинга считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — впятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число , при котором это условие будет выполняться.

11. Завод получил заказ на партию штампованных деталей. Один автомат может отштамповать все детали за 19 часов. Через 1 час после того, как первый автомат начал штамповать детали, начал работу второй такой же автомат, и оставшиеся детали были распределены между двумя автоматами поровну. Сколько всего часов потребовалось на выполнение этого заказа?

12. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

13. а) Решите уравнение

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку

14. В параллелепипеде точка F середина ребра AB, а точка E делит ребро DD1 в отношении Через точки F и E проведена плоскость параллельная прямой AC и пересекающая диагональ B1D в точке О.

а) Докажите, что плоскость делит диагональ DB1 в отношении

б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью (АВС), если дополнительно известно, что ― правильная четырехугольная призма, сторона основания которой равна 4, а высота равна 7.

15. Решите неравенство:

16. На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что

б) Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 10, BC = 32 и ∠ACB = 30°.

17. Строительство нового завода стоит 122 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 4 года?

18. Найдите все значения a при каждом из которых система не имеет решений.

19. В игре «Дротики» есть 20 наружных секторов, пронумерованных от 1 до 20 и два центральных сектора. При попадании в наружный сектор игрок получает количество очков, совпадающее с номером сектора, а за попадание в центральные сектора он получает 25 или 50 очков соответственно. В каждом из наружных секторов есть области удвоения и утроения, которые, соответственно, удваивают или утраивают номинал сектора. Так, например, попадание в сектор 10 (не в зоны удвоения и утроения) дает 10 очков, в зону удвоения сектора ― 20 очков, в зону утроения ― 30 очков.

а) Может ли игрок тремя бросками набрать ровно 167 очков?

б) Может ли игрок шестью бросками набрать ровно 356 очков?

в) С помощью какого наименьшего количества бросков, игрок может набрать ровно 1001 очко?

Вариант № 3

1. В университетскую библиотеку привезли новые учебники для двух курсов, по 130 штук для каждого курса. В книжном шкафу 8 полок, на каждой полке помещается 20 учебников. Какое наименьшее количество шкафов потребуется, чтобы в них разместить все новые учебники?

2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении

трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали

— значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку

разность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха 16 октября.

Ответ дайте в градусах Цельсия.

3. Найдите площадь параллелограмма, изображенного

на рисунке.

4.Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится двадцать сумок с дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

5. Найдите корень уравнения:

6. В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 4, Найдите АВ.

7. Прямая является касательной к графику функции

Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0.

8. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 10,

 боковое ребро равно 20. Найдите объем пирамиды.

9. Найдите значение выражения , если

10. Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле где m = 4050 кг — общая масса навеса и колонны, D — диаметр колонны (в метрах). Считая, что ускорение свободного падения g = 10 м/с2, а π = 3, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 600 000 Па. Ответ выразите в метрах.

11. Завод получил заказ на партию штампованных деталей. Один автомат может отштамповать все детали за 19 часов. Через 1 час после того, как первый автомат начал штамповать детали, начал работу второй такой же автомат, и оставшиеся детали были распределены между двумя автоматами поровну. Сколько всего часов потребовалось на выполнение этого заказа?

12. Найдите точку минимума функции

13. Решите уравнение

14. На ребрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.

а) Доказать, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

15. Решите неравенство

16. Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что BAC + AKC=90°.

а) Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный.

б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника OBKC, если , а

17. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом и, наконец, 12,5% в месяц. известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на Определите срок хранения вклада.

18. Найдите все значения параметра при каждом из которых на интервале существует хотя бы одно число неудовлетворяющее неравенству

19. Конечная возрастающая последовательность состоит из необязательно различных натуральных чисел, причём при всех натуральных выполнено равенство

а) Приведите пример такой последовательности при n = 4.

б) Может ли в такой последовательности при некотором выполняться равенство

в) Какое наименьшее значение может принимать a1, если an = 667?

Вариант № 4

1. По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 16 руб. Если на счету осталось меньше 16 руб., то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счету было 300 руб. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёт?

2. На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха

 в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы,

 по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные

 точки соединены линией. Определите по рисунку наименьшую среднемесячную

 температуру в период с мая по декабрь 1920 года.

Ответ дайте в градусах Цельсия.

3. Найдите синус угла В ответе укажите значение синуса, умноженное

 на

4. Из множества натуральных чисел от 25 до 39 наудачу выбирают одно число.

Какова вероятность того, что оно делится на 5?

5. Найдите корень уравнения:

6. Острые углы прямоугольного треугольника равны 53° и 37° .

Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

7. На рисунке изображён график некоторой функции

Функция  —

 одна из первообразных функции  Найдите площадь закрашенной фигуры.

8. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10,

боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

9. Найдите значение выражения

10. Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой (в килограммах) от температуры до температуры (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы  кг. Он определяется формулой , где Дж/(кгК) — теплоёмкость воды, Дж/кг — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть кг воды от до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше Ответ выразите в килограммах.

11. Грузовик перевозит партию щебня массой 360 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 3 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 18 дней.

12. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

13. Решите уравнение

14. В параллелепипеде точка F середина ребра AB, а точка E делит ребро DD1 в отношении Через точки F и E проведена плоскость параллельная прямой AC и пересекающая диагональ B1D в точке О.

а) Докажите, что плоскость делит диагональ DB1 в отношении

б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью (АВС), если дополнительно известно, что ― правильная четырехугольная призма, сторона основания которой равна 4,

а высота равна 7.

15. Решите неравенство

16. Угол BAC треугольника ABC равен Сторона BC является хордой окружности с центром O и радиусом R, проходящей через центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

а) Докажите, что около четырёхугольника ABOC можно описать окружность.

б) Известно, что в четырёхугольник ABOC можно вписать окружность. Найдите радиус r этой окружности,

если R = 6,

17. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какой долг будет 15-го числа 30-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1503 тысячи рублей?

18. Найдите все значения a, при каждом из которых график функции

пересекает ось абсцисс менее чем в трех различных точках.

19. Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше: 

а) 99;

б) 101;

в) 100.

Вариант № 5

1. Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?

2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков,

выпадавших в Мурманске с 7 по 22 ноября 1995 года. По горизонтали

указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших

 в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки

на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какое наибольшее

количество осадков выпадало в период с 7 по 14 февраля. Ответ дайте в миллиметрах.

3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC.

Найдите длину его медианы, проведённой из вершины C.

4. На борту самолёта 21 мест рядом с запасными выходами и 15 мест за

перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира

 высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на

 регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место,

если всего в самолёте 450 мест.

5. Найдите корень уравнения

6. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 4, Найдите АВ.

7. Материальная точка движется прямолинейно по закону

(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное

 с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

8. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины,

равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ.

9. Найдите значение выражения

10. Автомобиль, масса которого равна  кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь  метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 1200 Н. Ответ выразите в секундах.

11. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 9 километров. Определите, сколько километров прошел турист за шестой день, если весь путь он прошел за 7 дней, а расстояние между городами составляет 105 километров.

12. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

13. а) Решите уравнение: .

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку

14. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB=6, а боковое ребро На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.

а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.

15. Решите неравенство

16. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.

а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ=10 и

17. Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же сумму положил на два года в другой банк под 15% годовых. Через два года Паша решил продлить срок вклада еще на 2 года. Однако к тому времени процентная ставка по вкладам в этом банке изменилась и составляла уже p% годовых. В итоге через четыре года на счету у Паши оказалась большая сумма, чем у Саши, причем эта разность составила менее 10% от суммы, вложенной каждым первоначально. Найдите наибольшее возможное целое значение процентной ставки.

18. Найти все значения a, при каждом из которых функция

имеет хотя бы одну точку максимума.

19. Каждое из чисел a1, a2, …, a450 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

S1 = a1+a2+...+a450,

S2 = a12+a22+...+a4502,

S3 = a13+a23+...+a4503,

S4 = a14+a24+...+a4504.

Известно, что S1 = 739.

а) Найдите S4, если еще известно, что S2 = 1779, S3 = 5611.

б) Может ли S4 = 6547 ?

в) Пусть S4 = 6435. Найдите все значения, которые может принимать S2.