6.2 Работы учащихся
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Актуальность темы Актуальность данной темы состоит в том, что действия над числами в различных системах счисления приобретают сегодня серьёзное значение в связи с развитием теории вероятностей и информационных технологий. Анализ сложных процессов, протекающих в природе и обществе, способствует изучение такой науки, как теория чисел. Гипотеза Использование в нашей арифметике чисел с небольшим основанием дает ряд преимуществ, как механических, так и интеллектуальных. Объект исследования Различные системы счисления. Предмет Выполнение законов сложения, вычитания, умножения для систем счисления с основанием, отличным от 10.
Цель проекта: Углубить свои познания в области теории чисел. Для этого ознакомиться и изучить различные способы записи чисел, историю возникновения систем счисления, перевод чисел из одной системы в другую, действия в различных системах счисления, выполнение законов сложения, вычитания и умножения для систем с основаниями, отличными от 10.
План Введение. История возникновения систем счисления . 2. Системы счисления. 3. Действия над числами в различных системах счисления. 3.1. Выполнение законов сложения, вычитания и умножения для систем с основанием , отличным от 10. 3.2. Перевод чисел из одной системы счисления с одним основанием в систему счисления с другим основанием. Заключение
Введение « Всё есть число» - учили древние пифагорейцы. Систематизация огромных чисел, изучение их является актуальной в связи развитием информационных технологий, теории вероятностей, теории чисел, теории графов. Основные цели моей работы заключаются в следующем: • углубить свои познания в области теории чисел. • ознакомиться, изучить различные способы записи чисел, историю возникновения систем счисления, проверить выполнение законов сложения , вычитания и умножения для чисел с основанием, отличным от 10. • научиться переводить числа из системы с одним основанием в систему с другим основанием
Современный человек каждый день запоминает номера машин и телефонов, в магазине подсчитывает стоимость покупок, ведет семейный бюджет и т. д. Числа, цифры они с нами везде. Люди всегда считали и записывали числа, даже пять тысяч лет назад. Но записывали они их совершенно по-другому, по другим правилам. Но в любом случае число изображалось с помощью любого или нескольких символов, которые называются цифрами. История возникновения систем счисления.
Что такое система счисления? Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами. Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Система счисле́ния — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Система счисления: даёт представления множества чисел (целых или вещественных); даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление); отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел. Системы счисления подразделяются на: позиционные непозиционные Существуют еще смешанные системы счисления . На данный момент они сложны для моего понимания!
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием . Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем. Примеры позиционной системы счисления - двоичная, десятичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления и т. д. Десятичная система счисления. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д. Пример: 310 = 3 100 + 3 10+3 1 = 300 + 30 + 3
Непозиционная система счисления – система счисления, в которой для обозначения чисел вводятся специальные знаки, количественное значение которых всегда одинаково и не зависит от их места в записи числа.
Наиболее известные системы счисления мира. Древнеегипетская Система счисления Древнегреческая Система счисления Вавилонская Система счисления Нумерация индейцев Майя Старо-Китайская Система счисления Славянская кириллическая Система счисления Славянская глаголическая Система счисления Латинская Система счисления Современная арабская Система счисления Римская Система счисления
Недостатки непозиционной системы счисления : 1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел, что приводит к громоздкости записи числа. 2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа. 3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. 4. Отсутствует число ноль.
Действия над числами в различных системах счисления. Таблицы сложения и умножения в системах с разными основаниями
Законы сложения и умножения Проверим законы сложения, вычитания и умножения. Переместительный закон сложения. 4532 6 + 1345 6 = 1345 6 + 4532 6 . 4532 6 + 1345 6 = 10321 6 и 1345 6 + 4532 6 = 10321 6 . Закон выполняется. Переместительный закон умножения. 43 6 × 23 6 = 23 6 × 43 6 43 6 × 23 6 = 1513 6 и 43 6 × 23 6 = 1513 6 . Закон выполняется. Сочетательный закон сложения. ( 4532 6 + 1345 6 ) + 3244 6 = 4532 6 + (1345 6 + 3244 6 ). 4532 6 + 1345 6 = 10321 6 и 10321 6 + 3244 6 = 14005 6 1345 6 + 3244 6 = 5033 6 и 5033 6 + 4532 6 = 14005 6 . Закон выполняется. Сочетательный закон умножения. ( 43 6 × 23 6 )×12 6 = 43 6 ×(23 6 ×12 6 ). 43 6 × 23 6 = 1513 6 и 1513 6 ×12 6 = 23000 6 ; 23 6 ×12 6 =320 6 и 320 6 ×43 6 =23000 6 . Закон выполняется.
Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2.
Заключение. В результате проделанной работы я сделал выводы: 1) Сложение , вычитание, умножение и деление в непозиционных системах счисления выполнять очень сложно из-за громоздкости, необходимости запоминать большие комбинации цифр. 2) Более простые записи получаются в позиционных системах счисления, где количество цифр небольшое. 3) Законы выполняются во всех системах счисления. 4) Познакомившись с переводом чисел из одной системы счисления в другую, я теперь смогу применить эти знания на уроках информатики.
1. И.Я. Депман Мир чисел: рассказы о математике: Дет. Лит., 1982 2. А. Ликум Всё обо всём. Популярная энциклопедия для детей – М.:Филологическоеобщество «слово»,1993гю,том1,7,9 . 3. Большая советская энциклопедия . 4. энциклопедический словарь юного математика. 5. Глейзер Г.И. История математики в школе-М.: Просвещение, 1964-376с. 6. картинки использованные в презентации с сайта http : //images.yandex.ru Использованная литература:
Спасибо за внимание! ☺
Предварительный просмотр:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Афонинская средняя школа имени Героя Советского Союза Талалушкина Н.С.»
ПРОЕКТ
Действия над числами
в различных системах счисления
Проект выполнил
ученик 9 Б класса:
Бобылев Руслан
Руководитель
учитель математики
Пашевкина Ольга Владимировна
25.12.2019г
Актуальность темы
Актуальность данной темы состоит в том, что действия над числами в различных системах счисления приобретают сегодня серьёзное значение в связи с развитием теории вероятностей и информационных технологий.
Анализ сложных процессов, протекающих в природе и обществе, способствует изучение такой науки, как теория чисел.
Гипотеза
Использование в нашей арифметике чисел с небольшим основанием дает ряд преимуществ, как механических, так и интеллектуальных.
Объект исследования
Различные системы счисления.
Предмет
Выполнение законов сложения, вычитания, умножения для систем счисления с основанием, отличным от 10.
Вывод
Арифметические операции, законы сложения, вычитания, умножения в позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же правилам согласно таблицам сложения и умножения. Любое число можно перевести из одной позиционной системы в другую.
Цель
Углубить свои познания в области теории чисел. Для этого ознакомиться и изучить различные способы записи чисел, историю возникновения систем счисления, перевод чисел из одной системы в другую, действия в различных системах счисления, выполнение законов сложения, вычитания и умножения для систем с основаниями, отличными от 10.
План
Введение.
1. История возникновения систем счисления.
2. Системы счисления.
3. Действия над числами в различных системах счисления.
3.1. Выполнение законов сложения, вычитания и умножения для систем с
основанием, отличным от 10.
3.2. Перевод чисел из одной системы счисления с одним основанием в
систему счисления с другим основанием.
Заключение
Введение
Целью данной работы является проверка выполнения законов сложения, вычитания, умножения для чисел с основанием, отличным от 10. «Всё есть число» - учили древние пифагорейцы. Однако количество чисел, которыми они пользовались, ничтожно по сравнению с фантастической пляской цифр, окружающих нас сегодня в повседневной жизни. Каждый день наполнен потоком счётов, чеков и других бухгалтерских документов. Государственный бюджет исчисляется в миллиардах, а горы статистических данных являются принятым доводом в спорах. Эти цифры «крутятся» в компьютерах, которые анализируют состояние производства, следят за траекториями спутников и исследуют атомные ядра со скоростью до одного миллиарда операций в секунду.
Систематизация таких огромных чисел, изучение их является актуальной в связи развитием информационных технологий, теории вероятностей, теории чисел, теории графов.
Основные цели моей работы заключаются в следующем:
∙ углубить свои познания в области теории чисел.
∙ ознакомиться, изучить различные способы записи чисел, историю
возникновения систем счисления, проверить выполнение законов
сложения, вычитания и умножения для чисел с основанием, отличным
от 10.
∙ научиться переводить числа из системы с одним основанием в систему с другим основанием
В ходе работы я попробовал выполнять действия в непозиционных системах счисления, составил таблицы сложения в двоичной, троичной, четверичной, пятеричной, шестиричной, семиричной, восьмеричной, двенадцатиричной системах счисления, таблицы умножения в двоичной, троичной, четверичной, пятиричной, шестиричной, семиричной, восьмиричной системах счисления. Проверил выполнение законов сложения и умножения для систем счисления с основанием, отличным от 10. Научился переводить числа из системы с основанием, отличным от 10 в десятичную систему и наоборот.
История возникновения систем счисления.
Сейчас в большинстве стран мира, несмотря на то, что там говорят на разных языках, cчитают одинаково, "по-арабски". Но так было не всегда. Еще каких-то пятьсот лет назад ничего подобного и в помине не было даже в просвещенной Европе, не говоря уже о какой-нибудь Африке или Америке.
Но, тем не менее, числа люди все равно как-то записывали. У каждого народа была своя собственная или позаимствованная у соседа система записи чисел. Одни использовали буковки, другие - значки, третьи - закорючки. У кого-то получалось удобнее, у кого-то не очень.
Ведь не так-то просто даже имея цифры (значки, которыми записываются числа), записать какое-нибудь число. Для этого нужна система счисления (способ записи чисел с помощью цифр).
Система счисления
Система счисления - способ отображения чисел и правила действий над ними. Различают позиционные и непозиционные системы счисления.
Непозиционная система счисления - система счисления, в которой для обозначения чисел вводятся специальные знаки, количественное значение которых всегда одинаково и не зависит от их места в записи числа.
Римская система счисления - непозиционная система счисления, в которой для записи чисел используются буквы латинского алфавита.
Это, наверное, самая известная нумерация, после арабской. С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов, и т. д. Возникла эта нумерация в древнем Риме. Использовалась она для аддитивной алфавитной системы счисления
I | 1 |
V | 5 |
X | 10 |
L | 50 |
C | 100 |
D | 500 |
M | 1 000 |
Позиционная система счисления - система счисления, использующая для записи чисел ограниченное число знаков, интерпретация которых зависит от места в записи числа.
Основание позиционной системы счисления - в широком смысле - конечный набор знаков (цифр), для представления чисел.
Основание позиционной системы счисления - в узком смысле - количество знаков, используемых для записи чисел в той или иной позиционной системе счисления. Основание показывает, во сколько раз вес каждой цифры в записи числа меньше веса цифры, стоящей в старшем соседнем разряде.
Двоичная система счисления - позиционная система счисления с основанием 2, в которой для записи чисел используются цифры 0 и 1.
Восьмеричная система счисления - позиционная система счисления с основанием 8, в которой для записи чисел используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
Шестнадцатеричная система счисления - позиционная система счисления с основанием 16, в которой для записи чисел используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Таблицы сложения и умножения в системах с разными основаниями
- Двоичная система счисления
+ | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 10 |
× | 0 | 1 |
0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 |
- Троичная система счисления
+ | 0 | 1 | 2 |
0 | 0 | 1 | 2 |
1 | 1 | 2 | 10 |
2 | 2 | 10 | 11 |
× | 0 | 1 | 2 |
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 2 |
2 | 0 | 2 | 11 |
Примеры на сложение, вычитание и умножение чисел
Выполним сложение в двоичной системе счисления 11112+1012 .
Имеем 1+1=2, но в двоичной системе цифры 2 нет, поэтому мы её не можем записать: два уже есть единица более высокого разряда (в данном случае десятков). Значит, в сумме нет единиц, пишем 0, а единицу следующего разряда удерживаем в уме.
Выполняем сложение десятков: 1+0=1, да ещё один десяток в уме всего 2. В десятки пишем 0 и одну единицу следующего разряда удерживаем в уме. Складываем сотни: 1+1=2, да ещё 1 сотня, удерживается в уме, всего 3 единицы третьего разряда: 3 мы записать не можем, поэтому записываем 1 сотню, а две сотни двоичной системы составляют одну тысячу, одну тысячу удерживаем в уме. Одна тысяча да ещё одна, удерживаемая в уме, нуль пишем, а одна единица высшего разряда записывается в десятки тысяч. Сложение закончено.
Выполним вычитание в троичной системе счисления 11003 – 1123 . Имеем, от 0 отнять не можем, занимаем единицу более высокого разряда (в данном случае десятков). От 3 отнимаем 2, получаем 1. В разряде десятков мы занимали, поэтому от 2 отнимаем 1. в разряде сотен остался 0. так как от 0 мы отнять не можем, занимаем единицу более высокого разряда (в данном случае тысяч). От 3 отнимаем 1, получаем 2. Ответ: 2113.
Выполним умножение в пятеричной системе 415 × 325. Имеем, 1 умножаем на 2, получаем 2. 4 умножаем на 2, получаем 8, но числа 8 в пятеричной системе нет, заменяем его числом 13. Умножим 3 на 1, получаем 3 и подписываем, смещая на один знак влево, как и при умножении в десятичной системе счисления. Умножим 3 на 4, получаем 12, но числа 12 в пятеричной системе нет, заменяем его числом 22. Складываем результаты. Число 2 сносим. Складываем 3 и 3, получаем 6, но числа 6 нет в данной системе, заменяем числом 11, 1 пишем, 1 запоминаем. Складываем 1 и 2, да 1 запоминали, получаем 4 и сносим цифру 2. получили число 24125.
Законы сложения и умножения
Проверим законы сложения, вычитания и умножения.
Переместительный закон сложения. 45326 + 13456 = 13456 + 45326.
45326 + 13456 = 103216 и 13456 + 45326 = 103216 . Закон выполняется.
Переместительный закон умножения. 436× 236 = 236 × 436 . 436× 236 = 15136 и 436× 236 = 15136 . Закон выполняется.
Сочетательный закон сложения. (45326 + 13456) + 32446 = 45326 + (13456 + 32446 ). 45326 + 13456 = 103216 и 103216 + 32446 = 140056 ; 13456 + 32446 = 50336 и 50336 + 45326 = 140056. Закон выполняется.
Сочетательный закон умножения. (436× 236)×126 = 436×(236×126).
436× 236 = 15136 и 15136×126 = 230006; 236×126=3206 и 3206×436=230006. Закон выполняется.
Перевод числа из десятичной системы счисления в систему с другим основанием
Метод поэтапного деления на основание системы счисления заключается в последовательном выполнении действий:
1. Исходное число делим на основание системы счисления с остатком в десятичной системе счисления.
2. Если частное от деления не равно 0, выполняем п.1.
3. Полученные остатки записываем последовательно от последнего к первому.
4. Полученная запись - искомое число.
Методом поэтапного деления можно перевести целое десятичное число в любую позиционную систему счисления.
Например: переведем число 105 в двоичную систему счисления методом поэтапного деления на основание системы счисления
10510 = 11010012
Перевод целых чисел из системы счисления с основанием, отличным от 10, в десятичную систему счисления.
Например, для того, чтобы перевести двоичное число в десятичную систему счисления необходимо выполнить алгоритм.
Алгоритм перевода А2® А10
1. Записать число в развернутой форме записи.
2. Вычислить полученное значение суммы.
3. Результат - искомое десятичное число.
Например: Переведем двоичное число 1000111012 в десятичную систему счисления.
1000111012 = 1 × 28 + 0× 27 + 0× 26 + 0× 25 + 1 × 24 + 1× 23 + 1× 22 + 0× 21 + 1×20 = 1 × 256 + 0× 128 + 0× 64 + 0× 32 + 1× 16 + 1× 8 + 1× 4 + 0× 2 + 1× 1 = 256 + 16 + 8 + 4 + 1 = 28510
Аналогично переводятся числа из любой позиционной системы счисления в десятичную систему счисления.
Заключение
В результате проделанной работы я сделал вывод: сложение, вычитание, умножение и деление в непозиционных системах счисления выполнять очень сложно из-за громоздкости, необходимости запоминать большие комбинации цифр. Более простые записи получаются в позиционных системах счисления, где количество цифр небольшое. Законы выполняются во всех системах счисления. Познакомившись с переводом чисел из одной системы счисления в другую, я теперь смогу применить эти знания на уроках информатики в следующем году.