3.3 Олимпиады

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2018-2019 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 10 КЛАСС

1. (7 баллов) Замок Персиваля имел квадратную форму. Однажды Персиваль решил расширить свои владения и добавил к замку квадратную пристройку. В результате периметр замка увеличился на 10%. На сколько процентов увеличилась площадь замка?

2. (7 баллов) Известно, что a2+b = b2+c = c2+a. Какие значения может принимать выражение a(a2 – b2) + b(b2 – c2) + c(c2 – a2)?

3. (7 баллов) Участвуя в шахматном турнире, Вася сыграл 52 партии. По старой системе подсчёта очков (1 очко за победу,  очка за ничью и 0 очков за поражение) он набрал 35 очков. Сколько очков он набрал по новой системе подсчёта очков (1 очко за победу, 0 очков за ничью и –1 очко за поражение)?

4. (7 баллов) На координатной плоскости изображены графики функций         y = x2 +bx+c и y = x2 +cx+b.

Найдите значения b и c. В ответе запишите уравнения каждой из функций.

5. (7 баллов) Две вершины, центр вписанной окружности и точка пересечения высот остроугольного треугольника лежат на одной окружности. Найдите угол при третьей вершине.

6. (7 баллов) Петя показал Васе 37 внешне одинаковых карточек, выложенных в ряд. Он сказал, что на закрытых сторонах карточек записаны все числа от 1 до 37 (каждое по одному разу) так, что число на любой карточке, начиная со второй, является делителем суммы чисел, написанных на всех предшествующих карточках. Затем Петя показал Васе, что на первой карточке написано число 37, а на второй - число 1. Вася сказал, что он тогда знает, какое число написано на третьей карточке. Какое?

Максимальный балл за все выполненные задания - 42.

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ  2018-2019 уч. г.

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП

 5 КЛАСС Задания

5.1. Сумма 2018 натуральных чисел равна 2018. Какой станет сумма, если одно из слагаемых увеличить в десять раз? Ответ объясните.

5.2. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на три части так, чтобы в каждой из частей была снежинка и из этих частей можно было бы сложить квадрат. Нарисуйте, как вы разрезаете фигуру и каким образом складываете квадрат.

 5.3. У Тани на 12 ромашек больше, чем у Нади, а у Маши на 24 ромашки больше, чем у Тани. Кому из девочек и сколько ромашек должна дать Маша, чтобы у всех стало поровну?

5.4. Два гнома одновременно выбежали навстречу друг другу: Балин от оврага, а Двалин от ёлки. Через час Балину до елки оставалось пробежать на 650 метров больше, чем он пробежал, а Двалину до оврага на 350 метров больше, чем он пробежал. Найдите расстояние между гномами через час после начала бега.

5.5. Лотерейный билет имеет шестизначный номер. Билет является выигрышным, если сумма трех каких-то его цифр равна сумме трех остальных. Игорь купил два лотерейных билета с подряд идущими номерами. Они оба оказались выигрышными. На какую цифру оканчивались каждый из этих номеров?

…………………………………………………………………………………………………………….

        ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ  2018-2019 уч. г.

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП

 5 КЛАСС Задания

5.1. Сумма 2018 натуральных чисел равна 2018. Какой станет сумма, если одно из слагаемых увеличить в десять раз? Ответ объясните.

5.2. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на три части так, чтобы в каждой из частей была снежинка и из этих частей можно было бы сложить квадрат. Нарисуйте, как вы разрезаете фигуру и каким образом складываете квадрат.

 5.3. У Тани на 12 ромашек больше, чем у Нади, а у Маши на 24 ромашки больше, чем у Тани. Кому из девочек и сколько ромашек должна дать Маша, чтобы у всех стало поровну?

5.4. Два гнома одновременно выбежали навстречу друг другу: Балин от оврага, а Двалин от ёлки. Через час Балину до елки оставалось пробежать на 650 метров больше, чем он пробежал, а Двалину до оврага на 350 метров больше, чем он пробежал. Найдите расстояние между гномами через час после начала бега.

5.5. Лотерейный билет имеет шестизначный номер. Билет является выигрышным, если сумма трех каких-то его цифр равна сумме трех остальных. Игорь купил два лотерейных билета с подряд идущими номерами. Они оба оказались выигрышными. На какую цифру оканчивались каждый из этих номеров?

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ  2018-2019 уч. г.

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП

6 КЛАСС Задания

6.1. Сумма 2018 натуральных чисел равна 2019. Какой станет сумма, если самое большое слагаемое увеличить в десять раз? Ответ объясните.

6.2. Разрежьте данную фигуру на три одинаковые части.

6.3. На блюде лежали 15 плюшек. Карлсон взял себе в три раза больше плюшек, чем Малыш, а собака Малыша Бимбо - в три раза меньше, чем Малыш. Сколько плюшек осталось на блюде? Ответ объясните.

6.4. Состоятельный Крот подсчитал, что своими запасами зерна он может целиком заполнить либо 20 больших мешков зерна, либо 32 маленьких мешка. На месяц зимовки ему необходимо 7 больших мешков зерна. Крот может обменять у других кротов 2 больших мешка на 3 маленьких. Сможет ли Крот перезимовать три месяца или ему нужны дополнительные запасы?

6.5. На полянке собрались божьи коровки. Если у божьей коровки на спине 6 точек, то она всегда говорит правду, а если 4 точки - то она всегда лжет, а других божьих коровок на полянке не было. Первая божья коровка сказала: «У нас у каждой одинаковое количество точек на спине». Вторая сказала: «У всех вместе на спинах 30 точек». «Нет, у всех вместе 26 точек на спинах», - возразила третья. «Из этих троих ровно одна сказала правду», - заявила каждая из остальных божьих коровок. Сколько всего божьих коровок собралось на полянке?

…………………………………………………………………………………………………..

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ  2018-2019 уч. г.

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП

6 КЛАСС Задания

6.1. Сумма 2018 натуральных чисел равна 2019. Какой станет сумма, если самое большое слагаемое увеличить в десять раз? Ответ объясните.

6.2. Разрежьте данную фигуру на три одинаковые части.

6.3. На блюде лежали 15 плюшек. Карлсон взял себе в три раза больше плюшек, чем Малыш, а собака Малыша Бимбо - в три раза меньше, чем Малыш. Сколько плюшек осталось на блюде? Ответ объясните.

6.4. Состоятельный Крот подсчитал, что своими запасами зерна он может целиком заполнить либо 20 больших мешков зерна, либо 32 маленьких мешка. На месяц зимовки ему необходимо 7 больших мешков зерна. Крот может обменять у других кротов 2 больших мешка на 3 маленьких. Сможет ли Крот перезимовать три месяца или ему нужны дополнительные запасы?

6.5. На полянке собрались божьи коровки. Если у божьей коровки на спине 6 точек, то она всегда говорит правду, а если 4 точки - то она всегда лжет, а других божьих коровок на полянке не было. Первая божья коровка сказала: «У нас у каждой одинаковое количество точек на спине». Вторая сказала: «У всех вместе на спинах 30 точек». «Нет, у всех вместе 26 точек на спинах», - возразила третья. «Из этих троих ровно одна сказала правду», - заявила каждая из остальных божьих коровок. Сколько всего божьих коровок собралось на полянке?