презентации по математике (геометрия, теория множеств, основы математической логики)
презентация к уроку по математике (подготовительная группа)

Слайд 2

План: Вопрос 1 . Основные понятия геометрии. Вопрос 2. Планиметрия. Вопрос 3. Стереометрия .

Слайд 3

Вопрос 1. Основные понятия геометрии

Слайд 4

Геометрия Геометрия - это раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения. Геометрия состоит из планиметрии и стереометрии .

Слайд 5

Планиметрия Планиметрия изучает фигуры и их свойства на плоскости. Образно говоря, планиметрия изучает всё, что можно нарисовать или начертить на листе бумаги. Основные объекты планиметрии - это точки, линии и замкнутые фигуры (например - квадрат, треугольник, круг, трапеция, ромб). Множество всех точек, рассматриваемых в планиметрии образует плоскость . Множество точек в планиметрии называется фигурой . Замкнутая фигура в планиметрии - это множество точек, ограниченных линией.

Слайд 6

Стереометрия Стереометрия изучает фигуры и их свойства в пространстве. Образно говоря, стереометрия изучает всё, что можно склеить из бумаги, сколотить из досок, построить из кирпичей и т.п. Основными объектами стереометрии являются точки, прямые, плоскости и замкнутые пространственные фигуры (например - куб, пирамида, параллелепипед, шар, конус). Множество всех точек, рассматриваемых в стереометрии, называется пространством . Любое множество точек называется фигурой . Замкнутая фигура в стереометрии - это множество точек, ограниченных поверхностью.

Слайд 7

Вопрос 2. Планиметрия

Слайд 8

К основным геометрическим фигурам на плоскости относятся точка и прямая линия . Отрезок, луч, ломаная линия — простейшие геометрические фигуры на плоскости.

Слайд 9

Точка Точка — абстрактный объект в пространстве, обладающий координатами, но не имеющий размеров, массы, направленности и каких-либо других геометрических или физических характеристик. Одно из фундаментальных понятий в математике и физике. Точка — это самая малая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений в любом изображении или чертеже.

Слайд 10

Линия Прямую линию , или прямую , можно представить себе как бесчисленное множество точек, которые расположены на одной линии, не имеющей ни начала, ни конца. На листе бумаги мы видим только часть прямой линии, так как она бесконечна. Прямая изображается так: Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется отрезком прямой , или отрезком . Отрезок изображается так:

Слайд 11

Если две прямые пересекаются под прямым углом, то такие прямые называются перпендикурярными . Если две прямые линии и их продолжения взаимно не пересекаются, то такие прямые называются параллельными . Все точки одной из таких прямых находятся на одинаковом расстоянии от другой .

Слайд 12

Луч Луч — это направленная полупрямая, которая имеет точку начала и не имеет конца. Луч изображается так:

Слайд 13

Ломаная линия Ломаная линия — это несколько отрезков, соединенных между собой так, что конец первого отрезка является началом второго отрезка, а конец второго отрезка — началом третьего отрезка и т. д., при этом соседние (имеющие одну общую точку), отрезки расположены не на одной прямой. Если конец последнего отрезка не совпадает с началом первого, то такая ломаная линия называется незамкнутой . Ломаная линия изображается так: Если конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом первого отрезка, то такая ломаная линия называется замкнутой .

Слайд 14

Плоскость Плоскост ь, как и прямая, — это первичное понятие, не имеющее определения. У плоскости, как и у прямой, нельзя видеть ни начала, ни конца. Мы рассматриваем только часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной линией.

Слайд 15

Угол Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла – и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, - сторон угла. Угол равный 90° называется прямым . Меньше 90° - острым . Больше 90° - тупым .

Слайд 16

Виды углов

Слайд 17

Угол Два угла называются смежными , если одна сторона у них общая, а другие их стороны являются дополнительными полупрямыми. Сумма смежных углов равна 180°. Если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла, то такие углы называются вертикальными .

Слайд 18

Квадрат Квадрат – правильный четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны между собой. У квадрата есть две диагонали, соединяющие несмежные вершины. А B C D

Слайд 19

Прямоугольник Прямоугольник – четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Противоположные стороны прямоугольника попарно равны А C D

Слайд 20

Параллелограмм Параллелограмм - это геометрическая фигура, у которой диагонали пересекаются в точке, делящей их пополам, а противолежащие стороны параллельны.

Слайд 21

Ромб Ромб - это геометрическая фигура, у которой все стороны равны.

Слайд 22

Трапеция Трапеция — четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами . D C B A

Слайд 23

Окружность Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

Слайд 24

Треугольник Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. B C

Слайд 25

Виды треугольников Виды треугольников по углам: Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше 90º). Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (то есть имеет градусную меру 90º). Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол — тупой (то есть имеет градусную меру больше 90º).

Слайд 26

Виды треугольников Виды треугольников по сторонам: Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) — это треугольник, у которого все три стороны равны. Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Разносторонний треугольник — треугольник, все стороны которого имеют разную длину.

Слайд 27

Многоугольник Многоугольник — это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная без самопересечений, однако иногда самопересечения допускаются. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника , а отрезки — сторонами многоугольника .

Слайд 28

Вопрос 3. Стереометрия

Слайд 29

Призма Призмой называется многогранник, у которого две стороны являются плоскими многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, а боковые грани состоят из всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие точки оснований, ее ребрами. Прямая призма

Слайд 30

Призма Если боковые ребра призмы находятся под некоторым углом к основанию, то призма является наклонной .

Слайд 31

Параллелепипед Призма, у которой основание есть параллелограмм, называется параллелепипедом . Параллелепипед, у которого грани расположены под некоторым углом ≠ 90° к основанию, называется наклонным . Наклонный параллелепипед

Слайд 32

Параллелепипед Прямой параллелепипед, у которого основание является прямоугольником, называется прямоугольным . Прямоугольный параллелепипед

Слайд 33

Пирамида Пирамидой называется многогранник, который состоит из многоугольника в основании, точки, не лежащей в плоскости основания, и всех отрезков, соединяющих вершины многоугольника и данную точку.

Слайд 34

Правильные многогранники Если выпуклый многогранник имеет все грани правильные многоугольники с равным числом сторон и в каждой вершине многоугольника сходится одно и то же число ребер, то такой многогранник называется правильным . Существует пять типов правильных выпуклых многогранников : правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Слайд 35

Тетраэдр это многогранник, у которого грани правильные треугольники. Куб это многогранник, у которого все грани - квадраты. Октаэдр - многогранник, который представляет собой две пирамиды с общим основанием. Основание этих пирамид - квадрат. Додекаэдр это многогранник, у которого грани правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра. Икосаэдр это многогранник, у которого грани правильные треугольники. В каждой вершине сходится по пять ребер.

Слайд 36

Цилиндр Цилиндр представляет собой тело, состоящее из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Два круга, лежащих в параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра . Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, называются образующими .

Слайд 37

Конус Конусом называется тело, которое состоит из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости основания этого конуса - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания. Точка, не лежащая в плоскости основания, называется вершиной конуса . Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса . Конус называется прямым , если прямая, проведенная из вершины конуса в центр основания, перпендикулярна плоскости основания.

Слайд 38

Шар Шар это геометрическое тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Точка, от которой все остальные точки находятся на расстоянии не большем данного, называется центром шара. Граница шара называется сферой . Совокупность всех точек сферы удалена от центра на расстояние, равное радиусу. Таким образом, любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой сферы, называется радиусом . Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром .

Слайд 3

Множество. Виды множеств. Операции над множествами. Мощность множества

Слайд 5

Понятие множества является одним из фундаментальных понятий математики. Оно было введено в математику создателем теории множеств немецким ученым Георгом Кантором (1845 – 1918). Следуя ему, под множеством понимается совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое. Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами.

Слайд 6

- это совокупность объектов (элементов), которые понимаются как единое целое (по тем или иным признакам, критериям или обстоятельствам). Причём, это не только материальные объекты, но и буквы, цифры, теоремы, мысли, эмоции и т.д. Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, …

Слайд 7

N – множество натуральных чисел; N 0 – множество неотрицательных целых чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; I – множество иррациональных чисел; R – множество действительных чисел; C – множество комплексных чисел. Элементы множества обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, c, … и записываются в фигурных скобках {}

Слайд 8

А = { а, б, в …я } - множество букв русского алфавита; N = {1 , 2, 3, 4 … } – множество натуральных чисел. Множества А является конечным (состоящими из конечного числа элементов), а множество N – это пример бесконечного множества. в теории и на практике рассматривается так называемое пустое множество: – множество, в котором нет ни одного элемента. принадлежность элемента множеству записывается значком ∈ .

Слайд 9

5 ∈ N – число 5 принадлежит множеству натуральных чисел; 5 ,5 ∈ N – число 5,5 не принадлежит множеству натуральных чисел.

Слайд 10

B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B принадлежит множеству A. Иными словами, множество В содержится во множестве А и записывается как: В ⊆ А. Данный знак называется знаком включения. Отношения между подмножествами удобно изображать с помощью условной геометрической схемы, которая называется кругами Эйлера.

Слайд 11

Пусть S 1 – множество студентов в 1-м ряду, S – множество студентов группы, U – множество студентов университета. Тогда отношение включений S 1 ⊆ S ⊆ U можно изобразить следующим образом:

Слайд 13

Диаграммы Венна (по аналогии с кругами Эйлера) – это схематическое изображение действий с множествами. Операции над множествами могут быть следующими: Пересечение (конъюнкция) или логическое умножение. Объединение (дизъюнкция) или логическое сложение. Разность множеств.

Слайд 14

Пересечение множеств характеризуется логической связкой И, обозначается знаком ∩ Пересечением множеств А и В называется множество A ∩ B , каждый элемент которого принадлежит и множеству А, и множеству В. Другими словами, пересечение – это общая часть множеств:

Слайд 15

Объединение множеств характеризуется логической связкой ИЛИ и обозначается значком ∪ Объединением множеств А и В называется множество A ∪ B , каждый элемент которого принадлежит множеству А или множеству В:

Слайд 16

Разностью множеств А и В называют множество А\ В , каждый элемент которого принадлежит множеству А и не принадлежит множеству В :

Слайд 18

Мощность пустого множества равна нулю. Мощность множества S 1 = { Аня, Саша, Вика, Катя, Миша, Кристина } равна шести. Мощность множества букв русского алфавита A = { а, б, в … я } равна тридцати трём. Мощность любого конечного множества равно количеству элементов данного множества.

Слайд 2

Вопрос 1. Основные категории математической логики. Вопрос 2. Алгебра высказываний. Вопрос 3. Логические операции (действия над высказываниями). Вопрос 4. Логические выражения и таблицы истинности. Вопрос 5. Логические законы и правила преобразования логических выражений.

Слайд 4

Логика – это наука о формах, приемах и законах мышления. Мышление , или рациональное (по средством разума, а не чувств) отражение действительности, по своей природе есть процесс, связанный с абстрагированием. Мышление всегда происходит посредством языка , а слова языка суть абстракции . Мышление имеет содержание и формы: Основной характеристикой содержания мышления является истинность мысли, или адекватность мысли отражаемому предмету. Формы мышления – это способы, в которых осуществляется отражение.

Слайд 5

Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны. Мышление всегда осуществляется в каких-то формах. Основными формами мышления являются понятие , высказывание и умозаключение .

Слайд 6

Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта. Понятие имеет две стороны: содержание и объем . Содержание понятия - это та совокупность отличительных признаков, на основании которой предметы выделяются и обобщаются в одну группу. Объем понятия - это совокупность всех предметов, которые обладают отличительными признаками.

Слайд 7

Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношений между ними. Высказывание может быть либо истинно , либо ложно .

Слайд 8

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение). Умозаключения позволяют на основе известных фактов, выраженных в форме суждений (высказываний), получать заключение, т.е. новое знание. Примером умозаключений могут быть геометрические доказательство. Например: исходя из суждения «Все углы треугольника равны», путем умозаключения можем доказать, что треугольник равносторонний.

Слайд 10

Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определить истинность или ложность составленных высказываний, не вникая в их содержание. В алгебре высказываний суждений ставятся в соответствие логические переменные , обозначаемые буквами латинского алфавита. Истинное высказывание обозначается 1 Ложное высказывание обозначается 0

Слайд 11

В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания. Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не».

Слайд 13

Логическое отрицание или инверсия ; конъюнкция или логическое умножение высказываний; дизъюнкция или логическое сложение высказываний .

Слайд 14

Данной операции соответствует логическая связка НЕ и символ ¬ Отрицанием высказывания а называется высказывание ¬а («не а»), которое ложно, если истинно, и истинно – если ложно:

Слайд 15

Данной операции соответствует логическая связка «И» и символ & либо ^ . Конъюнкцией высказываний а и b называют высказывание a & b , которое истинно в том и только том случае, когда истинны оба высказывания a и b :

Слайд 16

Этой операции соответствует логическая связка «ИЛИ» и символ v . Дизъюнкцией высказываний a и b называют высказывание a v b , которое ложно в том и только в том случае, когда ложны оба высказывания a и b :

Слайд 18

Импликацией высказываний a (посылка) и b (следствие) называют высказывание a → b , которое ложно в единственном случае – когда a истинно, а b – ложно: из истины может следовать только истина и не может следовать ложь !

Слайд 19

Эквиваленция обозначается значком ↔ и читается «тогда и только тогда» Эквиваленцией высказываний a и b называют высказывание a ↔ b , которое истинно в том и только том случае, когда высказывания a и b истинны или ложны одновременно:

Слайд 20

Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую входят логические переменные , обозначающие высказывание, и знаки логических операций , обозначающие логические функции. Для записи составного высказывания в виде логического выражения на формальном языке (язык алгебры высказываний) в составном высказывании нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними.

Слайд 21

(2*2=5 или 2*2 = 4) и (2*2≠ 5 или 2*2 ≠4) Они содержат два простых высказывания: А= 2*2=5 – ложно (0) В = 2*2=4 – истинно (1) Тогда составное высказывание можно записать в следующей форме: (А или В) и (¬А или ¬В) Теперь необходимо записать высказывание в форме логического выражения с учетом последовательности выполнения логических операций: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. F=(A v B) & (¬A v ¬B) F=(A v B) & (¬A v ¬B) = (0 V1) & (1 v 0) = 1 & 1= 1

Слайд 26

Закон тождества . Всякое высказывание тождественно самому себе: А = А Закон непротиворечия . Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание А истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно: Закон исключенного третьего . Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Это означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицание всегда принимает значение «истина»: Закон двойного отрицания Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание:

Слайд 27

Законы де Моргана . Закон коммуникативности . В алгебре высказываний можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения: Закон ассоциативности. Если в логическом выражении используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять:

Слайд 28

Закон дистрибутивности . В алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые: