Дипломная работа по математике
материал по математике на тему

ВВЕДЕНИЕ

С проблемой времени человек сталкивается ежедневно, ежеминутно. Вся жизнь человека тесно связана с временем, с умением измерять, распределять и ценить время. Время является регулятором всей деятельности человека. Ни одна деятельность не проходит без восприятия времени.

Восприятие времени - это отражения деятельности и последовательности явлений и событий. Наше восприятие времени несовершенно: нам кажется, что время течет то быстрее, то медленнее в зависимости от того, чем заполнен тот или ной промежуток времени. [1, 302]

Точность оценки временных интервалов определяется динамикой процессов возбуждения и торможения. Дифференцировка временных интервалов является результатом условных рефлексов на время.

Особенности времени как объективной реальности затрудняют его восприятие нормально развивающимися детьми. Временные представления развиваются медленно, в процессе длительных наблюдений, накопления жизненного опыта, изучения других величин.

У детей интеллектуального развития замедленная, ограниченная восприимчивость, недифференцированность ощущений и восприятий еще больше затрудняет формирование временных представлений.

Дефектное развитие ощущений и восприятий у детей с нарушением интеллекта оказываются ядерными симптомами отсталости, которые затрудняют формирование представления о времени, тормозят развития психических процессов, в частности, мышления.

Первые представления о времени дети получают в дошкольный период. Смен дня и ночи, смена времени года, повторяемость режимных моментов в жизни ребенка- все это формирует временные представления. Однако, как временная последовательность событий, так и особенно понятие о продолжительности событий усваивается детьми с большим трудом. Данное исследование обусловлено необходимостью изучения процесса формирования временных представлений у детей младшего школьного возраста и интеллектуальной недостаточностью и  у нормально развивающихся детей. Важность этой проблемы для практики воспитания и обучения младших школьников определяет актуальность данной работы.

Цель исследования состояла в разработке системы формирования временных представлений в процессе изучения математики у детей младшего школьного возраста и у детей с нарушениями интеллекта.

Поставленная цель реализуется решением следующих задач:

1. Изучить проблему обучения детей и формирования у них представления о времени в психолого-педагогической и методической литературе

1. Выявить особенности временных представлений у детей младшего школьного возраста и у детей с нарушениями интеллекта.

1. Разработать систему формирования временных представлений у детей младшего школьного возраста в процессе изучения математики.

Гипотеза состояла в предположении: в процессе специального обучения возможно сформировать у детей с интеллектуальной недостаточностью временные представления и ориентировки, необходимые для последующего обучения и социальной адаптации.

Объект исследования: процесс овладения детьми временными представлениями.

Предмет: педагогические условия формирования представлений о времени у младших школьников и детей с нарушениями интеллекта.

Новизна состоит в том, что выявлены особенности временных представлений у детей с нарушением интеллекта и разработана система формирования представления о времени.

Разработка действенных средств индивидуализации важна для всех звеньев школы, но особенно актуальна она для системы начального обучения, где закладывается фундамент школьной успеваемости, формируются основные стереотипы учебной деятельности.

Действенная забота о здоровье и гармоничном развитии детей предполагает создание адекватных условий обучения для каждого переступившего школьный порог ребенка. Создание таких условий, учитывающих индивидуальные особенности, общие и специальные способности школьников,- важнейший аспект программы охраны детства, обязательная предпосылка фактической реализации права каждого человека на полноценное образование.

В системе народного образования утвердилась разветвленная сеть специальных школ: вспомогательных школ и школ- интернатов для умственно отсталых детей.

Учитывая особенности детей группы риска, планирование учебной работы в классах коррекции приобретает иной характер, учитывая то, что в этих классах реализуется типовая программа.

Трудность обучения состоит в том, что учителям нелегко дифференцировать материал из учебников. Для детей класса коррекции материала мало.

К группе риска относятся дети, развитие которых осложнено неблагоприятными факторами генетического, биологического и социального свойства. Эти дети не принадлежат к категории больных и дефективных. Однако, в силу указанных обстоятельств, находятся в пограничной ситуации между нормой и патологией, имеют при сохраненном интеллекте худшие, чем у сверстников, адаптационные возможности. Для таких детей характерен низкий уровень выполнения учебных и неучебных заданий, обусловленный сниженной учебной мотивацией и отсутствием познавательных интересов. При этом наблюдается повышенная отвлекаемость, импульсивность, гиперактивность. Все это обусловлено неярко выраженными теми или иными отклонениями в их развитии. В группу риска входят дети с ЗРП (задержкой психического развития).

ЗРП бывает 3- х видов:

1. конституционная,
2. самоточенная,
3. психогенная.

Все эти виды задержек являются показательными для зачисления детей в классы коррекции.

ГЛАВА 1. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ВРЕМЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У ДЕТЕЙ МЛАДШЕГО ШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА И У ДЕТЕЙ С ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ НЕДОСТАТОЧНОСТЬЮ.

' 1.1. Теоретические основы формирования временных представлений у детей младшего школьного возраста.

Математические понятия выражают сложные отношения и формы действенного мира: количественные, пространственные, временные представления, представления о форме и величине.

Абстрактность объектов математики, с одной стороны, конкретность наглядно-действенного и наглядно-образного характера мышления младших школьников, с другой стороны, создают объективные трудности в отборе содержания знаний, методов и способов их представления для обучения.

В связи с этим можно определить содержание знаний, с которыми дети должны поступать в школу:

1. Количественные представления (счет, счетные операции, решение арифметических задач).

Сюда входит прямой и обратный счет, знание последовательности чисел, счет с помощью различных анализаторов (зрительного, слухового, тактильного), счет групп предметов, деление целого на части, упражнения в запоминании чисел, сопоставление совокупности предметов, независимость числа предметов от их размера и формы расположения, порядковый счет, цифры, решение текстовых арифметических задач, представления о множестве и подмножестве,

1. Представления о величине предметов и ее измерении (высота, ширина, толщина и прочее),

1. Представления  о геометрических фигурах и форме предметов,
2. Представления о времени (времена года, дни недели, части суток),
3. Представления о пространстве (ориентировка в окружающей действительности, в схеме собственного тела, на противоположном объекте, на плоскости листа бумаги).

В ходе непосредственного общения с окружающим миром, изучая и  осваивая впечатления о нем, человечество выработало ряд основных понятий, на которых строится вся наша система знаний. Одним из них является понятие времени.

Эта категория  появилась в процессе осознания человеком смены событий: сон сменяется бодрствованием, день - ночью и т. д. и их круговорота. Это привело к мысли о длительности времени.

В истории философии проводился диалектический анализ времени, в результате которого установлено, что основными моментами являются длительность и мгновение. Мгновение - чистое «когда», лишенное длительности. Длительность- продолжительность существования объектов или его элементов, сохранение их существования.

Между длительностями различных явлений имеются временные отношения одновременности и последовательности. Порядок « прошлое- настоящее- будущее» характеризует временное отношение последовательности.

Временная определенность явлений складывается из временной определенности его элементов. В то же время в силу существования между элементами отношений одновременности и последовательности в объекте имеется хронологическая структура. Поэтому временная определенность реального явления есть органическое единство его длительности и хронологической структуры.

С понятием длительности связывается также одномерность, необратимость, равномерность течения.

Время существует объективно, вне и независимо от нашего сознания. Восприятие же и познание его - это лишь отражение в нашем сознании реально существующего времени.

Можно выразить три основные особенности времени:

1. текучесть, время связано с движением,
2. необратимость,
3. отсутствие наглядных форм, «его не видно и не слышно». [5, 52]

Само слово «время» происходит от древнерусского «веремя», что означает «вращение». Прошедшее, настоящее и будущее связаны между собой таким образом, что они не могут поменяться местами. Свойство необратимости   времени, протекание времени в одном направлении есть выражение вечного развития природы и общества по восходящей линии, от старого к новому.

    В природе регулярно повторяется смена времен года, дня и ночи. Эти явления связаны с суточным вращением земного шара, движением Луны вокруг Солнца. На этой основе и возникли основные единицы измерения времени - сутки, неделя, месяц, год. Деление суток на четыре части (утро, день, вечер, ночь) связано с изменениями, происходящими в окружающей среде в связи с различным положением Солнца и Луны и сменой видов деятельности людей в различные части суток. Эта смена принята условно, так как продолжительность каждой части суток различна. [44, 35]

Человечество прошло длительный путь осознания и определения времени.

В Древней Греции длительность суток определялась по времени, прошедшему между рассветом и закатом. Ночные часы попросту не учитывались, однако, уже древние римляне стали считать время так же, как и мы: от полуночи до полуночи.

Прежде чем были изобретены часы, день и ночь разбивали на двенадцать равных промежутков. Однако такая система была неудобной, так как продолжительность дня и ночи в разное время года непостоянна. Первыми, кто разделил все сутки целиком на 24 части, равные одному часу, были римляне.

Египтяне первыми определили продолжительность года. Жрецы заметили, что ежегодно, примерно одновременно с началом разлива Нила, перед восходом Солнца на небосклоне появлялась яркая звезда. Таких дней между событиями оказалось 365.

Древние египтяне создали первый лунный (месячный) календарь, но он оказался неточным, и римляне видоизменили его. Этот календарь утвердил Юлий Цезарь. Названия месяцев в этом календаре определялись по именам цезарей и других известных людей. Некоторые из них мы используем и в нашем календаре. Поэтому дети с таким трудом запоминают названия месяцев, потому что они не несут смысловой нагрузки для детского восприятия. Например, «июль» назван в честь Юлия Цезаря. [42, 8]

Обычай измерять время семидневной неделей пришел к нам из Древнего Вавилона и был связан с их изменением фаз Луны.

Число «семь» считалось исключительным, священным. В свое время  древние вавилонские астрономы обнаружили, что кроме неподвижных звезд, на небе видны семь блуждающих светил, которые были названы планетами. Древне-вавилонские астрономы считали, что каждый час суток находится под покровительством определенной планеты.

Дни недели получили свое название от имени богов. Затем эти названия перешли к римлянам, а потом и в календари многих  народов Западной Европы. Понедельник считался днем Луны, вторник - днем Марса, среда - днем Меркурия,  четверг - днем Юпитера, пятница - днем Венеры, суббота - днем Сатурна, воскресенье - днем Солнца. Названиями планет пользуются для обозначения дней недели и многие азиатские народы.

На Руси неделю называли седмицей. Воскресенье называлось неделей (нет дел, день отдыха), понедельник-день после недели, вторник-второй, среда-середина седмицы, четверг-четвертый, пятница-пятый день, суббота - от слова  «сабат» или « шабаш»- конец всяких дел, последний трудовой день недели.[42, 9]

Система счисления продолжительных промежутков времени - календарь. Потребность измерять время возникла у людей уже в глубокой древности. Первые календари появились много тысяч лет назад, на заре человеческой цивилизации. Сегодня все народы мира пользуются солнечным календарем, унаследованным от древних римлян.

Календарем принято называть определенную систему счета больших промежутков времени. Слово «календарь» произошло от латинских слов «калео» (провозглашать) и «календариум» (долговая книга). В Древнем Риме начало каждого месяца провозглашалось особо, и первого числа каждого месяца там было принято уплачивать проценты по долгам. Современные календари мы унаследовали от древних римлян.

Неотделимость пространства и времени от материи и самой материи от этих основных форм существования - одно из важнейших положений диалектического материализма, постоянно подтверждаемое и обогащаемое прогрессом естествознания.

Познание пространственно-временных отношений непосредственно связано с отражением явлений материального мира и определяется им. Эта закономерность достаточно ясно проявляется в области непосредственно чувственного отражения, то есть, в области ощущений и восприятий.

Временные особенности динамики ощущений оказались неотъемлемыми чертами ощущений как элементарных чувственных знаний о внешнем мире. Время психических реакций (как простых, так и реакций выбора) стало оцениваться как постоянный компонент ощущений и восприятий, связанный с их модальностью подобно качеству и интенсивности. Стало общепринятым считать, что все модальности без исключения существуют во времени и являются каналом информации о временных характеристиках внешних раздражителей.

С совершенствованием средств отражения пространства и времени возрастают возможности более точного и глубокого познания предметной действительности.

Дифференцировка этих отношений влияет на развитие восприятия. В процессе обучения детей пространственно-временная ориентировка является важным условием усвоения знаний, навыков и умений, развития мышления.[49, 45]

В какой бы среде человек не находился, каким бы видом деятельности не занимался, для  него жизненно необходимым является правильное отражение изменений, происходящих в пространстве и времени (Л. Н. Люблинская). Различение и обобщение пространственных и временных отношений между воспринимаемыми объектами среды является, по  существу, двусторонним процессом. Одна из сторон является собственно перцептивной, непосредственно чувственным отражением определенных связей между объектами. Другая сторона связана с мышлением. Это единство чувственного и логического в отражении пространственных, временных и количественных отношений определяет готовность ребенка к отражению других, более сложных отношений и взаимозависимостей между явлениями внешнего мира. Дифференцировка пространственных, временных и количественных отношений между объектами предшествует образованию знаний о функциональных, структурных и причинно-следственных отношений между вещами, составляющих сущность логического мышления. Все эти виды отражаемых отношений между объектами тесно связаны в чувственном и логическом познании. [39, 15]    

Уже в возрасте нескольких месяцев ребенок стремится активно ориентироваться во времени и пространстве. Это необходимо ему для освоения и изучения окружающего его мира. Раньше и легче дается человеку ощущение пространства. Что такое «здесь» и «там», становится понятным довольно скоро. ЗДЕСЬ -  это то, что доступно, что можно  разглядеть, потрогать, попробовать на вкус. ТАМ – непосредственно недоступно, но, если приложить усилия, постараться дотянуться или переместиться, то можно превратить ТАМ в ЗДЕСЬ.      К году или полутора годам ребенок начинает понимать, что такое «сейчас» - оно похоже на «здесь». Чуть позднее выясняется и что такое «скоро»- оно похоже на «там», «недалеко». К трем годам становится ясным, что бывает «сегодня», «завтра», «вчера». Только к 7-8 годам складывается наше обычное интуитивное представление о времени: как о равномерно и повсеместно текущем потоке мгновений.

В своем развитии ребенок, вероятно, повторяет - в очень ускоренном темпе - тот долгий и давний путь, которым человечество, развиваясь от первобытного состояния, пришло к нашему современному понятию времени. Это тоже был путь ощущения, восприятия, исследования и освоения мира. На самых первых порах источником ощущения и переживания времени было, наверное, стремление превратить желаемое в доступное. Как говорил еще сто лет назад французский психолог М.Гюйо: « Время закрыло доступ к себе существу, которое ничего не желало бы, ни к чему не стремилось…. Будущее- это не то, что идет к нам, а то, к чему мы идем.» Цель- действие- достижение. По этому образцу в сознании людей возникла цепочка «будущее - скоро - сейчас», которая превратилась потом в представление о последовательности мгновений, сменяющих друг друга в общем потоке времени.[48, 35]

Восприятие времени человеком подготовлено всем ходом развития животного мира. Сознательное восприятие времени у человека складывалось в процессе социально-производственной практики. Различного рода орудия измерения времени,  временные понятия и т.д. - это отсутствует у животных, для которых восприятие времени - явление чисто биологическое.

У человека ориентировка во времени состоят из двух форм отражения времени. Одна из них - непосредственное ощущение длительности, обусловленное висцеральной чувствительностью, на базе чего образуются условные рефлексы. Другая - собственно восприятие времени, которая, развиваясь на органической основе, связана с обобщающей функцией второй сигнальной системы. Непосредственное восприятие временной длительности выражается в нашей способности чувствовать ее, непосредственно оценивать и ориентироваться во времени без вспомогательных средств. Эту способность называют «чувством времени». В разных видах деятельности «чувство времени» выступает как чувство темпа, то, как чувство ритма, то, как чувство скорости. В формировании этого чувства определенную роль играет накопленный опыт дифференцировки времени на основе деятельности многих анализаторов. Так, чувство времени наряду с чувственным восприятием включает и логические компоненты: знание мер времени. Таким образом, «чувство времени» опирается на взаимодействие первой и второй сигнальных систем.[31, 509]

В раннем возрасте «чувство времени» формируется на основе чувственного опыта без опоры на знание эталонов времени. Младенец кричит, значит, настало время кормления. Ребенок сыт - он спокойно лежит, улыбается. У него нет еще обобщения «чувства времени», оно остается связанным только с той  конкретной деятельностью, в которой оно сформировалось, то есть, имеет сравнительно узкую сферу применения. Овладение же единицами времени, и применение их дает возможность пользоваться «чувством времени» более широко.

Чувство времени развивается и совершенствуется в процессе практической деятельности человека, в результате специально организованных упражнений и усвоения способов оценки времени. В таких случаях оно начинает играть роль регулятора деятельности. С одной стороны, развивающееся восприятие времени опирается на чувственную основу, а с другой - на освоение общепринятых эталонов оценки времени. Чувственному восприятию времени способствуют все основные процессы нашей органической жизни, обладающие строгой периодичностью (ритм дыхания, биение сердца и т. д.). Точно так же ежедневный ритм жизни человека способствует выработке условных рефлексов на время. [42, 510]

Время-объект познания - является чрезвычайно многогранной стороной окружающей реальности. Восприятие времени - это отражение в мозгу объективной длительности, скорости, последовательности явлений действительности

По мнению Д. Б. Эльконина, для познания различных сторон времени нужна функция разных корковых структур мозга.

Процесс восприятия и отражения времени у детей образуется с большим трудом и характеризуется крайней неустойчивостью.

Восприятие детьми тягучести, текучести времени, его необратимости, и периодичности весьма затруднено из-за отсутствия наглядных форм. Сложно для детей и понимание смысла слов, обозначающих временные отношения в силу их относительного характера.

На ранних этапах развития ребенок ориентируется во времени на основе вневременности, качественных признаков. Например, «спокойной ночи» говорят, когда ложатся спать, вечером уже темно  и солнца нет.

Дети дошкольного возраста уже относительно точно определяют небольшие промежутки времени, о содержании которых имеют определенное представление на основе личного опыта. Если жизнь детей строго подчинена определенному режиму, то есть, распределена во времени, то ребенок уверенно отмечает утро («Мы еще не завтракали») или вечер. Он различает день («Скоро обед») или ночь («Все спят»).

Но им очень трудно выделить время в давно прошедших событиях, представить себе его длительность, его значение и разместить в последовательном порядке давно минувшие события. У младших школьников есть лишь знание настоящего и смутное представление о прошлом времени: « Это было давно».

Развитию способности к более точной локализации и пониманию последовательности событий во времени может способствовать осознание причинных зависимостей этих событий, а также - развитие умений пользоваться различными временными эталонами, что позволяет выразить временные отношения в качественных показателях.[53, 123]

В формировании представления о времени большую роль играет слово: в нем абстрагируются и обобщаются различные отрезки времени по их длительности: секунда, минута, час, сутки, неделя, месяц, год и другие. Точность использования детьми этих специальных обозначений зависит о того, каким конкретным содержанием наполняется каждый из временных эталонов, какими основными признаками будет он характеризоваться. Но конкретные признаки, характеризующие те или иные отрезки времени, будут весьма локальны, поскольку определяются разными географическими, экономическими и бытовыми условиями жизни людей.[33, 39]

Как же практически отражаются категории времени в речи детей дошкольного и младшего школьного возраста? Очень часто, передавая содержание прослушанного рассказа, дети связывают его эпизоды словами « потом», «еще», «после». Употребляя эти слова, они не всегда обозначают ими определенную последовательность событий.

Наоборот, не видя возникающей логической несообразности, они часто нарушают эту последовательность. Такое нарушение временной последовательности говорит о том, что дети еще не видят логики временных отношений, которая вскрывается труднее, чем логика пространственных отношений.[15, 65]

В разных видах практики у детей складываются более реалистические представления о времени и его единицах (час, день, сутки).

В процессе обучения раскрывается значение наиболее трудных для детей временных наречий, уточняется их понимание. Однако тонкая дифференцировка  временных представлений  зависит от общего умственного и речевого развития детей.

Необходимо отметить, что одним из важных условий продуктивности учебной деятельности является правильная ориентировка в текущем времени.

Своевременное и адекватное формирование понятий о времени у ребенка чрезвычайно важно. В школе, в частности, оно составляет необходимую предпосылку развития причинно-следственного и теоретического мышления, а также условие, обеспечивающее познавательную деятельность в целом.

Как уже отмечено, время не имеет наглядных форм, с ним нельзя совершать действия. Для восприятия времени у человека нет специального анализатора. Время познается опосредованно, через движение и ритм жизненных процессов или с помощью специального прибора. У взрослого человека- это результат деятельности ряда анализаторов, действующих в системе. У ребенка такой слаженности в работе анализаторов нет. Восприятие времени легко искажается субъективными факторами: заполненностью временного промежутка, его значимостью для субъекта, состоянием самого человека (ожидание, увлеченность).

Знакомство со временем может начаться только с усвоения обозначений и мер времени, выработанных людьми. Усвоение таких обозначений дается нелегко, так как они носят условный  и относительный характер. То, что было «завтра», становится после ночи «сегодня», а через сутки - «вчера». Эта текучесть времени, его незримость крайне затрудняет его вычленение и познание.[4, 68]

В младшем школьном возрасте ребенок еще не ориентируется во времени.

Формирование временных представлений у детей начинается позднее и  имеет свою специфику. Освоение времени осуществляется через практическую деятельность детей. Поэтому детей надо знакомить с такими интервалами времени, которыми можно измерять и определять длительность, последовательность различных видов деятельности. В ходе деятельности на ребенка воздействует сложный  комплекс раздражителей, в котором временные отношения играют второстепенную роль. Поэтому в ходе специального обучения нужно организовать соответствующую деятельность, направленную на измерение времени при помощи  приборов, демонстрирующих те или иные промежутки времени и их взаимосвязь, то есть время должно быть предметом специального внимания детей. В ходе такой деятельности создаются условия для формирования более четких представлений о времени.[46, 65]

Легче дается детям ориентировка во времени, чем освоение временных представлений и понятий. Это связано с процессом становления речи, со спецификой словарного запаса и грамматического строя речи ребенка. Особая роль в этом процессе отводится освоению специальной терминологии. Ее формирование очень тесно связано с усвоением тех обозначений и измерений мер времени, которые существуют у человека (времена года, время суток, месяц, год, неделя, час, минута).

Развитие временных представлений и ориентировка во времени связаны с повседневной жизнью и деятельностью детей. В дошкольном учреждении основными ориентирами оказываются режимные моменты, эмоционально значимые события, темп деятельности. Если не проводить специальную работу по формированию временных представлений, то это приведет к тому, что получаемые детьми сведения об отдельных временных обозначениях остаются на поверхности детского сознания, не раскрывают временных отношений. Так, многие дети шести-семи лет не могут назвать последовательность дней недели, не соотносят месяцы с сезонами года и датами знакомых им праздников, не знают причинной зависимости  времен года.[50, 45]

Специально организованное обучение ведет к тому, что представление о времени у детей быстро совершенствуются, становятся более систематичными, осознанными, развивается чувство времени.

При переходе в школу из дошкольного учреждения дети  должны уметь различать и называть части суток, знать их последовательность. Последовательно называть дни недели, называть, какой день был вчера, какой будет завтра. Дети должны знать название текущего месяца и их последовательность.

Знание эталонов времени, умение устанавливать временные отношения способствует осознанию детьми последовательности происходящих событий, причинно-следственных связей между ними. Ориентирование во времени должно базироваться на чувственной основе, то есть переживании длительности времени в ходе осуществления разнообразной деятельности, которая по-разному окрашена эмоционально, а также наблюдениями  за явлениями и событиями окружающей жизни.

' 1.2.Особенности усвоения математических знаний, умений и навыков младшими школьниками и школьниками с умственной отсталостью.

Особенности усвоения знаний, умений и навыков младшими школьниками определяется программой. Обучение математике должно решать образовательные, воспитательные и практические задачи. Овладение даже элементарными математическими понятиями требует от ребенка достаточно высокого уровня развития таких процессов логического мышления, как анализ, синтез, обобщение, сравнение. Поэтому, прежде чем приступить непосредственно к самой теме, необходимо выяснить, какие именно особенности усвоения математических знаний, умений и навыков имеются у детей.

Обучение  должно обеспечить овладение учащимися осознанными знаниями и на достаточно высоком уровне обобщения. При обучении математике должны закладываться зачатки материалистического мировоззрения учащихся. Школьник должен утвердиться в том, что математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира.[51, 33]  Поэтому очень важно правильно реализовать связь обучения математике с жизнью.

Обучение математике в начальных классах должно обеспечить надежную основу как в отношении знаний и умений учащихся, так и в отношении их развития, для дальнейшего изучения математики.

У нормально развивающихся детей речь развита, суждения разнообразны, логика и мышление на среднем и высоком уровне, конечно соответствуя возрасту. Трудности изучения математики имеются, но не в большом объеме, т. к. математика сложная и точная наука и дается она не всем легко.

Детям с выраженными нарушениями интеллекта свойственна полная неспособность к отвлечению от конкретной ситуации. Их суждения бедны и большая их часть без переработки заимствованы у окружающих. Логические процессы на очень низком уровне. Возможно обучение таких детей порядковому счету, механическое заучивание таблицы умножения, отвлеченный счет недоступен. Словарный запас мал, ограничен названиями отдельных предметов. Речь маловыразительна, фразы короткие, аграмматичные.

Дети с умственной ограниченностью:

 - не могут долго продолжать одну и ту же деятельность;

 - не обладают способностью понимать простейшие сообщения;

 - не могут усвоить социальные нормы поведения;

Отношение к учебе определяется способностью воспринимать, усваивать, а также воспроизводить полученные знания учеником.

Этому могут препятствовать:

 - отсутствие познавательного интереса;

 - стереотипность в усвоении знаний, мешающая восприятию нового материала;

 - затруднение в способности высказаться;

 - неспособность понимать задание и неправильное расчленение задания (понимание его частями);

 - непредсказуемая реакция на ощущения при обучении с использованием ручного труда;

 - отсутствие возможности обучения из-за быстрой утомляемости;

 - плохая память;

 - неспособность к коммуникативному поведению, вследствие ограниченности в высказываниях.

Трудности при обучении математике вызываются также несовершенством зрительного восприятия и моторики учащихся. Несовершенство моторики детей с нарушениями интеллекта создает значительные трудности в пересчете предметов: ученик называет один предмет, а берет или отодвигает сразу несколько предметов, то есть называние чисел опережает показ или, наоборот, показ опережает называние чисел.

Причина слабой дифференциации математических знаний кроется в том, что происходит отрыв математической терминологии от конкретных представлений, непонимание конкретной ситуации задачи, математических зависимостей и отношений между данными, а также между данными и искомыми. Отмечается "застревание" на принятом способе решения примеров, задач. Бедность словаря, непонимание значений слов и выражений создают значительные трудности в обучении математике.

Трудности в обучении математике детей с умственной отсталостью усугубляются слабостью регулирующей функции мышления.  Таким детям свойственна некритичность, слабость самоконтроля.[10, 45]

Для успешного обучения детей с выраженными нарушениями интеллекта учитель должен хорошо изучить состав учащихся, знать причины умственной отсталости каждого ученика, особенности его поведения, определить его потенциальные возможности, с тем, чтобы наметить пути включения его в работу.

' 1.3. Особенности формирования временных представлений у детей младшего школьного возраста  и детей с интеллектуальной недостаточностью.

Временные представления у первоклассников формируются как и у дошкольников, прежде всего в процессе их практической (учебной) деятельности: режим дня, ведение календаря природы, восприятие последовательности событий при чтении сказок, рассказов, при просмотре кинофильмов, ежедневная запись в тетрадях даты, работы- все это помогает ребенку увидеть изменения времени, почувствовать течение времени. Программа предусматривает в 1 классе знакомство детей с названиями дней недели и их последовательностью. В качестве наглядного пособия полезно иметь в классе отрывной календарь, работать с которым надо научить детей. Начиная с 1 класса необходимо приступить к сравнению знакомых, часто встречающихся в опыте детей временных промежутков. Например, что длится дольше: урок или перемена, учебная четверть или каникулы, что короче по времени: занятия ученика в школе или рабочий день родителей? Такие задания способствуют развитию чувства времени. Далее дети приступают к сравнению возраста людей и овладевают важными понятиями: старше - моложе - одинаковые по возрасту.

В виду потребностей полезно ознакомить детей как по часам определить время.

Знакомство с единицами времени  способствует уточнению временных представлений у детей. Необходимо формировать конкретные представления о каждой единице времени, добиваться усвоения их соотношений, научить пользоваться календарем и часами. Такие единицы времени, как месяц и год, сутки, час и минута, изучаются во 2 классе, а век и секунда - в 3 классе.

Программа по математике предусматривает наряду с рассмотренными величинами знакомство с емкостью и ее измерением с помощью литра, а также знакомство со стоимостью и скоростью. Изучение этих величин ведется по такой же методике и непосредственно связывается с обучением решению задач.[25, 303]

Эти особенности характерны для детей младшего школьного возраста с нормальным развитием. У детей с умственной отсталостью отмечается нарушение в работе всех анализаторов.

Интеллектуальное недоразвитие приводит к нарушению познавательной деятельности. Полноценная познавательная деятельность лежит в основе овладения ребенком социальным опытом, без которого он не сможет стать полноценным членом общества.

Диффузный характер отсталости приводит к нарушению личности ребенка в целом. Признаки недоразвития обнаруживаются в особенностях речи: такие дети не понимают значения многих слов, особенно тех, которые  выражают качества, свойства и отношения предметов, то есть сенсорных эталонов. [40, 155]

Для детей с нарушениями интеллекта характерен ограниченный словарный запас, их речь маловыразительна, часто аграмматична.

Внимание детей с интеллектуальной недостаточностью плохо фиксируется, легко рассеивается. Все новое усваивают очень медленно и только после многократного повторения, больше всего страдает смысловая память, недостаточно и логически опосредованное запоминание. Однако хорошо развита механическая память.

В деятельности детей с нарушениями интеллекта отсутствует план, они несамостоятельны, с трудом переключаются на новые виды деятельности, могут длительный срок заниматься одним и тем же делом.

Нарушение интеллекта обуславливает особенности восприятий и ощущений умственно отсталых детей.

Ощущение и восприятие- первая ступень познания окружающего мира. Замедленная, ограниченная восприимчивость, характерная для умственно отсталых детей, оказывает огромное влияние на весь последующий ход их психического развития.

Особенности восприятий и ощущений умственно отсталых детей детально изучены многими психологами.

Эксперименты доказывают, что темп восприятий у умственно отсталых детей замедлен.

Замедленность темпа восприятий сочетается со значительным сужением объема воспринимаемого материала (умственно отсталые дети замечают значительно меньше предметов, попадающих в их поле зрения, чем их нормально развивающиеся сверстники).

Следующей особенностью ощущений и восприятий умственно отсталых детей является их выраженная недифференцированность. Умственно отсталые дети плохо различают сходные предметы при их узнавании.

Наиболее выраженная особенность восприятий детей с нарушением интеллекта - инактивность. Глядя на какой-нибудь предмет у умственно отсталых детей не возникает желания рассмотреть его в деталях, разобраться в свойствах. Об инактивном характере восприятия свидетельствует и неумение умственно отсталых всматриваться, искать и находить какие-либо объекты, избирательно рассматривать какую-либо часть окружающего мира, отвлекаясь от ненужных в данный момент ярких и привлекательных сторон воспринимаемого.

Таким образом, не удивительно, что эти дети плохо ориентируются в окружающей обстановке. Не менее важную роль в ориентировке играет и восприятие времени умственно отсталыми детьми.

Вопросы изучения особенностей формирования временных представлений и понятий у детей с нарушениями интеллекта были освещены в работах М. Г. Аббасова, С. Г. Ералиевой, В. В. Эк и другими. [49, 160]

Формирование временных представлений и ориентировки во времени у умственно отсталых детей проходит с еще большими трудностями и гораздо медленнее, чем у нормально развивающихся детей. Такой вывод был сделан И. И. Финкельштейном (1961год), изучившим представления и понятия о времени у умственно отсталых детей. Свое исследование И.И. Финкельштейн проводил по трем направлениям:

1. представления и понятия о времени, не связанные со счетом (бытовое время)
2. представления и понятия о времени, связанные со счетом (математическое время)
3. представления и понятия о времени, как об историческом отрезке (историческое время)

Исследование показало, что нормально развивающиеся первоклассники лучше ориентируются во времени, чем умственно отсталые ученики первого класса коррекции.

Понятие временной длительности образуется значительно позже, чем представление о последовательности. У умственно отсталых детей понятие длительности складывается лишь в 5-6 классах, то есть старших классах коррекции.

Умственно отсталые школьники, поступившие в 1 класс коррекции, не знают дней недели, почти не владеют элементарной временной терминологией. Они не могут представить того, что время течет не останавливаясь, и его течение необратимо. Некоторые ученики считают, что ночью часы останавливаются, так как все спят.

Ученики заучивают названия времен года, однако применить свои знания не могут.

У умственно отсталых детей нет реальных представлений о единицах измерения времени, их конкретной наполняемости.

Дети с нарушениями интеллекта имеют очень нечеткие представления о длительности отдельных видов деятельности, даже тех, которые связаны с их повседневной жизнью.

У умственно отсталых школьников единичные соотношения мер времени также усваиваются с трудом. Например, они считают, что час меньше минуты, в часе 100 минут. Это затрудняет процесс усвоения математических знаний (например, при решении арифметических задач с именованными  числами).

Отмечаются затруднения в формировании представлений отдаленности и последовательности событий. Им трудно представить отрезки времени, удаленные на сотни, тысячи, десятки лет.

Исследования, что даже ученики 5-6 классов коррекции вспомогательной школы нередко не имеют точных правильных временных представлений, не знают соотношения между ними, то есть, не обладают навыками, необходимыми для нормальной жизнедеятельности человека. Вместе с тем, формирование временных понятий и ориентировки во времени может внести большой вклад  в коррекцию личности и всей познавательной деятельности умственно отсталых детей. Уровень сформированности временных представлений оказывает влияние и на  овладение грамматическими знаниями, в частности, грамматической категорией времени учащимися вспомогательной школы. Процесс формирования этой грамматической категории связан с определенными жизненными представлениями и практическими занятиями детей о течении времени, об отнесенности действия к моменту речи о нем. Практическая деятельность помогает детям с нарушением интеллекта осмысливать временные ситуации в словесно-образном плане.

Временные понятия трудны для усвоения, так как очень специфичны. Их специфичность объясняется:

1)Невозможностью восприятия времени органами чувств: время в отличие от других величин (длины, веса, площади и т.д.) нельзя видеть, осязать, мускульно ощущать.

2)косвенным измерением времени, то есть измерением через те измерения, которые происходят за определенный промежуток времени: расстоянием (пешеход прошел 5 километров за один час), количеством движений(2 хлопка - одна секунда) и т. д.

3)отличными от закономерностей соотношениями десятичной системы исчисления(1час-60минут, 1минута-60секунд и т.д.)

4)обилием временной терминологии (потом, раньше, сейчас, после, до, медленно, скоро) и относительностью ее употребления (то, что вчера было завтра, завтра будет вчера).

Таким образом, специфика временных понятий и нарушение психического развития детей с нарушением интеллекта затрудняют возможность самостоятельного, спонтанного познания и развития временных представлений. В связи с этим особое значение приобретает специально организованный процесс обучения.

Перед началом обучения проводится обследование развития представлений о времени. Обследуя умение ориентироваться во времени, выделяются следующие моменты:

1.Знают ли дети времена года (показывают ли эти времена года по картинкам - называют или только показывают, умеют ли словесно описать признаки времен года, знают ли последовательность времен года).

2. Умеют ли определять и называть части суток, знают ли их последовательность (по картинкам двух видов-с изображением действий в разные части суток и природными явлениями (положение Солнца и Луны в разное время суток), отмечается, на каких картинках лучше определяют части суток и какую часть суток лучше знают).

3. Как называют дни недели, знают ли их последовательность.

Обследование позволяет выявить уровень развития временных представлений, дает возможность более точно определить основные направления фронтальной работы и индивидуальной работы.

Известно, что дети с нарушением интеллекта, которые воспитывались в специальных дошкольных учреждениях, знакомы с терминами, обозначающими временные интервалы- времена года, дни недели. Однако они не могут самостоятельно назвать последовательно все времена года и затрудняются с перечислением дней недели. Умственно отсталые дети называют времена года, опираясь на существенные признаки. Лучше  дифференцируют зиму и лето, представления о весне и осени нечеткие.

Представления о временах года связаны с выделением характерных признаков, наиболее значимым из которых является состояние растительности (зима-снег, деревья голые, лето - цветочки, осень - желтые листья). Также представления о временах года связываются с воспоминаниями ярких событий или определенной деятельности (лето - едем на дачу, осень - дети идут в школу).

Представления о временах года опираются на те признаки, которые имеют значение для жизни и деятельности детей с интеллектуальной недостаточностью. Представления о текущем времени года оказываются более адекватными и четкими, это свидетельствует о неустойчивости  имеющихся знаний и представлений о временах года.[50, 50]

Наиболее трудным оказывается определение последовательности.

Сведения о днях недели и о частях суток нечеткие и разрозненные. Как правило, дети знают названия лишь некоторых дней недели, различают только утро и ночь. Определяют время суток, связывая с каким-то видом деятельности, который постоянно повторяется в определенный отрезок суток (в школу идти утром). Ориентируются, в основном, на степень освещенности неба, не учитывая положения Солнца. Не привлекается так же, как правило, и деятельность людей.

При определении дней недели и времени суток умственно отсталые дети опираются на опыт своей повседневной деятельности. Однако, в связи с тем, что их представления беднее по содержанию, менее устойчивы, носят фрагментарный характер, перечисляют значительно меньше видов деятельности, чем нормально развивающиеся дети.

Особое значение для организации деятельности ребенка имеет его умение соотносить темп деятельности с заданными условиями. Такое умение обеспечивает возможность использовать продуктивно свое время на уроках. Умственно отсталые дети могут ориентироваться на заданное время и менять при этом темп своей деятельности. Изменение в темпе длительности под влиянием изменения условий имеются и у нормальных, и у умственно отсталых детей. В измененных условиях относительная скорость увеличивается у умственно отсталых детей несколько меньше, чем у нормально развивающихся детей.

Проявление несформированности ориентировки во времени у разных детей оказываются весьма различными. У одних выявляется слишком  большой интервал между получением задания и началом его выполнения. У других замедлен сам темп деятельности, третьи постоянно отвлекаются от основной задачи в ходе ее выполнения.[16, 56]

Планирование деятельности умственно отсталых детей характеризуется большими трудностями, в том числе, связанными с недостаточным учетом времени - его длительности, последовательности распределения деятельности во времени, темпа. Они не соотносят темп своей деятельности с заданным временем.

Используя принцип поэтапного формирования ориентировки во времени были разработаны методические приемы, позволяющие реализовать указанный принцип в работе с такими детьми. В методику формирующего эксперимента введено моделирование временного интервала (минуты) с помощью бумажных полосок – «минуток».

Исследования показали, что в результате специально организованного обучения у умственно отсталых школьников формируются некоторые временные представления и ориентировка во времени в процессе практической деятельности. Особую сложность в процессе обучения вызывает разная степень несформированности временных представлений и различные скорость и уровень их усвоения умственно отсталыми детьми.

В другом эксперименте педагог знакомил детей с днями недели. Экспериментальное обучение показало, что умственно отсталые дети, усваивая в процессе занятий отдельные знания, не усваивают именно те представления, которые наиболее тесно связаны с процессом мышления: они не овладевают обобщенным термином, не могут проследить изучаемую последовательность и взаимосвязь ее отдельных компонентов, у них не формируются связи и отношения, которые могут позволить ребенку правильно ориентироваться во времени и в соответствии с этим планировать свою деятельность.

В программе определены задачи и содержание работы каждого года по всем разделам. В разделе «Развитие элементарных математических представлений» одной из  основных тем является ориентировка во времени. В рамках этой темы на первом году обучения необходимо учить детей различать контрастные части суток: день, ночь и называть их, с наступлением зимы ознакомить детей с изменением в природе. Обращая их внимание на холод, снег, и называть: « зима».

Процесс обучения, в связи с особенностями познавательной деятельности умственно отсталых детей должен иметь коррекционную направленность.

Своеобразие процессу обучения придает включение  в его организацию целой системы средств: индивидуальный и дифференцированный подход, наглядность, обеспечивающая возможность развить у детей эмоциональную и сенсомоторную сферы, мышление, речь и другие психические процессы, активность и самостоятельность ребенка в процессе обучения как условие его психического развития, сниженный темп обучения, учитывающий особенности высшей нервной деятельности детей с проблемами в развитии, повторяемость в обучении, структурная простота содержания формируемых знаний, умений и навыков.[38,  49]

Основной формой обучения является урок. Но познавательная деятельность детей с нарушением интеллекта нарушена и развивается значительно медленнее, чем у детей с нормальным интеллектом. Поэтому обучение умственно отсталых детей имеет свою специфику.

Особенности детей с нарушением интеллекта с их быстрой утомляемостью, отвлекаемостью, затруднениями при необходимости применять умственные усилия требуют внесения игровых моментов, частой смены форм работы, перерывов для отдыха, и, кроме того, постепенного вовлечения их в учение с постоянным учетом индивидуальных особенностей каждого.

Для лучшего усвоения материала необходимо перед каждым разделом изучаемого материала проводить подготовительную работу. Поэтому количество уроков по каждой теме значительно увеличилось по сравнению с программой для детей с легкой степенью умственной отсталости. Ведется большая работа по закреплению и многократному повторению пройденного материала, так как детям с нарушением  интеллектуального развития свойственно быстрое забывание. Весь процесс формирования временных представлений у детей с нарушением интеллекта проводится с учетом следующих требований:

1.необходимо формировать временные представления на базе детских наблюдений, опыта, практики. Связывать каждый факт, явление, события со временем, в которое оно протекает.

2.Знакомить учащихся (до изучения единиц измерения времени и их соотношений) с помощью бесед, игр с отношениями времени, сутки больше, чем день или ночь, сутки меньше недели, год больше месяца, час больше минуты и т. д.

3. показывать продолжительность единиц времени, возможное конкретное их содержание с тем, чтобы ученик ощутил длительность этого промежутка времени в различных условиях, постиг путем опыта, что можно сделать за ту или иную единицу времени.

4. Формировать, как можно раньше, правильные представления о длительности событий, явлений, которые учащиеся постоянно наблюдают или в которых участвуют (например, режимных моментов, урока, перемены и т. д.). Учащиеся должны накапливать опыт в определении длительности промежутка времени, необходимого для выполнения той или иной работы, подмечать зависимость между количеством продукции и затраченным на ее изготовление временем, отчетливо выделять связи и  отношения между явлениями и событиями, давать им четкое словесное описание.

5.проводить работу по  формированию временных представлений и понятий на других учебных предметах (уроках музыки, русского языка, физкультуры, рисования) и во внеурочное время.

6.проводить работу по развитию временных представлений систематически независимо от темы урока, затрачивая по 5-10 минут урока.[19, 89]

В первом классе уточняются представления о частях суток (утро, день, вечер, ночь). Учитель знакомит детей с понятием «сутки». Учащиеся должны овладеть определенной группой слов, словосочетаний (рано, поздно, быстро, медленно).

К концу пропедевтического периода учащиеся должны  уметь чередовать понятия «вчера», «сегодня», «завтра». Эти понятия могут быть усвоены только при систематическом их употреблении. Необходимо регулярно спрашивать детей, что было накануне (вчера), что произойдет  в дальнейшем (завтра), какие дела нужно выполнить сегодня.

Начинается работа по формированию понятия недели. Опыт показывает, что учащиеся постепенно запоминают названия дней недели и их последовательность, если ежедневно спрашивать их, какой сегодня день недели, какой день недели был вчера.

Ко второму классу учащиеся должны иметь большой запас наблюдений смены дней в течение недели. Закреплению последовательности дней недели способствует проведение дидактических игр.

Наряду с календарным понятием недели (неделя начинается в понедельник и заканчивается в воскресенье) следует дать учащимся и житейское понятие недели (если от данного дня пройдет семь дней, то пройдет неделя, от четверга до четверга прошла неделя).

Во втором классе учащиеся вспомогательной школы получают понятие о единице измерения времени-часе, знакомятся с прибором для измерения времени - часами.

Учащиеся знакомятся с часами, узнают об их назначении, о том, зачем людям нужно знать и уметь измерять время.

На циферблате учащиеся рассматривают стрелки: часовую и минутную. Обращают внимание на движение стрелок.

Сначала дети учатся размещать числа на циферблате, затем изображают стрелки.

В последующие дни проводится работа по наблюдению за конкретной наполняемостью часа.

Таким образом, дети должны научиться различать стрелки, называть их, должны знать, на какое число указывает минутная стрелка при определении целого часа, узнавать не только целый час, тот, который в данный момент наступил, но и по положению часовой стрелки определять, который час был и который будет.

В третьем классе дети учатся определять время с точностью до 5 минут.

Представления о временах года начинают формироваться с первого класса с наиболее типичного, ярко выраженного времени года, затем- с противоположным  временем года, имеющим ярко выраженные признаки, потом с тем временем года, из оставшихся, которое имеет яркие признаки, в конце- наименее выраженное время года.

С понятием «год» учащиеся знакомятся в третьем классе (в годе 12 месяцев).

Одним из пособий, которое помогает сформировать понятие года, месяцев, дней недели является календарь.

При знакомстве с календарем показывают различные виды календарей, уточняют их назначение.

Весь процесс формирования временных представлений у детей с нарушением интеллекта проводится по следующим этапам:

1. по подражанию действиям взрослого
2. по образцу действия взрослого
3. по словесной инструкции взрослого [9, 138]

Выводы:

Таким образом, одной из самых сложных областей знаний, умений и навыков, включенных в содержание общественного опыта, являются математическими, так как они достаточно отвлеченны и оперирование ими требует выполнения сложных умственных действий. Нормально развивающимся детям овладение математическими знаниями и умениями дается, в общем- то легко, тогда как у детей с отклонениями  в умственном развитии имеются нарушения познавательной деятельности, которые затрудняют овладение ими математических знаний и умений, в частности, восприятия и ориентировку во времени.

В принципе, овладение элементарными временными детьми младшего школьного возраста с нарушениями в интеллектуальном  развитии, оказывается вполне возможным.

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У ДЕТЕЙ МЛАДШЕГО ШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА И У ДЕТЕЙ С НАРУШЕНИЯМИ ИНТЕЛЛЕКТА.

' 2.1. Изучение временных представлений в начальной школе.

Практически в каждом классе есть дети, которые пришли в школу, не обладая элементарными математическими знаниями. Они с первых же уроков оказываются в тяжелом положении: на детей обрушивается лавина незнакомых фактов, понятий, представлений, что ученик не в силах их осмыслить и запомнить. К этому добавляется сознание того, что другим детям все дается легко. Ребенок начинает чувствовать себя неуютно, у него пропадает интерес к математике и вообще к школе. Поэтому, по крайней мере, для двух категорий учащихся первые уроки приносят разочарование.

Нужно построить изучение темы так, чтобы все ученики были вовлечены в активную и интересную для них учебную деятельность.

Предлагается методика изучения тем, независимо от того, умеет ребенок считать или нет, и выводы, которые делаются детьми на основе самостоятельных практических действий и наблюдений.

Изучение темы «Меры времени» в начальной школе начинаются с первого класса. Элементарные временные представления дети уже знают, умеют применять их на практике. Внимание этой теме уделяется на всех уроках, включая внеклассные занятия, экскурсии, наблюдения.

Строится последовательность заданий, где ученики должны прийти к новому знанию в результате самостоятельной практической и интеллектуальной деятельности- сравнения, анализа, обобщения. Понятие времени формируется в сознании, проходя последовательно ряд ступеней. Каждая ступень- это рассмотрение изучаемого понятия в новом аспекте. Все аспекты образуют в сознании ребенка множественность связей, что и является основой сознательного усвоения понятия.[45, 166]

Определяя методику, учитель должен учитывать, что понятие времени весьма отвлеченное.[27, 252]

На других уроках также происходит изучение временных представлений. Например: на уроке чтения или развития речи идут беседы о временах года, названии месяцев, на основе рассказов, сказок разных писателей. На уроке естествознания и природоведения изучение проходит в процессе наблюдений за временами года, ведется табель- календарь природы, по которому дети запоминают названия месяцев и их последовательность, число дней в месяце и неделе. Определение времени по часам так же можно включить в эти уроки. На уроках рисования могут зафиксировать сезонные явления, нарисовать часы и определить по ним время. На уроках труда также можно изготовить модель часов, по которым дети учатся определять время. На уроках музыки можно включить элементы формирования временных представлений у детей. Спеть песню, где говорится о каких- либо единицах времени, или рассказать в стихах.

В процессе такой работы у детей четко формируется представление о времени. Дети знают, что в году 365 дней, а 100 лет- это век, сколько секунд в минуте, а минут в часу, сколько месяцев в году, их последовательность и сколько дней в неделе и их названия. Все эти представления времени даются детям с 1 по 4 класс на различных уроках.

Изучение временных представлений в школе, конечно же дается и в школьной учебной литературе.

В учебниках математики тема “Меры времени” дана в полном объеме и по предусмотренной школьной программе.

Существуют также разные формы и системы обучения математике в школе.

Традиционная система обучению математике (формирование временных представлений)

2 класс (1- 3) М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова.

Тема «Время и его измерение» идет после темы  «Доли».

Изучение начинается с таких временных промежутков, как год, месяц, неделя. Для закрепления даются упражнения, задания. Далее, изучаются сутки, час, минута. На каждую тему отведено по 1 уроку. Но в зависимости от усвоения детьми учебным материалом, учитель может сократить или увеличить количество уроков по данной теме. Закрепление также проходит с опорой на действительность и личный опыт ребенка.

3 класс (1- 3, 1- 4)  М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова, С. И. Волкова, С. В. Степанова.

Тема «Единицы времени» изучается в большой теме «Величины». Повторяется ранее изученные единицы времени и дети знакомятся с такими понятиями как секунда и век. Предлагаются для закрепления задания, как для самостоятельной работы, так и для всего класса.  Дается таблица единиц времени для запоминания.

Выводы:

Процесс формирования временных представлений, их изучение в начальной школе происходит в достаточно трудной степени для детей, т. к. тема сложная, требует много усилий, труда, запоминания и т. д. Но, тем не менее, все дети и нормально развивающиеся и с недостатками интеллекта осваивают эту тему.

' 2.2. Методика формирования временных представлений в начальной школе.

Как уже говорилось в предыдущих главах, методика работы по формированию временных представлений у детей требует разработки. Необходимо проанализировать трудности, возникающие при усвоении временных представлений у детей нормально развивающихся и детей с интеллектуальной недостаточностью, определить пути повышения эффективности работы на данном этапе. В начальной школе изучение временных представлений начинается с первого класса. Дети уже имеют элементарные представления о времени. Многие знают, что неделя состоит из 7 дней. Оперируют осознанно такими словами, как «один день», «два дня» и т. п. Но надо иметь в виду, это слово «день», дети понимают по- разному: один день- одни сутки и день как светлая часть суток в отличие от вечера, ночи, утра.[3, 252] И, начиная с 1- го класса, сразу необходимо приступить к сравнению знакомых, часто встречающихся в опыте детей временных промежутков. Знакомство с единицами времени способствует уточнению временных представлений у детей. Знание количественных единиц измерения помогает сравнивать и оценивать по продолжительности промежутки времени, выраженные в тех или иных единицах времени. Такие единицы времени, как месяц и год, сутки, час и минута изучаются во 2 классе, а век и секунда - в 3 классе. Необходимо формировать у детей конкретные представления о каждой единице времени.

Чтобы подготовить детей к восприятию единиц времени, необходимо во 2 классе продолжить систематическую работу с календарем, начатую в 1 классе. Подводя итоги и обобщая наблюдения, полезно обращать внимание детей на последовательность месяцев и количество дней в каждом месяце. При записи даты в тетрадях следует также почаще задавать вопросы на выяснение последовательности месяцев. Например: сегодня 1 октября, а предыдущий месяц как назывался? Какой следующий месяц после октября? и т. п. Знакомя детей с месяцем и годом, учитель использует табель- календарь. По нему дети изучают и запоминают названия месяцев и количество дней в каждом месяце. Сразу же выделяют одинаковые по продолжительности месяцы, отмечают самый короткий месяц в году - февраль (28 или 29 дней). По календарю учащие определяют порядковый номер месяца, устанавливают день недели, определяют на какие числа месяца приходятся определенные дни недели (например, в какой день недели будет праздник 9 мая в этом году).

С помощью календаря учащиеся решают задачи на нахождение продолжительности событий. Например, сколько дней длятся весенние каникулы, а сколько месяцев длятся летние каникулы? Учитель называет начало и конец каникул, а учащиеся подсчитывают число дней и месяцев по календарю.

Понятие о сутках раскрывается через близкие детям понятия о частях суток - утро, день, вечер, ночь. Кроме того, опираются на представление временной последовательности: вчера, сегодня, завтра. Учитель предлагает перечислить, чем они были заняты от вчерашнего утра до сегодняшнего утра, что будут делать с вечера до завтрашнего вечера. Такие промежутки времени,- сообщает учитель,- называют сутками. Дети устанавливают, сколько суток проходит со вчерашнего вечера до завтрашнего вечера и т. п. Объясняют пословицу: «День и ночь - сутки прочь». Далее можно провести аналогичную работу по календарю.

Следующими рассматриваются час и минута. Конкретные представления о соответствующих промежутках времени также формируются через практическую деятельность детей, через наблюдения. Так, час- это продолжительность одного урока и перемены. Чтобы ощутить время продолжительностью в 1 минуту, включают упражнения, с помощью которых дети узнают, что можно успеть сделать за  1 минуту. Например: сколько можно решить примеров, или какое расстояние можно пройти за 1 минуту. Уместно объяснить смысл пословицы: «Минута час бережет». На первом же уроке по знакомству с часом и минутой сообщаются отношения между  мерами времени: в 1 сутках 24 часа, в 1 часе 60 минут. Для закрепления включаются упражнения.

Важным моментом на данном этапе является знакомство с часами. Чтобы дети научились устанавливать время по часам, заблаговременно полезно изготовить на уроках труда циферблат с подвижными стрелками и, используя эту модель часов, выполнять практические задания. Учитель поясняет, как определить время, показывает на модели часов. С помощью модели часов решаются задачи на определение продолжительности события. Усвоению отношений между единицами времени помогает таблица мер, которую следует повесить в классе на некоторое время, а также систематические упражнения в преобразовании именованных чисел, выраженных в мерах времени.

В 3 классе таблица единиц времени пополняется - учащиеся знакомятся с веком и секундой. Конкретное представление о продолжительности секунды дети получают на основе наблюдения (устанавливают, что можно сделать за 1 секунду).

Век - самая крупная из рассматриваемых единиц времени. Некоторое представление о продолжительности отрезка времени в 100 лет дети могут получить, сравнивая свой возраст, возраст близких людей. Знания о системе единиц времени расширяются.

Дети узнают, что основными единицами измерения являются сутки - время, в течение которого Земля делает полный оборот вокруг Солнца. Из этих основных единиц образованы все остальные.

В 3 классе рассматривают простейшие случаи сложения и вычитания составных именованных чисел, выраженных в единицах времени. Преобразование чисел при этом выполняют попутно. Чтобы предупредить ошибки в вычислениях рекомендуется чаще давать вычисления в сопоставлении.

Так же, как и во 2 классе для развития временных представлений используется решение задач.

В связи с изучением данной темы в 3 классе полезно провести внеклассное занятие, на котором поставить задачу - расширить знания детей о времени и его измерении, пробудить интерес к этому материалу.[25, 307]

Дети с нарушениями интеллекта во многом отличаются от нормально развивающихся детей.

В классах коррекции вспомогательной школы проводится также работа по изучению временных представлений у таких детей. Изучение временных представлений у детей с интеллектуальной недостаточностью начинается с 1 класса. Дети уже имеют некоторые представления о времени, но сказать, пояснить и применить эти знания не могут.

Целью формирования является работа, направленная на повышение эффективности изучения временных представлений в классе.

Конкретные сведения о временных представлениях как день, ночь, вечер, утро, времена года, дни недели и месяц получают не только на уроке математики, но и  на уроках развития речи и ознакомления с окружающим миром и др.[7, 23] Обучение проводится на всех уроках. Уделяется большое внимание формированию представлений о временах года, проводились практические занятия, экскурсии с целью наблюдения за сезонными изменениями в природе, в жизни людей. Полученные знания закреплялись на уроках рисования, ручного труда, музыки.

Овладение данными знаниями помогает детям с выраженными нарушениями интеллекта понять смысл  изменений, происходящих в природе и в жизни людей, связанных с понятием времени и предотвратить трудности, возникающие у них при  определении того или иного времени года по тем или иным временным параметрам.

У детей с выраженными нарушениями интеллекта формируется представление о  названиях месяцев года, умения и навыки определения их последовательности, а также последовательности времен года.

Также проходит изучение понятий сутки, час, минута. Но все это дается детям с большими трудностями. Усвоение материала происходит только лишь в процессе практической деятельности, с использованием различных форм наглядностей: картинки с изображениями дня, ночи, вечера, утра; картинки с разными временами года, модель часов с движущимися стрелками и др. Закрепление проходит в форме дидактических игр, на уроках развития речи, рисования, музыки. В результате этого дети убеждаются и запоминают, как много разных явлений, событий, связанных с временами года и вообще со временем. Дети с умственной отсталостью, так же как и нормально развивающиеся дети, закрепляют материал на уроках математики разными видами упражнений. Например: что можно сделать за одну минуту, за один час и т. д. Учитель поясняет, что такое сутки, сколько суток в неделе. У таких детей в процессе изучения временных представлений возникают трудности. Для них нужно проводить больше занятий, которые формируют представления о времени. Материал повторяется по нескольку раз на протяжении двух- трех уроков, чтобы закрепить знания в памяти. А память у детей с недостатками интеллекта, как известно, слабая, ее нужно чаще подпитывать.

Пример дидактической игры.

ДИДАКТИЧЕСКАЯ  ИГРА « ЛОВИ – НАЗОВИ».

ЦЕЛЬ. Закрепление названий и порядка следования времен года, месяцев и дней недели.

ОБОРУДОВАНИЕ. Мяч.

ХОД. Учитель бросает мяч ученику и говорит: «Зима, а за нею?» Ученик должен вернуть мяч со словом « весна». Учитель, произнося: «Весна, а за нею?», бросает мяч другому школьнику, таким же образом повторяются месяцы и дни недели.

ДИДАКТИЧЕСКАЯ ИГРА « ЭСТАФЕТА».

ЦЕЛЬ. Закрепление знаний о временах года, совершенствование умения строить простое предложение.

ОБОРУДОВАНИЕ. Палочка – эстафета.

ХОД. Учитель называет какое-либо время года и отдает палочку одному из учеников. Получивший палочку должен назвать какой-либо признак этого

времени года и передать эстафету любому товарищу. Тот указывает другой признак этого же времени года.  Правильное название признака и оформление предложения оценивается фишкой.

В конце игры подсчитывается количество фишек и объявляется победитель.

 Выводы:

В начальной школе методика формирования временных представлений у младших школьников и у детей с умственной отсталостью ведется строго в той последовательности, которая предусмотрена школьной программой. Те трудности, которые возникают в процессе обучения, учитель должен стараться искоренять еще на начальном этапе изучения темы. Уделять больше внимания, проводить индивидуальные занятия с теми учениками, которые затрудняются в конкретных понятиях или вообще в усвоении материала.

ГЛАВА 3. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗВИТИЯ ВРЕМЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У ДЕТЕЙ МЛАДШЕГО ШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА И ДЕТЕЙ С НАРУШЕНИЯМИ ИНТЕЛЛЕКТА.

' 3.1.Цель, задачи, методика и организация исследования.

Целью констатирующего эксперимента является определение трудностей, которые появляются у детей с нарушениями интеллекта и у нормально развивающихся детей при усвоении временных представлений.

Задачи исследования:

1) дать анализ опыта работы в начальных классах при работе по формированию временных представлений

2) выявить трудности, возникающие у детей с нарушениями интеллекта при усвоении временных представлений.

Констатирующий эксперимент проводился в школе коррекции в классах для детей с нарушениями интеллекта и в общеобразовательной школе, начиная с 1 по 4 класс включительно. Посещали уроки окружающего мира, математики, развития речи и практической игры.

Констатирующий эксперимент охватил все начальные классы школы коррекции: 1класс - 6 человек, 2 класс - 6 человек (один из них на надомном обучении), 3 класс - 6 человек, 4 класс- 6 человек; все начальные классы общеобразовательной школы: 1 класс- 19 человек, 2 класс- 18 человек, 3 класс- 25 человек, 4 класс- 25 человек

Анализ методики работы по формированию временных представлений проводился путем просмотра системы уроков по окружающему миру, математике, развитию речи, практической игре  во всех классах.

Выявление трудностей у детей при усвоении временных представлений  проводилось путем наблюдения за деятельностью учеников на уроках  и анализа готовой продукции их деятельности (рисунки, аппликации, самостоятельные работы), тестовые работы, математические задачи, викторины, задачки- шутки, ребусы, кроссворды, математические диктанты.

Те трудности, которые явились типичными при усвоении временных представлений у детей с нарушениями интеллекта и у нормально развивающихся детей вынесены в таблицу.

Наблюдение за деятельностью учащихся и учителя проводилось в течение 2 месяцев в каждом классе.

   ' 3.2. Уровень сформированности временных представлений, выявленный в ходе исследования у детей младшего школьного возраста с нарушениями интеллекта.

Исследование показало, что работа по формированию временных представлений  ведется методически грамотно; а именно работа по формированию представлений о временах года, пространственных представлений, единицах измерения времени. Нельзя не отметить и то, что начальные классы являются ко всему прочему еще и диагностическими. А если недостатки познавательных процессов напрямую связаны с наличием у ребенка неадекватных реакций на окружающий мир? Большое внимание в классах для детей с выраженными нарушениями интеллекта  уделяется индивидуальным занятиям по формированию временных представлений, так как индивидуально-психологические особенности детей в данных классах настолько разнообразны, что провести фронтальное занятие практически возможно лишь по определенным, единичным темам в общеобразовательной школе, в начальных классах также ведется индивидуальная работа. В процессе работы по формированию временных представлений  использовался разнообразный наглядный материал, нужно сказать, что практически все занятия проводились на наглядно-практической основе. Работе придавался живой, эмоциональный характер: рассказ учителя всегда был настолько ограничен во времени, что дети не успевали устать от одного вида деятельности, причем, во время рассказа учитель сопровождал свой рассказ предметными действиями.

В первом классе для детей с нарушениями интеллекта  работа по формированию  временных представлений начинается с введения элементарных понятий: вводится понятие о зиме, как о времени года, имеющем яркие признаки (холодно, снег, лед, мороз).

Во вторых классах работа по формированию временных представлений продолжается, и прибавляются наблюдения за сезонными изменениями в природе, формируется понятие об остальных временах года - осень: похолодание, изменение окраски листьев, весна: потепление, сосульки, таяние снега, распускание почек. Во втором классе начинаем вести календарь природы.

В первом и втором классах формирование временных представлений  строится на основе наблюдений за сезонными изменениями в природе, экскурсий, труда взрослых в связи с сезонными изменениями в природе. Это более успешный и оптимальный путь для достижения положительных результатов в работе.

В третьем классе расширяются представления во времени. Ведется календарь природы, проводятся экскурсии, ведется дальнейшая работа по изучению единиц времени.

В четвертом классе уточняются временные представления детей, полученные в предыдущих классах, дети должны знать названия месяцев года, их знакомят с единицей времени, как секунда и век.

Нужно отметить, что во всех посещенных классах есть необходимое количество наглядных пособий для занятий.

Методическая система работы по формированию временных представлений в данных классах оказала  влияние не только на развитие элементарных математических представлений, но и развитие элементов их познавательной деятельности. Учителя строили занятия с детьми на наглядно-практической основе с использованием всех трех групп методов: словесных, наглядных и практических. Все этапы работы проводились последовательно и взаимосвязанно с опорой на индивидуальные особенности каждого ребенка. Формирование временных представлений  проводилось в игровой форме на фронтальных и индивидуальных занятиях с опорой на различные системы анализаторов (зрительный, слуховой, речедвигательный и т.д.). кроме названных наглядных пособий учителя использовали фланелеграф, наборное полотно, геометрический материал, магнитную доску, модель часов, табель- календарь, предметы, окружающие детей в классе и в природе, а также в других уголках класса- словом, все то, что так или иначе целесообразно было применить при формировании временных представлений.

Итог. Прилагаются результаты, выявленные в ходе эксперимента.

Таблица № 1. Ошибки, допущенные детьми в ходе констатирующего эксперимента (дети с нарушениями интеллекта).

Таблица № 2. Ошибки, допущенные детьми после проведения формирующего эксперимента (дети с нарушениями интеллекта).

Таблица № 3. Ошибки, допущенные детьми в ходе констатирующего эксперимента (нормально развивающиеся дети).

Таблица № 4. Ошибки, допущенные детьми после проведения формирующего эксперимента (нормально развивающиеся дети).

Проанализируем результаты эксперимента.

В период исследования отмечались ошибки, допущенные детьми при формировании временных представлений. В общей сложности было проведено 20 уроков за период эксперимента, различных по тематике и содержанию, включая индивидуальные занятия (нужно учесть, что в течение 2 месяцев некоторые уроки и занятия проводились непосредственно учителем, поэтому количество уроков эксперимента осталось мало). Данные по формирующему эксперименту приведены в таблице. Анализ результатов исследования основан на сравнении трудностей, возникающих в период эксперимента, и допущенных ошибок детьми с нарушениями интеллекта и нормально развивающихся детей.

Таким образом, рассматривая полученные результаты, необходимо отметить, что количество допущенных ошибок в экспериментальной группе при проведении формирующего эксперимента уменьшилось  по сравнению с теми результатами, что были получены у экспериментальной группы до формирующего эксперимента.

Это говорит о том, что предложенная методика работы  по формированию временных представлений  повышает усваиваемость  знаний, предупреждая и устраняя трудности, которые возникают у детей в период формирования понятий о времени.

Количество ошибок, допущенных в ходе формирующего эксперимента,   уменьшилось.

На наш взгляд, данная в работе методика поможет предупредить появление этих ошибок и уменьшить количество уже появившихся в знаниях учащихся.

Методические рекомендации по формированию временных представлений в классах для детей с умственной отсталостью:

  1) обязательно  каждые 5-10 минут урока уделять формированию временных представлений с опорой на наглядный материал;

  2) осуществлять принцип индивидуального и дифференцированного подхода при  формировании временных представлений путем учета индивидуальных особенностей каждого ученика;

  3) в работе по формированию временных представлений опираться на личный опыт детей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной дипломной работе мы рассмотрели особенности методики  работы по формированию временных представлений у детей младшего школьного возраста и у детей с нарушениями интеллекта.

Проведенный констатирующий эксперимент в начальных классах позволяет сказать, что при существующей методике формирования представлений о времени дети испытывают значительные трудности, овладевая данным навыком, и в результате появляется большое количество ошибок при усвоении данных знаний, что заставляет задуматься о повышении эффективности данной методики.

Методика по формированию временных представлений у детей с нарушениями интеллекта является на данный момент не полностью разработанной, в отличие от методики для нормально развивающихся детей.

Не все дети успешно усваивают данный материал, что и является причиной возникающих трудностей при овладении временными представлениями. Именно предупреждение данных трудностей у детей является сейчас актуальной проблемой в педагогике начального образования и коррекционной педагогике.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Атаханов Р. А. "К диагностике развития математического мышления учащихся вспомогательной школы"// Вопросы психологии, 1992 год, №1, 2, стр.60.

2. Бантова М. А., Бельтюкова Г. В.,. Полевщикова А. М «Методика преподавания математики в начальных классах», Москва, 1976 г.

3. Бантова Н. А., Бельтюкова Г. В. "Методика преподавания математики в начальных классах", Москва, 1984 год.

4. Брадис В.М."Методика преподавания математики в средней школе", Москва, 1954 г.

5. Власова Т.А., Лебединская К.С. "Отбор детей во вспомогательную школу", Москва, 1983 год.

6. "Вопросы обучения и воспитания умственно отсталых школьников",   Ленинград, 1969 год, под ред. Долгобородова Н.П.

7. Воронина М. В. Представления о мерах времени у учащихся вспомогательной школы // Дефектология, 1996г., № 3

8. "Воспитание и обучение аномальных дошкольников", Москва, 1993 год.

9. Гаврилушкина О. П., Соколова Н. Д. Воспитание и обучение умственно отсталых дошкольников, М., 1980г.

10. "Дифференцированный подход к учащимся младших классов вспомогательной школы в процессе обучения", Москва, 1984 год.

11. Еленьска Л. "Методика арифметики и геометрии в первые годы обучения", перевод с польского

12. "Коррекционная работа в процессе обучения и воспитания", под ред.  Данилкина, Ленинград, 1974 г.

13. "Коррекционная работа в специальной школе и дошкольных учреждениях", Ленинград, 1985 год

14. "Коррекционная работа в специальных школах и дошкольных учреждениях", Ленинград, 1985 г.

15. "Коррекционная работа во вспомогательной школе", 1978 год.

16. Леушина Л. М. Формирование элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста, 1974г.

17. Лысенкова С. Н. «Когда легко учиться», Москва, 1985 г.

18. Маллер А.Р.,. Цикото Г. В. Обучение, воспитание и трудовая подготовка детей с глубоким нарушением интеллекта, М.,1988г.

19. Математическая подготовка детей  в дошкольных учреждениях, состав. В. В. Данилова, 1987г.

20. Метлина Л. С. Математика в детском саду, 1984г.

21. "Методика начального обучения математике", под ред. Л.Н.Скаткина, Москва, 1972 год.

22. "Методика преподавания математики", под ред. Е.С.Ляпина, Ленинград- Москва, 1952 год.

23. "Методические указания к работе по математике в 1 классе", Москва, 1969 год, под ред. Моро, Бантова.

24. Минскин "От игры к знаниям", Москва, 1982 год.

25. Моро М. И,. Пышкало А. М «Методика обучения математике в 1- 3 классах», Москва, 1978 г.

26. Моро М.И., Пышкало А.М. "Методика обучения математике в 1-3 классах", Москва. 1975 год.

27. Обучаем по системе Л. В. Занкова: 1- й год обучения: кн. для учителя /И. И. Аргинская, Н. Я. Дмитриева, А. В. Полякова, З. И. Романовская, Москва, 1991 г.

28. "Обучение учащихся 1-4 классов вспомогательной школы", под ред. В.Г.Петровой, Москва, 1982 год.

29. "Особенности умственного развития учащихся вспомогательной школы", под ред. Ж. И. Шиф, Москва, 1965 год.

30. Обучение учащихся первых- пятых классов вспомогательной школы . под ред.В. Г. Петровой,М.,1982г.

31. Павлов И. П. Избранные произведения. М., 1951.

32. Перова М.Н "Дидактические игры и упражнения по арифметике",  Москва, 1972 год.

33. Перова М.Н. "Методика преподавания математики в начальной школе", Москва, 1950 год.

34. Принципы отбора детей во вспомогательные школы, под ред. Г. М. Дульнева и А. Р. Лурия, 1973г.

35. Программа обучения глубоко умственно отсталых детей, М.,1984г

36. Пчелко А.С. "Методика преподавания арифметики в начальной школе", Москва, 1953 год.

37. "Психолого-педагогические особенности коррекционной работы во вспомогательной школе и дошкольных учреждениях", Ленинград, 1986 год.

38. Развитие, воспитание и обучение дошкольников с нарушением интеллекта: Хрестоматия/ состав. Л. Б. Баряева, А. П. Зарин, Е. Л. Ложко, СПб, 1996г.

39. Романенко О.В. "Изучение особенностей операционной стороны мышления учащихся вспомогательной школы" // Дефектология, №5/6, 1989 г., стр.8.

40. Рубинштейн С. Я. Психология умственно отсталого школьника, М.,1979г.

41. «Специальная школа», под ред. Левина А., Ласкевич Н.

42. «С чего начинается время?» М. Каминкова //1 сентября, прил. нач. школа № 36, 2000 г.

43. Салгина Н. Г., Сохина В.Т. "Обучение математике в начальной школе", под ред. П.Я.Гальперина, Москва, 1975 год

44. Труднеев В. П. «Внеклассная работа по математике в начальной школе», Москва, 1975 г.

45. Уткина Н. Г. «Изучение трудных тем по математике в 1- 3 классах», Москва, 1982 г.

46. Уткина Н. Г. «Материалы к урокам математики в 1- 3 классах», Москва, 1984 г.

47. Уткина Н. Г. «Материалы к урокам математики. 3 класс», Москва, 1980 г.

48. Чейти Д. "Готовность к школе", Москва, 1992 год.

49. Эк В. В. "Обучение математике учащихся младших классов вспомогательной школы", Москва, 1990 год.

50. Эк В. В., Гордеева. Умение учащихся вспомогательной школы пользоваться часами // Дефектология, 1986г.,№ 1.

51. Энгельс Ф. Анти- Дюринг М., 1970.

52. Эрдниев П.М. "Преподавание математики в школе", Москва, 1978 год.

53. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. "Теория и методика обучения математике в начальной школе", Москва, 1977 год.