Билет № 1

1. Свойства равнобедренного треугольника, теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.

2. Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружности (вывод формулы). Установление этой зависимости для квадрата, правильного треугольника, шестиугольника.

3. Одна из сторон треугольника равна 8, а два из его углов равны соответственно 30° и 45°. Найдите все возможные значения периметра треугольника.

4. Дан треугольник со сторонами 5, 12, 13. Точка О лежит на большей стороне треугольника и является центром окружности, касающейся двух других сторон. Найдите радиус окружности.

Билет № 2

1. Признаки равенства треугольника (доказательство всех признаков).

2. Деление отрезка на n равных частей (с обоснованием).

3. В треугольнике ABC углы А и В равны 38° и 86° соответственно. Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки касания сторон с вписанной в ABC окружностью.

4.В треугольник со сторонами 20, 34, 42 вписан прямоугольник с периметром 40 так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найдите стороны прямоугольника.

Билет № 3

1. Пропорциональные отрезки в круге.

2. Вывод формулы для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника.

3. Определить вид треугольника ABC, найти его площадь, радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности, если А(3;5), В(1;3),С(4;4).

4.Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12, а проекция второго катета на гипотенузу равна . Найдите площадь круга, вписанного в этот треугольник.

Билет № 4

1. Параллельные прямые (определение). Признаки параллельности двух прямых и доказательство всех.

2. Нахождение гипотенузы, катета и острого угла прямоугольного треугольника по данным его второго катета и острому углу.

3. В окружность вписан одиннадцатиугольник, одна из сторон которого равна радиусу окружности, а остальные десять сторон равны между собой. Найдите углы одиннадцатиугольника.

4. Равнобедренный Δ ABC с основанием ВС вписан в окружность с центром О. Площадь треугольника ABC равна , ∠А=45°. Прямая, проходящая через точку О и середину АС, пересекает сторону ВА  в точке М.  Найдите площадь Δ ВМС.

Билет № 5

1. Теорема об углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей.

2. Вывод формулы площади треугольника:

3.Точка F лежит на стороне АВ правильного восьмиугольника ABCDMNPQ так, что AF =, FB =. Найдите расстояние от точки F до прямых, содержащих стороны восьмиугольника.

4. Около окружности радиуса 3 описана равнобедренная трапеция. Площадь четырёхугольника, вершинами которого являются точки касания окружности и трапеции, равна 12. Найдите площадь трапеции.

Билет № 6

1. Внешний угол треугольника (определение). Теорема о внешнем угле треугольника. Сумма внешних углов n-угольника.

2. Нахождение значений синуса, косинуса и тангенса угла в 45°.

3. Вычислить длину биссектрисы ∠ А  ΔАВС с длинами сторон  а = 18см, b = 15см, с =12см.

4. В Δ ABC со сторонами АВ = 10, ВС = 7, АС = 15 вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне АС,  одна на стороне АВ и одна на стороне ВС. Через середину D стороны АС и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой ВН треугольника ABC в точке М. Найдите площадь Δ DMC.

Билет № 7

1. Геометрическое место точек. Теорема о геометрическом месте точек, равноудаленных от двух данных точек, в геометрической и аналитической формах.

2. Круг (определение). Формула для вычисления площади круга (без вывода). Вывод формулы площади кругового сектора.

3.Найдите длину отрезка, параллельного основаниям трапеции (их длины a и b) и делящего трапецию на две равновеликие части.

4. Площадь Δ ABC равна 120, точка D лежит на отрезке ВС так, что BD : CD = 1:2, биссектриса ВК пересекает прямую AD в точке L. Найдите площадь четырёхугольника KLDC, если АК : КС = 3:1.

Билет № 8

1. Треугольник (определение). Теорема о сумме углов треугольника, прямая Эйлера (без доказательства).

2. Выражение расстояния между двумя точками через координаты этих точек

3. В круговой сектор с углом 60° помещен круг, касающийся дуги сектора и обоих радиусов. Найдите отношение площади сектора и площади круга.

4. В Δ ABC точка К лежит на стороне ВС так, что В К : КС = 1:2, биссектриса СМ пересекается с прямой АК в точке L, при этом AM : MB = 1:4. Найдите площадь Δ ABC, если площадь четырёхугольника MBKL равна 52.

Билет № 9

1. Признаки равенства прямоугольных треугольников (доказательства всех признаков).

2. Окружность (определение). Формула для вычисления длины окружности (без вывода). Вывод формулы длины дуги окружности.

3. В  Δ ABC точки А1, В1 и C1 делят стороны ВС, АС и АВ соответственно в

отношениях ВА1 : А1С = 3 : 7;  АВ1 : В1С = 1 : 3;  АС1 : С1В = 1. Найдите отношение площадей треугольников ABC и А1В1С1.

4. Трапеция вписана в окружность, диаметр которой является основанием трапеции и равен  . Найдите второе основание трапеции, если одна из боковых её сторон равна 3.

Билет № 10

1. Признаки параллелограмма с доказательством.

2. Построение треугольника по трем сторонам.

3. Высота ромба, проведенная из вершины его тупого угла, делит сторону ромба в отношении 1 : 2, считая от вершины его острого угла. Какую часть площади ромба составляет площадь вписанного в него круга?

4. Треугольник ABC, в котором ∠А = 45°, АВ = АС, вписан в окружность радиуса 4, а хорда этой окружности, проходящая через вершину В и центр вписанной в этот треугольник окружности, пересекает сторону АС в точке М. Найдите площадь Δ AM В.

Билет № 11

1. Параллелограмм (определение). Свойства параллелограмма с доказательством (не менее четырех свойств).

2. Построение биссектрисы угла. Свойства биссектрисы угла треугольника.

3. В равностороннем треугольнике проведены две медианы. Найдите величину острого угла, образовавшегося при их пересечении.

4.Треугольник ABC, в котором ∠А = 30°, 2 ВС = ВА, вписан в окружность радиуса 6, а хорда этой окружности, проходящая через вершину В и центр вписанной в этот треугольник окружности, пересекает сторону АС в точке М. Найдите площадь Δ ВСМ.

Билет № 12

1. Прямоугольник (определение). Свойства прямоугольника (не менее двух). Признаки прямоугольника.

2. Нахождение катета и острых углов прямоугольного треугольника по данным гипотенузе и другому катету.

3. Найдите расстояние от центра окружности радиуса 9 см до точки пересечения двух взаимно перпендикулярных хорд длиной 16 см и 14 см соответственно.

4.  Прямая, проходящая через вершину А квадрата ABCD, пересекает сторону CD в точке М и продолжение стороны ВС в точке N. Найдите длину стороны квадрата, если AM = 7, MN = 5.

Билет № 13

1. Ромб (определение). Свойства ромба. Признаки ромба.

2. Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной прямой.

3. В Δ ABC из вершины С проведены биссектрисы внутреннего и внешнего

углов. Первая биссектриса образует со стороной АВ угол, равный 40°. Какой угол образует с продолжением стороны АВ вторая биссектриса?

4. Прямая, проходящая через вершину А квадрата ABCD, пересекает сторону CD в точке М и продолжение стороны ВС в точке N. Найдите длину стороны квадрата, если AM = 5, MN = 3.

Билет №14

1. Углы между пересекающимися хордами. Угол между двумя секущими. Угол между касательной и хордой. Угол между двумя касательными.

2. Вписанный четырехугольник.

3. Построить треугольник по стороне с, медиане к стороне а та , и медиане к стороне b тb.

4. Две окружности с радиусами 5 и 3 касаются в точке О. Их общая касательная, проходящая через точку О, пересекает внешние касательные этих окружностей в точках А и В соответственно. Найдите АВ.

Билет № 15

1. Средняя линия треугольника и трапеции (определение). Теоремы о средней линии треугольника и трапеции.

2. Построение окружности, вписанной в треугольник и описанной около него

3. Пусть AD - медиана Δ ABC. На стороне AD взята точка К так, что АК : KD

= 3:1. Прямая ВК разбивает Δ ABC на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.

4. В параллелограмме ABCD углы  В и D — острые. Известно, что ВК — биссектриса ∠ В, СМ — биссектриса ∠ С, а точки К и М лежат на отрезке AD, при этом ВСКМ — трапеция (с боковыми сторонами ВМ и СК). Найдите, как площадь ВСКМ относится к площади ABCD, если ВС = 10, АВ = 3.

Билет № 16

1. Признаки подобия треугольников (доказательства).

2. Построение касательной к окружности (два случая).

3. ABCD - квадрат со стороной а.  Вершины  С , А и  В являются серединами отрезков ВМ, ND и DF соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около Δ NFM.

4. Основания трапеции равны 9 и 13, а боковые стороны равны 4 и 3, биссектрисы углов при боковой стороне пересекаются в точке М, а при другой боковой стороне — в точке N. Найдите MN.

Билет № 17

1. Вывод формулы площади треугольника . Формула Герона (вывод).

2. Выражение координат середины отрезка через координаты его концов .

3. Разделить данный отрезок АВ в данном отношении m : n, то есть найти точку М∈ АВ , такую, что AM : MB = m : n .

4. Равнобедренный треугольник вписан в окружность, радиус которой равен боковой стороне треугольника и равен 5. Найдите площадь треугольника.

Билет № 18

1. Вывод формулы площади параллелограмма

2. Вывод формул площадей треугольника

3. Постройте отрезок , где а и с - длины данных отрезков.

4. На сторонах АВ, ВС и АС Δ ABC взяты точки К, L и М соответственно так, что   . Найдите площадь Δ KLM, если площадь Δ ABC равна 321.

Билет № 19

1. Трапеция (определение). Вывод формулы площади трапеции. Теорема о четырех точках трапеции (доказательство).

2. Уравнение окружности (вывод). Взаимное расположение прямой и окружности в координатах.

3. Найдите острые углы Δ ABC, если ∠ С = 90°, АС =, ВК = 1, где СК -

высота треугольника.

4. В прямоугольном Δ ABC на катетах АВ и ВС как на диаметрах построены окружности. Точка  К принадлежит обеим окружностям и гипотенузе АС. Найдите расстояние от точки К до центра описанной около Δ ABC кружности, если АВ = 8 и ВС = 6.

Билет № 20

1. Теорема Пифагора (прямая и обратная).

2. Правильный многоугольник (определение). Построение правильного

четырехугольника, пятиугольника, шестиугольника.

3. Найдите площадь треугольника с вершинами А (1; 4), В (-3; -1), С (2;-2).

4.Окружность радиуса 2 внешне касается окружности меньшего радиуса.  К этим окружностям проведена общая касательная, расстояние между точками касания равно 3. Найдите радиус меньшей окружности.

Билет № 21

1. Теорема синусов.

2. Построение прямой, параллельной данной.

3. Найдите площадь квадрата, вписанного в ромб, со стороной 6 см и углом 30° (сторона квадрата параллельна диагонали ромба);

4. Прямые, содержащие боковые стороны трапеции,  пересекаются в точке О. Найдите периметр Δ AOD, если боковые стороны трапеции равны 6 и 8, основания — 8 и 16, при этом AD — большее основание.

Билет № 22

1. Теорема косинусов.

2. Деление отрезка пополам (два способа).

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной дугами трех попарно касающихся окружностей радиусов 1, 1 и .

4. В трапеции большее основание равно 8, одна из боковых сторон равна 6. Известно, что одна из диагоналей перпендикулярна заданной боковой  стороне, а другая делит угол между этой боковой стороной и большим основанием пополам. Найдите площадь трапеции.

Билет № 23

1. Теорема Птолемея.        

2. Вертикальные углы (определение). Свойства вертикальных углов. Смежные углы.

3. Докажите, что биссектриса AA1 треугольника ABC вычисляется по формуле  .

4. На стороне АС  Δ ABC взята точка Е такая, что ЕС = АВ. Пусть К — середина ВС, М — середина АЕ. Найдите градусную меру ∠ ВАС, если ∠KME = 20°.

Билет № 24

1. Биссектриса угла треугольника. Свойство биссектрисы угла треугольника. Формула для вычисления угла биссектрисы треугольника  (доказательство).

2. Описанный четырехугольник.

3. Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника, а также продолжений его обоих катетов, имеет радиус q. Найдите периметр треугольника.

4. В параллелограмме ABCD углы В и D - острые. Известно, что ВК — биссектриса  ∠ В, СМ — биссектриса ∠ С, а точки К и М лежат на отрезке AD, при этом ВСКМ — трапеция (с боковыми сторонами ВМ и СК). Найдите, как площадь ВСКМ относится к площади ABCD, если ВС = 10, АВ = 3.

Уравнение прямой.

ax + by + c = 0  —  общее уравнение прямой в прямоугольной системе координат. 

№1. Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки А(1;-1) и В(-3;2).

Решение:

ax + by + c = 0  —  общее уравнение прямой.

Так как точки А(1;-1) и В(-3;2) лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют данному уравнению:

a·1 + b·(-1) + c = 0     ⇒ a - b + c = 0  

a·(-3) + b·2 + c = 0         -3a + 2b + c = 0  

выразим  из  этих  уравнений коэффициенты а и b

через с:      a - b + c = 0       ⏐·3        

                -3a + 2b + c = 0

⇒  +    3a - 3b +3 c = 0      

            -3a + 2b + c = 0

                  - b + 4 c = 0  ⇒     b = 4 c  

Теперь подставим b = 4 c  в уравнение  a - b + c = 0

                            a – 4с + c = 0

                                  a - 3 c = 0  

                                          a = 3 c

Подставим полученные коэффициенты a = 3 c и b = 4 c   в общее уравнение прямой  ax + by + c = 0  :

                                            3c х +4с у + с = 0

Так как с ≠ 0, то обе части этого уравнения можно разделить на с :   3 х +4 у + 1 = 0 – это и будет уравнение прямой, проходящей через две точки А(1;-1) и В(-3;2).

Ответ:     АВ:  3 х +4 у + 1 = 0

Оси координат имеют уравнения:

                                 ось абсцисс     Ох:   у = 0

                                 ось  ординат    Оу:  х = 0

№2. Найдите  координаты  точек  пересечения   прямой

       3х - 4у + 12 = 0 с осями координат.

Решение:

1) с осью абсцисс

в уравнение 3х - 4у + 12 = 0 вместо у подставляем 0, так как ось абсцисс     Ох:   у = 0

3х - 4∙0 + 12 = 0

3х  + 12 = 0

          3х = -12

          х = -12:3

          х = -4

(-4;0) – точка пересечения с осью абсцисс.

2) с осью ординат

в уравнение 3х - 4у + 12 = 0 вместо х подставляем 0, так как ось абсцисс     Оу:   х = 0

3∙0 - 4∙у + 12 = 0

 -4∙у + 12 = 0

         -4∙у = - 12

            у = -12:(-4)

           у = 3

(0;3) – точка пересечения с осью ординат.

Ответ: (-4;0) – точка пересечения прямой 3х - 4у+12= 0 с осью абсцисс, а (0;3) – точка пересечения

с осью ординат.           

Уравнение окружности.

   (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2 –

   общее уравнение окружности,

    где  (x0 ; y0) – координаты

                        центра       окружности,

                        r – радиус окружности.

№ 1. Написать уравнение окружности с центром в точке О( 4 ; 7 ) и радиусом равным 8 см.

Решение:

(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2

(x – 4)2 + (y – 7)2 = 82

(x – 4)2 + (y – 7)2 = 64

Ответ: (x – 4)2 + (y – 7)2 = 64

№ 2. Написать уравнение окружности с центром в точке О( -3 ; 1 ) и радиусом равным √3 см.

Решение:

(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2

(x – (-3))2 + (y – 1)2 = (√3)2

(x + 3)2 + (y – 1)2 = 3

Ответ: (x + 3)2 + (y – 1)2 = 3

№3. Написать уравнение окружности с центром в точке О( 15 ; 0 ) и радиусом равным 4 см.

Решение:

(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2

(x – 15)2 + (y – 0)2 = 42

(x – 15)2 + y 2 = 16

Ответ: (x – 15)2 + y 2 = 16

Приведем уравнение окружности с центром в начале координат:            x2 + y2 = r2

№ 4. Написать уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом равным 5 см.

Решение:

x2 + y2 = r2

x2 + y2 = 52

x2 + y2 = 25

Ответ: x2 + y2 = 25

№5. Какие из точек А(1;-2), В(-1;2) лежат на окружности (x + 3)2 + (y – 1)2 = 5

Решение:

Точка лежит на окружности, значит её координаты удовлетворяют       уравнению       окружности  

      (x + 3)2 + (y – 1)2 = 5

1) Подставим координаты точки А(1;-2) в уравнение окружности      (x + 3)2 + (y – 1)2 = 5

(1 + 3)2 + (-2 – 1)2 ≠ 5

 42 + (-3)2 ≠ 5

  16 + 9 ≠ 5

   25 ≠ 5      ⇒  Точка А(1;-2 ) не лежит на  окружности.

2) Подставим координаты точки В(-1;2) в уравнение окружности      (x + 3)2 + (y – 1)2 = 5

(-1 + 3)2 + (2 – 1)2 = 5

 22 + 12 = 5

  4 + 1 = 5

   5 = 5      ⇒  Точка В(-1;2) лежит на  окружности.

Ответ:  точка В(-1;2) лежит на  окружности.

Работа по теме: «Уравнение окружности».

Вариант А1.

№1. Напишите уравнение окружности с центром в точке О(9;4) и радиусом равным 4см.

№2. Напишите уравнение окружности с центром в точке В(0;-4) и радиусом равным √2 см.

№3. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом равным 1 см.

№4. Выясните, какие из точек М(1;0), К(-1;2) лежат на окружности (х + 1)2 + (у – 2)2 = 8.

Вариант А2.

№1. Напишите уравнение окружности с центром в точке О(5;3) и радиусом равным 5см.

№2. Напишите уравнение окружности с центром в точке В(-3;0) и радиусом равным √5 см.

№3. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом равным 2 см.

№4. Выясните, какие из точек Р(0;1), Н(1;1) лежат на окружности (х +2)2 + (у - 1)2 = 4.

Работа по теме: «Уравнение окружности».

Вариант В1.

№1. Напишите уравнение окружности с центром в точке К(3;- 5) и проходящей через точку С(-1;2). Выясните принадлежат ли точки В(1;1) и Е(-2;0) полученной окружности ?

№2. Покажите, что данное уравнение является уравнением окружности х2 + у2 – 2х + 4у – 20 = 0.

№3. Напишите уравнение окружности с диаметром АВ, если А(-1;2) и В(3;4).

Вариант В2.

№1. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(-5;3) и проходящей через точку К(1;-2). Выясните принадлежат ли точки М(-1;2) и Н(2;3) полученной окружности ?

№2. Покажите, что данное уравнение является уравнением окружности х2 + у2 – 4х – 2у + 1 = 0.

№3. Напишите уравнение окружности с диаметром АВ, если А(1;-2) и В(-3;4).

Билеты по геометрии для 9 класса

Углублённое изучение математики.

Билет № 1

1. Свойства равнобедренного треугольника, теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.

2. Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружности (вывод формулы). Установление этой зависимости для квадрата, правильного треугольника, шестиугольника.

3. Одна из сторон треугольника равна 8, а два из его углов равны соответственно 30° и 45°. Найдите все возможные значения периметра треугольника.

4. Дан треугольник со сторонами 5, 12, 13. Точка О лежит на большей стороне треугольника и является центром окружности, касающейся двух других сторон. Найдите радиус окружности.

Билет № 2

1. Признаки равенства треугольника (доказательство всех признаков).

2. Деление отрезка на n равных частей (с обоснованием).

3. В треугольнике ABC углы А и В равны 38° и 86° соответственно. Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки касания сторон с вписанной в ABC окружностью.

4.В треугольник со сторонами 20, 34, 42 вписан прямоугольник с периметром 40 так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найдите стороны прямоугольника.

Билет № 3

1. Пропорциональные отрезки в круге.

2. Вывод формулы для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника.

3. Определить вид треугольника ABC, найти его площадь, радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности, если А(3;5), В(1;3),С(4;4).

4.Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12, а проекция второго катета на гипотенузу равна . Найдите площадь круга, вписанного в этот треугольник.

Билет № 4

1. Параллельные прямые (определение). Признаки параллельности двух прямых и доказательство всех.

2. Нахождение гипотенузы, катета и острого угла прямоугольного треугольника по данным его второго катета и острому углу.

3. В окружность вписан одиннадцатиугольник, одна из сторон которого равна радиусу окружности, а остальные десять сторон равны между собой. Найдите углы одиннадцатиугольника.

4. Равнобедренный  ABC с основанием ВС вписан в окружность с центром О. Площадь треугольника ABC равна , А=45°. Прямая, проходящая через точку О и середину АС, пересекает сторону ВА  в точке М.  Найдите площадь  ВМС.

Билет № 5

1. Теорема об углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей.

2. Вывод формулы площади треугольника:

3.Точка F лежит на стороне АВ правильного восьмиугольника ABCDMNPQ так, что AF =, FB =. Найдите расстояние от точки F до прямых, содержащих стороны восьмиугольника.

4. Около окружности радиуса 3 описана равнобедренная трапеция. Площадь четырёхугольника, вершинами которого являются точки касания окружности и трапеции, равна 12. Найдите площадь трапеции.

Билет № 6

1. Внешний угол треугольника (определение). Теорема о внешнем угле треугольника. Сумма внешних углов n-угольника.

2. Нахождение значений синуса, косинуса и тангенса угла в 45°.

3. Вычислить длину биссектрисы  А  АВС с длинами сторон  а = 18см, b = 15см, с =12см.

4. В  ABC со сторонами АВ = 10, ВС = 7, АС = 15 вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне АС,  одна на стороне АВ и одна на стороне ВС. Через середину D стороны АС и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой ВН треугольника ABC в точке М. Найдите площадь  DMC.

Билет № 7

1. Геометрическое место точек. Теорема о геометрическом месте точек, равноудаленных от двух данных точек, в геометрической и аналитической формах.

2. Круг (определение). Формула для вычисления площади круга (без вывода). Вывод формулы площади кругового сектора.

3.Найдите длину отрезка, параллельного основаниям трапеции (их длины a и b) и делящего трапецию на две равновеликие части.

4. Площадь  ABC равна 120, точка D лежит на отрезке ВС так, что BD : CD = 1:2, биссектриса ВК пересекает прямую AD в точке L. Найдите площадь четырёхугольника KLDC, если АК : КС = 3:1.

Билет № 8

1. Треугольник (определение). Теорема о сумме углов треугольника, прямая Эйлера (без доказательства).

2. Выражение расстояния между двумя точками через координаты этих точек

3. В круговой сектор с углом 60° помещен круг, касающийся дуги сектора и обоих радиусов. Найдите отношение площади сектора и площади круга.

4. В  ABC точка К лежит на стороне ВС так, что В К : КС = 1:2, биссектриса СМ пересекается с прямой АК в точке L, при этом AM : MB = 1:4. Найдите площадь  ABC, если площадь четырёхугольника MBKL равна 52.

Билет № 9

1. Признаки равенства прямоугольных треугольников (доказательства всех признаков).

2. Окружность (определение). Формула для вычисления длины окружности (без вывода). Вывод формулы длины дуги окружности.

3. В   ABC точки А1, В1 и C1 делят стороны ВС, АС и АВ соответственно в

отношениях ВА1 : А1С = 3 : 7;  АВ1 : В1С = 1 : 3;  АС1 : С1В = 1. Найдите отношение площадей треугольников ABC и А1В1С1.

4. Трапеция вписана в окружность, диаметр которой является основанием трапеции и равен  . Найдите второе основание трапеции, если одна из боковых её сторон равна 3.

Билет № 10

1. Признаки параллелограмма с доказательством.

2. Построение треугольника по трем сторонам.

3. Высота ромба, проведенная из вершины его тупого угла, делит сторону ромба в отношении 1 : 2, считая от вершины его острого угла. Какую часть площади ромба составляет площадь вписанного в него круга?

4. Треугольник ABC, в котором А = 45°, АВ = АС, вписан в окружность радиуса 4, а хорда этой окружности, проходящая через вершину В и центр вписанной в этот треугольник окружности, пересекает сторону АС в точке М. Найдите площадь  AM В.

Билет № 11

1. Параллелограмм (определение). Свойства параллелограмма с доказательством (не менее четырех свойств).

2. Построение биссектрисы угла. Свойства биссектрисы угла треугольника.

3. В равностороннем треугольнике проведены две медианы. Найдите величину острого угла, образовавшегося при их пересечении.

4.Треугольник ABC, в котором А = 30°, 2 ВС = ВА, вписан в окружность радиуса 6, а хорда этой окружности, проходящая через вершину В и центр вписанной в этот треугольник окружности, пересекает сторону АС в точке М. Найдите площадь  ВСМ.

Билет № 12

1. Прямоугольник (определение). Свойства прямоугольника (не менее двух). Признаки прямоугольника.

2. Нахождение катета и острых углов прямоугольного треугольника по данным гипотенузе и другому катету.

3. Найдите расстояние от центра окружности радиуса 9 см до точки пересечения двух взаимно перпендикулярных хорд длиной 16 см и 14 см соответственно.

4.  Прямая, проходящая через вершину А квадрата ABCD, пересекает сторону CD в точке М и продолжение стороны ВС в точке N. Найдите длину стороны квадрата, если AM = 7, MN = 5.

Билет № 13

1. Ромб (определение). Свойства ромба. Признаки ромба.

2. Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной прямой.

3. В  ABC из вершины С проведены биссектрисы внутреннего и внешнего

углов. Первая биссектриса образует со стороной АВ угол, равный 40°. Какой угол образует с продолжением стороны АВ вторая биссектриса?

4. Прямая, проходящая через вершину А квадрата ABCD, пересекает сторону CD в точке М и продолжение стороны ВС в точке N. Найдите длину стороны квадрата, если AM = 5, MN = 3.

Билет №14

1. Углы между пересекающимися хордами. Угол между двумя секущими. Угол между касательной и хордой. Угол между двумя касательными.

2. Вписанный четырехугольник.

3. Построить треугольник по стороне с, медиане к стороне а та , и медиане к стороне b тb.

4. Две окружности с радиусами 5 и 3 касаются в точке О. Их общая касательная, проходящая через точку О, пересекает внешние касательные этих окружностей в точках А и В соответственно. Найдите АВ.

Билет № 15

1. Средняя линия треугольника и трапеции (определение). Теоремы о средней линии треугольника и трапеции.

2. Построение окружности, вписанной в треугольник и описанной около него

3. Пусть AD - медиана  ABC. На стороне AD взята точка К так, что АК : KD

= 3:1. Прямая ВК разбивает  ABC на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.

4. В параллелограмме ABCD углы  В и D — острые. Известно, что ВК — биссектриса  В, СМ — биссектриса  С, а точки К и М лежат на отрезке AD, при этом ВСКМ — трапеция (с боковыми сторонами ВМ и СК). Найдите, как площадь ВСКМ относится к площади ABCD, если ВС = 10, АВ = 3.

Билет № 16

1. Признаки подобия треугольников (доказательства).

2. Построение касательной к окружности (два случая).

3. ABCD - квадрат со стороной а.  Вершины  С , А и  В являются серединами отрезков ВМ, ND и DF соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около  NFM.

4. Основания трапеции равны 9 и 13, а боковые стороны равны 4 и 3, биссектрисы углов при боковой стороне пересекаются в точке М, а при другой боковой стороне — в точке N. Найдите MN.

Билет № 17

1. Вывод формулы площади треугольника . Формула Герона (вывод).

2. Выражение координат середины отрезка через координаты его концов .

3. Разделить данный отрезок АВ в данном отношении m : n, то есть найти точку М АВ , такую, что AM : MB = m : n .

4. Равнобедренный треугольник вписан в окружность, радиус которой равен боковой стороне треугольника и равен 5. Найдите площадь треугольника.

Билет № 18

1. Вывод формулы площади параллелограмма

2. Вывод формул площадей треугольника

3. Постройте отрезок , где а и с - длины данных отрезков.

4. На сторонах АВ, ВС и АС  ABC взяты точки К, L и М соответственно так, что   . Найдите площадь  KLM, если площадь  ABC равна 321.

Билет № 19

1. Трапеция (определение). Вывод формулы площади трапеции. Теорема о четырех точках трапеции (доказательство).

2. Уравнение окружности (вывод). Взаимное расположение прямой и окружности в координатах.

3. Найдите острые углы  ABC, если  С = 90°, АС =, ВК = 1, где СК -

высота треугольника.

4. В прямоугольном  ABC на катетах АВ и ВС как на диаметрах построены окружности. Точка  К принадлежит обеим окружностям и гипотенузе АС. Найдите расстояние от точки К до центра описанной около  ABC кружности, если АВ = 8 и ВС = 6.

Билет № 20

1. Теорема Пифагора (прямая и обратная).

2. Правильный многоугольник (определение). Построение правильного

четырехугольника, пятиугольника, шестиугольника.

3. Найдите площадь треугольника с вершинами А (1; 4), В (-3; -1), С (2;-2).

4.Окружность радиуса 2 внешне касается окружности меньшего радиуса.  К этим окружностям проведена общая касательная, расстояние между точками касания равно 3. Найдите радиус меньшей окружности.

Билет № 21

1. Теорема синусов.

2. Построение прямой, параллельной данной.

3. Найдите площадь квадрата, вписанного в ромб, со стороной 6 см и углом 30° (сторона квадрата параллельна диагонали ромба);

4. Прямые, содержащие боковые стороны трапеции,  пересекаются в точке О. Найдите периметр  AOD, если боковые стороны трапеции равны 6 и 8, основания — 8 и 16, при этом AD — большее основание.

Билет № 22

1. Теорема косинусов.

2. Деление отрезка пополам (два способа).

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной дугами трех попарно касающихся окружностей радиусов 1, 1 и .

4. В трапеции большее основание равно 8, одна из боковых сторон равна 6. Известно, что одна из диагоналей перпендикулярна заданной боковой  стороне, а другая делит угол между этой боковой стороной и большим основанием пополам. Найдите площадь трапеции.

Билет № 23

1. Теорема Птолемея.        

2. Вертикальные углы (определение). Свойства вертикальных углов. Смежные углы.

3. Докажите, что биссектриса AA1 треугольника ABC вычисляется по формуле  .

4. На стороне АС   ABC взята точка Е такая, что ЕС = АВ. Пусть К — середина ВС, М — середина АЕ. Найдите градусную меру  ВАС, если KME = 20°.

Билет № 24

1. Биссектриса угла треугольника. Свойство биссектрисы угла треугольника. Формула для вычисления угла биссектрисы треугольника  (доказательство).

2. Описанный четырехугольник.

3. Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника, а также продолжений его обоих катетов, имеет радиус q. Найдите периметр треугольника.

4. В параллелограмме ABCD углы В и D - острые. Известно, что ВК — биссектриса   В, СМ — биссектриса  С, а точки К и М лежат на отрезке AD, при этом ВСКМ — трапеция (с боковыми сторонами ВМ и СК). Найдите, как площадь ВСКМ относится к площади ABCD, если ВС = 10, АВ = 3.