11 класс
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
а) 1, 2, 3,…, n ,…. б) 1, -1/2, 1/3, -1/4,…, в) sin 1, sin 2, sin 3,…, sin n ,… Любое число в совокупности имеет номер в соответствии с тем местом , которое оно занимает и от него зависит . Пример: n=12 а) a 12 =12 б) b 12 =-1/12 в) c 12 =sin 12
ОПР. Совокупность чисел , каждое из которых имеет свой номер n є N и от него зависит, называется числовой последовательностью . X n ={X 1 ,X 2 ,…,X n } a n ={a 1 ,a 2 ,…,a n }
Понятие сходящейся последовательности Рассмотрим две числовые последовательности ( у n ) и ( х n ) и изобразим их члены точками на координатной прямой. ( у n ) : 1, 3, 5, 7, 9,…, 2 n – 1,…; ( х n ) : у 0 1 3 5 7 9 11 13 0 1 х Обратим внимание, что члены последовательности ( х n ) как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности ( у n ) такой точки нет. В подобных случаях говорят, что последовательность ( х n ) сходится, а последовательность ( у n ) расходится.
Понятие сходящейся последовательности ( у n ): 1, 3, 5, 7,…,(2 n -1),... Нет точки сгущения Последовательность расходится ( х n ): 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/ 6 ,…1/ n ,.. Точка сгущения – 0 Последовательность сходится Чтобы узнать является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности, введем следующее понятие.
Окрестность точки Определение 1. Пусть а – точка прямой, а r – положительное число. Интервал (а - r; a + r) называют окрестностью точки а , а число r – радиусом окрестности. Пример. (3,97; 4,03) – окрестность точки 4 , радиус равен 0,03. х a - r a+r a
Предел последовательности В математике «точку сгущения» для членов заданной последовательности принято называть «пределом последовательности». Определение 2. Число b называют пределом последовательности (у n ) , если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Обозначение: 1. ( у n стремится к b или у n сходится к b ) ; 2. (предел последовательности у n при стремлении n к бесконечности равен b )
Формулы 1) lim 1/ n = 0 n →∞ 2) lim q n = 0 , если 0 < | q | < 1 n →∞ Если q > 1, то lim q n не существует. n →∞ 3) lim С = С n →∞ 4) lim ( к / n m ) = 0 n →∞
Асимптоты графика Вообще равенство означает, что прямая у = а является горизонтальной асимптотой графика последовательности, т.е. графика функции у = b
Свойства ● Если последовательность сходится, то только к одному пределу. ● Если последовательность сходится , то она ограничена. Обратное−неверно:1,2,3,1,2,3,…− ограниченная последовательность, но она не сходится ●Теорема Вейерштрасса Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится .
Карл Теодор Вейерштрасс- выдающийся немецкий математик, отец «современного анализа» 1815-1897 г. Кратер на Луне
Свойства вычисления пределов Если lim х n = b и lim у n = c , то n→∞ n →∞ 1)Предел суммы равен сумме пределов: lim ( х n + у n ) = lim х n + lim у n = b + c n →∞ n→∞ n →∞ 2)Предел произведения равен произведению пределов: lim ( х n · у n ) = lim х n ∙ lim у n = b · c n →∞ n→∞ n →∞ 3)Предел частного равен частному пределов: lim ( х n : у n ) = lim х n : lim у n = b : c n →∞ n→∞ n →∞ 4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim ( k · х n ) = k · lim х n = k ∙ b n →∞ n→∞
Примеры вычисления пределов Пример 1. Вычислить Решение. Делим числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной x , т.е. на x 5 .
Примеры вычисления пределов Пример 2. Вычислить Решение. Делим числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной x т.е. на x 4 .
Примеры вычисления пределов Пример 3 . Вычислить Решение. Делим числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной x , т.е. на x 6 . ( не существует)
Правила вычисления пределов 1. Если старшая степень числителя и знаменателя совпадают, то предел такого вида всегда будет равен отношению коэффициентов при старших степенях переменной .
Правила вычисления пределов 2. Если степень знаменателя выше степени числителя, то предел такого вида равен нулю .
Правила вычисления пределов 3. Если же старшая степень числителя выше степени знаменателя, то, очевидно, все слагаемые знаменателя в пределе будут равны нулю, это означает, что предел не существует.
1. 2. 3. 4. Вычислите самостоятельно пределы функций на бесконечности:
Методика вычисления пределов в точке Если функция существует в точке x = a , то ее предел равен f ( a ). Пример 1. Вычислить Решение. Подставим вместо x число 3 (т.к. x 3 ) и применим правила вычисления пределов. Примеры вычисления пределов
Пример 2. Вычислить Решение. Пример 3. Вычислить Решение. Примеры вычисления пределов
Методика вычисления пределов в точке Если же функция в точке х = а не существует, в знаменателе дроби ноль, то вычисляем значение числителя в этой точке. 1. 2. 3.
Примеры вычисления пределов Пример 1 . Вычислить выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида Решение. Выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , раскладываем числитель и знаменатель на множители, используя известную школьную методику разложения квадратного трехчлена на линейные множители
Примеры вычисления пределов Пример 2 . Вычислить выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида Решение. Выяснили, что при х = 2 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , раскладываем числитель и знаменатель на множители, используя известную школьную методику разложения квадратного трехчлена на линейные множители
Примеры вычисления пределов Пример 3 . Вычислить Решение. Выяснили, что при х = 2 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , воспользуемся формулами сокращенного умножения , Активно используйте формулы сокращенного умножения
Следующие пределы вычислите самостоятельно 1. 2. 4. 6. 7. 8.