МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень

Профильный уровень

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих  в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом и 7 заданий повышенного и высокого уровней сложности с развёрнутым ответом.

На выполнение экзаменационной работы отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1 – 12 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби в бланке ответов № 1.

При выполнении заданий  13 – 19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, или капиллярной, или перьевой ручек.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

Вариант 1

Часть 1

1. Стоимость полугодовой подписки на журнал составляет 640 рублей, а стоимость одного номера журнала — 31 рубль. За полгода Аня купила 25 номеров журнала. На сколько рублей меньше она бы потратила, если бы подписалась на журнал?

2. На рисунке жирными точками показана цена золота, установленная Центробанком РФ во все рабочие дни в октябре 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена золота в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода цена золота была меньше 980 рублей за грамм.

3.    Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 4 и 9. 

4. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

5. Найдите корень уравнения                 

6.   В треугольнике ABC угол C равен 90°,  .             Найдите tgA.

7.  Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

8. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ.

Часть 2

9. Найдите значение выражения               .

10. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время  падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле , где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,5 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с? Ответ выразите в метрах.

11. Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 55 кругов по кольцевой трассе протяженностью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш  первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика (в км/ч), если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 20 минут?

12. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .

13. а) Решите  уравнение: 2sin2   x- =0

       б) найдите корни данного уравнения, принадлежащие отрезку .

14. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1   , точка М – середина ребра В1С1.

а) Докажите, что угол между прямыми С1А и СМ равен 600.

б) Найдите угол между прямой СМ и плоскостью АВВ1.

15. Решите неравенство:

16. В параллелограмме АВСD диагональ АС = 8, а диагональ     ВD = 4. На АС выбрана точку М таким образом, что вокруг четырехугольника ВСDМ можно описать окружность. Пусть N центр окружности, описанной вокруг треугольника АМD. 

А) Докажите, что ND и ВD перпендикулярны.

Б) Найдите длину ВN, если sinADM = 0,5.

17. Игорь является владельцем двух промышленных заводов, расположенных на противоположных берегах реки. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном на левом берегу, используется более современное оборудование. В результате если рабочие на правом берегу  суммарно трудятся t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара, а рабочие на левом берегу, если суммарно трудятся  t2 часов в неделю, выпускают 10t единиц продукции. На обоих заводах за каждый час работы Игорь платит рабочему 400 рублей. Какую наименьшую сумму придется тратить на оплату рабочим в неделю, чтобы производить 1160 единиц товара в неделю?

18. Найдите все значения а  и b, такие, что система  

 имеет не менее пяти решений.

19. За круглым столом сидели 110 человек, а на столе лежали абрикосы. Для каждой пары соседей число съеденных ими абрикосов отличается на 3.

a) Могли ли быть съедены  все абрикосы, если изначально их была 1000?

б) Какое наименьшее число абрикосов могло остаться, если изначально их была 1000?

в) Пусть один из присутствующих съел а абрикосов, а другой  - b Найдите наибольшее возможное значение а – b при условии, что изначально было 10 000 абрикосов.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень

Профильный уровень

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих  в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом и 7 заданий повышенного и высокого уровней сложности с развёрнутым ответом.

На выполнение экзаменационной работы отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1 – 12 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби в бланке ответов № 1.

При выполнении заданий  13 – 19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, или капиллярной, или перьевой ручек.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

Вариант 2

Часть 1

1. Среди 45000 жителей города 30% не интересуется футболом. Среди футбольных болельщиков 80%  смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч?

2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурой воздуха 15 июля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

3. Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). В ответе запишите .

4. Вероятность того, что на контрольной работе учащийся Миша верно решит больше 5 задач, равна 0,58. Вероятность того, что Миша верно решит больше 4 задач, ровна 0,63. Найдите вероятность того, что Миша верно решит ровно 5 задач.

5. Найдите корень уравнения 

6.   В треугольнике ABC   AC = BC , AB = 8, .      Найдите AC.

7.  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале  (-8;3). 

В какой точке отрезка [-7; -2]    f(x) принимает наименьшее значение?

8. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1200 см3 воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 24 см до отметки 26 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см3.

Часть 2

9. Найдите значение выражения .

10. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением , где р (атм.) — давление в газе, V — объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 243,2 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

11. Рабочий с учеником, работая вместе, могут выполнить задание за 3 дня. За сколько дней, работая отдельно, может это задание выполнить ученик, если он за три дня выполняет такую же часть работы, какую рабочий за 1 день?

12. Найдите наименьшее значение функции             

 на отрезке ]. 

13. а) Решите уравнение    

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

14.  В основании прямой призмы АВСА1В1С1  лежит треугольник АВС со сторонами АВ = ВС, АС = . На ребре ВВ1 выбрана точка К так, что ВК : В1К = 2 : 3. Угол между плоскостями АВС и АКС равен 450.

А) Докажите, что расстояние между прямыми АВ и А1С1 равно боковому ребру призмы.

Б) Найдите расстояние между прямыми АВ и А1С1, если КС = 8.

15. Решите неравенство 

16. Остроугольный треугольник АВС вписан в окружность с центром О. ВН – высота треугольника.

а) Докажите, что угол АВН равен углу ОВС.

б) Найдите высоту ВН, если АВ = 24, ВС = 27, ВН = ВО.

 17. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 2000 тысяч рублей  на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на одну и туже сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

- 15-го числа n-го месяца долг составит  400 тысяч рублей;

- к 15 числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 3248  тысяч рублей.  

18. Найдите все значения параметра  a, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

19. На доске написано 20 различных натуральных чисел, десятичная запись которых оканчивается на цифру 5 или на цифру 3. Сумма написанных чисел равна 2702.

 а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 5 и на 3?

 б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 5?

 в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?