Исследовательская работа по математике "История появления чисел"
творческая работа учащихся по математике (подготовительная группа) на тему

Муниципальное дошкольное образовательное учреждение «Детский сад «Ладушки» п.Пангоды Надымского района»

Исследовательская работа по математике

История появления чисел.

Фёдоров Александр

Столбухина Екатерина
воспитанники подготовительной к школе группы

Руководитель работы:
Фёдорова Наталья Николаевна
воспитатель

Пангоды - 2014

Содержание

Введение ………………………………………………………………………..3
Глава 1. История появления чисел
          1.1.  Непозиционные системы счисления……………………………...4
          1.2.  Позиционные системы счисления………………………………...6
Глава 2. История возникновения арабских чисел
         2.1. История арабских чисел ……………..……………………………...7
         2.2. Появление нуля в арабской системе………………………………..8
Заключение ………………………………………………………………………8
Список литературы……………………………………………………………….9
Приложение ……………………………………………………………………..10

Введение

Актуальность
      В настоящее время наше общество постоянно пользуется числами. Мы их используем, чтобы измерить время, купить и продать, позвонить, посмотреть телевизор, вести автомобиль. К тому же у каждого человека есть различные числа, идентифицирующие его: в удостоверении личности, в паспорте, банковском счёте, кредитной карточке и т.д. Кроме того, сегодня в компьютерном мире вся информация передаётся посредством числовых кодов.
      Мы постоянно встречаемся с числами и настолько с этим свыклись, что почти не отдаём себе отчёта, насколько важны они в нашей жизни. Числа составляют часть человеческого мышления.

       Обзор литературы по данной теме. В ходе работы над темой мы познакомились с литературой по теме, посетили городскую и школьную библиотеки, Internet.

       Проблема. Сколько тебе лет? Сколько у тебя друзей? Чтобы всё подсчитать, нужны числа. Мы регулярно используем числа для определения или указания количества и порядка при счёте. Числа служат для упорядочения и определения, счёта и измерения.
В данном исследовании мы рассматриваем историю появления чисел, а также преимущества арабской системы счисления. Мы задали себе вопрос: Какую историю прошла современная система счисления?

       Тема исследования: «История появления чисел»

       Объект исследования: натуральные числа.

       Предмет исследования: десятичная и недесятичные системы счисления.

       Цель исследования: Проследить историю возникновения и развития чисел, способы их написания в различных системах счисления.

        Гипотеза: Возможно, современная система счисления имеет древнюю историю. Попробуем предположить, что существовало несколько различных систем счисления у разных народов.

       Задачи:
1. Изучить историю развития натурального числа;
2. Описать особенности систем счисления у разных народов;
3. Показать, что арабская система имеет свою историю развития;
4. Рассмотреть использование древних систем счисления в современном мире.

       Методы исследования: изучение и анализ научной литературы, анкетирование по проблеме исследования.
      Практическая значимость. Материал исследования может быть использован учителями начальных классов и учителями математики во внеурочной работе и на уроках математики при изучении нумерации многозначных чисел и арифметических действий над ними.
      База исследования: специальная литература по теме.
      Этапы исследования: 
1) май – август: нахождение литературы по данной теме и её изучение;
2) сентябрь – ноябрь: отбор материала;
3) декабрь – март: текстовое оформление материала.

Глава I. История появления чисел
          1.1. Непозиционные системы счисления

       Древнеегипетская десятичная. Примерно  в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки — иероглифы (Приложение1). Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной и аддитивной. Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду.
       Римская пятеричная. Это, наверное, самая известная система, после «арабской», она возникла более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме (Приложение2). Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Например, XI = 11, XII = 12, XIII = 13, но следующее число уже особенное, так как такое число «XIIII» писать не удобно, римляне придумали сокращения, они стали писать так XIV = 14, т.е. 10+5-1 = 14. Т.е. если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание. Так же писали число 9 = IX. И кроме того нельзя было писать четыре одинаковые цифры подряд, например, «XXXX» = XL (50-10) = 40.
      Древнегреческая аттическая пятеричная. В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая система счисления, название происходит от области Греции – Аттики со столицей Афины (Приложение). В этой системе числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством вертикальных полосок: ,,,. Число 5 записывалось знаком  (древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте"). Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков. Число 10 обозначалось - заглавной "Дельта" от слова "дека" - "десять". Числа 100, 1 000 и 10 000 обозначались H, X, M. Числа 50, 500, 5 000 обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1 000.    
      Древнегреческая ионийская десятеричная алфавитная. Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая система счисления в Греции была вытеснена другой, так называемой "Ионийской" системой (она возникла в Милеете – греческая малоазиатская колония Ионии). В ней числа 1 - 9 обозначаются первыми буквами древнегреческого алфавита:

числа 10, 20, … 90 изображались следующими девятью буквами:

числа 100, 200, … 900 последними девятью буквами:

Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами, но только с добавлением особого значка '. Любая буква с этим значком сразу же становилась в тысячу раз больше.

Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами.

Славянская глаголическая десятеричная. Эта система была создана для обозначения чисел в священных книгах западных славян. Использовалась она нечасто, но достаточно долго. По организации она в точности повторяет греческую нумерацию. Использовалась она с VIII по XIII в.

Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим цифрам. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Такая запись числа аддитивная, то есть в ней используется только сложение (Приложение ).

Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, или точки.

 Славянская кириллическая десятеричная алфавитная. Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг для славян греческими монахами братьями Кириллом и Мефодием в IX веке (Приложение 3). Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию. 

Славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия, пока с реформами Петра I в Россию из Европы не пришла позиционная десятичная система счисления.

       Древнеиндийские системы счисления. Система счисления «кхарошти» имела хождение в Индии между VI веком до нашей эры и III веком нашей эры (Приложение ). Эта была непозиционная аддитивная система счисления. О ней мало что известно, так как сохранилось мало письменных документов той эпохи. Система кхарошти интересна тем, что в качестве промежуточного этапа между единицей и десятью выбирается число четыре. Числа записывались справа налево.

 Наряду с этой системой существовала в Индии еще одна система счисления «брахми» (Приложение). Числа брахми записывались слева направо. Однако в обеих системах было немало общего. Важным отличием цифр брахми, было то, что цифры от 4 до 90, были представлены только одним знаком. Эта особенность цифр брахми в дальнейшем была использована при создании в Индии позиционной десятичной системы.

В древней Индии так же была словесная система счисления. Она была мультипликативная, позиционная. Знак нуля произносился как «пустое», или «небо», или «дыра». Единица как «луна», или «земля». Двойка как «близнецы», или «глаза», или «ноздри», или «губы». Четыре как «океаны», «стороны света». Например, число 2441 произносилось так: глаза океанов стороны света луны.

  1.2. Позиционные системы счисления.

        Вавилонская десятеричная / шестидесятеричная. В древнем Вавилоне примерно во II тысячелетие до нашей эры была такая система счисления - числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков: для единицы, и для десятка. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз (Приложение ).

Шестидесятеричная запись целых чисел не получила широкого распространения за пределами Ассиро-вавилонского царства, но шестидесятеричные дроби применяются до сих пор при измерении времени. Например, одна минута = 60 секунд, один час = 60 минут.

 Древнекитайская десятеричная Эта система одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную «арабскую». Возникла эта система около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае. 

Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим (Приложение ). Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде. 

Эта мультипликативная запись, так как в ней используется умножение. Она десятичная, в ней есть знак нуля, кроме этого она позиционная. Т.е. она почти соответствует «арабской» системе счисления.

 Двадцатеричная система счисления индейцев Майя или долгий счет. Эта система очень интересна тем, что на ее развитие не повлияла ни одна из цивилизаций Европы и Азии. Эта система применялась для календаря и астрономических наблюдений. Характерной особенностью ее было наличие нуля (изображение ракушки). Основанием этой системы было число 20. Первые 19 чисел получались путем комбинирование точек (один) и черточек (пять) (Приложение ).

       Это довольно сложная система счисления, в основном использовалась жрецами для астрономических наблюдений, другая система индейцев Майя была аддитивной, похожей на египетскую и применялась в повседневной жизни.

        Изучив позиционные и непозиционные системы счисления, мы установили, что существовало большое количество разнообразных систем. У некоторых народов существовало несколько видов чисел. Это доказывает, что необходимость в удобной системе счисления была вызвана постоянным использованием чисел в повседневной жизни.

Глава 2. История арабских чисел.

           2.1. Основы арабской системы счисления и её история

       «Арабские» числа имеют запутанную историю. Известно, что благодаря древним астрономам и их точным расчетам мы и имеем наши числа.

В вавилонской системе счисления присутствует знак для обозначения пропущенных разрядов. Примерно во II веке до н.э. с астрономическими наблюдениями вавилонян познакомились греческие астрономы. Они использовали их позиционную систему счисления, но числа записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации, Для обозначения нулевого значения разряда греческие астрономы стали использовать символ "0" (первая буква греческого слова Ouden - ничто).

Между II и VI веками н.э. индийские астрономы познакомились с греческой астрономией. Они переняли шестидесятеричную систему и круглый греческий нуль. Индийцы соединили принципы греческой нумерации с десятичной системой, взятой из Китая. Так же они стали обозначать цифры одним знаком, как было принято в древнеиндийской нумерации брахми. Так была создана позиционная десятичная система счисления.

Блестящая работа индийских математиков была воспринята арабскими математиками и Аль-Хорезми в IX веке написал книгу "Индийское искусство счета", в которой описывает десятичную позиционную систему счисления. Простые и удобные правила сложения и вычитания сделали ее популярной в Европе.

В XII в. эту книгу перевели  с арабского языка, и индийская система счета широко распространилась по всей Европе. А так как труд Аль-Хорезми был написан на арабском языке, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название - "арабская". Но сами арабы именуют цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе - индийским счетом.

Форма «арабских» цифр со временем сильно изменялась. Та форма, в которой мы их пишем, установилась в XVI веке (Приложение).

Даже Пушкин предложил свой вариант формы арабских чисел. Он решил, что все десять арабских цифр, включая нуль, помещаются в магическом квадрате (Приложение).

       2.2. Использование систем счисления в современном мире.

        Наиболее распространёнными и популярными в современном мире являются арабские числа. Данная система счисления удобна и проста. Мы изучаем математику, пользуясь арабской системой счисления, которая возникла на основе индийской.

       Римскими цифрами пользовались очень долго, и сейчас это достаточно распространённая система счисления. Она используется для указания номера глав в книгах, века, чисел на циферблате, размеров одежды.

       Вавилонская шестидесятеричная запись целых чисел не получила широкого распространения за пределами своей страны, но шестидесятеричные дроби применяются до сих пор при измерении времени. Например, одна минута = 60 секунд, один час = 60 мин.

       Мы до сих пор пользуемся элементами непозиционных систем счисления в речи, например, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.

        Так как многие народы в древности не общались друг с другом, то у разных народов возникли разные системы счисления и представления чисел и цифр. Число - это обобщение, так как разными числами можно подсчитать разные предметы. Цифры – это значки, с помощью которых записывают числа. Система счисления или нумерация – это способ записи чисел с помощью цифр. Самой удобной и распространённой является арабская система счисления.

       Заключение. 

Мы изучили историю происхождения чисел и увидели, что существуют различные системы счисления. Мы в своей работе рассмотрели 10 систем счисления и убедились, что они проходили сложный путь развития. Элементы некоторых из них мы используем и сейчас.

        Арабская система счисления появилась благодаря индийским астрономам, которые использовали элементы других систем счисления, в том числе «греческий» нуль.

       В современном мире используются римская, вавилонская шестидесятеричная, арабская системы счисления, элементы пятеричной системы и элементы непозиционных систем.

Список литературы

1.    Всевозможные нумерации и системы счисления (http://www.megalink.ru/~agb/n/numerat.htm)

2. В.В.Волина, Праздник Числа. – АСТ-ПРЕСС, 1997. – 304 с.

3.    Г. И. Глейзер, История математики в школе, 1964, М.: 28-34с

4.    И. Я. Депман, История арифметики, 1965. М.: 45-48с

5.    А.Костинский, В.Губайловский, Триединый нуль (http://www.svoboda.org/programs/sc/2004/sc.011304.asp)

6.    Кузьмищев В. А. Тайна жрецов майя. 2-е изд. — М., «Молодая гвардия», 1975

7.  Что? Зачем? Почему? Большая книга вопросов и ответов / пер.К.Мишиной, А.Зыковой. – М.: Изд-во Эксмо, - 209-244с.,илл

Приложение

Древнеегипетская десятичная

Римская пятеричная

Предполагаемое происхождение римских цифр

Древнегреческая аттическая пятеричная

В этой системе числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством вертикальных полосок: ,,,. Число 5 записывалось знаком  (древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте"). Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков:

Число 10 обозначалось - заглавной "Дельта" от слова "дека" - "десять". Числа 100, 1 000 и 10 000 обозначались H, X, M. Числа 50, 500, 5 000 обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1 000, а именно:

Числа в пределах первого десятка тысяч записывались так:

Славянская глаголическая десятеричная

Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим цифрам. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Такая запись числа аддитивная, то есть в ней используется только сложение:

= 800+60+3 = 863

Славянская кириллическая десятеричная алфавитная

Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим. Числа от 11 до 19 записывались двумя цифрами, причем единица шла перед десятком:

Для обозначения чисел больших, чем 900 использовались специальные значки, которые дорисовывались к букве. Так образовывались числа:

Древнеиндийские системы счисления

Наряду с этой системой существовала в Индии еще одна система счисления брахми.

Вавилонская десятеричная / шестидесятеричная

Числа брахми записывались слева направо.

Эти знаки повторялись нужное число раз, например

- 3; - 20; - 32;  - 59

Числа больше 60 записывались по разрядам, с небольшими пробелами между ними:

Так записывается число 302, то есть 5*60+2.

А это 1*60*60+2*60+5 = 3725.

Но представление не которых чисел в этой системе будет одинаковым, например, число 302, может быть и равно и 5*60*60 + 2 = 18002. Так как нет значка для обозначения нуля.

Лишь в V веке до нашей эры был введен особый знак  - наклонный клин для обозначения пропущенных разрядов, игравший роль нуля.

Древнекитайская десятеричная

- 1*1 000 = 1000;

 - 5 * 100+4* 10+8 = 548

Двадцатеричная система счисления индейцев Майя или долгий счет

Арабская система

Даже Пушкин предложил свой вариант формы арабских чисел. Он решил, что все десять арабских цифр, включая нуль, помещаются в магическом квадрате.