8.3. Банк олимпиадных заданий

5  КЛАСС

1. Замените значки * в выражении 13*11*9*7*5*3*1 = 1 на знаки + и – так, чтобы получилось верное равенство.

2. Разрежьте фигуру на 3 равные части.

3. Как отмерить 8 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л? (8 л воды должно получиться в одном ведре). 

4. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30, а затем он сосчитал количество ног, их оказалось 84. Сколько гусей и сколько поросят было на школьном дворе?

 5. Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа?

(Напишите решение задачи, а не только ответ).  

6  КЛАСС

1. Все треугольники, изображенные на рисунке, имеют равные стороны.

Радиус каждой из окружностей равен 2 см.

Окружности касаются друг друга и сторон квадрата.

Чему равен периметр звездочки, нарисованной жирной линией?

2. В записи (88888888) нужно поставить знаки сложения таким образом между некоторыми восьмерками, чтобы получилась сумма, которая будет равна 1000.

3. Имеется 8 палочек длиной в 1см, 8 палочек длиной в 2см и 7 палочек длиной в 5 см.   Можно ли из всех палочек этого набора сложить прямоугольник?   Разламывать палочки нельзя.

4. Даны числа: 1,2,3,4,5,6,7,8,9.  Впишите эти числа в клетки девятиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.

5. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

7КЛАСС

1.  Даны числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.

Впишите их в клетки девятиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.

2.  К числу 10 припишите слева и справа по одной одинаковой цифре так, чтобы получилось число, кратное 72.

3.  Цена товара дважды увеличивалась: сначала на 20%, потом – на 30%. На сколько процентов увеличилась цена товара в результате двойного повышения?

4. Разрежьте по линиям сетки прямоугольник, изображённый на рисунке, на пять прямоугольников различной площади.

5. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

каждое задание всех классов оценивается максимум в 7 баллов.

5  КЛАСС

РЕШЕНИЕ

1. Замените значки * в выражении 13*11*9*7*5*3*1 = 1 на знаки + и – так, чтобы получилось верное равенство.

Ответ:  13 + 11 – 9 – 7 – 5 – 3 + 1 = 1

2.

3. Запишем последовательность действий в таблицу, указывая в первом столбце действие, а во втором и третьем – результат, т.е. сколько воды остается в каждом ведре после действия.

В результате в большом ведре останется ровно 8 литров.

4. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30, а затем он сосчитал количество ног, их оказалось 84. Сколько гусей и сколько поросят было на школьном дворе?

Ответ. 12 поросят и 18 гусей.

Решение .

1 шаг. Представьте, что все поросята подняли по две ноги вверх.

2 шаг. На земле осталось стоять 30 ∙ 2 = 60 ног.

3 шаг. Подняли вверх 84 - 60 = 24 ноги.

4 шаг. Подняли 24 : 2 = 12 поросят.

5 шаг. 30 - 12 = 18 гусей.

5. Рассмотрим отрезок пути, на котором Маша делает 3 шага, а Яша – 5 шагов. Вместе они делают на таком отрезке 8 шагов. Значит, они прошли 400 : 8 = 50 таких отрезков. И Маша сделала 50 ·  3 = 150 шагов.

Теперь рассмотрим другой отрезок – на котором уже папа делает 3 шага, а Маша – 5 шагов. Таких отрезков было 150 : 5 = 30. Отсюда легко вычислить, сколько шагов сделал папа: 30 ·  3 = 90 шагов.

Ответ: папа сделал 90 шагов

6 КЛАСС

РЕШЕНИЕ

1. Все треугольники, изображенные на рисунке, имеют равные стороны.

Радиус каждой из окружностей равен 2 см.

Окружности касаются друг друга и сторон квадрата.

Чему равен периметр звездочки, нарисованной жирной линией?

Решение: 8*8=64.

2. В записи (88888888) нужно поставить знаки сложения таким образом между некоторыми восьмерками, чтобы получилась сумма, которая будет равна 1000.

Решение:

Способ 1: 88+8+8+8+888=1000

Способ 2: 8+8+888+88+8=1000.

3. Имеется 8 палочек длиной в 1см, 8 палочек длиной в 2см и 7 палочек длиной в 5 см.   Можно ли из всех палочек этого набора сложить прямоугольник?   Разламывать палочки нельзя.

Решение.

Если a и b – длины сторон прямоугольника, периметр P = 2(a+b), т. е. P – четное число в случае целых a и b.

8*1+8*2+7*5=8+16+35=59 (см) – нечетное число.

Поэтому из всех палочек данного набора прямоугольник сложить нельзя.

Ответ: нельзя

4. Даны числа: 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Впишите их в клетки девятиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.

Ответ:

5. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение:

Изобразим множества следующим образом:

70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек.

Ответ. 5 человек заняты только спортом.

7 КЛАСС. РЕШЕНИЕ

1. Даны числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.

Впишите их в клетки девятиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.

Ответ:

2.К числу 10 припишите слева и справа по одной одинаковой цифре так, чтобы получилось число, кратное 72.

        Так как число делится на 72, то оно делится на 9 и на 4. Значит, сумма цифр нового числа делится на 9, а число, образованное последними двумя цифрами, делится на 4. Этим двум условиям удовлетворяют числа 8100, 4104 и 9108. С помощью проверки убеждаемся, что из них на 72 делится лишь 4104.

Ответ:4104.

3. Цена товара дважды увеличивалась: сначала на 20%, потом – на 30%. На сколько процентов увеличилась цена товара в результате двойного повышения?

Решение:

Пусть x – первоначальная цена товара,

1,2 x – цена после первого повышения,

1,3(1,2x)- цена после второго повышения, 1,3*1,2x=1,56x, значит на 56%.

ОТВЕТ: на 56 %.

4. Разрежьте по линиям сетки прямоугольник, изображённый на рисунке, на пять прямоугольников различной площади.

Решение. Например, так

5. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Решение:

Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.