Методическая разработка по теме "Дифференциальное исчисление функций двух переменных"
методическая разработка по теме

Опубликовано 24.11.2013 - 10:39 - Осипова Татьяна Владимировна

Рассмотрены теоретические вопросы, большое количество задач

Скачать:

Вложение	Размер
differentsialnoe_ischislenie_mnogikh_peremennykh.doc	435 КБ

Предварительный просмотр:

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ

Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных

Пояснительная записка.

Тема "Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных" входит в курс программы «Элементы высшей математики (Математика)» предназначенной для реализации Государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальности 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» среднего профессионального образования.

Для изучения данной темы отводится 6 часов учебных занятий, из которых 4 часа являются практическими занятиями.

После изучения данной темы студенты должны

знать:

понятие функции нескольких переменных и ее области определения;
понятие предела функции нескольких переменных;
определение частных производных и дифференциала функции нескольких переменных;

уметь:

находить значения функции нескольких переменных,
находить область определения функции нескольких переменных;
вычислять частные производные и дифференциалы.

Данная методическая разработка содержит теоретические сведения по теме, а также упражнения для практических занятий и методические рекомендации к ним.

Определение функции нескольких переменных.

Понятие функции одной переменной не охватывает зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин. Например, площадь прямоугольника есть величина, зависящая от длины и ширины (S=xy).

Определение. Переменная z называется функцией двух переменных x и y, если:

1) задано множество G пар численных значений x и y;

2) задан закон, по которому каждой паре чисел (x; y) из этого множества соответствует единственное численное значение.

При этом переменные x и y называются аргументами или независимыми переменными.

Обозначения функций двух переменных аналогичны обозначениям функций одной переменной:

, , и т.д.

Определение. Множество G всех пар значений аргументов данной функции двух переменных называется областью определения этой функции, а множество всех значений, принимаемых z в области определения – областью значений функции.

Пара чисел x и y определяет положение точки М на плоскости хОу с координатами x и y. Поэтому областью определения функции считается множество всех точек плоскости, для которых формула имеет смысл.

Пример 1. Областью определения функции является множество всех пар чисел (x; y), т.е. вся плоскость хОу, а областью значений этой функции – промежуток .

Пример 2. Областью определения функции является множество, для которого . Множество таких точек образует внутренность круга с центром в начале координат и радиусом, равным единице, а областью значений этой функции – промежуток .

Пример 3. Найти частное значение функции в точке А(2; -3).

Решение. Подставляя в выражение функции х = 2, у = -3 получаем

Аналогично можно дать определение функции трех и более числа переменных.

Геометрическое изображение функций двух переменных.

Функцию двух независимых переменных геометрически можно изобразить как аппликату точи, абсциссой и ординатой которой служат соответственно независимые переменные х и у. В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.

Пусть А(х;у) – точка плоскости хОу, АА1 = - соответствующая ей аппликата (рис. 1). Говорят, что есть значение функции в точке А(х;у).

Пример 1. Построить график функции .

Решение. Точки, для которых x = 0 принадлежат плоскости yОz и в этой плоскости функция имеет вид . Таким образом данная поверхность пересекается с плоскостью yОz по параболе. Сечениями данной поверхности плоскостями, параллельными плоскости yОz () также являются параболы.

Аналогично для плоскости хОz.

В сечении поверхности плоскостью получим точку , т.е. начало координат. В сечении поверхности плоскостями получаются окружности с центрами в точках (0;0;h) и радиусами . Итак, данное уравнение представляет собой параболическую поверхность с вершиной в начале координат и осью Oz. Такая поверхность называется параболоид вращения.

Построение графиков функций двух переменных в большинстве случаев представляет значительные трудности. В связи с этим оказывается удобным геометрически описывать функции двух переменных, не выходя в трехмерное пространство. Средством такого описания являются линии уровня.

Отметим на плоскости хОу все точки (х;у), в которых функция принимает одно и тоже значение, например значение, равное с. Иначе говоря, отмечаем те точки, для которых .

Множество этих точек и называется линией уровня функции. придавая с различные значения и каждый раз строя линию по данной формуле, получаем семейство линий уровня. Это семейство наглядно описывает функцию .

Пример 2. Построить линии уровня функции .

Решение. Как было описано выше, при сечении данной поверхности плоскостями образуются окружности. Задавая различные значения с = 0; 1; 2; … получаем семейства линий уровня, которые изображаем на плоскости хОу.

Линиями уровня обозначают глубину морей и высоту гор на географических картах. Аналогичные линии описывают распределение тех или иных веществ в почве, распределение среднесуточной температуры и т. д.

Предел функции двух переменных.

Множество точек координаты которых удовлетворяют неравенству , или короче, ММ0<, называется -окрестностью точки М0(x0;y0). Другими словами, -окрестность точки М0 – это все точки, лежащие внутри круга с центром М0 радиуса .

Определение. Число А называется пределом функции при стремлении точки М к точке М0(x0;y0) , что кратко записывается , если для любого числа существует такое число , что для всех точек М из области определения этой функции, удовлетворяющих условию имеет место неравенство . Обозначают это так:

или .

Функция называется бесконечно малой при если .

Все основные свойства о бесконечно малых и о пределах, установленных для функции одной переменной, обобщаются и на случай функций двух и большего числа переменных.

При кажущейся полной аналогии понятий предела функций одной и двух переменных существует глубокое различие между ними. В случае функции одной переменной, для существования предела в точке необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум направлениям: справа и слева от предельной точки .

Для функции двух переменных стремление к предельной точке на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.

Пример 1 . Найти .

Решение. Пусть стремление к предельной точке происходит по прямой .

Тогда

Предел, очевидно, не существует, так как число зависит от .

Пример 2. Найти .

Решение. По любой прямой предел один и тот же:

С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой . Тогда

;

следовательно, предел не существует.

Непрерывность функций двух переменных.

Пусть дана функция с областью определения G и пусть – предельная точка множества G.

Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если:

1) ;

2) , т.е. .

Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме. С этой целью обозначим , . Полным приращением функции при переходе от точки М0 к точке М называется разность значений функции в этих точках, а именно: .

Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если выполняется равенство

Пример 1. Функция непрерывна в любой точке плоскости хОу, так как при любых значениях х и у величина

стремиться к нулю при .

Свойства непрерывных функций:

Если функции и непрерывны в точке , то этим же свойством обладают функции , , а если , то и функция .

Частные производные функции нескольких переменных.

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными).

Рассмотрим функцию двух независимых переменных . Придадим аргументу х приращение , оставляя у неизменным. В этом случае функция получит частное приращение .

Определение. Предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующего аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю

называется частной производной от z по х и обозначается следующим образом:

; ; .

Аналогично определяется частная производная по и вводятся ее обозначения:

; ; .

Функция трех независимых переменных имеет три частные производные первого порядка: , , .

Пример 1. Найти частные производные и следующей функции двух переменных: .

Решение. Так как частные приращения функции получаются при изменении только одного аргумента, то для нахождения частной производной пользуются правилами дифференцирования функций одной переменной. При нахождении производной данной функции по переменной х считаем постоянной величину у; при дифференцировании по у постоянной будем считать х:

у-const - ; x-const .

Как уже отмечалось полным приращением функции при переходе от точки М0 к точке М называется выражение: . Если данное приращение можно представить в виде:

где А и В не зависят от и , а и стремятся к нулю при стремлении к нулю и , то функция называется дифференцируемой в точке , а линейная часть приращения функции называется полным дифференциалом этой функции и обозначается :

Для независимых переменных и полагают и . Поэтому полный дифференциал записывают также в виде

где А и В можно найти по формулам: ; .

Пример 2. Найти полный дифференциал функции .

Решение. Находим частные производные:

у-const ;

x-const .

Полный дифференциал данной функции равен:

При достаточно малых и для дифференцируемой функции справедливы приближенные равенства:

и ,

поэтому полным дифференциалом функции двух переменным можно пользоваться при приближенных вычислениях приращений функций, используя формулу:

(1)

Пример 3. Вычислить приближенное значение:

Решение. Рассмотрим функцию и две точки М(1,08; 3,96) т М0(1;4). , =0,08, =-0,04

Найдем значения частных производных в точке М0(1;4).

у-const и ; x-const и .

Подставляя в формулу 1, найдем значение :

Частные производные высших порядков.

Частные производные функций нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка. Так, для функции двух независимых переменных можно определить четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами

;

; .

Частные производные , отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка.

Пример 1. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Найдем частные производные первого порядка

у-const ; х-const .

Таким образом, частные производные второго порядка будут равны:

у-const ;

х-const ; .

Практическое занятие № 1.

Нахождение области определения и вычисление пределов для функции нескольких переменных.

1. Найти частное значение функции в точке А(х0;у0).

Пример 1. Найти частное значение функции в точке А(2; -3).

Решение. Подставляя в выражение функции х = 2, у = -3 получаем

Упражнения.

1) , А(4; 1);

2) , А(1; 0);

3) , А(4; 2);

4 ) , А(0; 1);

5) , А(2; 8).

2. Найдите область определения функции.

Упражнения.

1) ;

3) ;

5) ;

6) ;

2) ;

4) ;

6) ;

7) .

3. Постройте семейство линий уровня для функций.

Пример 3. Пример 2. Построить линии уровня функции .

Решение. Пересечем поверхность плоскостью . Задавая различные значения с = 0; 1; 2; …, получаем семейства линий уровня, представляющие собой окружности с центром в начале координат, которые изображаем на плоскости хОу.

Упражнения.

1) ;