Лекция "Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции двух независимых переменных"
учебно-методический материал

Тема 9.1. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции 2-х независимых переменных

Понятие функции от одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Например, площадь прямоугольника зависит от длины и от ширины (S= x y - пример функции двух переменных), температура, измеряемая в некоторой точке пространства, есть функция от координат этой точки в некоторый момент времени (T=f(x,y,z,t) – функция четырёх переменных) и т.д. Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных. Так как все важнейшие факты теории функций нескольких переменных можно наблюдать уже у функции двух переменных, то ограничимся рассмотрением именно этих функций.

Если некоторым парам значений переменных величин (х,у) ставится в соответствие по некоторому правилу или закону определенное значение переменной z, то говорят, что задана функция двух переменных x и y, и обозначают z=f(x,y) или F(x,y,z)=0.

Пару значений (x,y) можно рассматривать, как точку на плоскости, поэтому можно говорить, что z=f(x,y) есть функция точки (x,y).

Областью определения функции двух переменных называется множество пар значений (x,y), которое может принимать данная функция.

Например:

1) для функции  областью определения является вся плоскость XOY, т.е.  

2) функция  определена, если  или , т.е. её областью определения является круг радиуса r=2 c центром в начале координат, включая и границу.

Областью значений функции двух переменных z=f(x,y) называется множество всех значений, принимаемых переменной z в области определения.

Функции двух переменных допускает и графическую иллюстрацию.

Графиком функции z=f(x,y), определенный в области D плоскости XOY называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых пара (x,y) ∈D , а z=f(x,y).

В наиболее простых случаях график функции двух переменных представляет собой некоторую поверхность. Из-за сложности построения графиков функций двух переменных форму о них можно получить с помощью линий уровня, которые представляют собой множество точек плоскости для которых функция принимает некоторое постоянное значение, т.е. f(x,y)=c. Придавая c различные значения, получаем семейство линий уровня, которые помогают представить форму поверхности, являющуюся графиком функции двух переменных. Линиями уровня, например, обозначают высоту гор, глубину морей, распределение среднесуточной температуры, распределение полезных ископаемых в почве и.т.д.

Функции трёх и большего числа переменных не допускают графической интерпретации. Однако для функции трёх переменных ещё возможно по аналогии с функцией двух переменных построить поверхности уровня, которые задаются уравнениями f(x,y,z)=c, т.е. представляют собой множество точек пространства, в которых функция принимает постоянные значения.

Областью, или открытой областью, называется множество точек плоскости, обладающих свойствами:

1) каждая точка области принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки (свойство открытости);

2) всякие две точки плоскости можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области (свойство связности) (непрерывная линия – множество точек M(x,y) плоскости, координаты которых заданы как непрерывные функции x=ϕ(t), y=γ(t),  α ≤ t ≤ b).

Точка M называется граничной точкой области G, если любая окрестность этой точки содержит как точки области G, так и точки ей не принадлежащие. Множество всех граничных точек области называются ее границей.

Множество всех точек M(x,y), лежащих внутри круга с центром в точке M0(x0,y0) и радиуса r=ε, называют ε- окрестностью точки M, т.е. это точки удовлетворяющие неравенствам |M0M|<ε, или .

Определение: Число A называется пределом функции z=f(x,y) при стремлении точки M(x,y) к точке M0(x0,y0), если ∀ε > 0  ∃δ > 0, что для всех точек M из области определения функции отвечающих условию 0< |M0M|<δ  выполняется условие |f(M)-A|<ε.  Обозначают  .

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой области D и пусть M0(x0,y0) ∈ D. Придадим x0 приращение Δx, а y0  приращение Δy, причем сделаем это так, чтобы M(x0+Δx, y0+Δy)∈D . Обозначим разность Δz=f(x0+Δx, y0+Δy) - f(x0,y0) и назовем ее полным приращением функции  в точке (x0,y0).

По аналогии с функциями одной переменной определим непрерывность функции нескольких переменных следующим образом.

Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке (x0,y0), если ее полное приращение Δz→0 при Δx→0 и Δy→0, т.е.

или .