Методическая разработка по учебной дисциплине «Математика». " Дифференциальное исчисление. Функции. Предел функции".
методическая разработка на тему

ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 НИЖНЕУДИНСКОЕ МЕДИЦИНСКОЕ УЧИЛИЩЕ

Цикловая методическая комиссия

гуманитарных, социально-экономических и общих естественнонаучных дисциплин

Специальность 060101.52 Лечебное дело

Методическая разработка 

по учебной дисциплине

«Математика»

Тема 1.1.1. Дифференциальное исчисление. Функции. Предел функции.

для преподавателя

Составила: Быкова Н.Г.

Нижнеудинск, 2013 г.

Содержание методической разработки:

Актуальность темы

Дифференциальное исчисление это раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Дифференциальное исчисление в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И.Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 в.). Они сформулировали основные положения дифференциальное исчисление и чётко указали на взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. С этого времени дифференциальное исчисление развивается в тесной связи с интегральным исчислением, вместе с которым оно составляет основную часть математического анализа (или анализа бесконечно малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой появление ряда математических дисциплин: теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и вариационного исчисления. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Неизмеримо расширилась область приложений математики к вопросам естествознания и техники. «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы, а именно движение» (Энгельс Ф.)

Дифференциальное исчисление даёт аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близко к поведению линейной функции или многочлена.

В области медицины исчисление можно применить для нахождения оптимального угла ветвления кровеносных сосудов, максимизирующего поток. Зная закон затухания применительно к выводу какого-либо препарата из тела, исчисление используется для оценки уровня дозирования этих препаратов. Методической целью создания данной методической разработки является оказание помощи преподавателю в повышении эффективности проведения занятия.

Выписка из приказа № 472

от «12» ноября 2009 г.

ОБ УТВЕРЖДЕНИИ И ВВЕДЕНИИ В ДЕЙСТВИЕ

ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 060101 ЛЕЧЕБНОЕ ДЕЛО

ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ Математика

Общие компетенции

5.1. Фельдшер должен обладать общими компетенциями, включающими в себя способность (по углубленной подготовке):

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения возложенных на него профессиональных задач, а также для своего профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 12. Организовывать рабочее место с соблюдением требований охраны труда, производственной санитарии, инфекционной и противопожарной безопасности.

ОК 14. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

Профессиональные компетенции, соответствующие основным видам профессиональной деятельности (по углубленной подготовке):

5.2.1. Диагностическая деятельность.

ПК 1.1. Планировать обследование пациентов различных возрастных групп.

ПК 1.2. Проводить диагностические исследования.

ПК 1.3. Проводить диагностику острых и хронических заболеваний.

ПК 1.4. Проводить диагностику беременности.

ПК 1.5. Проводить диагностику комплексного состояния здоровья ребёнка.

ПК 1.7. Оформлять медицинскую документацию.

5.2.2. Лечебная деятельность.

ПК 2.1. Определять программу лечения пациентов различных возрастных групп.

ПК 2.2. Определять тактику ведения пациента.

ПК 2.3. Выполнять лечебные вмешательства.

ПК 2.4. Проводить контроль эффективности лечения.

ПК 2.5. Осуществлять контроль состояния пациента.

ПК 2.8. Оформлять медицинскую документацию.

5.2.3. Неотложная медицинская помощь на догоспитальном этапе.

ПК 3.1. Проводить диагностику неотложных состояний.

ПК 3.2. Определять тактику ведения пациента.

ПК 3.3. Выполнять лечебные вмешательства по оказанию медицинской помощи на догоспитальном этапе.

ПК 3.4. Проводить контроль эффективности проводимых мероприятий.

ПК 3.5. Осуществлять контроль состояния пациента.

ПК 3.7. Оформлять медицинскую документацию.

5.2.4. Профилактическая деятельность.

ПК 4.1. Организовывать диспансеризацию населения и участвовать в ее проведении.

ПК 4.2. Проводить санитарно-противоэпидемические мероприятия на закрепленном участке.

ПК 4.3. Проводить санитарно-гигиеническое просвещение населения.

ПК 4.4. Проводить диагностику групп здоровья.

ПК 4.5. Проводить иммунопрофилактику.

ПК 4.6. Проводить мероприятия по сохранению и укреплению здоровья различных возрастных групп населения.

ПК 4.9. Оформлять медицинскую документацию.

5.2.6. Организационно-аналитическая деятельность.

ПК 6.1. Рационально организовывать деятельность персонала с соблюдением психологических и этических аспектов работы в команде.

ПК 6.2. Планировать свою деятельность на ФАПе, в здравпункте промышленных предприятий, детских дошкольных учреждениях, центрах, общей врачебной (семейной) практики и анализировать ее эффективность.

ПК 6.3. Вести медицинскую документацию.

ПК 6.4. Организовывать и контролировать выполнение требований противопожарной безопасности, техники безопасности и охраны труда на ФАПе, в здравпункте промышленных предприятий, детских дошкольных учреждениях, центрах офисе общей врачебной (семейной) практики.

В результате изучения обязательной части цикла обучающийся должен:

уметь:

решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знать:

значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики;

основы интегрального и дифференциального исчисления

Требования к результатам освоения темы «Дифференциальное исчисление. Функции. Предел функции»

В результате изучения темы «Дифференциальное исчисление. Функции. Предел функции» 

Обучающийся должен уметь:

− вычислять предел функции;

− исследовать функцию на непрерывность.

.

Обучающийся должен знать:

− определение функции, аргумента, графика функции, области определения функции, области изменения функции, сложной функции;

− определение предела функции;

− определение непрерывности функции, точки разрыва функции

Содержание:

Предел функции. Непрерывность функции. Точки разрыва функции.

Методическая разработка теоретического занятия № 1

«Дифференциальное исчисление. Функции. Предел функции»

 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА ЗАНЯТИЯ

ПРЕДМЕТ:   математика

ТЕМА ЗАНЯТИЯ: «Дифференциальное исчисление. Функции. Предел функции»

ВРЕМЯ: 90 минут

ВИД ЗАНЯТИЯ: теоретическое занятие. Урок первичного предъявления новых знаний

ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ:

Образовательная: Формирование представлений о функции, аргумента, графика функции, области определения функции, области изменения функции, сложной функции; Формирование представлений о пределе функции, непрерывности функции, точках разрыва функции; научить вычислять пределы функций, исследовать функцию на непрерывность.

Воспитательная: способствовать воспитанию поведения, трудолюбия, товарищества, взаимопомощи,  воспитывать адаптивность к современным условиям обучения

Развивающая: Развивать математические способности, логическое мышление, сообразительность, наглядно-образной памяти, математической речи обучащихся.

         ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЗАНЯТИЯ:

РАЗДАТОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ: опорный конспект лекции

УЧЕБНЫЕ МЕСТА: аудитория медицинского училища

ЛИТЕРАТУРА:

1.Филимонова Е.В. Математика: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. / Е.В. Филимонова. – 2-е изд., доп. и перераб. – Ростов-на- Дону.: Феникс, 2008.

2. Михеев В.С., Стяжкина О.В., Шведова О.М. Математика: Учебное пособие для среднего профессионального образования. /  В.С.Михеев. – Ростов-на-Дону.: Феникс, 2009. 

3. Омельченко В.П., Демидова АА. Математика: компьютерные технологии в медицине. – Ростов-на-Дону,»Феникс»,  2010. – 588с

Дополнительные источники:

1. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних учебных заведений. /  Н.В. Богомолов. – 7-е изд. М.: Высшая школа, 2004.- 495 с.

Ход занятия:

Конспект лекции «Дифференциальное исчисление. Функции. Предел функции».

План лекции:

1. Понятие функции.

1.1. Понятие функции. Способы задания функции.

1.2. Специальные классы функций.

2. Теория пределов.

2.1. Понятие предела в данной точке.

2.2. Понятие бесконечно малой величины.

2.3. Основные теоремы о пределах.

2.4. Некоторые приемы вычисления пределов функций.

3. Непрерывность функции. Точки разрыва функции.

1. Понятие функции.

1.1. Понятие функции. Способы задания функции.

Человеку, изучающему различные явления и процессы, приходится иметь дело с разнообразными величинами (длина, скорость, вес, температура…). Для каждой величины выбрана своя единица измерения, в результате сравнения некоторой величины с ее числовой мерой мы получаем число или числовое значение данной величины. В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь от их конкретного содержания. В дальнейшем, говоря о величинах, мы будем иметь в виду их числовые значения. В различных явлениях некоторые величины изменяются, а другие сохраняют свое числовое значение. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость остается постоянной.

Например.  – скорость,  t – время,  т –   масса,  S –  расстояние.

Величины делятся на постоянные и переменные.

Определение 1. Величины, значения которых с течением изучаемого процесса не изменяются, называются постоянными величинами.

Определение 2. Величины, значения которых с течением изучаемого процесса изменяются, называются переменными величинами.

Например. 1) При движении масса некоторого тела остается постоянной, а расстояние, пройденное телом, будет переменной величиной; 2) При вычислении длины окружности значение числа – переменная величина, а величины l и R –переменные.

Определение 3. Множество значений, которое может принимать переменная величина, называется областью изменения величины (областью определения).

Все явления или процессы в окружающем мире находятся в постоянном изменении и развитии. При этом изменения различных величин протекают в определенной зависимости.

Если  две величины связаны собой так, что каждому значению одной из них ставится в соответствие значение другой, то говорят, что величины находятся в функциональной зависимости.

Согласно теоретико-множественному подходу к трактовке понятия «функция», под функцией у = f (х) на множестве D понимают правило (закон) соответствия f, относящего каждому действительному числу (х) из некоторого множества D, единственное действительное число (у) из некоторого множества Е. При этом х называется независимой переменной или аргументом, а у –зависимой переменной или функцией.

Определение 4. Множество значений аргумента х называется областью определения функции (Df).

Определение 5. Множество значений функции называется областью значений функции (Еf)

Способы задания функции. Существуют 4 способа задания функции:

1. аналитический (формулой)
2. Графический (графиком функции y = f (x), заданной в некоторой области Х, называется множество точек х и у, координаты которых связаны соответствием y = f (x), при этом х может принимать любые значения их области Х)
3. таблица (чаще используется при экспериментах)
4. словесный или описание.

1.2. Специальные классы функций.

Специальные классы функций:

1. Обратная функция.

Функцией, обратной функции у = f (х) называется такое соответствие g между элементами множеств Е и D, которое каждому элементу у из множества Е ставит в соответствие именно тот элемент х из множества D, для которого f(х )= у.

Аргументом для обратной функции служит переменная у, а функцией – х, поэтому саму функцию принято обозначать х = g(у).

Область определения обратной функции – это область значения прямой функции.

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение  у = f(х) относительно . Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к  не существует. 

Пример. Найти для функций у = 2х +3, у = х3, у = 3 – х3 обратную функцию.

                Решение:

Нахождение обратной функции:          

 2х +3 = у                у = х3                        у = 3 – х2

        х =                 х =                 х = обратной функции не существует

2.         Монотонная функция.

3. Ограниченная функция.

Если для всех х найдется такое М > 0, при котором выполняется  ≤ М, то функция называется ограниченной.

Если для всех х найдется такое М > 0, при котором выполняется  ≥ М, то функция называется неограниченной.

4. Четная и нечетная функция.

Функция называется четной, если выполняется следующее равенство:

f (– x) = f(x).

Функция называется нечетной, если выполняется следующее равенство:

f (– x) = – f(x).

5. Периодическая функция.

Функция называется периодической в области определения, если справедливо равенство: f ( x±Т) = f(x), если Т > 0.

2. Теория пределов.

2.1. Понятие предела в данной точке.

Понятие предела позволяет определить характер поведения функции y = f (x) при заданном изменении аргумента.

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки х = х0, за исключением быть может самой точки х0.

Определение 1.  Число А называется пределом функции f (x) в точке х0, если для любого числа ε >0 найдется такое положительное число δ, что для любого х ≠ х0, удовлетворяющего неравенству , выполняется соотношение .

Обозначение: .

Геометрический смысл. (устно)

Существование данного предела  означает, что каково бы ни было  ε>0, найдется такое число δ, что для всех х, заключенных между х0 + δ и х0 – δ (кроме, быть может, самой точки х0), график функции y = f (x) лежит в полосе, ограниченной прямыми у = А + ε и у = А – ε.

Таким образом, ПРЕДЕЛ – это число, к которому стремится функция, когда значения аргумента стремятся к х0.

2.2. Понятие бесконечно малой величины.

В природе существует много переменных величин, значения которых в процессе своего изменения неограниченно приближаются к нулю. Такие величины называются бесконечно малыми.

Переменная величина х0 называется бесконечно малой, если она в процессе своего изменения становится и затем остается по абсолютной величине меньше любого, наперед заданного, сколько угодно малого положительного числа, т.е.  х0<ε.

Примеры бесконечно малых величин: масса тающей в воде льдины, скорость перемещающегося человека в движущемся автобусе и т.д.

2.3. Основные теоремы о пределах.

Рассмотрим некоторые теоремы о пределах, которые используются для нахождения пределов функций:

Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной.

Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций.

Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению  пределов этих функций.

Следствие 1.  Если функция имеет предел при х →х0, то

, где п – натуральное число

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела

Теорема 4. Предел частного функций равен частному  пределов этих функций.

Теорема 5. Функция не может иметь двух пределов.

2.4. Некоторые приемы вычисления пределов. Функций.

2.4.1. Вычисление пределов функций с помощью теорем о пределах.

Например: а)= =

Самостоятельно: = – 9

б)

Самостоятельно: = –1

2.4.2. Раскрытие неопределенности .

Чтобы раскрыть неопределенность , нужно разложить числитель или знаменатель (или оба) на множители, сократить полученную дробь и найти значение полученного предела.

Например:

Самостоятельно: = –22

2.4.3. Раскрытие неопределенности .

Чтобы раскрыть неопределенность , нужно разделить числитель и  знаменатель на наивысшую степень  числителя и  знаменателя и найти значение полученного предела.

Например:

Самостоятельно:=

3. Непрерывность функции

Представление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что ее графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия. При рассмотрении графика такой функции  мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют близкие значения функции. Если независимая переменная  приближается к точке , то значение функции  неограниченно приближается к значению функции в точке .

Дадим строгое определение непрерывности функции.

Определение. Функция  называется непрерывной в точке , если:

1) эта функция определена в некоторой окрестности точки ;

2) существует предел ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т. п.), то она называется непрерывной в этой области. Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке  справа и слева. Пусть функция  определена в точке . Если , то говорят, что функция  непрерывна в точке справа. Если , то функция  непрерывна в точке  слева.

Введем теперь понятие точки разрыва.

Определение. Точка  называется точкой разрыва функции , если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности.

В этом случае говорят, что при  функция разрывная. Это может произойти, если в точке  функция не определена, или не существует предел функции при , или, наконец, если предел функции существует, но не равен значению функции в точке : .

Точки разрыва бывают двух типов.

Определение. Точка разрыва  функции  называется точкой разрыва I рода, если существуют оба односторонних предела  и .

Определение. Точка разрыва  функции  называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из двух пределов  или  стремится к бесконечности.

Пример.  Рассмотрим функцию:                                         

Даная функция имеет в точке  разрыв первого рода, поскольку для нее существуют пределы при  и справа и слева:

Пример. Рассмотрим следующую функцию:                                                                 Данная функция имеет в точке разрыв второго рода, поскольку для нее не существуют конечные пределы при  ни слева, ни справа:

На рисунке представлены графики двух функций, которые были рассмотрены в примерах  и .

Домашнее задание:

1. Лекционный материал
2. Вычислить пределы функций:

а)                 Отв. 7,5

б)                         Отв.1

в)                 Отв.

3. Исследовать функции на непрерывность и построить график:

1.                                  Отв. терпит разрыв 2-го рода 
2.  

Решение 

Найдём область определения данной функции. . Итак, имеем две точки разрыва:  и . Теперь определим, каков характер разрыва функции в каждой из этих точек.

        Точка  является точкой бесконечного разрыва (второго рода), так как: .

        Точка  является точкой устранимого разрыва, так как:

.

        Окончательный ответ: функция непрерывна при ; точка  является точкой бесконечного разрыва; точка  является точкой устранимого разрыва и .