методическое пособие "Интегральное исчисление функции одной переменной
методическая разработка

Санкт-Петербургское государственное бюджетное образовательное учреждение Среднего профессионального образования
«Санкт-Петербургский политехнический колледж» 

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

по дисциплине : «Элементы высшей математики»

по теме: «Интегральное исчисление функции одной переменной»

Разработал

Преподаватель :                                                                   Е.А. Кузьменко

Санкт-Петербург

2019

ОДОБРЕНА                                      Составленно в соответствии          
Предметной (цикловой)                   с Государственными требованиями

Комиссией                                         к минимуму содержания и уровню
«_____»_____________2012г.         Подготовки выпускника по

                                                           Специальности

Председатель УЦК                           Зам.Директороа по УМК:

___________Н.И Богомолова           ___________Л.П. Мельникова

Разработал :                         Е.А. Кузьменко

Рецензенты :                        Е.А. Рахаева

                                              Е.В. Никитина

      Методическое пособие предназначено для студентов 2 курса ФГОУ СПО СППК, обучающихся по специальностям колледжа на базе основного общего образования.

Методическое пособие приготовлено в соответствии с государственным общеобразовательным стандартом второго поколения.

 Пособие предназначено для выполнения практических работ:

«Интегрирование заменой переменой и по частям в неопределенном интеграле»,  «Интегрирование рациональных и иррациональных функций. Универсальная подготовка»  «Вычисление определенных интегралов»  по дисциплине  “Элементы высшей математики” по теме :  « Интегральное исчисление функций одной переменной»  

    В данном методическом пособии представлены образцы решения практических работ. Это позволяет студентам выбрать способ решения математической задачи и грамотно оформить письменную запись основных математических знаний.

    Все задания для практических работ предоставлены в 10-ти вариантах, что позволяет отработать и закрепить каждому студенту на практике основы умений и навыков в математике.

   В данном методическом пособии рассматривается способ интегрирования рациональных функций основанный на разложении рациональной функции на элементарные дроби.

  Из изложенного следует, что задача интегрирования рациональных функций сводится к интегрированию многочлена интеграл от которого является табличным.

Задание 1

Вычислить неопределенный интеграл

Решение:

Разложим подинтегральную функцию получаем

Приведем к общему знаменателю, получаем

Приравниваем числители, получаем

Раскроем скобки, тогда

Из полученного равенства найдем коэффициенты

A0;A1 и B0

Преобразуем правую часть равенства, сгруппировав слагаемые получаем

Так как левая часть равенства содержит переменной «х», считаем коэффициенты при этой переменной равными нулю, получаем

Из полученных уравнений найдем А1 и B0 , получаем

 т.е.  , тогда  т.е.

Получаем  

Подставим найденные значения в подынтегральную функцию получим

По свойствам интегралов, получаем

Используя таблицу интегралов, получаем

При выполнении последнего действия были применены свойство степени и свойство логарифмов

Таким образом, мы получили

Ответ:

                                           Задание 2

Вычислить неопределенный интеграл

Решение

Разложить подынтегральную функцию, получаем

Приведём к общему знаменателю, получаем

Приравняем числители

Преобразуем правую часть равенства

Раскроём скобки

Из полученного равенства найдём коэффициенты

Сгруппируем слагаемые в правой части уравнения

Приравняем коэффициенты

Из полученного равенства найдём  

Решим систему уравнения

Сложим второе и третье уравнение, получим

,тогда

                  , следовательно

Окончательно получим

Подставим найденные значения в подынтегральную функцию, получаем

dx=

Используя свойства и таблицу интегралов преобразуем скобку, получаем

Ответ:

Задание 3

Вычислить неопределенный интеграл

Решение

Разложим подынтегральную функцию

получаем

=

Правую часть равенства интегралов приведем к общему знаменателю, получаем

Приравняем дроби, тогда

Раскроем скобки, получаем

, т.е.

Сгруппируем слагаемые, получаем

)

Прировняем коэффициенты

Получим 4-е уравнение и 4-е неизвестных –;  : B; C

Чтобы их вычислить, решим систему уравнений

Из первых двух уравнений делаем вывод, что 2C = 0, т.е. C = 0,

Тогда получаем

  ,

Подставим найденные значения в подынтегральную функцию, получим

=

Применив свойства интегралов, получим

Вычислим  методом подстановки  

Обозначим  х2 + 1 = t

Продифференцируем полученное равенство

Подставим полученные выражения в интеграл, получаем

Вернемся к переменной «х», получаем

При выполнении последнего действия использовалось свойство логарифмов

Ответ: