Олимпиадные задания

Задачи олимпиады по математике

Муниципальный этап 2009-2010 уч. г.

7 класс

7.1.         В книжном магазине Колю и Петю заинтересовала одна книга. Для ее покупки у Коли не хватало 35 рублей, а у Пети - 50 рублей. Коля попросил взаймы у Пети половину его наличности. После этого Коля сумел купить книгу и у него еще осталось 15 рублей на проезд. Сколько стоит книга?

7.2.        Найдите два натуральных числа a и b , если известно, что a < b < 2a и ab = 2009.

7.3.        Предприниматель увеличил цену товара на 25%, но товар перестали покупать. На сколько процентов надо уменьшить новую цену, чтобы она стала равна первоначальной?

7.4.        На шахматной доске рассмотрим всевозможные квадраты, состоящие из 9 клеток. Для каждого такого квадрата сосчитаем число черных клеток в нем, а затем сложим полученные числа. Сколько будет в результате?

7.5.        Клетчатый листок бумаги размером 33 × 44 (клетки) требуется разрезать вдоль линий сетки на три прямоугольника так, чтобы площади прямоугольников (в порядке возрастания) относились как 1 : 2 : 3. Можно ли это сделать?

Задачи олимпиады по математике

Муниципальный этап 2009-2010 уч. г.

8 класс

8.1.         Если первую цифру двузначного числа умножить на 3, а вторую цифру – на 9, то сумма полученных чисел будет в 4 раза больше суммы цифр исходного числа. Найдите исходное число.

8.2.         Первую половину пути велосипедист ехал со скоростью V (км/час). Взглянув на часы в середине пути, он решил увеличить скорость на 20% и ехал с этой скоростью вторую половину пути. Какова средняя скорость велосипедиста?

8.3.         Сколько на шахматной доске всевозможных прямоугольников, состоящих из 16 клеток?

8.4.         Можно ли разрезать квадрат на меньший квадрат и 4 равных треугольника?

8.5.         Имеется 5 одинаковых по виду монет, среди которых есть одна фальшивая, отличающаяся по весу от настоящей. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определить, легче или тяжелее фальшивая монета по сравнению с настоящей?

Задачи олимпиады по математике

Муниципальный этап 2009-2010 уч. г.

9 класс

9.1.         Первую половину пути велосипедист ехал со скоростью V (км/час). Взглянув на часы в середине пути, он решил увеличить скорость на 20% и ехал с этой скоростью вторую половину пути. Какова средняя скорость велосипедиста?

9.2.         Четыре положительных числа a, b, c, d удовлетворяют равенствам a + b = c + d и a3 + b3 = c3 + d3. Докажите, что a2 + b2 = c2 + d2.

9.3.         Имеется 5 одинаковых по виду монет, среди которых есть одна фальшивая, отличающаяся по весу от настоящей. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определить, легче или тяжелее фальшивая монета по сравнению с настоящей?

9.4.         Докажете, что любой треугольник можно разрезать на три треугольника, один из которых – равносторонний.

9.5.        Из ста натуральных чисел 1, 2, 3, …, 100  выбрали несколько чисел и расположили их в ряд так, чтобы произведение любых двух соседних чисел делилось на 40. Могло ли быть выбрано 40 чисел?

Задачи олимпиады по математике

Муниципальный этап 2009-2010 уч. г.

10 класс

10.1.         Найдите количество корней уравнения .

10.2.        Корни квадратного трехчлена  – неотрицательные целые числа. Докажите, что если число  – простое, то с = 0.

10.3.        В компании из n человек надо распределить поровну миллион рублевых монет. Сколько существует различных значений n, для которых такое распределение возможно?

10.4.        Из 104 первых натуральных чисел 1, 2, 3, …, 104 требуется выбрать несколько чисел и расположить их по кругу так, чтобы произведение любых двух соседних чисел делилось на 40. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать?

10.5.        Дан параллелограмм ABCD со сторонами AB = a, AD = b и углом  ∠BAD =  На стороне AB  возьмем точку М  и рассмотрим отрезок между центрами описанных окружностей треугольников  AMD и BМС. Докажите, что длина этого отрезка зависит лишь от a и  ( т.е. не зависит ни от положения точки М, ни от величины b).

Задачи олимпиады по математике

Муниципальный этап 2009-2010 уч. г.

11 класс

11.1.         Найдите количество корней уравнения .

11.2.        Корни квадратного трехчлена  – неотрицательные целые числа. Докажите, что если число  – простое, то  a = 1 и с = 0.

11.3.        Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия, из которой можно выбрать три члена (возможно, не соседние), образующие арифметическую прогрессию?

11.4.         Действительные числа a, b, c, d удовлетворяют равенствам a + b = c + d и a100 + b100 = c100 + d100. Докажите, что a10 + b10 = c10 + d10.

11.5.        Дан параллелограмм ABCD со сторонами AB = a, AD = b и углом ∠BAD =  На стороне AB  возьмем точку М  и рассмотрим отрезок между центрами описанных окружностей треугольников  AMD и BМС. а) Докажите, что длина этого отрезка зависит лишь от a и  ( т.е. не зависит ни от положения точки М, ни от величины b). б) Найдите длину этого отрезка.

Всероссийская олимпиада школьников по математике

1 тур (школьный уровень)

7 класс

7.1. Какой цифрой оканчивается числовое выражение:

20062009 + 2009?

7.2. Двое учеников играют следующим образом. На стол кладется 11 предметов. Соперники ходят по очереди. За каждый ход  играющий может взять 1, 2 или 3 предмета. Проигрывает тот, кто вынужден взять последний предмет. Как должен играть первый игрок, чтобы выиграть?

7.3.  Коля и Петя обменялись марками. До обмена у Коли было на пять марок больше, чем у Пети. После того, как Коля обменял 24% своих марок на 20% марок Пети, у Коли стало на одну марку меньше, чем у Пети. Сколько марок было у мальчиков до обмена?

7.4.  Из четырех данных прямых любые три имеют одну общую точку. Докажите, что все четыре прямые проходят через одну точку.

7.5.  В коробке 25 цветных карандашей. Известно, что среди любых пяти карандашей найдутся хотя бы два карандаша одного цвета. Докажите, что в коробке найдется семь карандашей одного цвета.

8 класс

8.1. Последовательностью цифр 14012006140120101201 зашифровано слово следующим образом: каждой букве поставлено в соответствие двузначное число. Расшифруйте слово.

8.2.  Решите уравнение:                                   (х + 1) (х + 2) (х + 3) (х + 4) = 24.

8.3.  Сколько существует восьмизначных чисел, которые составлены из цифр 7 и 8 и делятся на 9?

8.4.  Дан равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС. На стороне ВС взяты точки К и  N (К лежит между точками В и  N). Эти точки соединены отрезками с вершиной А так, что КN = АN и угол ВАК равен углу NАС. Докажите, что углы при основании треугольника АВС больше 60°.

8.5.  Существует ли выпуклый 30-угольник, у которого все углы различные и выражаются целым числом градусов?

9 класс

9.1.  Докажите, что квадрат чётного числа делится на 4, а квадрат нечётного числа не делится на 4.

9.2.  Решите уравнение:    2х2 + у2 + 2ху + 2х + 1 = 0

9.3. Имеется 11 килограмм крупы. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах отмерить 1 килограмм крупы, если есть одна трёхкилограммовая гиря?

9.4. Существует ли выпуклый 30-угольник, у которого все углы разные и выражаются целым числом градусов?

9.5. В треугольнике АВС биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке D. Через точку D проведена прямая до пересечения со стороной АС в точке Е так, что угол СDЕ равен углу ВАС. Доказать, что отрезки ВD и DЕ равны.

10 класс

10.1. Изобразите на координатной  плоскости множество решений системы уравнений:

 {  x – y = 1

         x2 – y2 – 2y = 1

10.2. Найти все решения уравнения:

x2  + 5y2 + 4xy + 2y +1 = 0

10.3. Выяснить, делится ли число 22009 + 32009 на 11.

10.4. Углы А и С ромба АВСD равны 60°. На сторонах АВ и  ВС взяты соответственно точки К и М так, что АК=ВМ. Найдите углы треугольника DКМ.

10.5. Во все клетки таблицы 5x5 вписали натуральные числа так, что числа в соседних клетках отличаются не более, чем на 2. Какое наибольшее количество различных чисел могло оказаться в таблице? (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону).

11 класс

11.1. Изобразите на координатной  плоскости множество решений системы уравнений:

{x – 2y = 1

     x3 – 8y3 – 6xy =1

11.2. При каком целом k неравенство x2 + 2(4k – 1)x + 15k2 – 2x-7>0 верно при любом действительном  х?

11.3.  Выяснить, делится ли число 71325 + 41135 на 7.

11.4. В трапеции АВСD точка N – середина боковой стороны СD. Оказалось, что угол АNВ равен 90°. Докажите, что АN и ВN – биссектрисы углов А и В соответственно.

11.5. Решить уравнение в натуральных числах:  5х + 7y = z2.

№4
Произведение двух взаимно простых чисел равно 1328. Чему равно наименьшее общее кратное этих чисел? Найдите эти числа.
Ответ 

№5
Две каменные лестницы имеют одинаковую высоту 5 м и одинаковое основание 7 м. Они покрыты ковровыми дорожками. Первая лестница имеет 4 ступеньки, а вторая - 6. Хватит ли дорожки, покрывающей ступеньки первой лестницы для покрытия второй?
Ответ 

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

6 КЛАСС

Ответ к задаче №1
Заметим, что первая половина нового восклицания совпадает с предыдущим восклицанием, а вторая является его "негативом", т.е. буквы "А" в ней заменены на "У", и наоборот. Поэтому в пятницу инопланетянин воскликнет "АУУАУААУУААУАУУА!", а в субботу - "АУУАУААУУААУАУУАУААУАУУААУУАУААУ!"

Ответ к задаче №2
X = 2999.
Чтобы число x, нужно, чтобы сумма его цифр была наименьшей. А чтобы эта сумма была наименьшей, нужно, чтобы следующая сумма цифр была наименьшей. Поэтому числу 2 должно предшествовать наименьшее число с суммой цифр 2. Это число 11. Ему должно предшествовать наименьшее число с суммой цифр 11. Это 29. Числу 29 предшествует 2999.

Ответ к задаче №3
Слева направо сидят: Матроскин, дядя Федор, Печкин, Шарик.
По условию, самый правый - Шарик. Пересадим его между котом и дядей Федором, тогда кот будет слева от всех. Справа от него будет Шарик, затем дядя Федор. Печкину остается место справа от всех. Пересадим Шарика обратно и получим ответ.

Ответ к задаче №4
16*83 и 1*1328.
Разложим 1328 на множители, получим 2*2*2*2*83. все двойки должны быть в одном из чисел, т.к. числа взаимно просты. Получаем два ответа: 16*83 и 1*1328. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению, в нашем случае оно равно исходному числу 1328.
Замечание: хотя единица не является простым числом, она взаимно проста с каждым числом, в том числе и сама с собой.

Ответ к задаче №5
Красивое решение состоит в том, что длина ковровой дорожки складывается из горизонтальных и вертикальных отрезков. Сумма горизонтальных отрезков равна длине основания лестницы, а сумма вертикальных - ее высоте, поэтому длины ковровых дорожек равны.
Многие явно находят длину и высоту ступенек. а затем убеждаются, что дорожки равны.

Ф.И. ученика________________________

ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАНИЯ

для внутришкольной олимпиады  

ПО МАТЕМАТИКЕ

ДЛЯ УЧАЩИХСЯ  7 классов

2011 -2012 уч .года

1. Между цифрами 1, 2 , 3 , 4, 5 поставь знаки действий так, чтобы результат был равен 9.    (2 балла.)

2. Решите  уравнение

            (2х² + 5х  -  3)  - 2( х² + х + 4) = 0  (  4 балла)

3.Сколько  двузначных  чисел  можно  составить  из  цифр 0, 2, 4, 6, если  цифры в записи числа не повторяются. Найдите сумму  полученных двузначных  чисел. ( 4 балла)

4.Задача.

В трёх коробках  лежат  180 карандашей. Известно, что во второй  коробке их в 2 раза больше, чем в первой, а в третьей – в 3 раза больше , чем во второй. Сколько  карандашей  во  второй  коробке?

                                               ( 6 баллов)

5. При  каких  значениях  а  и  в  решением  системы  уравнений:

               ах  +  ву  = 18,

               ах  -   ву  =  а  + 2  является  пара  чисел (-2; 1 )

                                                                     ( 8 баллов)

Вопросы IX Всероссийской дистанционной олимпиады «Летописец» по математике для 5–6 классов.

1. Сережа с родителями пошли в зоопарк. Спустя 90 минут они вернулись обратно. От дома до зоопарка они шли 20 минут, а из зоопарка до дома – меньше на 5 минут. На сколько минут больше Сережа провел в зоопарке, чем время, которое пошло на дорогу в зоопарк и из зоопарка?на 20

2. Ксюша с родителями поехали на море на машине. От дома до Волгограда они проехали 855 километров, а от Волгограда до моря еще 845 километров. Сколько топлива было потрачено, если истрачено по 9 литров бензина на каждые 100 километров?153

3. В магазине была акция все товар на 15% дешевле. Бабушка с дедушкой купили стиральную машинку за 15 470 рублей. Сколько рублей стиральная машинка стоила до акции?18200

4. Между городами Первомайск и Жуково 150 километров. 1/3 часть этого расстояния геологи ехали на лошадях, а остальной путь на двух мотоциклах. Сколько денег они должны заплатить за бензин, если 1 литр бензина стоит 42 рублей? Расход топлива составляет 14 л на 100 км.1176 р

5. Какая часть (доля) фигуры закрашена красным цветом?

4/10

6. Семь гусынь за семь дней снесут семь яиц. Сколько яиц снесет 21 такая же гусыня за 21 день?21

7. На складе в трех разных коробках лежат яблоки. В первой на 6 меньше, чем в двух других вместе взятых, а во второй на 10 меньше чем в первой и третьей вместе взятых. Сколько яблок в третьей коробке?      8?

8. Матвей и Никита выкладывали ракушки в ряд. У Матвея в ряду 8 ракушек на расстоянии 2-х сантиметров одна от другой, а у Никиты в ряду 15 ракушек на расстоянии 1-го сантиметра одна от другой. Чей ряд длиннее?

одинаковые

9. В институте на курсе «Управление организацией и персоналом» защищали диплом 300 студентов, из них 25% были парнями, 4% парней защитили диплом на «отлично». Сколько парней защитили диплом на «отлично»?3

10. Ярослав гулял на улице 1 час 20 минут. Он поиграл с Петей 1/4 этого времени, а со Светой 1/5 оставшегося времени. Сколько минут Ярослав играл на улице со Светой? 12

11. Найди периметр многоугольника.

37

12. Игорю на день рождения подарили большой круглый торт. Мама сделала 5 разрезов так, что каждый разрез идет от края до края и проходит через центр торта. Сколько кусочков торта получилось?

10

13. Выбери, параллельные отрезки.

AD,KG,FS

14. Маргаритин любимый мультфильм начинается в 13:10, на ее часах сейчас 12 часов 58 минут 45 секунд. Пора ли Маргарите включать телевизор, если ее часы отстают на 12 минут 15 секунд, сколько показывают верные часы?

13ч11 мин

15. Сколькими способами можно выбрать две игрушки, если есть медвежонок, зайчик, ежик и белочка. Сколько получится таких пар, если их составить из двух разных игрушек?6

16. Найдите среднюю скорость мотоцикла, если первый час он ехал со скоростью 45 км/ч., два последующих 50 км/ч. и четвертый час со скоростью 35 км/ч.?45

17. Света и Ира рисовали карту заповедника. Длина реки, протекающей по заповеднику 2400 км. Какой длины получится линия (указать в сантиметрах), изображающая эту реку на карте, если девочки масштаб сделали 1:100 000 000? 2,4 см

18. Вычислите площадь квартиры, если одна клетка плана равна 1-му сантиметру. Ответ в квадратных метрах.

28м кв

19. Найдите периметр журнального столика, если одна из его сторон равна 549 миллиметров, а другая на 131 миллиметр больше. (Ответ укажите в сантиметрах)

549+131=780, (549+780)*2=1392*2=2784мм=2458мм

20. Сколько всего квадратов изображено?

 11?

Вопросы IX Всероссийской дистанционной олимпиады «Летописец» по математике для 7–8 классов.

1. По сравнению с 1982 годом в тундре средняя масса бурого медведя в 1994 году увеличилась на 180 килограммов, и стал равна 780 килограмм. Чему была равна средняя масса бурого медведя в 1996 году, при той же тенденции роста массы?

2. Маргарите и Никите задали дома сделать лабораторную работу. Для этого они смешали 8 грамм соли и воду. Спустя 2 дня 20 граммов воды испарилось, и концентрация соли в растворе увеличилась на 2%. Сколько граммов воды добавили ребята при изготовлении раствора?

3. Фермер планировал убрать урожай пшеницы за 15 дней. Механизаторы за 10 дней убрали урожай на 80%. На сколько процентов механизаторы перевыполнили дневную норму?

4. Петя за 6 часов на велосипеде проезжает при попутном ветре на 20 километров меньше, чем за 10 часов против того же ветра. Какова скорость ветра, если скорость Пети в безветренную погоду 15 километров в час?

5. Когда мама решила купить стиральную машинку, то увидела, что цена была повышена на 13% и составила 25 990 рублей, чем месяц назад. Сколько рублей стоила стиральная машинка месяц назад, до повышения цены?

6. Игорь и Сергей на велосипеде поехали к бабушке в соседнюю деревню, первые 20 километров пути они двигались со скоростью, на 5 километров в час большей скорости, с которой они ехал последние 20 километров. С какой скоростью мальчики проехал вторую половину пути, если на весь путь они затратили 3 часа 20 минут?

7. Иван из Мурманска готовился в качестве студента по обмену отправиться на 3 месяца в Южно-Африканскую Республику. Ему нужно было обменять 45 000 рублей на южноафриканский ранд. Иван узнал, что в банках своего города нет в наличии рандов. Ему пришлось в Мурманске обменять рубли на американские доллары по курсу 64 рубля 56 копеек за доллар, а по прилёту в Кейптаун он обменял доллары на ранды по курсу 13,55 рандов за доллар. Сколько южноафриканских рандов получил Иван? (Расчёты проводите с целыми суммами, не округляя)

8. Дедушка с бабушкой решили провести ремонт в спальне, сменить обои. Размеры пола в комнате 4 метра на 5 метров, высота потолков 2,5 метра, площади окна и двери по 2 м2 каждая. Сколько рулонов обоев надо купить, если рулон обоев имеет ширину 60 сантиметров и длину 10 метров.

9. Сколько тюков поместит папа в сеновал, если тюк сена имеет длину 90 сантиметров, ширину 50 сантиметров и высоту 35 сантиметров, а сеновал имеет форму прямоугольного параллелепипеда и размеры 8 метров длину, 6 метров ширину и 4 метра высоту.

10. Света заболела, и врач ей прописал лекарство, которое нужно принимать по 0,5 грамма 3 раза в день в течение 6 дней. Сколько необходимо купить маме упаковок на весь курс лечения, если в одной упаковке 10 таблеток по 0,25 граммов.

11. Мама в магазине купила 5 килограммов бананов и 4 килограмма киви, за все заплатила 1240 рублей. Сколько стоит 1 килограмм бананов, если 3 килограмма бананов дороже, чем 2 килограмма киви, на 304 рубля?

12. Фермер каждую субботу возил продукты на ярмарку из деревни в город, он ездил на грузовике по шоссе протяженностью 210 километров, а возвращался назад по грунтовой дороге протяженностью 160 километров, затратив на обратный путь на 1 час больше, чем из деревни в город. Найди, с какой скоростью газель едет по грунтовой дороге, если она на 30 километров в час меньше скорости по шоссе.

13. Кусок цинка и олова, содержащий 9 килограммов олова, сплавили с 3 килограммами цинка. В новом сплаве содержание цинка на 10% больше, чем в первоначальном. Сколько килограммов цинка было в первоначальном сплаве?

14. Тимофей прочитал книгу в 320 страниц. Ежедневно он прочитывал одинаковое количество страниц. Если бы ежедневно он читал на 16 страниц больше, то прочел бы книгу за 4 дня. Сколько дней школьник читал книгу?

15. Света и Ирина на новогодние каникулы поехали отдыхать к бабушке в Якутск. Во сколько часов по местному времени девочки должны позвонить родителям в Москву, чтобы поздравить с Новым Годом в момент его наступления.

16. Маша купила платья по акции за 972 рубля. На сколько процентов была снижена цена на платья, если до снижения они стоили 1200?

17. Из класса в 25 человек, сейчас посещают уроки 15 человек. На субботник необходимо отправить 3 человека из присутствующих. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

18. Диагональ BD трапеции ABCD равна 16 сантиметров и делит диагональ AC на отрезки длиной 3 и 5 сантиметров. Найди отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит диагональ BD.

19. В треугольник AME вписан ромб FMKD так, что угол M у них общий, а вершина K принадлежит стороне ME. Найди сторону ромба, если AM=21 сантиметр, AE=24 сантиметра.

20. Площадь прямоугольного треугольника AED равна 20 квадратных сантиметров, а точки N и B расположены на прямой AD, причем AN:ND=3:7, AB:BD=8:1. Найдите площадь треугольника ENB. (Ответ дайте в виде дроби)

Вопросы IX Всероссийской дистанционной олимпиады «Летописец» по математике для 9–11 классов.

1. Мама на ужин испекла 32 пирожка, из них 12 пирожков с яблоком. Какова вероятность того, что Света возьмет пирожок с яблоком? (ответ округлите до тысячных)

2. На мебельном заводе, что бы обтянуть один диван и два кресла пошло 8 квадратных метров ткани, а на четыре таких дивана и шесть таких же кресел – 26 квадратных метров ткани. Сколько ткани тратят на заводе, что бы обтянуть один диван?

3. У Максима 6 различных шоколадок, сколькими способами можно выбрать порядок их съедения?

4. Чему равен элемент а32 матрицы

С=

1   8   7

9   13   0

4   15   9

5. Сравните 32 и √1034. (В ответе напишите слово больше, меньше или равно)

6. Игорь решил огородить бассейн во дворе забором, длина которого 30 метров. Площадь бассейна 56 м2. Найдите длины сторон бассейна.

7. Сколько четырехзначных чисел можно составить из множества цифр {1,6,3}.

8. На заводе по производству мыла аналитики подсчитали, что цех №18 в октябре произвел 15% мыла от всего произведённого мыла в четвёртом квартале, в ноябре было произведено в 3 раза больше, чем в октябре, а в декабре цех произвёл 240 кусков мыла. Сколько кусков мыла изготовил цех №18 в четвёртом квартале?

9. Никита и Вова кладут на пол плитку. Никита положил 65 плиток на 2 часа быстрее, чем Вова. Сколько плиток кладёт Вова в час, если известно, что Никита за час кладет на 2 плитки больше?

10. У фермера в клетке 6 хряков и 4 свинки. На продажу он взял 5 поросят. Какая вероятность того, что среди них окажутся 2 хряка и 3 свинки?

11. Спонсор подарил детскому садику книги русских и зарубежных писателей, причем книги русских писателей составили 70% всех подаренных книг, а книг зарубежных писателей было 39 шт. Сколько всего книг подарили детскому садику?

12. На карточках написаны 5 различных букв: «л», «е», «н», «т», «а». Из данных карточек необходимо составить комбинации, состоящие из трех букв, которые не содержат повторяющихся букв. Определите количество таких комбинаций.

13. На старосту класса претендовали Сергей и Вероника, в голосовании приняли участия 30 учеников, голоса распределились между Сергеем и Вероникой в отношении 3:6. Насколько больше голосов получил новый староста класса?

14. Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, которые не делятся на 5.

15. Найдите векторное произведение, если известны вектор a=(0;1;3) и вектор b=(2;-1;0)

16. На стройплощадке установлено 3 крана. Для каждого крана вероятность того, что он работает в данный момент, равна 0,7. Найдите вероятность того, что в данный момент работает хотя бы один кранов на этой стройплощадке (событие А).

17. В детском саду в первой коробке игрушек 2 автобуса и 12 мотоциклов, во второй 8 автобусов и 8 мотоциклов. Игорь и Матвей из каждой коробки вынули по одной игрушке. Найдите вероятность того, что мальчики вынули автобус и мотоцикл.

18. Найдите значение матрицы: C = A*B (Ответ запишите в строчку, сначала верхний ряд слева на право, затем нижний)

А=

3   5

1   7

В=

2   6

4   1

19. Родители весь огород разделили на четыре прямоугольных участка. Периметр трех участков равны 12,16,8 (см.рисунок). Найдите периметр четвёртого участка огорода.

20. Мария из Хабаровска собралась в командировку на 2 месяца в Венесуэлу. Ей нужно было обменять 40 000 рублей на венесуэльский боливар. Маша узнала, что в банках своего города нет в наличии боливаров. Ей пришлось в Хабаровске обменять рубли на американские доллары по курсу 64 рубля 40 копеек за доллар, а по прилёту в Каракас она обменяла доллары на боливары по курсу 12 боливаров за доллар. Полученную сумму она разделила на три равные части: по части на каждый месяц и одну часть на непредвиденные расходы. Перед вылетом домой у Марии осталось неизрасходованная ровно половина части денег, оставленные на непредвиденные расходы, её она поменяла на доллары по курсу 14,78 боливаров за доллар. А в Хабаровске Маша разменяла доллары на рубли по курсу 62 рубля 30 копеек за доллар. Сколько рублей было у Марии после последнего обмена? (Расчёты проводите с целыми суммами, не округляя)

Задание для 6-7 классов. Вариант 1

Ответы записывай в специальный бланк ответов.

Выполняя тестовые задания, выбирай правильный ответ из 4-х возможных и отмечай значком X только одну букву в бланке ответов.

Выполняя задания с открытым ответом, записывай только ответ на строке рядом с номером соответствующего задания.

Выполняя творческое задание, напишите развёрнутое решение задачи.

Тестовые задания

Ответь на вопросы, выбрав правильный вариант ответа.

Задача №1 (2 балла)

Сколько существует двухзначных чисел меньших 30, у которых цифра десятков и цифра единиц одинаковой четности?

Задача №2 (2 балла)

Сколько различных по площади треугольников можно построить так, чтобы их вершины находились в узлах сетки и треугольники полностью лежали внутри фигуры?

Задача №3 (2 балла)

Расстояние между городами А и Б составляет 250 км. Автомобиль выехал из города А и проехал 2 часа со скоростью 54 км/ч. На сколько необходимо увеличить скорость автомобиля, чтобы весь путь от А до Б занял ровно 4 часа?

Задача №4 (2 балла)

Клетки доски 3x3 занумерованы числами от 1 до 9 так, что соседние номера стоят в соседних по стороне клетках. Какова наименьшая возможная сумма номеров на диагонали?

Задача №5 (2 балла)

Оля задумала натуральное число меньше 30 и нашла его остатки от деления на 6 и на 9. Сумма этих остатков оказалась равна 13. Найдите остаток от деления этого числа на 18.

Задания с открытым ответом

Выполни задания и запиши ответы на вопросы.

Задача №6 (4 балла)

Какое наименьшее количество выстрелов необходимо сделать в игре «Морской бой» на доске 8х8, чтобы точно ранить расположенный корабль 4х4?

Задача №7 (4 балла)

Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 200, которые делятся на 5, но не делятся на 13?

Задача №8 (4 балла)

Банкомат умеет выполнять две операции. Может принять сумму 140 рублей, либо выдать сумму 350 рублей. На счету лежит 1000 рублей. Какую минимальную сумму денег можно оставить на счете пользуясь данными операциями?

Задача №9 (4 балла)

В первый день дальнобойщик проехал 25% всего маршрута и еще 15 км. Во второй день он проехал 20% остатка и еще 48 км. В третий день половину оставшегося расстояния и еще 20 км. Остальные 220 км он проехал на четвертый день. Сколько км составил весь маршрут дальнобойщика?

Творческое задание

Выполни задания и запиши развёрнутое решение.

Задача №10 (7 балла)

По кругу расставлены числа от 1 до 27 в случайном порядке. Докажите, что сумма некоторых трех подряд стоящих чисел не меньше 42.

Задание для 6-7 классов. Вариант 2

Ответы записывай в специальный бланк ответов.

Выполняя тестовые задания, выбирай правильный ответ из 4-х возможных и отмечай значком X только одну букву в бланке ответов.

Выполняя задания с открытым ответом, записывай только ответ на строке рядом с номером соответствующего задания.

Выполняя творческое задание, напишите развёрнутое решение задачи.

Тестовые задания

Ответь на вопросы, выбрав правильный вариант ответа.

Задача №1 (2 балла)

Сколько существует двухзначных чисел меньших 30, у которых цифра десятков и цифра единиц разной четности?

Задача №2 (2 балла)

Сколько различных по площади треугольников можно построить так, чтобы их вершины находились в узлах сетки и треугольники полностью лежали внутри фигуры?

Задача №3 (2 балла)

Расстояние между городами А и Б составляет 300 км. Автомобиль выехал из города А и проехал 2 часа со скоростью 62 км/ч. На сколько необходимо увеличить скорость автомобиля, чтобы весь путь от А до Б занял ровно 4 часа?

Задача №4 (2 балла)

Клетки доски 3x3 занумерованы числами от 1 до 9 так, что соседние номера стоят в соседних по стороне клетках. Какова наибольшая возможная сумма номеров на диагонали?

Задача №5 (2 балла)

Юля задумала натуральное число меньше 30 и нашла его остатки от деления на 4 и на 6. Сумма этих остатков оказалась равна 8. Найдите остаток от деления этого числа на 12.

Задания с открытым ответом

Выполни задания и запиши ответы на вопросы.

Задача №6 (4 балла)

Какое наименьшее количество выстрелов необходимо сделать в игре «Морской бой» на доске 6х6, чтобы точно ранить расположенный корабль 3х3?

Задача №7 (4 балла)

Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 200, которые делятся на 7, но не делятся на 11?

Задача №8 (4 балла)

Банкомат умеет выполнять две операции. Может принять сумму 120 рублей, либо выдать сумму 300 рублей. На счету лежит 1000 рублей. Какую максимальную сумму денег можно снять со счета пользуясь данными операциями?

Задача №9 (4 балла)

В первый день путешественник прошел 20% всего пути и еще 2 км. Во второй день он прошел 50% остатка и еще 1 км. В третий день 25% оставшегося расстояния и еще 3 км. Остальные 18 км он прошел на четвертый день. Сколько км прошел путешественник за 4 дня пути?

Творческое задание

Выполни задания и запиши развёрнутое решение.

Задача №10 (7 баллов)

По кругу расставлены числа от 1 до 21 в случайном порядке. Докажите, что сумма некоторых трех подряд стоящих чисел не меньше 33.

Задание для 4-5 классов. Вариант 1

Ответы записывай в специальный бланк ответов.

Выполняя тестовые задания, выбирай правильный ответ из 4-х возможных и отмечай значком X только одну букву в бланке ответов.

Выполняя задания с открытым ответом, записывай только ответ на строке рядом с номером соответствующего задания.

Выполняя творческое задание, напишите развёрнутое решение задачи.

Тестовые задания

Ответь на вопросы, выбрав правильный вариант ответа.

Задача №1 (2 балла)

Дан ряд чисел: 5034, 916, 82, 25709, 566. Какое количество верных утверждений среди приведенных:

1. В этом ряду нет числа, которое имеет цифру 7 в разряде сотен.
2. В этом ряду есть число пять тысяч триста четыре.
3. При сложении всех чисел этого ряда получается пятизначное число.
4. В этом ряду четыре четных числа.

Задача №2 (2 балла)

Сколько существует двухзначных чисел меньших 30, все цифры которых четные?

Задача №3 (2 балла)

Вася и Витя играют в игру. Вася загадывает число от 1 до 7 включительно. За один вопрос Витя называет два числа от 1 до 7 и спрашивает, какое из них ближе к тому, которое загадал Вася. На что Вася отвечает либо первое, либо второе, либо одинаково. Какое минимальное количество вопросов понадобится Вите, чтобы отгадать Васино число?

Задача №4 (2 балла)

Азартный мальчик Андрей купил лотерейные билеты на 168 рублей. Каждый билет стоил 12 рублей. Каждый второй билет в лотерее выигрышный и выигрыш составляет 19 рублей. С выигранных денег Андрей купил еще 10 билетов и разыграл их. На сколько билетов теперь у Андрея хватит денег?

Задача №5 (2 балла)

Папа на 31 год моложе дедушки и в 4 раза старше сына. Мама младше папы на 4 года. На сколько лет мама старше сына, если дедушке 67 лет?

Задания с открытым ответом

Выполни задания и запиши ответы на вопросы.

Задача №6 (4 балла)

У учителя был набор фломастеров. Он хотел выдать пяти школьникам фломастеры одинакового цвета и не смог. Тогда он решил выдать им фломастеры разных цветов и опять не смог. Какое наибольшее количество фломастеров могло быть в наборе учителя?

Задача №7 (4 балла)

Какое наименьшее количество королей надо поставить на доску 5х5, чтобы любая пустая клетка была побита хотя бы одним из королей? (король бьет все 8 клеток вокруг себя).

Задача №8 (4 балла)

В саду у Пети и Кати росло 18 цветочных кустов. Петя полил половину всех кустов, а Катя полила треть всех кустов. При этом оказалось, что два куста были политы по два раза. Сколько цветочных кустов никто не полил?

Задача №9 (4 балла)

Ахиллес бежал со скоростью 360 метров в минуту и увидел перед собой черепаху на расстоянии 690 метров. Через сколько секунд он догонит черепаху, если она плетется со скоростью 15 метров в минуту?

Творческое задание

Выполни задания и запиши развёрнутое решение.

Задача №10 (7 баллов)

Сколькими способами можно разложить число 44 на два слагаемых больших нуля, чтобы одно из них делилось на другое?

Задание для 4-5 классов. Вариант 2

Ответы записывай в специальный бланк ответов.

Выполняя тестовые задания, выбирай правильный ответ из 4-х возможных и отмечай значком X только одну букву в бланке ответов.

Выполняя задания с открытым ответом, записывай только ответ на строке рядом с номером соответствующего задания.

Выполняя творческое задание, напишите развёрнутое решение задачи.

Тестовые задания

Ответь на вопросы, выбрав правильный вариант ответа.

Задача №1 (2 балла)

Дан ряд чисел: 7308, 295, 48, 60942, 837. Какое количество верных утверждений среди приведенных:

5. В этом ряду нет числа, которое имеет цифру 9 в разряде сотен.
6. В этом ряду есть число семь тысяч тридцать восемь.
7. При сложении всех чисел этого ряда получается пятизначное число.
8. В этом ряду четыре четных числа.

Задача №2 (2 балла)

Сколько существует двухзначных чисел меньших 30, все цифры которых нечетные?

Задача №3 (2 балла)

Ваня и Вова играют в игру. Ваня загадывает число от 1 до 6 включительно. За один вопрос Вова называет два числа от 1 до 6 и спрашивает, какое из них ближе к тому, которое загадал Ваня. На что Ваня отвечает либо первое, либо второе, либо одинаково. Какое минимальное количество вопросов понадобится Вове, чтобы отгадать Ванино число?

Задача №4 (2 балла)

Азартный мальчик Андрей купил лотерейные билеты на 210 рублей. Каждый билет стоил 15 рублей. Каждый второй билет в лотерее выигрышный и выигрыш составляет 21 рубль. С выигранных денег Андрей купил еще 6 билетов и разыграл их. На сколько билетов теперь у Андрея хватит денег?

Задача №5 (2 балла)

Тыква легче дыни на 700 грамм и в 3 раза тяжелее ананаса. Арбуз тяжелее тыквы на 400 грамм. Какова разница между арбузом и ананасом, если дыня весит 4300 грамм?

Задания с открытым ответом

Выполни задания и запиши ответы на вопросы.

Задача №6 (4 балла)

У кондитера был мешок конфет. Он хоте выдать шести ребятам одинаковые конфеты и не смог. Тогда он решил выдать им разные конфеты и опять не смог. Какое наибольшее количество конфет могло быть в мешке у кондитера?

Задача №7 (4 балла)

Какое наименьшее количество королей надо поставить на доску 4х4, чтобы любая пустая клетка была побита хотя бы одним из королей? (король бьет все 8 клеток вокруг себя).

Задача №8 (4 балла)

В огороде у родителей было 24 грядки. Папа прополол половину всех грядок, а мама прополола четверть всех грядок. Оказалось, что некоторые грядки пропололи оба родителя, а восемь грядок не прополол никто. Сколько грядок пропололи оба родителя?

Задача №9 (4 балла)

Ахиллес бежал со скоростью 470 метров в минуту и увидел перед собой черепаху на расстоянии 900 метров. Через сколько секунд он догонит черепаху, если она плетется со скоростью 20 метров в минуту?

Творческое задание

Выполни задания и запиши развёрнутое решение.

Задача №10 (7 баллов)

Сколькими способами можно разложить число 45 на два слагаемых больших нуля, чтобы одно из них делилось на другое?