2018-19 учебный год Группа № 4, 5, 6

Слайд 1

Вычисление площади поверхности фигуры Открытый банк заданий по математике http://mathege.ru:8080/or/ege/Main.action

Слайд 2

Найти площадь поверхности многогранников можно разными способами. Можно «скучно» посчитать площадь каждой грани и сложить результаты (важно при этом не запутаться). 3 3 1 1 2 2 1 1 4 2 1 1 5 4 4 3 1 1 2 Но иногда дети «видят» очень оригинальные способы…

Слайд 3

b Повторение . Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда a c Противоположные грани равны

Слайд 4

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 5 Разместим дополнительные размеры. 5 3 3 1 1 2 2 Найдем площадь каждой грани. Таких граней 2. 3 х 1 0 х В 9 7 6 1 1 1 1 3 3 2 8 2 Найди другой способ

Слайд 5

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Разместим дополнительные размеры. 4 4 6 2 4 Найдем площадь каждой грани 1 1 2 2 2 4 1 6 1 2 Таких граней 2. Таких граней 2. Таких граней 2. Таких граней 2. 3 х 1 0 х В 9 1 3 6

Слайд 6

3 Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Разместим дополнительные размеры. 3 2 2 1 1 1 1 Найдем площадь каждой грани Таких граней 2. 3 х 1 0 х В 9 3 0 1 1 2 2 3 1 1 1 1 Найди другой способ

Слайд 7

3 Площадь боковой поверхности можно найти быстрее. 3 3 х 1 0 х В 9 3 0 1 1 2 2 1 1 1 1 (уже считали)

Слайд 8

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Площадь поверхности данной фигуры будет равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда. 4 2 1 1 5 4 3 х 1 0 х В 9 1 1 2 Конечно, кто это заметит, получит правильный ответ быстрее, чем тот, кто будет считать площадь каждой «стенки» этого многогранника…

Слайд 9

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Площадь боковой поверхности данной фигуры будет равна площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда. 3 х 1 0 х В 9 4 8 Конечно, кто это заметит, получит правильный ответ быстрее, чем тот, кто будет считать площадь каждой «стенки» этого многогранника… 4 3 1 1 2 1 6

Слайд 10

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 2 3 3 6 4 5 Разместим дополнительные размеры. 3 Не хочу считать каждую «стенку», хочется что-нибудь побыстрее  Вычислим площадь поверхности верхнего параллелепипеда:  Но есть одна грань «лишняя»…  Вычислим площадь поверхности нижнего параллелепипеда:  Но и в этой площади «лишний кусочек».  3 х 1 0 х В 9 1 2 4

Слайд 11

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Разместим дополнительные размеры. Вычислим площадь полной поверхности параллелепипеда:  Добавим площадь отверстия  3 х 1 0 х В 9 9 6 1 1 7 5 2 1 Но есть «дырки», вычтем эти два «кусочка»:  Вычислим площадь поверхности отверстия: 

Слайд 12

Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности. a 2 3 х 1 0 х В 9 2 4 a a a Нам потребовались формулы !

Слайд 13

Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба. 0,5 1 1 1 1 0,5 3 х 1 0 х В 9 7 , 5

Слайд 1

Задания В8 Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru/or/ege/Main.html

Слайд 2

Найдите между вершинами В 2 и D 3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. А А 2 А 1 А 3 В В 1 В 2 В 3 С С 1 С 2 С 3 D D 1 D 2 D 3 3 3 1 1 1 1 Для диагонали прямоугольного параллелепипеда применим формулу d 2 = a 2 + b 2 + c 2  1 3 квадрат расстояния B 2 D 3 2 = 3 2 + 1 2 + 1 2 Просят найти квадрат расстояния, значит, ответ 11 . 3 х 1 0 х В 9 1 1 B 2 D 3 2 = 1 1 Измерения параллелепипеда 3, 1, 1.

Слайд 3

Найдите между вершинами В и D 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. А А 2 А 1 А 3 В 2 В 1 В В 3 С С 1 С 2 С 3 D D 1 D 3 D 2 3 3 1 1 1 1 Для диагонали прямоугольного параллелепипеда применим формулу d 2 = a 2 + b 2 + c 2  1 3 квадрат расстояния BD 2 2 = 2 2 + 3 2 + 1 2 Просят найти квадрат расстояния, значит, ответ 14 . 3 х 1 0 х В 9 1 4 BD 2 2 = 14 1 2 Измерения параллелепипеда 2, 3, 1.

Слайд 4

Найдите между вершинами A и C 3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. B А 2 А 1 А 3 В 2 В 1 A В 3 С С 1 С 2 D 2 D D 1 D 3 C 3 3 3 1 1 1 1 Для диагонали прямоугольного параллелепипеда применим формулу d 2 = a 2 + b 2 + c 2  3 квадрат расстояния AC 3 2 = 2 2 + 3 2 + 2 2 Просят найти квадрат расстояния, значит, ответ 17 . 3 х 1 0 х В 9 1 7 AC 3 2 = 17 2 1 1 1 2 Измерения параллелепипеда 2, 3, 2.

Слайд 5

Найдите тангенс угла С 2 C 3 В 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. B А 2 А 1 А 3 В 2 В 1 A В 3 С С 1 С 2 D 2 D D 1 D 3 C 3 3 3 1 1 1 1 3 :1 = 3 3 х 1 0 х В 9 3 Тангенс угла С 2 С 3 В 2 найдем из треугольника С 2 С 3 В 2 , как отношение противолежащего катета к прилежащему.  3

Слайд 6

Найдите тангенс угла АВВ 3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. B А 2 А 1 А 3 В 2 В 1 A В 3 С С 1 С 2 D 2 D D 1 D 3 C 3 3 3 1 1 1 1 2 :1 = 2 3 х 1 0 х В 9 2 Тангенс угла АВВ 3 найдем из прямоугольного треугольника КВВ 3 , как отношение противолежащего катета к прилежащему.  1 K 1 1 2

Слайд 7

Найдите тангенс угла С 3 D 3 B 3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. B А 2 А 1 А 3 В 2 В 1 A В 3 С С 1 С 2 D 2 D D 1 D 3 C 3 3 3 1 1 1 1 3 :1 = 3 3 х 1 0 х В 9 3 Тангенс угла C 3 D 3 В 3 найдем из прямоугольного треугольника C 3 D 3 В 3 , как отношение противолежащего катета к прилежащему.  3

Слайд 1

Движение по окружности (замкнутой трассе) Государственная (итоговая) аттестация Обучающие модули для дистанционной самоподготовки

Слайд 2

Е сли два велосипедиста одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v 1 и v 2 соответственно (v 1 > v 2 соответственно), то 1-й велосипедист приближается ко 2 со скоростью v 1 – v 2 . В момент, когда 1-й велосипедист в первый раз догоняет 2-го , он проходит расстояние на один круг больше. Продолжить Показать В момент, когда 1-й велосипедист в о второй раз догоняет 2-го , он проходит расстояние на два круг а больше и т.д .

Слайд 3

1 2 1. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна15 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч, скорость второго равна 80 км/ч. Сколько минут с момента старта пройдет, прежде чем первый автомобиль будет опережать второй ровно на 1 круг? 1 красный 2 зеленый 60 80 v, км/ч на 15 км меньше (1 круг) Уравнение: Ответ: 45 х получим в часах. Не забудь перевести в минуты. t , ч х х S, км 60х 80х Показать

Слайд 4

2 1 2. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 10 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 90 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. 1 автомоб. 2 автомоб. 90 х v, км/ч на 10 км больше (1 круг) Ответ: 75 t , ч 2 3 2 3 S, км 2 3 90 2 3 х Уравнение: Показать

Слайд 5

3. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого? 1 красный 2 синий х х+21 v, км/ч на 7 км меньше (половина круга) Уравнение: Ответ: 20 t получим в часах. Не забудь перевести в минуты. t , ч t t S, км t х t( х +21) Сколько кругов проехал каждый мотоциклист нам не важно. Важно, что синий проехал до точки встречи на половину круга больше, т.е. на 7 км. Еще способ в комментариях. Показать

Слайд 6

старт финиш 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 Пусть полный круг – 1 часть. 4. Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на один круг. За сколько минут второй лыжник проходит один круг? Показать

Слайд 7

4. Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на один круг. За сколько минут второй лыжник проходит один круг? на 1 круг больше Ответ: 10 1 лыжник 2 лыжник v, круг/мин t , мин 60 60 S, км х х+2 1 1 t , мин 1 лыжник 2 лыжник S, часть v, часть/мин 1 х+2 1 х 1 х+2 1 х 60 х 60 х+2 Сначала выразим скорость каждого лыжника. Пусть за х мин 1-й лыжник проходит полный круг. Второй на 2 минуты больше, т.е. х+2. 60 х 60 х+2 – = 1 Это условие поможет ввести х …

Слайд 8

5. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч , и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. 1 желтый 2 синий S, км 80 х v, км/ч t , ч 2 3 2 3 2 3 80 2 3 х на 14 км больше (1 круг) Уравнение: Можно было сначала найти скорость вдогонку: 80 – х Тогда уравнение будет выглядеть так: v S  t Ответ: 59 Нажать на кнопку можно несколько раз. Сколько кругов проехал каждый автомобиль нам не важно. Важно, что желтый автомобиль проехал на 1 круг больше, т.е. на 14 км. Показать 1 2

Слайд 9

6. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч. 1 мотоцик. 2 велосип. S, км х у v, км/ч t , ч 1 6 2 3 2 3 у 1 уравнение: 1 6 х = Показать 1 встреча. Велосипедист был до 1 встречи 40 мин (2/3 ч), мотоциклист 10 мин (1/6ч). А расстояние за это время они проехали равное. 

Слайд 10

6. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч. 1 мотоцик. 2 велосип. S, км х у v, км/ч t , ч 1 2 1 2 1 2 у на 30 км больше (1 круг) 2 уравнение: Ответ 80 1 2 х Искомая величина – х Показать (2) 2 встреча. Велосипедист и мотоциклист были в пути до 2-й встречи 30 мин (1/2 ч). А расстояние за это время мотоциклист проехал на 1 круг больше. 

Слайд 11

7. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой? минутная часовая х S, круг v, круг/ч t , ч 1 1 12 х 1х 1 12 х на круга больше 2 3 3 1х – = 1 12 х 2 3 3 Ответ: 240 мин 2 3 1 3 В первый раз минутной стрелке надо пройти на круга больше, чтобы догнать минутную стрелку. Во 2-й раз – еще на 1 круг больше. В 3-й раз – еще на 1 круг больше. В 4-й раз – еще на 1 круг больше. Всего 2 3 на круга больше 2 3 3

Слайд 12

6 12 1 2 9 11 10 8 7 4 5 3 Показать (4) В первый раз минутной стрелке надо пройти на круга больше, чтобы догнать минутную стрелку. Во 2-й раз – еще на 1 круг больше. В 3-й раз – еще на 1 круг больше. В 4-й раз – еще на 1 круг больше. Всего 2 3 на круга больше 2 3 3 Проверка Другой способ – Минутная стрелка догоняет часовую один раз в час. Последний, четвертый раз догонит в 12:00, т.е. через 4 часа, или 240 минут.

Слайд 13

ЕГЭ 2010. Математика. Задача В12. Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко http://www.2x2abc.com/forum/users/2010/B12.pdf Открытый банк заданий по математике. ЕГЭ 2011 http://mathege.ru/or/ege/Main.html Рисунки автора http://le-savchen.ucoz.ru/index/0-67 Лыжник http://officeimg.vo.msecnd.net/en-us/images/MH900282779.gif Материалы опубликованы на сайте автора «Сайт учителя математики» Раздел «Подготовка к ЕГЭ». Задание В12. http://le-savchen.ucoz.ru/publ/17

Слайд 1

Классная работа 30.04.19 Компланарные векторы c a b

Слайд 2

A B C A 1 B 1 C 1 D 1 D I. «Повторяй-Ка!» K Назовите векторы, которые коллинеарны вектору AD и лежат с ним в одной грани 1. В екторы ВС, А 1 D 1

Слайд 3

A B C A 1 B 1 C 1 D 1 D I. «Повторяй-Ка!» K 2) Назовите векторы, которые коллинеарны вектору BB 1 и не лежат с ним в одной грани 1. В ектор DD 1

Слайд 4

A B C A 1 B 1 C 1 D 1 D I. «Повторяй-Ка!» K 3) Назовите векторы, которые коллинеарны вектору СК и лежат с ним на одной прямой 1. В ектор С C 1

Слайд 5

II. «Открытие новых знаний»

Слайд 6

Определение 1 . Векторы называются компланарными , если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. c Другими словами, векторы называются компланарными , если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. a c Любые два вектора компланарны.

Слайд 7

Замечание : Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. c a k

Слайд 8

Замечание : Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед. А О Е D C 1. Являются ли векторы ВВ 1 , О D и ОЕ компланарными? В B 1

Слайд 9

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед. А О Е D C В B 1 Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор ОС не лежит в плоскости ОАВ. 2. Являются ли векторы ОА, ОВ и ОС компланарными?

Слайд 10

B C A 1 B 1 C 1 D 1 3. Являются ли векторы AD , А 1 С 1 и D 1 B компланарными? Векторы А 1 D 1 , A 1 C 1 лежат в плоскости А 1 D 1 C 1 . Вектор D 1 В не лежит в этой плоскости. Векторы AD , А 1 С 1 и D 1 B не компланарны. A D

Слайд 11

A B C A 1 B 1 C 1 D 1 D 4. Являются ли векторы AD и D 1 B компланарными? Любые два вектора компланарны.

Слайд 12

№ 355(а) Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 АА 1 , СС 1 , ВВ 1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.

Слайд 13

№ 355(б) Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 АВ, А D , АА 1 Векторы АВ, А D и АА 1 не компланарны, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС.

Слайд 14

№ 355(в) Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 В 1 В, АС, DD 1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.

Слайд 15

№ 355(г) Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 А D , CC 1 , А 1 B 1 Векторы АВ, А D и АА 1 не компланарны, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС. А D , CC 1 , А 1 B 1 Векторы не компланарны

Слайд 16

1. Любые два вектора компланарны. 2. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. Вывод:

Слайд 17

Если вектор можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде где x и y – некоторые числа, то векторы , и компланарны . c a b c = x a + y b a b c III. Признак компланарности

Слайд 18

c = xa + yb Докажем, что векторы компланарны. b О В В 1 А 1 А С ОВ 1 = у ОВ ОА 1 = х ОА Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ. Векторы ОА 1 и ОВ 1 также лежат плоскости ОАВ. А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ, равный вектору . c c a

Слайд 19

Если вектор можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде где x и y – некоторые числа, то векторы , и компланарны. c a b c = xa + yb a b c Признак компланарности Справедливо и обратное утверждение . Если векторы , и компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. c a b c = xa + yb a b c a b

Слайд 20

Сложение векторов. Правило треугольника. a a b b a + b АВ + ВС = АС П О В Т О Р И М

Слайд 21

Сложение векторов. Правило параллелограмма. a a b b a + b b a + АВ + А D = АС А В D C П О В Т О Р И М

Слайд 22

Сложение векторов. Правило многоугольника. = А O АВ + ВС + С D + DO a c n m c m n a+c+m+n a П О В Т О Р И М

Слайд 23

A В С В 1 D Е Правило параллелепипеда. a b c О OE + ED = (OA + AE) + ED = OA + OB + OC = = a + b + c OA + OB + OC = OD из OED из OAE OD =

Слайд 24

D В A С B 1 C 1 D 1 № 35 8 а) Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: АВ + А D + АА 1 A 1 = AC 1

Слайд 25

В A С C 1 D 1 D № 35 8 б)Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: D А + DC + DD 1 A 1 = DB 1 B 1

Слайд 26

В A С C 1 D 1 D № 35 8 в) Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 = DB 1 B 1 A 1 B 1 + C 1 B 1 + BB 1 DC + DD 1 + DA

Слайд 27

В A С C 1 D 1 D № 35 8 г) Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 = A 1 C B 1 A 1 A + A 1 D 1 + AB + A 1 B 1 A 1 A + A 1 D 1

Слайд 28

В A С C 1 D 1 D № 35 8 д) Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 = BD 1 B 1 B 1 A 1 + BB 1 + BC BA + BB 1 + BC

Слайд 29

Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Если вектор представлен в виде где , и - некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и . Числа , и называются коэффициентами разложения. p = xa + yb + zc c x z p y b a x z y

Слайд 30

p = xa + yb + zc Докажем, что любой вектор можно представить в виде p b c a p C B P 1 A P P 2 a b c p O По правилу многоугольника ОР = ОР 2 + Р 2 Р 1 + Р 1 Р ОР 2 = x OA Р 2 Р 1 = у O В Р 1 Р = z OC ОР = x OA + y OB + z OC p = xa + yb + zc

Слайд 31

Если предположить, например, что , то из этого равенства можно найти Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим, что это не так и существует другое разложение вектора p = x 1 a + y 1 b + z 1 c p = xa + yb + zc – o = ( x – x 1 )a + (y – y 1 )b + (z – z 1 )c Это равенство выполняется только тогда, когда o o o Тогда векторы компланарны. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение не верно, и Следовательно, коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Слайд 32

В A С C 1 D 1 D № 359 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . а) Разложите вектор BD 1 по векторам BA , ВС и ВВ 1 . A 1 B 1 В D 1 = BA + BC + BB 1 По правилу параллелепипеда

Слайд 33

В A С C 1 D 1 D № 359 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . б) Разложите вектор B 1 D 1 по векторам А 1 A , А 1 В и А 1 D 1 . A 1 B 1 В 1 D 1 = B 1 A 1 + А 1 D 1 По правилу треугольника из А 1 В 1 D 1 : из А 1 В 1 B = ( В 1 B + BA 1 )+ А 1 D 1 = = (A 1 A – A 1 B)+ А 1 D 1 = = = A 1 A – A 1 B+ А 1 D 1

Слайд 34

Домашнее задание П.38 – 45, учить основные понятия, м/д. Атанасян Л.С. № 368(а,б), 364, 365, 362

Слайд 1

Классная работа 2.05.19 Наибольшее и наименьшее значение функции Открытый банк заданий по математике http://mathege.ru:8080/or/ege/Main.action Методическая разработка Савченко Е.М., редактировано Мещенко Н.В. .

Слайд 2

I. Повторяй- Ка! 1. Вычислите производную функции

Слайд 3

у х 0 -7 6 5 4 2 -5 у наиб. = 4 [-5; 6] у наиб. = 5 [-7; 6] 1 1

Слайд 4

у х 0 -7 6 у наим . = - 3 [- 7 ; 4 ] у наим. = - 4 [-7; 6] -3 - 2 4 -4

Слайд 5

наибольшее значение наибольшее значение наименьшее значение наименьшее значение a b a b Предположим, что функция f не имеет на отрезке [а; b] критических точек. Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке. Значит, наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b. функция возрастает функция убывает

Слайд 6

наименьшее значение наибольшее значение наибольшее значение наименьшее значение наименьшее значение a b a b Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; b] конечное число критических точек. Наибольшее и наименьшее значения функция f может принимать в критических точках функции или в точках а и b. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число стационарных и критических точек, нужно вычислить значения функции во всех таких точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее. Примеры c n c наибольшее значение

Слайд 7

Выводы 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значений. 2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него. 3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

Слайд 8

Теорема Вейерштрасса Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815-1897 гг.) - немецкий математик Непрерывная на отрезке [ a;b ] функция f(x) принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения . II. Открытие новых знаний

Слайд 9

Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 27x на отрезке [0; 4] 1. Найдем стационарные и критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 2) y (0) = 0 y (4) = 4 3 – 27 4 = – 44 3) y / = 3x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) x = 3 [0; 4] x = –3 [0; 4] 4) y ( 3 ) = 3 3 – 27 3 = – 54 3 х 1 0 х В 11 - 5 4 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Область определения функции D(y ( x) ) = R, так как все действия выполнимы с любым числом Так как D(y´ ( x) ) = R, то критических точек нет Найдем стационарные точки, то 3(x – 3)(x + 3) =0 x = 3 x = –3

Слайд 10

Этапы 2. Найти f / (x) 3. Найти стац. и критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 4. Вычислить значения функции в стационарных и критических точках и на концах отрезка. 5. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 27x на отрезке [0; 4] 2) y / = 3x 2 – 27 3) y / = 3x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3 -3 x = 3 [0; 4] x = –3 [0; 4] y (4) = 4 3 – 27 4 = – 44 y ( 3 ) = 3 3 – 27 3 = – 54 3 х 1 0 х В 11 - 5 4 4) y (0) = 0 Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно. 1 ) D(y(x)) = R 1. Найти D( f(x))

Слайд 11

наибольшее значение наименьшее значение a b a b Предположим, что функция f имеет на отрезке [а; b] одну точку экстремума. Если это точка минимума, то в этой точке функция будет принимать наименьшее значение. Если это точка максимума, то в этой точке функция будет принимать наибольшее значение.

Слайд 12

Этапы 2. Найти f / (x) 3. Найти крит. и стационарные точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 4. Вычислить значения функции в крит. и стац. точках и на концах отрезка. 5. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 27x на отрезке [0; 4] 2) y / = 3x 2 – 27 3) y / = 3x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3 -3 y ( 3 ) = 3 3 – 27 3 = – 54 3 х 1 0 х В 11 - 5 4 4) Другой способ решения + + – x y \ y -3 3 0 4 min Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка. Этот способ будет удобно вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным. 1 ) D(y(x)) = R 1. Найти D( f(x))

Слайд 13

x 2 = – 1 [ -2 ; 0 ] Найдем стационарные и критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 2) y (0) = 4 y (-2) = (-2) 3 – 3 (-2) +4 = 2 3) y / = 3x 2 – 3 = 3(x 2 – 1 ) = 3(x – 1 )(x + 1 ) x 1 = 1 [ -2 ; 0 ] 4) y (-1) = (-1) 3 – 3 (-1) + 4 = 6 3 х 1 0 х В 11 6 Значения функции в стационарных точках, которые принадлежат заданному отрезку. Найдите наибольшее значение функции y = x 3 – 3 x + 4 на отрезке [ – 2 ; 0 ] 2. 1 ) D(y(x)) = R Найти D( f(x)) Так как D(y´ ( x) ) = R, то критических точек нет Найдем стационарные точки, то 3(x – 1 )(x + 1 ) =0 x = 1 x = – 1

Слайд 14

Найдем стац. и крит. точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 2) y (1) = 1 – 2 + 1 + 3 = 3 y (4) = 4 3 – 2 4 2 + 4 + 3 = 39 3) y / = 3x 2 – 4 x + 1 [1; 4] 4) y ( 1 ) = 3 3 х 1 0 х В 11 3 Значения функции в стац. и крит. точках, которые принадлежат заданному отрезку. Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 2 x 2 + x +3 на отрезке [ 1; 4 ] 3. 3x 2 – 4 x + 1 = 0 D=16– 4 ·3·1=4 x 2 = 4-2 6 = 3 1 [1; 4] 6 x 1 = 4+2 = 1 1 ) D(y(x)) = R Найти D( f(x)) Так как D(y´ ( x) ) = R, то критических точек нет Найдем стационарные точки, то

Слайд 15

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ -3 ; 3 ] 4 . x = – 3 [ -3 ; 3 ] Найдем стац. и крит. точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. x = 3 [ -3 ; 3 ] y (-3) = 11 3 х 1 0 х В 11 1 1 Значения функции в стац. и крит. точках, которые принадлежат заданному отрезку. y (3) = -25 1 ) D(y(x)) = R 1. Найти D( f(x))

Слайд 16

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ -10 ; 1 ] 5. Найдем стац. и крит. точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка . 3 х 1 0 х В 11 5 , - 1 2 Значения функции в стац. и крит. точках, которые принадлежат заданному отрезку. Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде x = – 5 [ -10 ; 1 ] x = 5 [ -10 ; 1 ] x = 0 D ( y) x = 0 D ( y): 2 / 1 1 х х         1. Найти D( f(x)) 5 -5 0

Слайд 17

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ -10 ; 1 ] 5. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка . 3 х 1 0 х В 11 5 , - 1 2 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. x = 0 D ( y): Можно решить задание, применив формулу: 2 / / / v uv v u v u        

Слайд 18

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 1 ; 9 ] 6. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка . 3 х 1 0 х В 11 3 7 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде x = – 6 [ 1 ; 9 ] x = 6 [ 1 ; 9 ] x = 0 D ( y) 2 / 1 1 х х         x = 0 D ( y): 1. Найти D( f(x))

Слайд 19

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ 1 ; 9 ] 7. Найдем стац. и крит. точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 3 х 1 0 х В 11 - 3 Значения функции в стац. и крит. точках, которые принадлежат заданному отрезку. [ 1 ; 9 ] 2 x ≥ 0 D ( y): 1. Найти D( f(x))

Слайд 20

Найдите наибольшее значение функции y = 7cosx +16x – 2 на отрезке 3 х 1 0 х В 11 5 8. Функция на всей области определения возрастает. Нетрудно догадаться, что у / > 0 . Тогда наибольшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0. 2. Найти f / (x) 3. Найти стац и крити. точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.   / cosx  – sinx Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наибольшее. 0 R D ( y): 1. Найти D( f(x))

Слайд 21

Критических точек нет. Тогда наибольшее значение функция будет принимать в одном из концов отрезка. Можно было и раньше догадаться, что наибольшее значение будет именно в левом конце отрезка! Как? 6 5 sin          6 sin           3 х 1 0 х В 11 3 2 Найдите наибольшее значение функции y = 10sinx – x + 7 на отрезке 9 . 2 . Найти f / (x) 3 . Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.   / sinx  cosx 0 36 2 1  6 sin     6 5 sin          Формула приведения Синус –нечетная функция R D ( y): 1. Найти D( f(x))

Слайд 22

Функция на всей области определения убывает. Нетрудно догадаться, что у / < 0 . Тогда наименьшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0. 3 х 1 0 х В 11 9 Найдите наименьшее значение функции y = 5 cosx – 6x + 4 на отрезке 1 0 . 2 . Найти f / (x) 3 . Найти стац. и крит . точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.   / cosx  – sinx 1 0 Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наименьшее. R D ( y): 1. Найти D( f(x))

Слайд 23

3 х 1 0 х В 11 1 2 Найдите наибольшее значение функции y = 12 cosx + 6 x – 2 + 6 на отрезке 1 1 . 2 . Найти f / (x) 3 . Найти c тац. и крит . точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Но нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок R D ( y): 1. Найти D( f(x))

Слайд 24

3 х 1 0 х В 11 1 2 Найдите наибольшее значение функции y = 12 cosx + 6 x – 2 + 6 на отрезке 12. 2 . Найти f / (x) 3 . Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Убедимся, что данная точка является точкой максимума на заданном промежутке. Значит, наибольшее значение функция достигает именно в этой точке. Тогда значения функции в концах отрезка можно не считать. – + 3 x y \ y 2 0 Можно рассуждать иначе max R D ( y): 1. Найти D( f(x))

Слайд 25

Домашнее задание Учебник Мордкович, п.46 теория Повторить теорию: уравнение касательной, монотонность функции 3) Задачник Мордкович : № 46.9 (б), 46.16 (б), 46.17 (б), 46.24 (б)