Экспресс - курс по подготовки к ЕГЭ по математике!

ЗАДАЧИ В1

Обычно в данных задачах нужно определить количество чего-либо. Помните, что в ответе должно получиться только целое число, т.к. не бывает три с половиной шлюпки, человека, машины.

Типичные ошибки, которые допускают учащиеся:

• получив в ответе не целое число, округляют его не в ту сторону (внимательно читайте условие);
• путают, какую величину брать за 100%,  уделите внимание задачам 26644, 26629,  26631, 77345,  77347, 77348. Они просты, но почему-то при их решении ошибаются чаще.
• допускают  ошибки  при сокращении дробей.

В большинстве задач В1 используется понятие — процент. Все в быту сталкиваются с понятием процента и используют его. Даже не изучая никакой теории, мы понимаем, что 50% это половина чего-то, 10% это десятая часть чего-то, 100%  это  полностью это «что-то».

Вспомним, что 1% — это одна сотая часть от чего-либо (1/100), 2% это две сотых чего-либо (2/100), значит 56% это 56/100 и так далее.
Итак, от  какой-либо величины,

- это части (доли) от чего-либо, например если выразить в долевом отношении 25% от килограмма конфет, то это будет одна четверть от килограмма. Части (доли) могут быть представлены не только в виде дробей, но и в виде десятичной дроби, например 0,25;  0,6; 0,05; 0,56.

Что такое дробь  (часть) от числа? Когда мы говорим:

«одна четверть от х» — это значит, что дробь  умножается на величину х. «2% от 60 минут» означают, что   надо умножить на 60.

Чтобы найти дробь (или часть) от числа,

надо дробь (часть) умножить  на это число.

***

В задачах часто говорится об  изменении какой-либо величины на  определенный процент. Что это значит?

Повышение цены на 10% означает, что к прежней цене х  прибавили 0,1х

Наоборот, скидка на  25% означает, что прежняя цена уменьшилась на 25%. Если первоначальная цена равна х, то новая цена составит

Теперь мы можем сказать, что:

если величину увеличить на  процентов, получим

(действительно, раскроем скобку  , видим, что  увеличивается на  процентов)

если величину уменьшить на  процентов, получим

(действительно, раскроем скобку  , видим, что  уменьшается на  процентов).

Эти формулы вы всегда сможете вывести сами, главное уловивить суть вышесказанного.

ЗАПОМНИМ важное правило: за 100%  принимается та величина, с которой мы сравниваем.

***

Напомним, что пропорция — это равенство вида

   или  a:b=c:d    что тоже самое (это разная форма записи).

Основное правило пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть 

Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее можно найти именно по этому правилу.

Например, из пропорции  находим  х:   

Для простоты вычислений, чтобы обойтись без лиших записей и вы не задумывались в дальнейшем, как правильно посчитать и не ошибиться, запомните простое правило –  где бы в пропорции не стоял , его мы находим следующим образом:

записываем , ставим знак равенства, далее дробь, в числитель записываем произведение известных членов стоящих по диагонали, в знаменатель то значение, которое стоит по диагонали от   (возможно, я выразился не корректно, но суть такова). То есть:

Уважаемые выпускники во многих задач будет представлен не один способ решения, на ЕГЭ выбирайте для себя тот путь, который вам понятен.

26616. Сырок стоит 7 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 60 рублей?

Способ 1:

Понятно, 60р  нужно разделить на 7р 20коп и мы получим количество сырков.

Получили восемь целых одну треть сырка. Треть сырка  не продаётся, поэтому ответ округляем в меньшую сторону. Получается, что наибольшее количество сырков, которое можно купить  8. Можно  было произвести деление столбиком, результат тот же:

Способ 2:

Подобные  задачи можно решать путём  перебора, например, начнём с  шести сырков:

Из данного решения видно, 60 рублей хватит только на 8 сырков.

Ответ: 8

26617. Теплоход рассчитан на 750 пассажиров и 25 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 70 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

Найдём общее число человек, которые могут находиться на теплоходе:

750+25=775 человек.

Можно построить рассуждение таким образом: в данной задаче сразу видно, что в 10-ти шлюпках уместится 700 человек, в 11-ти 700+70=770 человек, для пяти человек тоже необходима шлюпка. Таким образом, нужно минимум 12 шлюпок, чтобы в случае необходимости разместить 775 человек.

Или можно 775 разделить на 70:

Получили одиннадцать целых одну четырнадцатую шлюпки. Значит для размещения 775 человек необходимо 12 шлюпок (округляем в большую сторону).

Или делим столбиком:

775=11∙70+5

Получили, что 11 шлюпок будут загружены полностью, и ещё останется 5 человек, для которых нужна будет 12-ая шлюпка.

Ответ: 12

26618. Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?

Сначала определим, сколько стоит флакон шампуня во время распродажи. За сто процентов принимаем 160 рублей, за х размер скидки, составим пропорцию:

160 рублей   -  100%

х     рублей   -   25%

Скидка составила 40 рублей, значит, стоимость флакона во время распродажи составляла 160-40=120 рублей.

Или можно посчитать по формуле, которую мы рассмотрели выше (в самом начале):

Найдём максимальное количество флаконов, которое можно купить на  1000 рублей.

1000=8∙120+40

Получили, что можно купить 8 флаконов и ещё останется сдача 40 рублей.

Ответ: 8

26619. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?

Определим цену ручки после повышения на 10%. Для этого сначала найдём, на какую сумму выросла цена, обозначим её за х. Составляем пропорцию, за сто процентов примем 40 рублей (величину с которой сравниваем), за х примем 10%.

40 рублей   -  100%

х рублей     -   10%

Значит, цена повысилась на 4 рубля, и ручка стала стоить 40+4=44 рубля.

Или по формуле:

Теперь определим, какое наибольшее число ручек можно купить на 900 рублей.

900=20∙44+20.  То есть на 900р  можно купить 20 ручек по 44 р, причём сдача составит 20р.

Ответ: 20

26620. Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 750 рублей после понижения цены на 10%?

Определим цену тетради после понижения на 10%. Для этого сначала найдём, на какую сумму снизилась цена, обозначим её за х. Составляем пропорцию, за сто процентов примем 40 рублей (величину с которой сравниваем), за х примем 10%.

40 рублей   -  100%

х рублей     -   10%

Значит, цена снизилась на 4 рубля, и тетрадь стала стоить 40-4=36 рублей.

Или считаем по формуле:

Теперь определим, какое наибольшее число тетрадей можно купить на 750 рублей.

750=20∙36+30.  То есть на 750р  можно купить 20 тетрадей по 36р, причём сдача составит 30р.

Ответ: 20

26621. Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 120 рублей за штуку и продает с наценкой 20%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1000 рублей?

Определим цену горшков после наценки на 20%. Для этого сначала найдём, на какую сумму повышается  цена, обозначим её за х. Составляем пропорцию, за сто процентов принимаем 120 рублей (величину с которой сравниваем), за х примем 20%:

120 рублей   -  100%

х рублей       -   20%

Значит, после наценки стоимость горшка составила 120+24=144 рубля.

Или считаем по формуле:

Теперь определим, какое наибольшее число горшков можно купить на 1000  рублей.

1000р = 6шт ∙ 144р+136р.  То есть на 1000р  можно купить 6 горшков по 144р,  причём сдача составит 136р.

Ответ: 6

26622. В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1200 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 4 недели?

За неделю  расходуется 1200 листов, значит, за 4 недели расходуется 1200∙4=4800 листов. Определим сколько это пачек бумаги.

4800=9∙500+300

4800 листов это 9 целых пачек бумаги и ещё одна не полная пачка - 300 листов, значит на 4 недели необходимо купить 10 пачек бумаги.

Ответ: 10

26623. Аня купила проездной билет на месяц и сделала за месяц 41 поездку. Сколько рублей она сэкономила, если проездной билет на месяц стоит 580 рублей, а разовая поездка — 20 рублей?

Аня сделала 41 поездку. Если бы она ездила без проездного, то затратила бы  41∙20=820 рублей. Получается, что Аня сэкономила 820-580=240 рублей.

Ответ: 240

26624. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

Определим, сколько лекарства требуется больному: 0,5∙3∙21=31,5 грамм.

Определим, сколько грамм лекарства в одной упаковке: 10∙0,5=5 грамм.

Найдём наименьшее количество упаковок, которое необходимо приобрести. Так как числа небольшие и расчёты лежат в пределах таблицы умножения, считаем: 5 грамм по 6 упаковок будет  30 грамм лекарства. Значит, шести упаковок не хватит. Необходима седьмая.

Ответ: 7

26625. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 6 литров маринада?

Определим, сколько грамм кислоты требуется для приготовления 6 литров маринада: 12∙6=72 грамма. Без деления столбиком видно, что необходимо купить 8 пакетиков. Семи пакетиков не хватит, так как в семи пакетиках будет 10∙7=70 грамм кислоты, а необходимо 72 грамма.

Ответ: 8

26626. Шоколадка стоит 35 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 200 рублей в воскресенье?

Определим, сколько шоколадок можно приобрести на 200 рублей.

Округляем в меньшую сторону. То есть на 200 рублей можно купить 5 шоколадок (200=5∙35+25, 25 рублей это сдача). В воскресенье за каждые две купленные дарят третью. Предлагаю вам в подобных задачах для наглядности расписать сумму подобным образом: 5=2+2+1.  Видно, что подарят две шоколадки (по одной на каждую пару). Значит всего можно приобрести 5+2=7 штук.

Ответ: 7

26627. Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей?

Определим розничную цену, она выше на 20% оптовой. Для этого сначала найдём, на какую сумму повышается  цена, обозначим её за х. Составляем пропорцию, за сто процентов принимаем 170 рублей (величину с которой сравниваем),  х  это  20%.

170 рублей   -  100%

х рублей       -   20%

Значит, розничная  цена составила 170+34=204 рубля.

Или считаем по формуле:

Теперь определим, какое наибольшее число учебников можно купить на 7000  рублей.

7000р = 34шт ∙ 204р+64р.  То есть на 7000р  можно купить 34 учебника по 204р,  причём сдача составит 64р.

Ответ: 34

26628. Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей  стоят билеты на всю группу?

50%  от 720  это ровно половина (пропорцию в данном случае можно не составлять). То есть цена билета для школьника равна:  720  делим на 2, получаем 360 рублей.

Считаем стоимость билетов на всю группу:

360∙15+720∙2=5400+1440=6840 рублей.

Ответ: 6840

26629. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Данная задача отличается от тех, что мы рассматривали выше.  

Обратите внимание, что 3480 рублей это цена, после повышенния на 16%. То есть  в пропорции мы запишем 3480 это 116%,  а стоимость до повышения примем за 100% (помните правило – за 100% процентов принимаем величину, с которой сравниваем).

3480 рубля   -  116%

х рублей       -  100%

До повышения цены чайник стоил 3000 рублей.

Или решаем уравнение:

Ответ получим тот же.

Для достоверности сделаем проверку.

То есть решим обратную задачу: чайник стоит 3000 рублей, цена повысилась на 16%. Какова его стоимость после повышения?

3000 рублей   -  100%

х рублей         -  116%

Верно.

Ответ: 3000

26630. Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить  680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

Определим, сколько процентов от восьмисот составляет сниженная цена. 800 рублей (величина, с которой сравниваем) принимаем за 100%, 680 рублей это х %. Пропорция

800 рублей     -  100%

680 рублей     -   х %

То есть 680 это 85% от 800 рублей. Значит, цена снизилась на                 100-85=15%.

Ответ: 15

26631. В городе N живет 200000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых жителей 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

Почему-то именно эту задачу   редко решают правильно? Дело в том, что «15 процентов» или «45 процентов» — величины относительные. Каждый раз за сто процентов могут приниматься разные величины. Помните правило: за сто процентов принимается в каждом случае то, с чем мы сравниваем.

Итак, дети и подростки составляют 15% от  200000 жителей. Значит, их число — это 15% от 200000, то есть  надо умножить на 200000.

Получили, что городе  30000 детей и подростков. Следовательно, взрослых   200000-30000=170000 человек.

Среди взрослых 45% не работает. Теперь за 100% мы принимаем число взрослых. Получается, что число работающих взрослых жителей равно 55%  от 170000

170000      -  100%

 х               -   55%

Ответ: 93500.

26632. Таксист за месяц проехал 6000 км. Стоимость 1 литра бензина — 20 рублей. Средний расход бензина на 100 км составляет 9 литров. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц?

Найдём количество потраченного бензина на 6000 километров.

Стоимость потраченного бензина 540∙20=10800 рублей.

Ответ: 10800

26633. Клиент взял в банке кредит 12000 рублей на год под 16%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем, чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

Определим, сколько всего должен выплатить клиент, 16% от 12000 это   от 12000:

Вы можете составить пропорцию, найти 16% от 12000, затем сложить. Ещё раз повторюсь, решайте так, как вам удобнее и понятнее.

Теперь определим, сколько клиент будет выплачивать в месяц:

Ответ: 1160

26634. В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере 166 человек. Сколько килограммовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 5 дней?

Определяем, сколько грамм сахара нужно на 166 человек на 5 дней:

40∙166∙5=33200 грамм. Переводим в килограммы –  это 33,2кг.

То есть необходимо 34 килограммовых упаковки. Тридцать три не хватит, так как потребуется ещё 200 грамм. Поэтому в подобных задачах ответ округляем в большую сторону.  

Ответ: 34

26635. В летнем лагере 218 детей и 26 воспитателей. В автобус помещается не более 45 пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город?

Всего необходимо перевезти 218+26=244 человека. Делим 244 на 45 и определяем количество автобусов (величины лежат в пределах устного счёта). 244=5∙45+19   потребуется 6 автобусов, 5 будут заполнены полностью, в шестом разместится 19 человек.

Ответ: 6

26636. Летом килограмм клубники стоит 80 рублей. Маша купила 1 кг 200 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна получить с 500 рублей?

Маша потратила на клубнику 80∙1,2=96 рублей.

Сдача составит 500-96=404 рубля.

Ответ: 404

26637. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Вани есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?

Определим максимальное количество тюльпанов, которое может купить Ваня: 500=16∙30+20 (то есть Ваня может купить максимум 16 тюльпанов, сдача составит 20 рублей). Но полагается дарить нечётное число цветов, поэтому наибольшее число тюльпанов, которое он может подарить – 15 штук.

Ответ: 15

26640. Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 65 миль в час? Ответ округлите до целого числа.

Всё предельно просто: 65 умножим на 1609 и получим количество метров, которое Павел Иванович проедет за час. Далее не забывайте перевести метры в километры, округлить и записать ответ.

1609∙65=104585 метров в час –   это 104,585 км/ч, округляем и получаем 105.

Ответ: 105

26641. В университетскую библиотеку привезли новые учебники по геометрии для 1-3 курсов, по 360 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 9 полок, на каждой полке помещается 25 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?

Сначала определяем, сколько учебников помещается в одном шкафу: 9∙25=225 штук.

Определяем, сколько всего завезли учебников: три курса по 360 штук на каждый, это 3∙360=1080  учебников.

Делим 1080 на 225 и получим:

Значит, учебниками заполнится 4 целых шкафа и ещё восемь десятых шкафа. Полностью заполнится 4 шкафа.

Ответ: 4

26642. Для приготовления вишневого варенья на 1 кг вишни нужно 1,5 кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 27 кг вишни?

На 1кг вишни нужно 1,5 кг сахара, значит на 27 кг вишни нужно 27∙1,5=40,5 кг сахара. Получается, что нужно купить 41 килограммовую упаковку сахара.

Ответ: 41

26643. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 12500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?

Составляем пропорцию и находим 13% от 12500 рублей:

12500  рублей     -  100%

х     рублей          -   13 %

Иван Кузьмич получит после вычета 12500-1625=10875 рублей.

Ответ: 10875

26644. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

Не смотря на простоту задачи, именно этот тип  решают неверно на много чаще. Внимание! 9570 рублей это зарплата после удержания 13%, значит 9570 это 87% от всей зарплаты. Принимаем всю зарплату  х рублей за 100%.

9570  рублей     -  87%

х        рублей     -  100 %

Ответ: 11000

77331. На счету Машиного мобильного телефона было 53 рубля, а после разговора с Леной осталось 8 рублей. Сколько минут длился разговор с Леной, если одна минута разговора стоит 2 рубля 50 копеек.

Определяем, сколь рублей Маша потратила на разговор: 53-8=45 рублей.

Делим 45 на 2,5 и получаем количество минут:

Ответ: 18

77332. Выпускники 11 "А" покупают букеты цветов для последнего звонка: из 3 роз каждому учителю и из 7 роз классному руководителю и директору. Они собираются подарить букеты 15 учителям (включая директора и классного руководителя), розы покупаются по оптовой цене 35 рублей за штуку. Сколько рублей стоят все розы?

То есть букеты будут распределены следующим образом:

13 учителей по три розы по 35 рублей   13∙3∙35=1365 рублей.

1 классный руководитель 7 роз по 35 рублей   7∙35=245 рублей

1 директор 7 роз по 35 рублей тоже 245 рублей

Всего затратят 1365+245+245=1855 рублей.

Ответ: 1855

77333. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек. Счетчик электроэнергии 1 ноября показывал 12625 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 12802 киловатт-часа. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь?

Определим, сколько электроэнергии было израсходовано                  12802-12625=177 коловатт-часов. Далее определяем стоимость этой энергии  177∙1,8=318,6 рублей.

Ответ: 318,6

77334. В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.

Отдыхающие затратили на покупку 3 кг помидор 4∙3=12 гривен. В рублях это составит 12∙3,7=44, 4. Округляем и получаем 44.

Ответ: 44

77335. Маша отправила SMS-сообщения с новогодними поздравлениями своим 16 друзьям. Стоимость одного SMS-сообщения 1 рубль 30 копеек. Перед отправкой сообщения на счету у Маши было 30 рублей. Сколько рублей останется у Маши после отправки всех сообщений?

Определим, сколько Маша затратила  на поздравления: 16∙1,3=20,8 рублей. Значит, у неё осталось на счету 30-20,8=9,2 рубля.

Ответ: 9,2

77336. Поезд Новосибирск-Красноярск отправляется в 15:20, а прибывает в 4:20 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?

Ответ очевиден – 13 часов. Если нет механических часов, чтобы определить по циферблату, и не можете вычислить устно, то нарисуйте эскиз циферблата и посчитайте.

77337. В школе есть трехместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 20 человек?

Не обходимо взять 7 палаток, шести не хватит, так как в них разместится только 18 человек.

Ответ: 7

77338. В общежитии института в каждой комнате можно поселить четырех человек. Какое наименьшее количество комнат необходимо для поселения 83 иногородних студентов?

83 делим на 4 и получаем количество комнат.

Округляем в большую сторону. То есть необходимо 21 комнаты.

Ответ: 21

77339. Каждый день во время конференции расходуется 70 пакетиков чая. Конференция длится 6 дней. Чай продается в пачках по 50 пакетиков. Сколько пачек нужно купить на все дни конференции?

Определяем сколько пакетиков необходимо на 6 дней: 70∙6=420 пакетиков. Так как в пачке находится по 50 пакетиков, то необходимо  купить

Округляем в большую сторону, получаем 9 пачек.

(другими словами  420 пакетиков это 8 целых пачек  и ещё 20 пакетиков, поэтому и необходимо купить 9 пачек)

Ответ: 9

77340. В школе 124 ученика изучают французский язык, что составляет 25% от числа всех учеников. Сколько учеников учится в школе?

124 ученика это 25%, все ученики это 100%,  составляем пропорцию

124   ученика     -  25%

   х  учеников     -  100 %

Ответ: 496

77342. Пачка сливочного масла стоит 60 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 5%. Сколько рублей заплатит пенсионер за пачку масла?

Скидка составляет 5% от 60 рублей, это    от 60 рублей,                       . Пенсионер заплатит 60-3=57 рублей.

Ответ: 57

77343. Тетрадь стоит 24 рубля. Сколько рублей заплатит покупатель за 60 тетрадей, если при покупке больше 50 тетрадей магазин делает скидку 10% от стоимости всей покупки?

Так как покупатель приобретает 60 тетрадей, значит, он получит скидку. Сумма без скидки составляет 24∙60=1440 рублей. Покупатель заплатит (со скидкой):

Ответ: 1296

77344. Призерами городской олимпиады по математике стало 48 учеников, что составило 12% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

48 человек это 12%, все участники (обозначим за х) это 100%, пропорция:

48   учеников    -  12%

 х    учеников    - 100 %

Ответ: 400

77345. Только 94% из 27500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу В1?

94%   это     от 27500, значит  выпускников

Ответ: 26400

77346. Мобильный телефон стоил 3500 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 2800 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

Сначала определим, сколько процентов от 3500р составляет 2800 рублей. Стоимость в 3500 рублей (величина с которой сравниваем) принимаем за 100%,  2800 рублей принимаем за х%. Пропорция:

3500  рублей    -  100%

2800 рублей    -   х %

Значит, цена была снижена на 100-80=20%.

Ответ: 20

77347. В школе 800 учеников, из них 30%  — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

Определим, сколько учеников в начальной школе:

Значит учеников средней и старшей школы 800-240=560 человек. Теперь определяем, сколько из них изучают немецкий язык. ВНИМАНИЕ!!! За 100% принимаем 560 человек (потому, что 20% именно от этого числа изучают немецкий).

560 учеников    -  100%

х   учеников      -   20%

112 учеников в школе изучают немецкий язык.

Ответ: 112

77348. Среди 40000 жителей города 60% не интересуется футболом. Среди футбольных болельщиков 80% смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч по телевизору?

Футболом не интересуется 60%, значит 40% это интересующиеся футболом.

40%   от 40000 это

Из них  80% смотрели финал, то есть

Ответ: 12800

77349. В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

Определяем цену килограмма после первого подорожания:

Определим цену после второго подорожания, причём считать будем уже относительно цены 75 рублей:

Можно было выстроить решение через составление пропорций.

Ответ: 90

77350. В доме, в котором живет Петя, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Петя живет в квартире 50. На каком этаже живет Петя?

Не будем высчитывать, делить и умножать, заходим в подъезд, и пошли наверх: 1 этаж – 6 квартир, 2 этаж- 12 квартир, 3 этаж -18, 4-ый  - 24,         5-ый   - 30,    6-ой  -  36,   7-ой  -  42,   8-ой   -   48,   9-ый – 54. Петя живёт на 9 этаже.

Ответ: 9

77351. В доме, в котором живет Маша, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 4 квартиры. Маша живет в квартире №130. В каком подъезде живет Маша?

Метод из предыдущей задачи не подойдёт. Здесь будем вычислять. В одном подъезде находится 9∙4=36 квартир.

36+36+36=108 квартир (это три подъезда). Сто тридцатая находится в 4 подъезде (в 4-ех подъездах 36∙4=144 квартиры)

Ответ:4

77352. При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

Для того чтобы положить на счёт минимум 300 рублей, нам нужно определить какую сумму необходимо внести с учётом снимаемых процентов. Учтите, что 5% отнимается от вносимой суммы (её мы обозначим  х), 300 рублей это то, что должно остаться, то есть 95 %.

х   рублей        -  100%

300 рублей      -   95%

Сказано, что терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Значит, минимальная сумма, которую необходимо внести –   320 рублей.

Ответ: 320

77354. Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Пакет кефира стоит в магазине 40 рублей. Пенсионер заплатил за пакет кефира 38 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?

Найдём, сколько процентов от 40 рублей составляет 38 рублей. Составляем пропорцию, 40 рублей (величина, с которой сравниваем) принимаем за 100%,  38 рублей за х %.

40  рублей      -  100%

38  рублей      -    х %

Значит, скидка составляет 5%.

Ответ: 5

77355. Студент получил свой первый гонорар в размере 700 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет тюльпанов для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество тюльпанов сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, тюльпаны стоят 60 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?

Определим, сколько рублей останется у студента, после вычета налога:

Тюльпаны стоят 60 рублей за штуку. На 609 рублей можно купить 10 цветков, но дарят нечётное число цветов, поэтому он может приобрести для учительницы максимум 9 тюльпанов.

Обратите взимание, что вопрос в задаче некорректен «Какое наибольшее количество тюльпанов сможет купить студент…» если отвечать на такой вопрос – то 10 штук, пусть вас это не смущает. В задаче имеется ввиду:   какое наибольшее нечётное количество тюльпанов может купить студент для составления букета.

Ответ: 9

282847. На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 28 литров бензина по цене 28 руб. 50 коп. за литр. Сколько рублей сдачи он должен получить у кассира?

Определим, сколько стоит 28 литров бензина: 28∙28,5=798 рублей

Сдача составит: 1000-798=202 рубля.

Ответ: 202

282848. На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина 31 руб. 20 коп. Сдачи клиент получил 1 руб. 60 коп. Сколько литров бензина было залито в бак?

Клиент затратил на бензин: 1000-1,6=998,4 рубля.

Так как дана стоимость одного литра, можем определить количество залитых литров:

Ответ: 32

ЗАДАЧИ В4

Необходимы простая логика и умение считать. Задачи B4  просты. В них нет ничего, кроме элементарных арифметических действий. Встречается несколько задач на проценты, советуем прочитать рекомендации к решению  задач В1.

5383. Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно использовать одного из трех перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку за один рейс?

Определим, сколько машин необходимо использовать каждому перевозчику:  

Округляем в большую сторону, не бывает шесть седьмых и девять двенадцатых машины.

Вычислим стоимость перевозки для каждого перевозчика:

Второй множитель (13) – это количество сотен километров, ведь нам дана стоимость перевозки за 100 км, а расстояние равно 1300 км.

Самая дешёвая перевозка у перевозчика Б.

Ответ: 479700

18287. Для перевозки 5 т груза на 150км можно воспользоваться услугами одной из трех транспортных компаний. Каждая компания предлагает один вид автомобилей. Сколько рублей будет стоить наиболее дешевый вариант перевозки?

Обратите внимание, что расценка дана за 10 км. Всего нужно преодолеть 150 км. Поэтому стоимость перевозки за 10 км будем умножать 15.

Определим, сколько машин необходимо использовать каждому перевозчику:

Округляем в большую сторону.

Вычислим стоимость перевозки для каждого перевозчика:

Наиболее дешевый вариант перевозки будет стоить 4050 рублей.

Ответ: 4050

5393. Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.

Пользователь предполагает, что его трафик составит 600 Mb в месяц и, исходя из этого, выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 600 Mb?

Просто вычисляем:

План «0»            0+2,5∙600=1500р

План «500»        550+2(600-500)=750р

План «800»        700р

Наиболее дешёвый тарифный план: План «800»    

Ответ: 700    

5401. Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.

Пользователь предполагает, что его трафик составит 1150 Mb в месяц и, исходя из этого, выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 1150 Mb.

Просто вычисляем:

План «700»                     600+2,5∙(1150-600)=1925р

План «1000»                   820+2(1150-1000)=1120р

План «Безлимитный»    1100р

Наиболее дешёвый тарифный план «Безлимитный»    

Ответ: 1100    

5407. Для изготовления книжных полок требуется заказать 32 одинаковых стекла в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25м2. В таблице приведены цены на стекло, а также на резку стекол и шлифовку края. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ?

Сначала определим, сколько необходимо квадратных метров стекла на все полки: 0,25∙32=8м2

Суммируем расходы для каждой фирмы:

А   415∙8+75∙32=3320+2400=5720р

Б   430∙8+65∙32=3440+2080=5520р

В   465∙8+60∙32=3720+1920=5640р

Самый дешевый заказ будет стоить  5520 рублей.

Ответ: 5520

5409. Для остекления веранды требуется заказать 28 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25м2 . В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ?

Сначала определим, сколько необходимо квадратных метров стекла: 0,25∙28=7м2

Суммируем расходы для каждой фирмы:

А   300∙7+17∙28=2100+476=2576р

Б   320∙7+13∙28=2240+364=2604р

В   340∙7+8∙28=2380+224=2604р

Нет ни одного заказа, стоимость которого была бы выше 2500рублей (здесь имеется ввиду именно цена самого стекла без резки).

Самый дешевый заказ будет стоить  2576 рублей.

Ответ: 2576

5413. Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью 500км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?

Цена дизельного топлива 19 руб. за литр, бензина 22 руб. за литр, газа 14 руб. за литр.

500 километров это 5 сотен.

Считаем:

1   19∙7∙5+3700=665+3700=4365р

2   22∙10∙5+3200=1100+3200=4300р

3   14∙14∙5+3200=980+3200=4180р

Самый дешевый вариант 4180 рублей.

Ответ: 4180

5561. Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью 600 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?

Цена дизельного топлива 16 руб. за литр, бензина 17 руб. за литр, газа 14,5 руб. за литр.

600 километров это 6 сотен.

Считаем:

1   16∙6∙6+3500=576+3500=4176р

2   17∙9∙6+3100=918+3100=4018р

3   14,5∙10∙6+3300=870+3300=4170р

Самый дешевый вариант 4018 рублей.

Ответ: 4018

5419. Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.

Абонент выбрал наиболее дешевый тарифный план, исходя из предположения, что общая длительность телефонных разговоров составляет 700 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 700 минут? Ответ дайте в рублях.

Повременный                  135+0,3∙700=345р

Комбинированный          255+0,28(700-450)=325р

Безлимитный                   380р

Наиболее дешёвый вариант «Комбинированный».

Ответ: 325

5423. Семья из трех человек едет из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 660 рублей. Автомобиль расходует 8 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 19,5 руб. за литр. Сколько рублей будет стоить самая дешевая поездка для этой семьи?

Определим стоимость проезда на поезде: 3∙660=1980 рублей

Автомобиль расходует 8 литров бензина на 100км, значит на 700 км, израсходуется 8∙7=56 литров. Литр стоит 19,5 рублей, значит, если они поедут на машине, то потратят на бензин 56∙19,5=1092 рубля.

Самая дешевая поездка для этой семьи будет стоить 1092 рубля?

Ответ: 1092

5477. Строительной фирме нужно приобрести 40 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)? Цены и условия доставки приведены в таблице.

Считаем:

А   4200∙40+10200=168000+10200=178200р

Б   4800∙40=192000р   (стоимость заказа выше 150000 рублей)

В   4300∙40+8200=172000+8200=180200р

Наименьшая стоимость покупки с доставкой  178200 рублей

Ответ: 178200

5499. Для строительства гаража можно использовать один из двух типов фундамента: бетонный или фундамент из пеноблоков. Для фундамента из пеноблоков необходимо 2 кубометра пеноблоков и 4 мешка цемента. Для бетонного фундамента необходимо 2 тонны щебня и 20 мешков цемента. Кубометр пеноблоков стоит 2450 рублей, щебень стоит 620 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 230 рублей. Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее дешевый вариант?

Пеноблок: 2  кубометра и  4 мешка цемента.

Считаем  затраты  2∙2450+4∙230=6820рублей

Бетон: 2  тонны  и  20 мешков цемента.

Считаем  затраты  2∙620+20∙230=5840рублей.

Наиболее дешёвый вариант фундамент из бетона.

Ответ: 5840

5513. При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 9 тонн природного камня и 9 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 7 тонн щебня и 50 мешков цемента. Тонна камня стоит 1600 рублей, щебень стоит 780 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 230 рублей. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если выбрать наиболее дешевый вариант?

Каменный: 9 тон камня и  9 мешков цемента.

Считаем  затраты  9∙1600+9∙230=16470рублей

Бетонный: 7  тонн щебня  и  50 мешков цемента.

Считаем  затраты  7∙780+50∙230=16960рублей.

Дешёвле обойдётся материал для каменного фундамента.

Ответ: 164700

5579. От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.

Распишем затраты времени  для всех вариантов:

АВТОБУС         15мин+2ч15мин+5мин = 2ч35мин

ЭЛКТРИЧКА    25мин+1ч45мин+20мин = 2ч30мин

ТАКСИ              25мин+1ч35мин+40мин = 2ч40мин

Наименьшее время, которое потребуется на дорогу это  2ч30мин. Это 2,5 часа.

Данное время перевести в часы просто. А если, например, ответ был бы 2ч45мин; 45минут это  часа,  после сокращения  получим ¾  или 0,75.

Ответ был бы 2,75 часа.

Ответ: 2,5

5597. Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Через пункт В едет грузовик со средней скоростью 32 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 44 км/ч. Третья дорога — без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой автомобиль со средней скоростью 48 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние между пунктами по дорогам.

Все три автомобиля одновременно выехали из А. Какой автомобиль добрался до D позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге.

Грузовик  ,  расстояние 35+53=88км. Время, затраченное на путь 88:32=2,75 часа

Автобус   ,  расстояние  59+40=99км. Время, затраченное на путь 99:44=2,25 часа

Легковой автомобиль  ,  расстояние  96км. Время, затраченное на путь 96:48=2 часа

Позже других добрался грузовик – за 2,75 часа (2ч45мин).

Ответ: 2,75

26685. В таблице даны тарифы на услуги трех фирм такси. Предполагается поездка длительностью 70 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ?

*Если поездка продолжается меньше указанного времени, она оплачивается по стоимости минимальной поездки.

Фирма А:

складываем стоимость подачи машины, и стоимость 70-ти минут 350+70∙13=1260 рублей

Фирма Б:

подача машины ноль рублей, минимальная поездка 20 мин это 300рублей, остаётся 50 минут за - каждую минуту плата 19 рублей; складываем 0+300+50∙19=300+950=1250 рублей.

Фирма В:

подача машины 180 рублей, минимальная поездка 10 мин это 150 рублей, остаётся 60 минут - за каждую минуту плата 15 рублей; складываем 180+150+60∙15=180+150+900=1230 рублей.

Дешевле всего заказ стоит в фирме В.

Ответ: 1230

26686. В таблице даны условия банковского вклада в трех различных банках. Предполагается, что клиент кладет на счет 10000 рублей на срок 1  год. В каком банке к концу года вклад окажется наибольшим? В ответе укажите сумму этого вклада в рублях.

* В начале года или месяца со счета снимается указанная сумма в уплату за ведение счета

** В конце года вклад увеличивается на указанное количество процентов.

Банк А:

Клиент внёс 10000 рублей, после обслуживания счёта осталось 9960 рублей. В конце года сумма увеличилась на 2%:

2% от  9960 – это    от 9960, то есть

Значит, вклад увеличился на 199,2 рубля и составил 9960+199,2=10159,2 рубля.

Банк Б:

Клиент внёс 10000 рублей, после обслуживания счёта (каждый месяц снимали по 8 рублей) осталось 10000-8∙12=10000-96=9904 рублей. В конце года сумма увеличилась на 3,5%:

3,5% от  9904 – это    от 9904, то есть

Значит, вклад увеличился на 346,64 рубля и составил 9904+346,64=10250,64 рубля.

Банк В:

Клиент внёс 10000 рублей, за обслуживание счёта платы нет. В конце года сумма увеличилась на 1,5%:

1,5% от  10000 – это    от 10000, то есть

Значит, вклад увеличился на 150 рублей и составил 10000+150=10150 рублей.

К концу года вклад окажется наибольшим в банке Б.

Ответ: 10250,64

26687. Для того чтобы связать свитер, хозяйке нужно 400 граммов шерсти синего цвета. Можно купить синюю пряжу по цене 60 рублей за 50 г, а можно купить неокрашенную пряжу по цене 50 рублей за 50 г и окрасить ее. Один пакетик краски стоит 10 рублей и рассчитан на окраску 200 г пряжи. Какой вариант покупки дешевле? В ответ напишите, сколько рублей будет стоить эта покупка.

Вариант 1: Посчитаем затраты на  синюю  пряжу по цене 60 рублей за 50 г, за 400 грамм придётся заплатить  60∙(400/50)= 60∙8=480 рублей.

Вариант 2: Затраты на неокрашенную пряжу за 400 грамм составят 50∙(400/50)= 50∙8=400 рублей. Ещё купить краску 2 пакетика (для окрашивания 400 грамм) по 10 рублей за каждый. Получится 400+20=420 рублей.

Дешевле второй вариант.

Ответ: 420

26688. Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из скидок. Либо скидку 25% на звонки абонентам других сотовых компаний в своем регионе, либо скидку 5% на звонки в другие регионы, либо 15% на услуги мобильного интернета.
Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 300 рублей на звонки абонентам других компаний в своем регионе, 200 рублей на звонки в другие регионы и 400 рублей на мобильный интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Какую скидку выбрал клиент? В ответ запишите, сколько рублей составит эта скидка.

Вычислим размеры скидок:

на звонки абонентам других сотовых компаний в своем регионе

на звонки в другие регионы

на услуги мобильного интернета

Клиент выбрал скидку 25% на звонки абонентам других сотовых компаний в своем регионе, она наиболее выгодна.

Ответ: 75

77357. Мебельный салон заключает договоры с производителями мебели. В договорах указывается, какой процент от суммы, вырученной за продажу мебели, поступает в доход мебельного салона.

В прейскуранте приведены цены на четыре дивана. Определите, продажа какого дивана наиболее выгодна для салона. В ответ запишите, сколько рублей поступит в доход салона от продажи этого дивана.

Посчитаем доход салона по каждому изделию:

Диван «Коала»,  5% от 15000  это

Диван «Неваляшка», 3% от 28000  это

Диван «Винни-Пух», 6% от 17000  это

Диван «Обломов»,  4% от 23000  это  

Для салона наиболее выгодна продажа дивана «Винни-Пух».

Ответ: 1020.

77358. В первом банке один фунт стерлингов можно купить за 47,4 рубля. Во втором банке 30 фунтов — за 1446 рублей. В третьем банке 12 фунтов стоят 561 рубль. Какую наименьшую сумму (в рублях) придется заплатить за 10 фунтов стерлингов?

Банк 1: так как один фунт стоит 47,4 рубля, то 10 фунтов будут стоить 10∙47,7=477 рублей.

Банк 2: так как 30 фунтов стоят 1446 рублей, то 10 фунтов будут стоить в три раза меньше (30/10=3), то есть    1446:3=482 рубля.

Банк 3: известно, что 12 фунтов стоят 561 рубль,  обозначим 10 фунтов за х рублей и составим пропорцию

561 рубль    -  12 фунтов

х    рублей   -  10 фунтов

Наименьшая сумма, которую придётся заплатить 467,5 рубля.

Ответ: 467,5

77359. В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 10000 руб., он получает сертификат на 1000 рублей, который можно обменять в том же магазине на любой товар ценой не выше 1000 руб. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель И. хочет приобрести пиджак ценой 9500 руб., рубашку ценой 800 руб. и галстук ценой 600 руб. В каком случае И. заплатит за покупку меньше всего:

1) И. купит все три товара сразу.

2) И. купит сначала пиджак и рубашку, галстук получит за сертификат.

3) И. купит сначала пиджак и галстук, получит рубашку за сертификат.

В ответ запишите, сколько рублей заплатит И. за покупку в этом случае.

В  случае (1) И. потратит 9500+800+600=10900 рублей

В  случае (2) И. потратит 9500+800=10300 рублей, и получает  галстук (на сертификат)

В  случае (3) И. потратит 9500+600=10100 рублей, и получает  рубашку (на сертификат).

В третьем случае И. затратит меньше всего денег.

Ответ: 10100

77360. В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 10000 руб., он получает скидку на следующую покупку в размере 10% уплаченной суммы. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель Б. хочет приобрести куртку ценой 9300 руб., рубашку ценой 1800 руб. и перчатки ценой 1200 руб. В каком случае Б. заплатит за покупку меньше всего:

1) Б. купит все три товара сразу.

2) Б. купит сначала куртку и рубашку, а потом перчатки со скидкой.

3) Б. купит сначала куртку и перчатки, а потом рубашку со скидкой.

В ответ запишите, сколько рублей заплатит Б. за покупку в этом случае.

В  случае (1) Б. потратит 9300+1800+1200=12300 рублей

В  случае (2) Б. потратит 9300+1800=11100 рублей. Далее он получает скидку 10% на перчатки: 10% это десятая часть, то есть перчатки обойдутся 1200-0,1∙1200=1080 рублей. Всего на покупку Б. затратит 11100+1080=12180 рублей.

В  случае (3) Б. потратит 9300+1200=10500 рублей. Далее он получает скидку 10% на рубашку: 10% это десятая часть, то есть рубашка обойдётся 1800-0,1∙1800=1620 рублей. Всего на покупку Б. затратит 10500+1620=12120 рублей.

В третьем случае Б. затратит меньше всего денег.

Ответ: 12120

77361. В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трех городах России (по данным на начало 2010 года).

Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор продуктов: 2 батона пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).

Подсчитаем стоимость наборов продуктов в каждом городе:

Тверь         2∙11+3∙9+1,5∙260+1∙38=22+27+390+38=477 рублей

Липецк      2∙12+3∙13+1,5∙280+1∙44=24+39+420+44=527 рублей

Барнаул     2∙14+3∙16+1,5∙300+1∙45=28+48+450+45=571 рубль

Указанный набор продуктов самым дешёвым окажется в Твери.

Ответ: 477

77362. В среднем гражданин А. в дневное время расходует 120 кВтч электроэнергии в месяц, а в ночное время — 185 кВтч электроэнергии. Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный счетчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,40 руб. за кВтч. Год назад А. установил двухтарифный счётчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу 2,40 руб. за кВтч, а ночной расход оплачивается по тарифу 0,60 руб. за кВтч.

В течение 12 месяцев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. На сколько больше заплатил бы А. за этот период, если бы не поменялся счетчик? Ответ дайте в рублях.

Если бы счётчик не поменяли:

В данном случае расходы составили бы  (120+185)∙2,40∙12=8784 рубля. Обратите внимание, что расходы по условию необходимо посчитать за год,  поэтому, и умножаем на 12.

При двухтарифном счётчике:

В данном случае расходы составляют  (120∙2,40+185∙0,60)∙12=4788 рублей.

Найдём разницу 8784-4788=3996 рублей.

Если бы счётчик не поменялся, то А. заплатил бы на 3996 рублей больше.

Ответ: 3996.

77363. Вася загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 30 Мб за 28 секунд. Петя загружает файл размером 28 Мб за 24 секунды, а Миша загружает файл размером 38 Мб за 32 секунды. Сколько секунд будет загружаться файл размером 665 Мб на компьютер с наибольшей скоростью загрузки?

Определим скорость загрузки компьютера у каждого:

В данном случае с ходу определить наибольшую скорость загрузки немного затруднительно, необходимо провести сравнение дробей (привести их к общему знаменателю и сравнить числители). Конечно, опытный глаз сразу увидит, что наибольшая скорость у Миши. НО!

Я всё-таки вам предлагаю выбрать другой путь, делите столбиком и не ошибётесь.

Действительно наибольшая скорость загрузки у Миши.

Определим, сколько секунд будет загружаться файл размером 665 Мб.

Способ 1:

Для этого необходимо размер файла поделить на скорость загрузки:

Способ 2:

Обозначим время загрузки 665Мб за х секунд.

Итак, 38 Мб загружается за 32 секунды, 665 Мб загружается за х секунд. Составляем пропорцию

38 Мб   -    32 секунды

665Мб  -     х  секунд

Ответ: 560

«Как решать B10 в ЕГЭ по математике?»

Задачи по теории вероятностей включены в ЕГЭ по математике только в этом году - это задачи В10.

Для решения данных задач необходимо знать лишь базовые понятия теории вероятностей. Таким образом, с ними в состоянии справится, без преувеличения, каждый ученик.

Для начала определение: случайное событие - это событие, которое нельзя точно предсказать. Оно может либо произойти, либо нет.

Например,  Вы получили подарок, оказавшись тысячным покупателем в бутике — это случайное событие. Либо Вы выиграли в лотерею - случайное событие.

Однако, очевидно, что для любого случайного события есть какая-то вероятность, с которой оно может произойти. Если лотерейный билет купило 150.000 человек, а выиграли Вы один, то вероятность - 1 к 150.000. То есть интуитивно понятно, что такое вероятность события.

Рассмотрим примеры.

Бросаем монету. Выпадет либо орел… либо решка... Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием. Орел и  решка — два возможных исхода испытания (все варианты событий, которые только могут произойти, монета не может ни зависнуть, ни встать на ребро).

Возвращаясь к нашей монете, можно сказать, орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна 1/2. Так же вероятность выпадения решки 1/2.

Следующий пример: игральная кость.

У кубика всего шесть граней, поэтому возможных исходов шесть (кубик может упасть только на одну из шести граней).

Выпадение одного очка это один исход из шести возможных. Выпадение двух очков, это один исход из шести возможных. В теории вероятности такой исход называется благоприятным исходом.

Вероятность выпадения тройки  так же равна 1/6 (один благоприятный исход из  шести возможных). Вероятность четверки  — тоже 1/6. А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.

Игральные карты.

Возьмём колоду из 36 карт. Вероятность того, что Вы вытащите из колоды карт одну, которую загадали, равна один к тридцати шести или 1/36, тридцать шесть это число возможных исходов, которые могут произойти (число всех карт), один это число благоприятных исходов (загаданная карта).

Вероятность того, что вы вытащите из колоды карт туза, равна 4 к 36 или  4/36. Четыре это число благоприятных исходов (в колоде четыре туза), тридцать шесть - число возможных исходов.

Вероятность того, что вы вытащите из колоды карт красную карту (черви или буби) равна 1 к 2 или 1/2. Число благоприятных исходов 18 (красных карт ровно половина), возможных исходов также 36, 18/36=1/2.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к  числу всевозможных исходов.

Понимания этого определения вполне достаточно, чтобы решить задачи В10.

Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.

Вот еще пример. Есть 23 шара одинакового размера, из них 8 — красных, остальные — зеленые.  Вы  наугад берете один шар. Вероятность того, что это окажется красный шар равна 8/23, а зеленый — 15/23.

Вероятность взять красный или зеленый шар равна 8/23 + 15/23 = 1.

Ну а теперь переходим к решению самих прототипов В10.

Прежде чем начать, я еще раз хочу повторить ключевой формулу, необходимую для решения задач В10: "Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к  числу всевозможных исходов."

Начну с простых задач. Не буду на них долго задерживаться.

Итак, задача:

Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет чётное число очков?

1, 3, 5 — нечетные числа; 2, 4, 6 — четные. Число возможных исходов при бросании игральной кости 6. Число благоприятных исходов 3 (выпадение двойки, четвёрки или шестёрки). Таким образом, вероятность выпадения четного числа очков равна три к шести или 0,5.

Ответ: 0,5

Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет число меньше 4?

Другими словами, какова вероятность того, что выпадет либо единица, либо двойка, либо тройка? Число возможных исходов 6. Число благоприятных исходов 3 (выпадение единицы, двойки или тройки). Таким образом, вероятность выпадения числа меньшего четырёх будет    3 к 6 или 3/6=0,5.

Ответ: 0,5

В ящике 6 белых и 4 чёрных шара. Какова вероятность того, что первый наудачу выбранный шар окажется белым?

Всего шаров 10, значит число возможных исходов 10. Число благоприятных исходов 6 (в ящике 6 белых шаров). Вероятность того, что первый выбранный шар окажется белым 6 к 10, то есть 6/10=0,6

Ответ: 0,6

Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру. Какова вероятность того, что он правильно дозвонится, набрав последнюю цифру наугад?

Абоненту нужно выбрать одну из десяти цифр, то есть число возможных исходов 10. Число благоприятных исходов 1 (верной может быть только одна цифра). Вероятность того, что он правильно дозвонится равна 1 к 10 или 0,1.

Ответ: 0,1

Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовёт число 56?

Число возможных исходов 100 (сто чисел). Верно названное число одно это 56, значит благоприятный исход один. Вероятность того, что он назовёт число 56 будет один к ста или 0,01.

Ответ: 0,01

Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовёт число кратное пяти?

Число возможных исходов 100 (сто чисел). Чисел кратных пяти двадцать (перечислим):5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100. То есть число благоприятных исходов 20. Вероятность того, что ученик назовёт число кратное пяти равна 20 к 100 или 20/100=0,2.

Ответ: 0,2

Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовёт число, принадлежащее промежутку от 5 до 20 включительно?

Число возможных исходов 100. Число благоприятных исходов 16: это числа от 5 до 20 (5,6…..19,20), причём 5 и 20 входят в промежуток (в условии сказано «от 5 до 20 включительно»). Искомая вероятность равна 16/100.

Ответ: 0,16

В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 чёрных, 1 жёлтая и 4 зелёных. На вызов выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Возможное число исходов 10. Число благоприятных исходов 1 (жёлтая машина одна). Искомая вероятность равна 1 к 10 или 0,1.

Ответ: 0,1

Валя выбирает трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.

Число возможных исходов это количество трёхзначных чисел. Их существует от 100 до 999, быстрее всего их можно посчитать так: 1000-1-99=900 (исключаем тысячу и числа от 1 до 99). То есть число всевозможных исходов: 900. Найдем, сколько трехзначных чисел делится на 51. Если мы поделим 999 - самое большое трехзначное число - на 51, то получим приблизительно 19 целых пятьдесят восемь сотых. То есть в 999 вмещается 19 чисел, кратных 51. Но среди них есть и само число 51, которое не является трехзначным. А значит трехзначных чисел, делящихся на 51 - 18.  

Число благоприятных исходов 18. Вероятность искомого события равна 18 к 900, или 18/900=0,02.

Ответ: 0,02

При двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что первый раз выпало меньше трёх очков.

Сумму в шесть очков можно получить следующими способами (переберём варианты): 1+5,  2+4,  3+3,  4+2,   5+1   - всего их пять, это и есть число возможных исходов. Из представленных вариантов также видно, что менее трёх очков при первом броске  может выпасть только в двух случаях. Искомая вероятность равна 2 к 5 или 0,4.

Ответ: 0,4

Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, первые два броска окончатся одинаково.

Найдём число возможных  исходов, переберём все варианты бросков. В подобных задачах составляйте таблицу, так считать на много удобней.

Всего возможных исходов восемь.

Первые два броска одинаково могут окончится  в четырёх случаях это 1,2,5,6 варианты, то есть благоприятных исходов 4. Искомая вероятность равна 4/8=0,5.

Обратите внимание, что если в условие добавить одно только слово, смысл задачи изменится, многие из-за невнимательности решают неверно. Итак:

Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что только первые два броска окончатся одинаково.

Благоприятных исходов будет 2, это 2-й и 6-й варианты, первый и пятый варианты  исключаются из-за этого «только».

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

В данной задаче составляется та же таблица, что и предыдущей. Орёл не выпадет ни разу только в одном варианте из восьми (пятый вариант). Искомая вероятность равна 1 к 8 или 0,125.

Ответ: 0,125

В среднем на 150 карманных фонариков приходится три неисправных. Какова вероятность купить исправный фонарик.

Количество возможных исходов 150. Количество благоприятных исходов 150-3=147 (на 150 приходится 147 исправных). Вероятность купить исправный фонарик 147 к 150 или 147/150=49/50=0,98

Ответ: 0,98

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

В подобных задачах для удобства следует составить таблицу сумм для двух костей (все варианты сумм, которые могут выпасть):

Всего исходов 36 (6 на 6). Благоприятных исходов 5 (легко подсчитать в таблице). Вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна 5 к 36 или 0,13888888…. Округляем до сотых, получаем 0,14.

Ответ: 0.14

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется первый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка равна  5 к 20, то есть 5/20 (поскольку из Китая — 5 спортсменок).

Ответ: 0,25

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Выясним, как распределятся выступления по дням:

1 день – 8 выступлений, остальные поровну, значит по 18 выступлений в день. Вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса, равна 18 к 80 или 18/80=0,225.

Ответ: 0,225

На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

Восьмым может оказаться любой учёный, значит возможных исходов 10 (их всего 10). Из России приехало трое, значит благоприятных исходов три. Вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России 3 к 10 или 0,3.

Ответ: 0,3

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

В данном случае нужно поставить себя на место Руслана Орлова.

Он будет играть кем-то из 25 спортсменов (на чемпионат приехали Руслан и ещё 25 спортсменов), значит возможных исходов 25. Из них осталось 9 спортсменов из России. Это и есть число благоприятных исходов. Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России 9 к 25 или 0,36.

Ответ: 0,36

Литвинова С.А

учитель математики ГБОУ СОШ № 918

Повторение тригонометрии при подготовке к ЕГЭ

    Качественное математическое образование является одним из ключевых ресурсов, обеспечивающих инновационное развитие России, сильным конкурентным преимуществом нашей страны. Новые задачи, стоящие перед страной требуют обновления и совершенствования математического образования, обеспечения качественного математического образования для всех и предоставления возможностей развития математических способностей мотивированным и одарённым детям. На решение этих задач направлены новые учебники и учебные пособия, методические материалы, средства информатизации. Залогом стабильности и качества математического образования остаётся определённый консерватизм, фундаментальный характер курса, значительное число регулярных математических упражнений, выполняемых учащимся. В старших классах учителя особенно должны уделять достаточно внимания тем, кому математика нужна для продолжения образования, и восстановить, или помочь освоить заново базовые математические навыки тем, у кого есть проблемы, обеспечить успешную сдачу ЕГЭ.

  Наибольшую трудность у учащихся  вызывает изучение тригонометрии, в то время как ни одна из экзаменационных работ не обходится без заданий, требующих или тождественных преобразований тригонометрических выражений, или решения тригонометрических уравнений или неравенств. В связи с этим, очевидна необходимость повторить эти разделы при подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ. В данной работе представлены задания, позволяющие повторить все типы заданий по тригонометрии в соответствии с порядком их изучения в курсе алгебры и начал анализа средней школы.

 2.Тригонометрия в курсе математики старших классов

2.1. Применение формул для преобразования тригонометрических выражений

 а) Найти значение выражения.

б)  Упростить.

2.2. Арксинус, арккосинус, арктангенс

Цель: повторение  понятий  арксинус,  арккосинус,  арктангенс  и  арккотангенс  числа.

 а)  Вычислить.

б) Найти  ошибку.

в) Самостоятельная работа по теме "Обратные тригонометрические функции"

Вариант № 1.

Вариант № 2.

Вариант № 3.

Вариант № 4.

2.3. Решение простейших тригонометрических уравнений

 а) Установить  соответствие:  Уравнение Корни.

б) Проверочная работа:

(Ответы)

2.4 Методы решения тригонометрических уравнений

а) Таблица  по  методам  решения  тригонометрических  уравнений.

Учащимся  предлагается  решить  уравнения (по вариантам), предварительно  определив,  что  это  за  уравнение  и  каким  методом  оно  решается.  

(Ответы)

б) Фрагмент урока:

Цель: Познакомить  учащихся  с  еще  одним  методом  решения  тригонометрических  уравнений – методом  понижения  степени  уравнений.

Если  в  уравнении  имеется  синус  или  косинус  в  четной  степени, то выражая

     квадраты синуса ( ) и косинуса  ( )

половинного угла через  косинус  угла,  можно  понизить  степень  уравнения.

Опираясь  на  формулы  квадрата  половинных  углов,  записываем  формулы  понижения  степени  

      и       .

Учащимся  для  рассмотрения  новой  темы  предлагается  к  решению  уравнение:

2sin2 x  + cos 4x = 0

Решение:

Ответ:

 уравнение  имеет  три  серии  решений:  

      .

в) Решение уравнений методом оценки левой и правой части.

Пример № 1.

sinx/4+ 2cos(x-2р)/3=3.

Решение:

 sinx/4 и 2cos(x-2π)/3 при всех х удовлетворяют неравенствам:

-1≤ sinx/4≤1 и -2≤2cos(x-2р)/3≤2. Если сложить эти неравенства, то получится

-3≤ sinx/4+ 2cos(x-2π)/3≤3. В правой части уравнения стоит 3.

 Исходное уравнение будет иметь решения тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства: sinx/4=1 и 2cos(x-2р)/3=2.

Поэтому исходное уравнение равносильно системе уравнений: sinx/4=1 ,  2cos(x-2π)/3=2.

  Решив первое (оно проще) уравнение системы, получаем х= 2π+8πn, nєZ.

Подставим эти значения во второе уравнение системы. В левой части указанного уравнения получаем: cos(2π+8πn-2π)/3=cos8πn/3.

   При каких n будет выполняться равенство cos8πn/3=1? Легко убедиться, что только в тех случаях, когда n делится на 3, т.е. n=3k , к є Z,

   Поэтому обоим уравнениям системы (а значит и исходному уравнению) удовлетворяют значения х, определяемые  формулой: х=2π+24πk кєZ.

 Ответ: 2π+24πk кєZ.

 г) Самостоятельная  работа  (обучающего  характера).

д) Самостоятельная работа по теме  «Решение тригонометрических уравнений».

Вариант № 1.

Вариант № 2.

Вариант № 3.

Вариант № 4.

2.5. Задачи с параметрами

  Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение.

Пример № 1.

Решить урaвнение: asinx=1.

 Решение:

При а=0 уравнение решений не имеет. При а≠0 sinx=1/а,

х= (-1)n arcsin1/a +πn, nєZ,   │1/a│≤1,   │a│≥1.

Ответ: х= (-1)n arcsin1/a+рn, nєZ при ає(-∞;-1]U[1;+∞);

нет решений  при ає(-1;1).

Пример № 2.

 Решить уравнение: 2sin2x-(2a+1)sinx+a=0.

 Решение:

запишем уравнение в виде  sin2x-(a+1/2)sinx+a∙1/2=0.

По теореме Виета sinx=1/2 или sinx=а.

Множество решений первого уравнения х= (-1)n π/6+πn, nєZ;

второе уравнение имеет решения х= (-1)к arcsina +πк, кєZ только при │а│≤1.

При а=1/2 уравнение имеет только одну серию решений.

Ответ:  х= (-1)n π/6+πn,  х= (-1)к arcsina +πк, n,кєZ при │а│≤1.

х= (-1)n р/6+рn, nєZ при  ає(-∞;-1)U(1;+∞).

2.6. Решение тригонометрических неравенств

Карточка-инструкция.

 Для того чтобы решить простейшее тригонометрическое неравенство cosxa) [или sinx>a (sinx

1)  отметить точку а на оси абсцисс [ординат] и провести через неё прямую, перпендикулярную этой оси;

2) отметить на окружности дугу, состоящую из всех точек, абсцисса [ордината] которых удовлетворяет данному неравенству. Эти точки расположены по одну сторону от проведённой прямой;

3) записать один числовой промежуток, все точки которого заполняют отмеченную дугу, и, прибавив к его концам 2Пn, n   Z, получить общее решение;

4) записать ответ.

а) Выполнить тест (см. Приложение 1)

б) Зачёт по теме "Решение тригонометрических уравнений и неравенств".

Приложение 1

Задание 1 вариант: cosx≤√2/2

Задание 2 вариант:  sinx≥1/2

Ответ № 1

    π/4+2πn≤x≤7π/4+2πn, .

    Ответ № 2

    π/6.+2πn≤x≤5π/6+2πn,

Ответ № 3

   , ,

π/4.+2πn≤x≤3π/4+2πn,

   Ответ № 4

  .

π/3.+2πn≤x≤2π/3+2πn,

Задание 1 вариант: tgx≤1

Задание 2 вариант:  cosx<√2/2

Ответ № 1

    π/4.+2πn≤x≤3π/4+2πn,

.

    Ответ № 2

     3π/4+2πn

,

Ответ № 3

-π/2+ πn

   Ответ № 4

π/4+ πn≤x<π/2+πn,

Задание 1 вариант: 2cosx+1≥0

Задание 2 вариант:  2tgx-√2≥0

Ответ № 1

    π/4.+ πn≤x<π/2+πn,

.

Ответ № 2

-π/3.+2πn≤x≤π/3+2πn,

Ответ № 3

, -2π/3.+2πn≤x≤2π/3+2πn,

Ответ № 4

π/4+ πn≤x<π/2+πn,

Задание 1 вариант: ctgx<-√3

Задание 2 вариант: ctgx≥-1

Ответ № 1

    -π/4+πn≤x<π+πn,

.

Ответ № 2

5π/6+πn

Ответ № 3

  , -

 πn

Ответ № 4

-π/6+πn

Решение тригонометрических неравенств (тест)

Ответы: 1 вариант-1332, 2 вариант- 2243