Методическая разработка по предмету ЕН.01 ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ по теме: «Построение кривых второго порядка»
методическая разработка на тему

Методическая разработка

по предмету ЕН.01

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

по теме:

«Построение кривых второго порядка»

Преподаватель математики:

Т.Н. Рудзина

Москва

2015 г.

Тип занятия: комбинированный.

Формы занятия: индивидуальная, групповая, фронтальная.

Оборудование: проектор, компьютер, доска, рабочие тетради.

Продолжительность занятия: 90 мин.

Цели занятия:

Дидактическая цель. Дать понятие о кривых второго порядка. Учить строить кривые второго порядка, находить эксцентриситет, фокусы.

Воспитательная цель. Формировать мировоззрение учащихся, раскрыв основные идеи математического моделирования. Активизировать учебную деятельность учащихся Развивать любознательность и интерес к изучению математики.

Методическая цель: Организация деятельностного подхода обучающихся на уроке.

Основные знания и умения. З н а т ь определения кривых второго порядка. У м е т ь составлять уравнения множества точек на плоскости.

Учебно-методическое обеспечение: тест, презентация преподавателя к открытому уроку, задания для группового решения, задания для самостоятельной работы.

ПЛАН УРОКА.

1. Организационный момент (5 мин).
2. Сообщение темы и целей урока.

 Мотивационная беседа с последующей постановкой цели (5 мин).

3. Актуализация опорных знаний:

1. Проверочная работа. (8 мин)

4. Изучение нового материала. (20 мин)
5. Закрепление. (15 мин)
6. Домашнее задание. (2 мин)
7. Итог. (8 мин)
8. Рефлексия. (5 мин)

 Построение кривых второго порядка.

К кривым второго порядка относят кривые, записанные уравнением Ах2  + Вху + Су2 + Ех + Ду + F = 0. В зависимости от значений коэффициентов (вещественные числа) это могут быть окружность, эллипс, гипербола, парабола. Эти кривые были известны с глубокой древности. Все эти кривые суть сечения прямого кругового конуса плоскостями (конические сечения).

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек F1 и F2 (фокусов) есть величина постоянная 2а, большая F1F2. Каноническое уравнение (простейшее) уравнение эллипса:  х2/а2 + у2/в2 =1

Эллипс, заданный таким уравнением симметричен относительно осей координат (рис 1)

М (х,у) – произвольная точка эллипса, (х,у) – текущие координаты этой точки. Все точки эллипса удовлетворяют условию: F1M + F2M=2a.

а,в называются полуосями эллипса, а – большая полуось, в – малая полуось. F1 и F2 – фокусы эллипса находятся на оси ох на расстоянии С= 2 – в2) от центра О. Отношение с/а = Е называется эксцентриситетом эллипса.

Пример 1. 1)Написать уравнение эллипса, если а=4, в=3; 2)Найти координаты фокусов; 3)Найти Е.

Ответ: 1) х2/16 + у2/9=1; 2) С= = , F1 (- , 0); F2 ( , 0); 3)Е = с/а = /4 < 1.

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 (фокусов) есть постоянная величина 2а (0<2a1, F2).

Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы.

Х2 /а2 – у2/в2 = 1

Гипербола, заданная уравнением симметрична относительно осей координат (Рис 2). Она пересекает ось ох в точках А1( -а, 0) и А2(+а, 0) – вершинах гиперболы и не пересекает ось оу. Параметр а называется вещественной полуосью, в – мнимой полуосью, С=(а2 +в2) - расстояние от фокуса до центра симметрии О. Отношение с/а=Е называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые у= ±в/а х называются асимптотами гиперболы.

                                                                  Рис.2

                                                 0

М(х,у) – произвольные точки гиперболы, (х,у) – текущие координаты произвольной точки. Все точки гиперболы удовлетворяют условию

 │F1M-F2M│=2a.

Пример 2. Дана гипербола х²-4у²=16. 1)Написать каноническое уравнение гиперболы; 2)Найти вещественную и мнимую полуоси; 3) Найти асимптоты гиперболы; 4) Вычислить эксцентриситет Е.

Ответ: 1)х²/16 - у²/4 = 1; 2) а= = 4; в= = 2. 3) у = ±(в/а) х или у = ±(2/4)х или у = ±(1/2)х; 4) с= (а² + в²) = = = 2,

 Е=с/а=(2)/4 = ()/2 ;

Е=()/2 >1.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1. у²= 2рх – парабола симметрична относительно ох (рис.3)
2. х²= 2ру – парабола симметрична относительно оу (рис.4)

РИС.3

                                     0

РИС.4

М (х,у) – произвольная точка парабола,

(х,у) – текущие координаты произвольной точки,

х = -р/2 – уравнение директрисы.

FM = d, где d – расстояние от точки М до директрисы.

В обоих случаях вершина параболы находится на оси симметрии в начале координат 0.

Парабола у² = 2рх имеет фокус F (р/2) и директрису х = - р/2

Парабола х = 2ру имеет фокус F (р/2) и директрису у = - р/2

Пример 3. Построить параболы заданные уравнениями:

1. у² = 4х; 2) у² = -4х; 3) х² =4у; 4) х² =-4у; а так же их фокусы и директрисы и написать уравнения директрис.

Ответ:

1)

                    0                                                                                   0

y² = 4x, p=2, F(1,0)

х = -1 – уравнение директрисы

    3)

                                                                                                  0

 Х2 = 4у, р = 2, F (0, 1)

 У = -1 – уравнение директрисы.

Окружность. Уравнение окружности с центром в точке А (а,в) и радиусом R; (рис.6)

 Пример 4. 1) Написать уравнение окружности с центром в точке А ( -1, 2), R = 2. 2) Построить ее. 3) Лежит ли точка О (0, 0) на окружности?

Ответ: 1) (х + 1)2 + (у – 2)2 = 4, если раскроем скобки, то уравнение примет вид:

х2 + у2 + 2х – 4у + 1 = 0

2)

                              -1

2. О (0,0) не лежит на окружности, т. к. координаты этой точки не удовлетворяют уравнению: 0+0+0 + 0+1 ≠ 0.

Рефлексия.                                                                  

1. «Я узнал много нового» -

2. «Мне это пригодится в жизни» -

3. «На уроке было над чем подумать» -

4. «На все вопросы, возникающие в ходе урока, я получил ответы» -

5. «На уроке я работал добросовестно и цели урока достиг» -

Поднимите руки, кто поставил 5 плюсов, а затем те, кто поставил 4 и три плюса.

5 –

4 –

3 –

2 –