Лекция "Кривые второго порядка"
учебно-методический материал

Лекция № 1

Кривые второго порядка

Эллипс – кривая на плоскости, уравнение которой в некоторой прямоугольной системе координат имеет вид:

                (ab>0)        (*)

Уравнение и система координат называются каноническими. a, b – соответственно большая и малая полуоси. Точки F1(-c,0), F2(c,0) – называются фокусами (). Точки  - вершины, эксцентриситет:: , директрисы – две прямые с уравнениями:,  - фокальный параметр (равен длине полухорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси Ox). Касательная к эллипсу имеет вид .

Фокальный радиус – расстояние от точки на кривой до фокуса.

(1)                                расстояние от т.М(x, y) до F1

                (выражаем x2 из (*))

                        Аналогично доказывается, что .

Эллипс – это множество точек, для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до одноименной директрисы есть величина постоянная (равная эксцентриситету).

Доказательство:

1. Любая точка, удовлетворяющая 2-ому определению, удовлетворяет уравнению (*).
2. Проверить, что отношение равно эксцентриситету:

     Из рисунка для т.М                        

Эллипс – это множество точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная, равная 2a.

Доказательство:

Из этого определения нужно вывести уравнение (*).

        Докажем, что сумма  MF1 + MF2 – величина постоянная.

Доказать, что любая точка, удовлетворяющая данному условию, удовлетворяет условию (*):

        - возведем уравнение в квадрат и преобразуем

                (получено уравнение (*), что и требовалось доказать)

Оптическое свойство эллипса

,  - расстояние от фокусов до касательной к эллипсу, проведенной в точке М, r1, r2 – фокальные радиусы.

Координаты F1 нужно подставить в нормированное уравнение прямой

Следовательно: треугольники подобны, углы с касательной равны. Лучи от источника света, помещенные в один из фокусов, отражаясь собираются в другом фокусе.

Гипербола

Гиперболой называется кривая с уравнением в некоторой прямоугольной системе координат

Уравнение и система координат называются каноническими. a, b – соответственно вещественная и мнимая полуоси. Точки F1(-c,0), F2(c,0) – называются фокусами (). Точки  - вершины, эксцентриситет:: , директрисы – две прямые с уравнениями:,  - фокальный параметр (равен длине полухорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси Ox),  - асимптоты. Касательная к эллипсу имеет вид .

 - фокальные радиусы

Гипербола – это множество точек, для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до одноименной директрисы есть величина постоянная, больше единицы, равная эксцентриситету (доказывается аналогично соответственному утверждению для эллипса через фокусные радиусы).

Гипербола – есть множество точек, для которых абсолютная величина (модуль) разности для двух фиксированных точек есть величина постоянная, равная 2a.

Парабола

Линия называется параболой, если существует  декартова система координат, в которой уравнение этой линии имеет вид:

Уравнение и система координат называются каноническими. Точка F(,0) – называется фокусом  (p – фокальный параметр). Директриса – прямая :, ось параболы - Ox). Касательная к эллипсу имеет вид .

F(x, y) = 0                (вывод уравнения касательной)

        Довести доказательство до конца вы можете самостоятельно (для других кривых доказывается аналогично)

Парабола – есть множество точек, для которых расстояние до фиксированной точки (фокуса), равно расстоянию до фиксированной прямой (директрисы).

Выводится непосредственно из уравнения параболы.

Оптическое свойство

Докажем, что NF = FM (из этого мы найдем, что лучи из источника света, помещенного в фокус, отразившись от параболы параллельны ее оси).

Из уравнения касательной (подставим координаты N):        2p(x + x0) = 0        ,т.е.   x = –x0

Откуда получаем

NF = FM=

Уравнение в полярных координатах

При доказательстве удобнее распологать полюс в фокусе кривой. Провести доказательство рекомендуется самостоятельно.

Уравнение всех кривых в полярных координатах выглядит так: