Методическая разработка учебного занятия по дисциплине ЕН.01 Математика на тему:«Матрицы. Действия над матрицами»
методическая разработка

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ »

(МОСКОВСКИЙ ПОЛИТЕХ)

Учебное занятие по теме:

«Матрицы. Действия над матрицами»

 в группе 171-Т11

Подготовил преподаватель: Родионов А.А.

Тучково 2018

Пояснительная записка

Методическая разработка урока составлена с применением компьютерных технологий, а именно, с применением электронного варианта лекции по теме «Матрицы. Действия над матрицами». Это обусловлено тем, что урок проводится в группе второго курса специальности 23.02.01 «Организация перевозок и управление на транспорте (по видам)». Студенты уже имеют навыки работы с ПК, полученные ими на уроках информатики. Кроме этого, многие самостоятельно овладевают работой на ПК. Применение компьютера на первом же уроке позволит многим студентам показать свою компетентность в области информационных технологий, формируя у студентов положительные мотивы в обучении; развить интерес к предмету и к своей будущей профессии.

Применение электронной лекции позволяет организовать самостоятельное изучение темы, что активизирует мыслительную деятельность студентов. Навык самостоятельной работы с электронным пособием необходим и при продолжении образования в высшем учебном заведении.

Необходимо отметить и реализацию принципа наглядности обучения, позволяющего учесть индивидуальные особенности некоторых студентов, а именно тех, кто плохо воспринимает материал на слух.

В ходе урока с изучением нового материала одновременно проводится и закрепление: студенты самостоятельно выполняют решения предлагаемых в лекции задач и проверяют свое решение тоже самостоятельно, что способствует лучшему запоминанию материала и умению анализировать свои ошибки.

Дисциплина: ЕН.01 МАТЕМАТИКА

Тема: Матрицы. Действия над матрицами

Тип урока: Сообщение и усвоение новых знаний.

Вид урока: Комбинированный урок.

Методы урока: Лекция с элементами беседы, создание проблемных ситуаций, выполнение самостоятельных заданий в ходе лекции.

Оснащение урока:

Компьютеры; сеть; электронный вариант лекции (приложение : для раскрытия электронной лекции открыть файл «Матрицы» );  тетрадь для ведения конспектов.

Цели:

1. Образовательные: Повысить эффективность и качество обучения в условиях применения ПК; научить использовать электронные пособия для овладения новыми знаниями.
2. Учебные: Познакомиться с понятием матрица, с правилами обозначения и записи матрицы, с примерами применения матриц для записи информации, с правилами выполнения действий над матрицами.
3. Развивающие: Развивать способности к анализу и обобщениям; формировать познавательную потребность.
4. Воспитательные: Способствовать формированию положительных мотивов обучения; прививать навыки самостоятельной работы при изучении новой темы; воспитывать внимательность.
5. Методические: использовать межпредметные связи для активизации мыслительной деятельности учащихся.

План урока

1. Организационная часть. (10 минут)
2. Сообщение темы и целей урока.(10 минут)
3. Изучение и усвоение нового материала, первичное закрепление знаний.(50 минут)

1. Основные сведения о матрицах.
2. Использование матриц при записи информации.
3. Виды матриц.
4. Действия над матрицами.

1. Сложение матриц.
2. Умножение матрицы на число.
3. Вычитание матриц.
4. Транспонирование матриц.
5. Умножение матриц.

4. Итог урока.(10 минут)
5. Домашнее задание.(10 минут)

Ход урока:

1. Организационная часть

2.  Сообщение темы и цели урока

Тема урока: Матрицы. Действия над матрицами.

Цель: Познакомиться с понятием «матрица», с правилами ее записи, чтения; усвоить правила выполнения действий над матрицами; познакомиться с некоторыми случаями практического применения матриц и действий над ними.

 Тема урока записывается в тетрадь.

3.  Изучение и усвоение нового материала, первичное закрепление знаний

3.1.  Основные сведения о матрицах

Определение: Матрицей размера m х n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Обозначение матриц - заглавные буквы латинского алфавита: А, В, С,…,  элементы - строчные буквы с двойной индексацией : аij , где  i – номер строки,  j – номер столбца.

Примеры записи матриц:

Сокращенная запись: А = (аij), где i  = 1, 2, 3,…,m;  j = 1, 2, 3, …, n.

Проводится устный опрос:

 Сформулируйте определение матрицы.

Что означают индексы, в каком порядке записываются?

Далее студенты знакомятся с  условием задач 1 и 2. Преподаватель просит выполнить их самостоятельно письменно. После выполнения каждой задачи студенты проверяют свое решение, нажав кнопку «ответ». Для возврата – кнопку «возврат».

  Задача 1. Указать размеры матриц:

Решение:

Задача 2. Для матрицы  указать ее размер и найти значения элементов а23 , а31 , а15 , а33 , а35 , а24 .

Решение: .

а23 =7 - элемент второй строки и третьего столбца,

 а31 = -2 - элемент третьей строки и первого столбца,

 а15 = -1,8 - элемент второй строки и третьего столбца,

 а33  = -6,3 - элемент второй строки и третьего столбца,

 а35 = 6 - элемент второй строки и третьего столбца,

 а24 = 5,7 - элемент второй строки и третьего столбца.

Преподаватель еще раз просит обратить внимание на правило записи размерности матрицы и значения каждого индекса.

3.2.   Применение матриц для записи информации

Рассмотрим примеры применения матриц для записи информации.

Обычно экономические зависимости представляют  в виде таблиц, которые могут быть записаны  в компактной форме в виде матриц. Такая запись позволяет быстро анализировать и обрабатывать информацию. Для рассмотрения примеров студенты открывают пункт «Применение матриц для записи информации». В конспект записывается название данного пункта.

Пример 1.  

Таблица распределения ресурсов по отраслям экономики в условных единицах

Письменно выполняется задание: Составить для таблицы матрицу, обозначить ее А, найти размерность, объяснить смысл элементов а11 , а21 , а22 . После выполнения в форме беседы обсуждаются результаты:

а11 = 5,3- потребление электроэнергии промышленностью, 

 а21  = 2,8 – потребление трудовых ресурсов промышленностью, 

а22 = 2,1 – потребление трудовых ресурсов сельским хозяйством.

 Далее преподаватель сообщает: «Из уроков информатики вам знакомо понятие графа, который применялся для записи алгоритма. Диаграмма, т.е. графическое изображение графа представляет собой точки и линии связывающие эти точки. На уроках дискретной математики вы более подробно будете знакомиться  с задачами, решаемыми с помощью графов. А сейчас мы рассмотрим один из способов задания графа, который применяется для задания его в компьютере. В компьютере граф задается с помощью матрицы». Студенты знакомятся со вторым примером.

 Пример 2. Пусть даны некоторые объекты А, В, С, Д, Е, например, предприятия, между  которыми установлены экономические контакты, например, поставка продукции:

А   поставляет продукцию в Д и Е, С – в А и В, В- в Д

 Изобразим объекты в виде точек, а связи – линиями со стрелками, указывающими направление поставки:

Студенты перечерчивают граф и кратко описывают его смысл.

Составим матрицу следующим образом: если из точки А в точку Д проведена линия со стрелкой в точке Д, то элемент матрицы, соответствующий данным точкам, равен единице. Из В в С  линии со стрелкой в точке С не существует, значит элемент матрицы, соответствующий этим точкам равен нулю.

Получим матрицу размера 5х5, обозначим ее W:

Студенты записывают матрицу в тетрадь.

Письменно отвечают на вопрос: Что означают элемент w24 и элемент w35 ?

Ответ. Элемент w24 = 1 означает, что В поставляет продукцию в Д. Элемент w35 = 0 означает, что С не поставляет продукцию в Е.

Для этого же графа можно построить другую матрицу: присвоить каждой линии число обозначающее, например, количество поставляемой продукции, или затраты на перевозку продукции и т.д.. Тогда соответствующий элемент матрицы будет равен присвоенному линии числу. Представленная в таком виде информация об экономических связях позволяет с помощью известных алгоритмов, для которых составлены программы, решать задачи экономии транспортных расходов, получения максимальной прибыли от поставок, рационального строительства дорог.

Пусть присвоенные линиям числа – поставляемая продукция в некоторых условных единицах:

Перечертите граф и составьте матрицу объемов поставляемой продукции. Проверьте правильность выполнения задания.

Ответ. Матрица имеет вид:

Обсуждается полученный результат.

Кроме указанных задач можно получить информацию об общем количестве поставляемой продукции или получении продукции.

Ответьте на вопросы (устно):

Сколько всего продукции поставляет объект С? (найдем сумму элементов третьей строки: 26 +9 = 35.)

Сколько всего продукции получают объекты Д и Е? ( Д- сумма элементов 4-го столбца: 15+7=22; Е – сумма элементов 5-го столбца: 12)

Какой объект не занимается поставками? (Д и Е)

Какой объект получает наибольшее количество продукции? (сравнивая суммы элементов по столбцам, делаем вывод, что это А.)

Далее рассматривается третий пример.

Пример 3. Рассмотрим пример записи информации в медицине, а именно в эпидемиологии.

Предположим, что три человека заболели какой-либо заразной болезнью. Пусть это будет первая группа. Опрашивают вторую группу из пяти человек с целью выяснения, кто из них имел контакт с тремя больными. Результаты опроса представляют в виде матрицы А размера 3х5, полагая аij = 1, если j – ый человек имел контакт с i– м больным и аij = 0, в противном случае. Например, получили матрицу:

.

Элемент а24 =1 означает, что 4-ый человек второй группы находился в контакте со 2 - м человеком первой группы.

Ответьте на вопросы (устно):

Какой человек в данной группе не имел контактов с больными? (ответ: второй, т.к. все элементы второго столбца равны нулю.)

Что можно сказать о наличии контакта между третьим человеком первой группы и пятым второй?(ответ: контакта не было т.к. а15 = 0.)

Кто из второй группы имел наибольшее число контактов с больными? (ответ: четвертый, т. к. количество элементов , равных единице равно трем.)

Что означает элемент а21 ? (ответ: а21 = 1, означает, что первый человек из второй группы был в контакте со вторым больным.)

Далее опрашивают третью группу из шести человек, чтобы выяснить контакты с кем – либо из пяти человек второй группы и получают матрицу В размера 5х6:

Студенты переписывают  матрицы А и В. преподаватель сообщает, что к этой задаче они вернутся позже.

Эпидемиологов интересуют не только прямые связи, но и контакты второго порядка, т.е. наличие связи между первой группой и третьей. Мы вернемся к этому вопросу позже.

3.  Виды матриц

Преподаватель: «Рассмотрим различные виды матриц в зависимости от их размера и значений элементов.

Откройте пункт «Виды матриц», запишите название в тетрадь. Выполните решение задачи 3 письменно, затем проверьте».

Задача 3. Даны матрицы:

Около каждого названия вида матрицы выпишите обозначения, на ваш взгляд, подходящих матриц:

Прямоугольные:

Квадратные:

Матрица-строка:

Матрица- столбец:

Единичная матрица:

Нуль – матрица:

Решение:

Прямоугольные: В, Д, М, К, Р.

Квадратные:      А, С, Н.

Матрица-строка: М.

Матрица- столбец: К.

Единичная матрица: Н.

Нуль – матрица: Р.

Устный опрос с последующей записью ответа.

Какая матрица называется прямоугольной?

Ответ: Матрица размера m х n , где m ≠ n, называется прямоугольной матрицей.

      Сформулируйте определение матрицы- строки и матрицы – столбца.

Ответ: Матрица размера 1х n называется матрицей –строкой.

 Матрица размера m х 1 называется матрицей – столбцом.

Обе эти матрицы называются матрицами – векторами.

 Какая матрица называется квадратной?

Ответ: Матрица называется квадратной, если n = m.

Если число строк и столбцов равно n , то матрицу называют квадратной n – го порядка.

 Определите порядок квадратных матриц из задачи 1.

Ответ: Матрица А второго порядка, С и Н третьего порядка.

Элементы аij квадратной матрицы, у которых i = j называются диагональными элементами и образуют главную диагональ матрицы.

 Устно: назовите элементы главной диагонали квадратных матриц из задачи 3.

Ответ:

Для матрицы А: 2; 5.

Для матрицы С: 4; 1; 2.

Для матрицы Н: 1; 1; 1.

 Какая матрица называется единичной?

Ответ: Квадратная матрица, главные элементы которой равны единице, а остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается Е.

 Какая матрица называется нуль – матрицей?

Ответ: матрица любого размера называется нулевой матрицей, если все ее элементы равны нулю. Обозначается О.

Преподаватель отмечает, что роль нуль-матрицы и единичной матрицы будут рассмотрены  позже при знакомстве действий над матрицами.

4.  Действия над матрицами

Преподаватель: «Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциям над числами, а некоторые  - специфические.

3.4.1. Сложение матриц

Рассмотрим пример. Пусть три завода выпускают пять различных видов продукции.  Отчет о производстве  за год представили в виде матрицы:

.

Каждый элемент – количество выпускаемой продукции .

Объясните смысл элемента а24 и запишите в тетрадь.

Ответ:  элемент а24 = 20 – это количество продукции четвертого вида, изготовленного вторым заводом.

Пусть в течении следующего года ассортимент продукции не изменился. Отчет за следующий год имеет вид:

Как найти выпуск продукции за два года? В каком виде записать ?

Проводится обсуждение данного вопроса с последующей проверкой и записью.

Ответ: найти суммы элементов матриц с одинаковыми индексами и получим матрицу С такого же размера, что и матрицы А и В:

Матрица С называется суммой матриц А и В.

Сформулируйте определение суммы матриц.( Устный ответ с последующей записью.)

Ответ: Суммой матриц А и В одинакового размера mxn называется матрица С = А + В, элементы которой сij = aij + bij .

Выполните письменно задачу 4 и проверьте свое решение.

Задача 4. Найдите суммы: А + В и В + А, А + В + С и А + (В + С). Сделайте выводы.

Решение :

Вывод:Сложение матриц обладает коммутативным свойством: А+В = В+А.

(А+В)+С: Сначала найдем сумму А+В, к полученной матрице прибавим матрицу С:

А+(В+С): к матрице А прибавим сумму матриц В и С.

Вывод: сложение матриц обладает ассоциативным свойством: (А+В)+С= А+(В+С).

Обсуждаются  выводы решения задачи 4. Записать выведенные свойства.

Что можно сказать о сумме А+О, где О –нуль-матрица? Какую роль играет нуль-матрица при сложении матриц?

Ответ: А+О=А – (дополнить в свойства сложения.)

 Нуль-матрица при сложении матриц выполняет роль нуля при сложении чисел: а+0=а.

3.4.2.  Умножение матрицы на число

Обсуждение решения. Проверка с краткой записью в тетрадь.

Задача 5. Пусть известно, что выпуск продукции по каждому виду на каждом заводе в течении второго года увеличился в среднем на 20%. Составить отчет выпуска продукции за второй год.

Решение: Рост на 10% означает увеличение в 1,1 раза. Значит, каждый элемент матрицы А нужно умножить на число 1,1. Тогда отчет запишем в виде матрицы Д такого же размера, что и матрица А:

Полученная матрица является произведением матрицы А на число 1,1, т.е. матрица Д=1,1А.

Значит:

Произведением матрицы А на число λ называется матрица Д=λА, элементы которой         dij =λaij .

Письменное выполнение  задачи 6.

Задача 6. Представьте матрицу в виде произведения матрицы на число и сделайте вывод:

.

Решение: для того, чтобы выполнить такое представление матрицы, необходимо найти общий множитель всех элементов матрицы, например число 2, затем разделить каждый элемент  на данное число, получим:

Обсуждение и вывод: правило умножения матрицы на число позволяет выполнять вынесение общего множителя всех элементов за знак матрицы.

Что можно сказать о произведении 0⋅А?

Ответ: при умножении матрицы на ноль получается нуль-матрица, т.к. все элементы будут равны нулю: 0⋅А = О

3.4.3.  Вычитание матриц

Обсуждение решения задачи 7 с последующей записью.

Задача 7. Каков смысл разности: В – А для рассмотренного выше примера о производстве продукции? Выразите разность через известные операции. Найдите разность В –А.

Ответ: эта разность позволяет найти прирост продукции за второй год по каждому виду  каждым заводом.

В – А = В + (-1)А.

В результате получим новую матрицу, каждый элемент которой равен  bij +(- aij)= bij - aij .

Вычислим В-А:

Устное обсуждение полученные результатов.

Письменное выполнение задачи 8 с последующей проверкой. Выводы обсуждаются .

Задача 8. Вычислить: 3(А + В) и  3А + 3В, где  .

Сделайте вывод.

Решение:

3(А + В)

Найдем сумму А+В, затем умножим полученную матрицу на число 3:

3А + 3В.

Найдем произведения 3А и 3В, затем сложим полученные матрицы:

Вывод: справедливо равенство: λ(А + В) = λА + λВ.

4. Транспонирование матриц

Переход от матрицы А  к матрице АТ, в которой строки и столбцы поменяли местами с сохранением порядка называется транспонированием матрицы:

,

Письменно ответить на вопрос: Как изменяется размер матрицы при транспонировании ?

Ответ: если размер матрицы А: mxn, то размер матрицы АТ : nxm.

Письменное решение задачи 9 с  проверкой решения и дальнейшим обсуждением.

Задача 9. Транспонируйте матрицы :

Решение :

Письменное выполнение  с комментариями задачи 10.

Задача 10 .  Произвести действия над данными матрицами, а в случае, когда это невозможно, указать причину.

Решение:

1. 2А – В – невозможно произвести действие вычитание, т.к. размерности матриц разные: у матрицы А – 1х2, у матрицы В – 2х1.
2. АТ + 4В:

3).    –А + 2ВТ :

4). А-7С - невозможно произвести действие вычитание, т.к. размерности матриц разные: у матрицы А – 1х2, у матрицы С – 2х2.

5). ВТ + 3Д - невозможно произвести действие вычитание, т.к. размерности матриц разные: у матрицы ВТ  – 1х2, у матрицы Д – 2х2.

6). 9С + 4Д:

 Запишите в тетрадь:

Операция транспонирования обладает следующими свойствами:

1. (АТ)Т = А;
2. (λА)Т = λАТ;
3. (А+В)Т = АТ + ВТ.

Обсуждение свойств.

5. Умножение матриц

Задача 11. Два предприятия производят три типа одинаковой продукции, объемы выпуска заданы матрицей  Реализуется продукция в четыре региона. Цена реализации единицы i –го типа продукции в j – том регионе задана матрицей  Найти выручку, полученную каждым регионом и записать результат в виде матрицы.

Решение:

Чтобы найти выручку от реализации продукции , нужно количество единиц продукции умножить на цену, т.е. АхВ. Вычислим выручки для первого предприятия по каждому региону отдельно:  выручка от реализации в первом регионе равна: - произведение элементов первой строки матрицы А на первый столбец матрицы В,

во втором регионе: - произведение элементов первой строки матрицы А на второй столбец матрицы В,

в третьем регионе:  - произведение элементов строки матрицы А на третий столбец матрицы В,

в четвертом: - произведение элементов строки матрицы А на четвертый  столбец матрицы В.

Аналогично, для второго предприятия:

в первом регионе: - произведение элементов второй строки матрицы А на первый столбец матрицы В,

во втором регионе: - произведение элементов второй строки матрицы А на второй столбец матрицы В,

в третьем регионе:  - произведение элементов второй строки матрицы А на третий столбец матрицы В,

в четвертом: - произведение элементов второй строки матрицы А на четвертый  столбец матрицы В.

Таким образом, матрица выручки предприятиями по регионам есть матрица размера 2х4:

По предлагаемым вопросам обсуждается решение задачи и формулируются выводы.

Для каких матриц существует их произведение?

Ответ: число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй.

Какую размерность имеет матрица С, равная произведению матриц

Ответ: матрица имеет m строк и n столбцов, т.е. mxn.

Как нашли элемент с12 =1300?

Ответ: элемент с12 =1300 равен сумме произведений элементов первой строки матрицы А на элементы второго столбца матрицы В.

Сформулируем правило умножения матриц и запишем.

Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. произведением матриц  называется матрица , каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов  i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы   j- го столбца матрицы В.

Преподаватель просит студентов вернуться к задаче применения матриц в медицине, и решить задачу 12.

Задача 12.  Эпидемиологов интересуют кроме непосредственных контактов с больными и непрямые контакты второго порядка, между людьми третьей группы и первой. Эти контакты второго порядка описываются матрицей С = АВ.

Найдите данное произведение и запишите решение в тетрадь.

Ответ:

По данной матрице можно определить, для какого человека третьей группы существует риск заболеть. Самое большое число контактов второго порядка у третьего и четвертого: всего каждый из них имеет по 4 контакта, а пятый - скорее всего не заболеет, т.к. не имел контактов.

Письменно с последующей проверкой и обсуждением выполняется решение задачи 13.

Задача 13. Даны матрицы:

Найдите размерности матриц, равных указанным произведениям, если произведение определено:

АВ, ВА, ВТВ, ВВТ, СВ, ВС, СД, ДМТ , А2, В2.

Решение:

Устно ответить на вопросы:

Обладает ли произведение матриц коммутативностью?

Ответ: не обладает: АВ – не существует, а ВА – существует. Или : ВТВ - матрица размера 2х2, ВВТ – матрица размера 3х3.

Записать:  АВ ≠ ВА.

Письменное выполнение задачи 14 с последующей проверкой и обсуждением.

Задача 14. В каком случае существует натуральная степень матрицы Аn и каков размер итоговой матрицы? Найдите А2,где ; Е2, где  Что можно сказать о натуральной степени единичной матрицы?

Ответ: Аn существует, если матрица квадратная. Размерность такая же, что и у матрицы А.

Очевиден вывод: Еn = Е.

 Письменное  решение задач 15 и 16 с последующей проверкой.

Задача 15. Обоснуйте существование произведения матриц АВ. Найдите указанные элементы произведения  АВ = С, если

а). с21 ,  б). с32 , в). с12, г). с22.

Решение. Произведение определено, т.к. число столбцов матрицы А равно трем и число строк матрицы В равно тоже трем.

а). с21 = 5⋅(-3) + 3⋅2=-9 – сумма произведений элементов второй строки матрицы А на элементы первого столбца матрицы В,

б). с32 = 1⋅2 + 7⋅3= 23 - сумма произведений элементов третьей строки матрицы А на элементы второго столбца матрицы В,

в).  с12 = -1⋅2 + 1⋅3 = 1 - сумма произведений элементов первой строки матрицы А на элементы второго столбца матрицы В,

г). с22 = 5⋅2 + 3⋅3 = 19 - сумма произведений элементов второй строки матрицы А на элементы второго столбца матрицы В.

Задача 16. Дана квадратная  матрица  и единичная матрица такого же размера. Найдите произведения АЕ и ЕА и сделайте вывод.

Решение:

Вывод: АЕ = ЕА = А для квадратных матриц, следовательно в таких произведениях единичная матрица играет такую же роль, что и единица при умножении чисел а⋅1=1⋅ а = а.

Записать в тетрадь:

Продолжим список свойств действий над матрицами.

Свойства умножения матриц:

1. А(В + С) =АВ + АС;
2. (А + В)С = АС + ВС;
3. λ(АВ) = (λА)В;
4. А(ВС) = (АВ)С;
5. (АВ)Т = АТВТ.

Устно разбирается каждое свойство.

Преподаватель: «Рассмотрим еще одну задачу применения матриц в экономике. Прочтите условие задачи 17 и предложите свои решения.».

После обсуждений предложенных студентами решений, решение задачи записывается в тетрадь с последующей проверкой.

Задача 17. Предприятие выпускает три вида продукции, используя два вида сырья, нормы расхода сырья на единицу продукции задаются матрицей . Определить денежные расходы предприятия на осуществление выпуска продукции, задаваемого матрицей , если стоимость единицы каждого вида сырья выражается матрицей  Поясните смысл элементов матриц А, С и Р. Решите задачу двумя способами.

Решение .

Сначала поясним смысл элементов данных матриц.

Элемент aij матрицы А – норма расхода сырья i- го вида на продукцию j – го вида.  

Элемент cj1 матрицы С -  количество единиц продукции  i – го  вида.

Элемент р1j матрицы Р -  стоимость единицы сырья j – го вида.

Расходы можно определить следующим образом: сначала найти расходы на затраченное сырье на единицу продукции каждого вида, т.е. Р умножить на А:

 А затем вычислить денежные расходы на всю выпускаемую продукцию: (РА) умножить на С :  (РА)С =

Расходы можно определить и так: сначала найдем затраты сырья  каждого вида , т.е. А умножим на С:

А теперь , умножив матрицу Р на полученную матрицу, найдем денежные расходы на выпуск всей продукции: Р(АС) =

Преподаватель задает вопрос: справедливость какого свойства умножения матриц продемонстрировал данный пример?

Ответ: ассоциативное свойство : (РА)С = Р(АС). (записать)

4.  Итог урока

Преподаватель проводит фронтальный опрос по контрольным вопросам:

1. Сформулируйте определение матрицы.
2. Для чего нужны матрицы?
3. Перечислите виды матриц.
4. Как выполняется сложение матриц?
5. Как выполняется вычитание матриц?
6. Как выполняется умножение матрицы на число?
7. Как выполняется транспонирование матриц и как изменяется размер матрицы?
8. Как выполняется умножение матриц?

Преподаватель предлагает студентам оценить свою работу на уроке, степень усвоения материала. Сообщает, что на следующем занятии будет проведена проверочная работа по данной теме.

Студенты закрывают электронную лекцию.

5.  Домашнее задание.

Домашнее задание.

Выполнить письменно.

1. Даны матрицы:

Произвести действия над данными матрицами, а в случае, когда это невозможно, указать причину:

а). А+В, б). –3А+АТ, в). АВ, г). ВА, д). АТВ, е). ВТА.

2. Даны матрицы:

Вычислить: 2АВ – С(СТ +Д).

3. Предприятие производит три вида продукции, используя два вида ресурсов. Норма затрат ресурсов i –го вида на производство продукции j- го вида задана матрицей А, выпуск продукции за квартал  - матрицей Х, стоимость единицы каждого вида ресурсов – матрицей Р. Найти : 1) матрицу S полных затрат ресурсов каждого вида, 2) полную стоимость всех затраченных ресурсов.

Литература

1. Богомолов Н.В, Самойленко П.И.. Математика, М., «Дрофа»

2.Дадаян А.А., Математика, М., «Форум», 2012.

3.Дадаян А.А., Сборник задач по математике, М., «Форум», 2013.