Методическая разработка занятия по предмету Элементы высшей математики по теме: "Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решение. Уравнения с разделенными переменными".
методическая разработка по теме

Методическая разработка

по предмету ЕН.01

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

по теме:

«Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решение. Уравнения с разделенными переменными»

Преподаватель математики:

Т.Н. Рудзина

Москва

2015 г.

ОТКРЫТЫЙ УРОК по теме:

Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решение. Уравнения с разделенными переменными.

«Великая книга природы написана на языке математики»

Галилей

Тип занятия: комбинированный, с элементами игры.

Формы занятия: индивидуальная, групповая, фронтальная.

Технология – игровая.

Оборудование: Кинофильм «Дифференциальные уравнения в науке и технике» (фрагменты), проектор, компьютер, доска, рабочие тетради.

Наглядные пособия. Таблица «Геометрическая интерпретация множества решений дифференциального уравнения».

Продолжительность занятия: 90 мин.

Цели занятия: 

Дидактическая цель. Дать понятие о дифференциальном уравнении, его общем, частном решении. Показать геометрическую интерпретацию множества решений дифференциального уравнения. Учить решать дифференциальные уравнения с разделенными переменными.

Воспитательная цель. Формировать мировоззрение учащихся, раскрыв основные идеи математического моделирования, в котором дифференциальные уравнения играют большую роль. Активизировать учебную деятельность учащихся, рассказав о широком применении дифференциальных уравнений во многих отраслях науки и техники. Развивать любознательность и интерес к изучению математики, раскрывая прикладную направленность дифференциальных уравнений и приводя исторические сведения.

Методическая цель: Организация деятельностного подхода обучающихся на уроке.

Основные знания и умения. З н а т ь определения: дифференциального уравнения, его порядка, общего и частного решения. Иметь понятие о задаче Коши. У м е т ь геометрически иллюстрировать дифференциальные уравнения в простейших случаях; отличать дифференциальные уравнения от алгебраических.

Учебно-методическое обеспечение: тест, презентация преподавателя к открытому уроку (Приложение 1), задания для группового решения, задания для самостоятельной работы, кроссворд, лист оценки знаний студента

ПЛАН УРОКА.

1. Организационный момент (5 мин).
2. Сообщение темы и целей урока.

 Мотивационная беседа с последующей постановкой цели (5 мин).

3. Актуализация опорных знаний:

1. Проверочная работа. (8 мин)

2. Отгадать имя ученого. (10 мин)

3. Историческая справка. (5 мин)

4. Просмотр научно-популярного фильма о применении дифференциальных уравнений. (6 мин)

4. Изучение нового материала. (20 мин)
5. Закрепление. (15 мин)
6. Домашнее задание. (2 мин)
7. Итог. (Решение кроссворда). (8 мин)
8. Рефлексия. (5 мин)

ХОД УРОКА.

I. Организационный момент.

Приветствие. Проверка готовности группы к уроку.

II. Сообщение темы и целей урока.

Тема нашего урока: Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решение. Уравнения с разделенными переменными.

Цель нашего занятия: познакомиться с понятием дифференциального уравнения, его общим и частным решением, знать, как определяется порядок ДУ, иметь понятие о задаче Коши. Понимать какое уравнение называется уравнением с разделенными переменными и учиться его решать.

Для достижения этой цели мы проведем проверочную работу с взаимопроверкой, чтобы быть готовыми воспринимать новый материал; решим задания, с помощью которых узнаем кто ввел термин «Дифференциальные уравнения» и это все будет у нас проходить в духе соревнования (поэтому мы разделились с вами на 3 группы). Посмотрим фильм советских времен о применении ДУ в науке и технике. Разберем новый материал, закрепим его и в заключении разгадаем кроссворд, который подведет итог нашего урока. Результаты оценивания знаний на разных этапах заносятся в лист оценки знаний каждого студента. В процессе занятия учитывается и индивидуальная, и групповая формы работы.

1.  Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.

Теория дифференциальных уравнений является заключительной темой после изучения дифференциально–интегрального исчисления. Тема эта очень сложная. Она является важной для получения фундаментального естественно – научного образования.

Для формирования представлений о математике, как о необходимой для каждого человека составляющей общих знаний о мире и понимания значимости этой науки для общественного прогресса.

«Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой», – писал А.Н.Колмогоров (выдающийся математик современности).

III. Актуализация опорных знаний.

1. Проверочная работа. (8 мин)

(Слайд 2)

Найти производную.

I вариант                                         II вариант

          а) ;                         а)

б)                    б)

в)              в)

г)               г)

д)                  д) .

После решения нужно обменяться тетрадями и провести взаимопроверку по слайду. За каждый правильный ответ записываем себе 1 балл.

Ответы:                                                                                                  (Слайд 3)

           I вариант                                             II вариант

     а) ;                               а)    ;          

б) ;                                   б)   ;          

в) ;                               в)     

г)                      г)

д)                  д) .

2.   Отгадать фамилию ученого. 

(Слайд 4)

Кто ввел термин «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»?

Для этого решаете примеры на вычисление определенного интеграла, а затем по полученным результатам прочитаем слово (фамилию ученного).

Задание.

Вычислить определенный интеграл:

1.                               2.

3.  ;                          4.

5.               6.      7. .

Проверим правильность решения примеров. С помощью таблицы определим, какой ответ решения определенного интеграла соответствует букве алфавита. С помощью полученных букв составим фамилию ученого, впервые применившего термин «Дифференциальные уравнения».

За каждый правильно вычисленный интеграл - 2 балла.

За составления фамилии ученого из полученных букв – 1 балл.

(Слайд 5)

Соответствие найденных значений определенных интегралов буквам алфавита.

3. Историческая справка по применению дифференциальных уравнений.

Студенты группы подготовили свои сообщения по нашей теме. (Послушае        м их).

При изучении тех или иных физических, биологических процессов, механических явлений, ученым удается составить дифференциальные уравнения этого процесса или явления. А затем, решая это уравнение, удается вывести функциональный закон описания изучаемого вопроса. Дифференциальные уравнения играют большую роль в деле изучения природы и различных физических, химических и других процессов.

Существует много процессов в природе, которые описываются дифференциальными уравнениями. Например, процесс размножения бактерий, явление органического роста, изменение давления при подъеме над уровнем моря, ток самоиндукции, протекающий в катушке после выключения постоянного напряжения.

Можно так же написать дифференциальные уравнение движения планеты вокруг Солнца, искусственного спутника вокруг земли. Решая дифференциальные уравнения движения планет и их спутников (эти уравнения весьма сложны, т.к. планеты притягиваются не только к Солнцу, но и друг к другу), ученые предсказывают их будущее движение, узнают моменты солнечного и лунного затмений. Когда однажды оказалось, что планета Уран отклоняется от заранее вычисленной орбиты, ученые нисколько не сомневались в «правильности» математики. В середине 19 века французский астроном Леверье и английский астроном Джон Адамс одновременно и независимо один от другого сделали смелое предположение, что отклонение Урана вызывается притяжением к нему новой, до сих пор неизвестной планеты. С помощью дифференциальных уравнений они вычислили положение этой новой планеты и указали, где нужно искать ее на небе. Точно в указанном месте эта планета (её назвали НЕПТУН) была затем обнаружена. О ней говорят, что она открыта «на кончике пера» (путем вычислений).

Возникнув в XVI в. на базе задач математики и физики, теория дифференциальных уравнений как самостоятельная дисциплина сложилась к концу XVIII в. В настоящее время теория дифференциальных уравнений продолжает развиваться и является одной из важнейших частей математики.

Тот факт, что самые различные явления описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, часто используется на практике.

4. Просмотр научно-популярного фильма советских времен о применении дифференциальных уравнений. (Cлайд 6)

IV. Объяснение нового материала:

Мотивация: в школьном курсе встречались с различными уравнениями: алгебраическими, показательными, тригонометрическими и т.д. Во всех этих уравнениях неизвестными являются числа.

В математике и ее приложениях иногда приходиться рассматривать функциональные уравнения, решениями которых служат неизвестные функции (или семейство функций). (Вспомним, что же такое функция? Ответ: Это зависимость, когда каждому значению переменной x ставится в соответствие единственное значение y).

К функциональным уравнениям относятся дифференциальные уравнения.

        Рассмотрим некоторую функцию  . Обозначим через   ее первую производную,     - вторую и т.д., а дифференциалы функций и аргумента обозначим соответственно   и  .

        В дифференциальных уравнениях всегда присутствует производные или дифференциалы функции и аргумента. Это отличительный признак дифференциальных уравнений.

Например,   ,      – дифференциальные уравнения.

Выполним задание. (Слайд 7)

1. Установить, какое из указанных уравнений являются дифференциальными:

а) ;           б) ;               в) ;      

      г) ;           д) ;             е) .

  Ответ: а), г), е) - дифференциальные уравнения.

Определение:

(Слайд 8)

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные искомой функции или ее дифференциалы.

(Слайд 9)

        Решить дифференциальное уравнение - значит найти такую функцию, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. Эта функция называется решением дифференциального уравнения.

2. Даны функции:  ,    ,    .  Какие из них являются решениями дифференциального уравнения      ? (Слайд 10)

Ответ:  .

(Слайд 11)

Решение, содержащее постоянную C, называется общим решением дифференциального уравнения.

Решение, в которое подставлено числовое значение C, называется частным решением дифференциального уравнения.

     Значение С вычисляется при подстановке начальных данных в общее решение. Геометрически частное решение представляется одной интегральной кривой, общее решение – совокупностью интегральных кривых.   

(Слайд 12)

3. Зная, что функция      является общим решением уравнения  , определить его частное решение, если  .

Решение:

Подставив в общее решение      заданные начальные условия   ,      , получим   , откуда    . Теперь подставим значение    

в общее решение и найдем искомое частное решение .

Таким образом, при решении дифференциальных уравнений сначала получается общее решение. Затем, если известны начальные данные, то можно получить частное решение.

(Слайд 13)

Для этого нужно:

1. подставить начальные данные в общее решение и вычислить С;
2. полученное числовое значение С подставить в общее решение.

(Слайд 14)

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения по начальным данным называется задачей Коши.

     При вычислении неопределенных интегралов мы имеем дело с дифференциальным уравнением. Нахождение неопределенного интеграла по заданному дифференциалу некоторой функции сводиться к решению дифференциального уравнения.

4. Найти решение    дифференциального уравнения   ,   удовлетворяющего условию   .

Общее решение этого уравнения находим интегрированием:  

 .

Подставив начальные данные и определив    , найдем частное решение (решение задачи Коши)   .

(Слайд 15)

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

,             ,          .

(Слайд 16)

Определение:

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

(Слайд 17)

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение. 

 – дифференциальное уравнение I порядка, т.к. наивысший порядок производной – I.

 – дифференциальное уравнение II-го порядка.

 – дифференциальное уравнение III-го порядка.

, где    – дифференциальное уравнение II-го порядка. (Определить порядок - на слайде 17)

К дифференциальным уравнениям I-го порядка относятся уравнения, в которые входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Общий вид дифференциального уравнения I-го порядка  

(Слайд 18)

Если это уравнение можно разрешить относительно   , то оно примет вид                        .

Дифференциальные уравнения I порядка с разделенными переменными.

(Слайд 19)

Определение:

Уравнение вида     ,  где      и       – данные функции, называется уравнением с разделенными переменными.

Это уравнение можно переписать в виде:

и рассмотреть, как равенство двух дифференциалов.

Каждая часть уравнения с разделенными переменными представляет собой произведение некоторого выражения, зависящего от одной переменной, на дифференциал этой переменной.

(Слайд 20)

Пример: 

- уравнения с разделенными переменными. Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием.

5. Решить уравнение:    .

Здесь переменные разделены.

Интегрируя, получим:

,    

Так как    – произвольно, то    обозначим через   ,  тогда

  - общее решение или общий интеграл данного дифференциального уравнения.

С геометрической точки зрения получим семейство концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом равным   C.

(Слайд 21)

V. Закрепление. 

6. Решить уравнение   

Здесь    ,     .

,  интегрируя обе части

 – общее решение, его можно записать в явной форме:

.

7. Решить уравнение  

8. Решить уравнение  

 ,

  - общее решение.

9. Найти частное решение дифференциального уравнения                       , если , .

  Имеем:

 ,

         ,

          ,  

          ,

 – частное решение.

10.  Решить уравнение     , если   , при

,      

  ,

   - частное решение.

(Слайд 22)

VI. Домашнее задание:

1.  ;

2. ;

3. ;

4. .

Ответы: 1)             3)

                 2)             4) .

         VII. Итог.

(Слайд 23)

Решение кроссворда.

КРОССВОРД

По горизонтали:

1. Решение дифференциального уравнения, которое можно получить, если известны начальные данные.
2. Что показывает старшая производная дифференциального уравнения?
3. Действие нахождения общего решения ДУ.

     7. Нахождение конкретного частного решения по начальным данным – это задача … .

По вертикали:

4. Найти решение ДУ, значит, найти … .

5. Ученый, который ввел термин «Дифференциальные уравнения».

6. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее … .

8. Название ДУ, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Теперь необходимо подсчитать количество баллов (индивидуально и по командам) соответственно таблице.

Таблица баллов

(Слайд 25).

КРИТЕРИИ ОЦЕНОК

VIII. Рефлексия.                                                                                  (Слайд 26)

1. «Я узнал много нового» -

2. «Мне это пригодится в жизни» -

3. «На уроке было над чем подумать» -

4. «На все вопросы, возникающие в ходе урока, я получил ответы» -

5. «На уроке я работал добросовестно и цели урока достиг» -

Поднимите руки, кто поставил 5 плюсов, а затем те, кто поставил 4 и три плюса.

5 –

4 –

3 –

2 –

По горизонтали:

1. Решение дифференциального уравнения, которое можно получить, если известны начальные данные.
2. Что показывает старшая производная дифференциального уравнения?
3. Действие нахождения общего решения дифференциального уравнения.

     7. Нахождение конкретного частного решения по начальным данным – это задача … .

По вертикали:

4. Найти решение дифференциального уравнения, значит, найти … .

5. Ученый, который ввел термин «Дифференциальные уравнения».

6. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее … .

8. Название дифференциального уравнения, если искомая функция зависит от одного независимого переменного. 

По горизонтали:

1. Решение дифференциального уравнения, которое можно получить, если известны начальные данные.
2. Что показывает старшая производная дифференциального уравнения?
3. Действие нахождения общего решения дифференциального уравнения.

     7. Нахождение конкретного частного решения по начальным данным – это задача … .

По вертикали:

4. Найти решение дифференциального уравнения, значит, найти … .

5. Ученый, который ввел термин «Дифференциальные уравнения».

6. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее … .

8. Название дифференциального уравнения, если искомая функция зависит от одного независимого переменного. 

Оценочный лист

1. Фамилия и имя ________________________________

2. Группа _______________________

3. Дата __________________

Таблица баллов

Рефлексия.                                                                                  

1. «Я узнал много нового» -

2. «Мне это пригодится в жизни» -

3. «На уроке было над чем подумать» -

4. «На все вопросы, возникающие в ходе урока, я получил ответы» -

5. «На уроке я работал добросовестно и цели урока достиг» -

Историческая справка по применению дифференциальных уравнений.

I.

При изучении тех или иных физических, биологических процессов, механических явлений, ученым удается составить дифференциальные уравнения этого процесса или явления. А затем, решая это уравнение, удается вывести функциональный закон описания изучаемого вопроса. Дифференциальные уравнения играют большую роль в деле изучения природы и различных физических, химических и других процессов.

Существует много процессов в природе, которые описываются дифференциальными уравнениями. Например, процесс размножения бактерий, явление органического роста, изменение давления при подъеме над уровнем моря, ток самоиндукции, протекающий в катушке после выключения постоянного напряжения.

Историческая справка по применению дифференциальных уравнений.

II.

Можно так же написать дифференциальные уравнение движения планеты вокруг Солнца, искусственного спутника вокруг земли. Решая дифференциальные уравнения движения планет и их спутников (эти уравнения весьма сложны, т.к. планеты притягиваются не только к Солнцу, но и друг к другу), ученые предсказывают их будущее движение, узнают моменты солнечного и лунного затмений. Когда однажды оказалось, что планета Уран отклоняется от заранее вычисленной орбиты, ученые нисколько не сомневались в «правильности» математики. В середине 19 века французский астроном Леверье и английский астроном Джон Адамс одновременно и независимо один от другого сделали смелое предположение, что отклонение Урана вызывается притяжением к нему новой, до сих пор неизвестной планеты. С помощью дифференциальных уравнений они вычислили положение этой новой планеты и указали, где нужно искать ее на небе. Точно в указанном месте эта планета (её назвали НЕПТУН) была затем обнаружена. О ней говорят, что она открыта «на кончике пера» (путем вычислений).

Историческая справка по применению дифференциальных уравнений.

III.

Возникнув в XVI в. на базе задач математики и физики, теория дифференциальных уравнений как самостоятельная дисциплина сложилась к концу XVIII в. В настоящее время теория дифференциальных уравнений продолжает развиваться и является одной из важнейших частей математики.

Тот факт, что самые различные явления описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, часто используется на практике.