Готовимся к ЕГЭ
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 задания В1 | 984 КБ |
| задание В4 | 926 КБ |
| задание В8 | 1.96 МБ |
| задание В12 | 450 КБ |
| задания по теме вероятность | 971.5 КБ |
| вероятность | 1.24 МБ |
| применение производной В8 | 1.88 МБ |
| kak_vypolnyat_zadaniya_v8.pptx | 508.4 КБ |
| задания В14 | 530.45 КБ |
| В13 задачи на проценты | 2.88 МБ |
| задания В9,В11 | 1.29 МБ |
| объемы тел | 253.44 КБ |
| задачи на растворы | 1003 КБ |
| производная егэ в8 | 2.52 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Павел Иванович купил американский автомобиль, на спидометре которого скорость измеряется в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 26 миль в час? Ответ округлите до целого числа. Решение: 1) 26·1,609=41,834 ≈42 км/час 1609 м =1,609 км Ответ: 42 км/час
В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1300 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 7 недель? Решение: 1300 ·7 : 500= 18,2 (п) В магазине продадут только целое количество пачек бумаги, поэтому необходимо купить 19 пачек. Ответ: 19
Теплоход рассчитан на 850 пассажиров и 25 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 80 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды? Решение: 1) 850+25=875 (человек) всего 2) 875 : 80 = 10,9375(шлюпок) Количество может быть только целым числом, поэтому необходимо 11 шлюпок. Ответ: 11
В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере 121 человек. Сколько килограммовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 7 дней? Решение: 1) 121 · 40 · 7 = 33880(г) сахара потребуется на 7 дней 2) 33880 : 1000=33,88 (п). Количество выражается целым числом, поэтому понадобится 34 пачки сахара. Ответ: 34.
Булочка стоит 6 рублей 50 копеек. Какое наибольшее число булочек можно купить на 50 рублей? Решение: 50 : 6,5 = 7,692308(б) На 8 булочек нам не хватит, значит наибольшее количество булочек 7 штук. Ответ: 7.
Общая тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 500 рублей после повышения цены на 15%? 40 руб. – 100% Х руб. – 15% Зависимость прямо пропорциональная. Составим пропорцию и решим. Х=40 · 15 : 100=6 (руб) 15% 40 +6=46(руб) цена после повышения на 15%. 500 : 46 = 10,899565 Количество выражается целым числом. Нам хватит только на 10 тетрадей. Ответ: 10.
Цена на электрический чайник была повышена на 19% и составила 1785 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены? 1785 руб – 119% Х руб – 100% Зависимость прямо пропорциональная. Составим пропорцию и решим ее. Х= 1785 · 100 : 119 = 1500 (руб). Ответ: 1500. Подумай, как по другому можно решить эту задачу!
Источники: ЕГЭ 3000 задач с ответами. Математика. Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко. Чайник http :// www.washbyt.ru / chainik-braun-wk210-sinii Сахар http :// akvaprod.ru / shopsaharsakharrafinad Тетради http :// www.skorovshkolu.ru / tetrad_po_angliyskomu_yaziku.html Лодка с людьми http :// www.boatyard.ru / modules.phpname=Asers_Shop&s_op=viewproductdetails&lid=297&cid=45 Булочки http :// lenagold.ru / fonclipartppomid.html
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Для транспортировки 40 тонн груза на 1000 км можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указаны в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку? Перевозчик Стоимость перевозки одним автомобилем (руб. на 100 км) Грузоподъемность автомобилей (тонн) А 3200 3,5 Б 4100 5 В 9500 12 Перевозчик А: 40 : 3,5=11,428571 (м), значит нам понадобится 12 машин. 12· 3200 · (1000:100)= =384000(руб.) Перевозчик Б: 40 : 5=8 (м). 8·4100·(1000:100)= =328000(руб.) Перевозчик В: 40 : 12=3,33 (м), значит нам понадобится 4 машины. 4 · 9500 · (1000:100)= =380000(руб.) Ответ: 328000
Строительной фирме нужно приобрести 40 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)? Цены и условия доставки приведены в таблице. Поставщик Цена бруса (руб. за м 3 ) Стоимость доставки (руб.) Дополнительные условия А 3800 10300 Б 4500 8300 При заказе на сумму больше 150000 руб. доставка бесплатно В 3900 8300 При заказе на сумму больше 200000 руб. доставка бесплатно Поставщик А: 40 · 3800+10300= =162300 (руб.), Поставщик Б: 40 ·4500=180000(руб) Поставщик В: 40 ·3900=156000 (р), без доставки 156000+8300=164300(руб.) с доставкой. Ответ: 162300
Для строительства гаража можно использовать один из двух типов фундамента: бетонный или фундамент из пеноблоков. Для фундамента из пеноблоков необходимо 2 кубометра пеноблоков и 3 мешка цемента. Для бетонного фундамента необходимо 2 тонны щебня и 20 мешков цемента. Кубометр пеноблоков стоит 2500 рублей, щебень стоит 620 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 200 рублей. Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее дешевый вариант? Фундамент из пеноблоков: 2·2500+3·200=5600(р). Фундамент из бетонна: 2·620+20·200=5240(р). Ответ: 5240
Семья из трех человек едет из Москвы в Чебоксары. Можно ехать поездом, а можно- на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 800 рублей. Автомобиль расходует 13 литров бензина на 100 км пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 19,5 руб. за литр. Сколько рублей будет стоить самая дешевая поездка для этой семьи? 700 : 100 ·13=91(л) бензина. 91·19,5=1774,5 (руб.) 1) 3·800=2400(руб.) Ответ: 1774,5
Источники: ЕГЭ 3000 задач с ответами. Математика. Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко. Машина с людьми, скрепка http :// lenagold.ru / fonclipartppomid.html
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
f(x) f / (x) x На рисунке изображен график производной функции у = f (x) , заданной на промежутке (- 8; 8). Исследуем свойства графика и мы можем ответить на множество вопросов о свойствах функции, хотя графика самой функции не представлено! y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x 6 3 0 -5 Найдем точки, в которых f / (x) =0 (это нули функции). + – – + +
f(x) f / (x) x По этой схеме мы можем дать ответы на многие вопросы тестов. y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x 6 3 0 -5 + – – + + Исследуйте функцию у = f (x) на экстремум и укажите количество ее точек минимума. 4 точки экстремума, Ответ: 2 точки минимума min min - 8 8
f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + – – + + Найдите точку экстремума функции у = f (x) на отрезке [ – 6; –1 ] Ответ: x max = – 5 max 6 3 0 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -5 - 8 8
f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + – – + + Найдите количество точек экстремума функции у = f (x) на отрезке [ – 3; 7 ] Ответ: 3. 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -5 - 8 8 6 3 0
f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + – – + + Найдите промежутки возрастания функции у = f (x) . В точках –5, 0, 3 и 6 функция непрерывна, поэтому при записи промежутков возрастания эти точки включаем. 6 3 0 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -5 Ответ: (–8; –5 ] , [ 0 ; 3] , [ 6 ; 8) - 8 8
f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + – – + + Найдите промежутки возрастания функции у = f (x) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. В точках –5, 0, 3 и 6 функция непрерывна, поэтому при записи промежутков возрастания эти точки включаем. 6 3 0 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -5 Сложим целые числа: -7, -6, -5, 0, 1, 2, 3, 6, 7 - 8 8 (–8; –5 ] , [ 0 ; 3] , [ 6 ; 8) Ответ: 1
f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + – – + + Найдите промежутки убывания функции у = f (x) . В ответе укажите длину наибольшего из них. 6 3 0 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -5 Ответ: 5. - 8 8
f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + – – + + В какой точке отрезка [ – 4; –1 ] функции у = f (x) принимает наибольшее значение? 6 3 0 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -5 Ответ: – 4. - 8 8 На отрезке [ – 4; –1 ] функция у = f (x) убывает, значит, наибольшее значение на данном отрезке функция будет принимать в точке – 4.
f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + – – + + В какой точке отрезка [ – 4; –1 ] функции у = f (x) принимает наименьшее значение? 6 3 0 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -5 Ответ: – 1. - 8 8 На отрезке [ – 4; –1 ] функция у = f (x) убывает, значит, наименьшее значение на данном отрезке функция будет принимать в конце отрезка точке х= – 1.
f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + – – + + В какой точке отрезка [ 0; 3 ] функции у = f (x) принимает наибольшее значение? 6 3 0 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -5 Ответ: 3. - 8 8 На отрезке [ 0; 3 ] функция у = f (x) возрастает, значит, наибольшее значение на данном отрезке функция будет принимать в конце отрезка точке х=3.
f(x) f / (x) x Пример y = f / (x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + – – + + В какой точке отрезка [ 1; 4 ] функции у = f (x) принимает наибольшее значение? 6 3 0 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -5 Ответ: 3. - 8 8 Наибольшее значение на отрезке [ 1; 4 ] функция у = f (x) будет принимать в точке максимума х=3. max
На рисунке изображен график производной функции у = f / (x) , заданной на промежутке (- 6 ; 8). Исследуйте функцию у = f (x) на экстремум и укажите количество ее точек максимума. f(x) f / (x) y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x 3 1 -2 -5 -4 4 7 + – + – – – + + max max max
На рисунке изображен график производной функции у = f / (x) , заданной на промежутке (- 5 ; 5 ). Исследуйте функцию у = f (x) на монотонность и укажите число ее промежутков убывания. f(x) f / (x) 4 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + 1
На рисунке изображен график производной функции у = f / (x) , заданной на промежутке (- 6; 8). Исследуйте функцию у = f (x) на экстремум и укажите количество ее точек экстремума. f(x) f / (x) -2 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x -5 + min max
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 х В. На рисунке изображен график производной функции у = f / (x) , заданной на промежутке [-5;5] . Исследуйте функцию у = f (x) на монотонность и укажите наибольшую точку максимума . y = f / (x) + + + - - - f / (x) - + - + - + f(x) -4 -2 0 3 4 Из двух точек максимума наибольшая х max = 3 max max
На рисунке изображен график производной функции у = f / (x) , заданной на промежутке (- 6; 7). Исследуйте функцию у = f (x) на экстремум и укажите количество ее точек экстремума. f(x) f / (x) 3 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x 1 + 5 6 – + min max max min
y = f / (x) f(x) f / (x) Функция у = f(x) определена на промежутке на промежутке (- 6 ; 3 ). На рисунке изображен график ее производной. Найдите длину промежутка убывания этой функции. + – 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 3 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII y x -6 2
3). Исключим точки, в которых производная равна 0 (в этих точках касательная параллельна оси Ох) -9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 В8. На рисунке изображен график функции у = f(x) , определенной на интервале (-9; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. y = f (x) y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1). f / (x) > 0 , значит, функция возрастает. Найдем эти участки графика. 2). Найдем все целые точки на этих отрезках. Ответ: 8. Решение:
3). Исключим точки, в которых производная равна 0 (в этих точках касательная параллельна оси Ох) х=0 точка перегиба, в этой точке производная равна 0! -9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 В8. На рисунке изображен график функции у = f(x) , определенной на интервале (-5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. y = f (x) y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1). f / (x) < 0 , значит, функция убывает. Найдем эти участки графика. 2). Найдем все целые точки на этих отрезках. Ответ: 5. Решение:
3). Исключим точки, в которых производная равна 0 (в этих точках касательная параллельна оси Ох) В точке х=1 производная не существует. -9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 В8. На рисунке изображен график функции у = f(x) , определенной на интервале (-6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. y = f (x) y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1). f / (x) < 0 , значит, функция убывает. Найдем эти участки графика. 2). Найдем все целые точки на этих отрезках. Ответ: 8. Решение:
В8. Непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [ a;b ] На рисунке изображен ее график. В ответе укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох. y = f(x) y x a b
В8. Непрерывная функция у = f(x) задана на интервале (-7; 7) На рисунке изображен ее график. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 10 . y = f(x) y x -7 -7 y = 10
В8. Непрерывная функция у = f(x) задана на интервале (-6; 7). На рисунке изображен ее график. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6. y = f(x) y x - 6 -7 y = 6 . В этой точке производная НЕ существует!
На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной в точке х 0 . х х 0 у 1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, острый . Значит, значение производной в точке х 0 положительно . Решение: 2). Найдем тангенс этого угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Этот треугольник не подходит. Можно найти несколько удобных треугольников, например,…. 3). Найдем тангенс угла – это отношение 9:6. Ответ: 2 3 O 9 6
На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной в точке х 0 . х х 0 у O 1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, тупой . Значит, значение производной в точке х 0 отрицательно . Решение: 2). Найдем тангенс смежного угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Этот треугольник не подходит. Можно найти несколько удобных треугольников. 3). Найдем тангенс угла – это отношение 3:4. Ответ: 4 3 – 3 4
На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной в точке х 0 . х 0 Геометрический смысл производной: k = tg α Угол наклона касательной с осью Ох острый, значит k >o . Из прямоугольного треугольника находим tg α = 4 : 4 =1
На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной в точке х 0 . х 0 Геометрический смысл производной: k = tg α Угол наклона касательной с осью Ох тупой, значит k < o . Из прямоугольного треугольника находим tg α = 6 : 3 =2. Значит, k = -2
Источники: Для создания презентации мною были использованы материалы Савченко Е.М , учителя математики . http://le-savchen.ucoz.ru/
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Из города А в город В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 33 км/ч, а вторую половину пути - со скоростью, на 22 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста. Ответ дайте в км/ч. V 1 = х км/ч, V 2 =х+22 км/ч(вторая половина пути), S -расстояние от А до В. 66( х +22) =х(х+22)+33х Х 2 – 11х—1452=0 D =5929 Х 1 =-33, не удовл. Х 2 =44, значит V 1 =44 км/ч. Ответ: 44
Моторная лодка прошла против течения реки 140 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 12 км/ч. Ответ дайте в км/ч. S пр.теч. =140 км, S по теч .=140 км V теч =х км/ч, V соб .=12 км/ч V по теч .=12+х (км/ч), V пр.теч .=12-х (км/ч) 140(12+х)-140(12-х)=4(144-х 2 ) Х 2 +70х – 144=0 D =5476, Х 1 = -72 не удовл. Х 2 =2, значит V теч. =2 км/ч. Ответ: 2.
Заказ на изготовление 154 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 3 детали больше? Р=154 детали, П 1 -? На 3 детали больше второго П 2 -? Пусть П 2 =х, тогда П 1 =х+3 t 1 =Р/П 1 =154/х t 2 =Р/П 2 =154/(х+3) 154(х+3)-154х=3х(х+3) Х 2 +3х – 154=0 D =625 Х 1 =-14, не удовл. Х 2 =11, производительность второго рабочего Ответ: 11
Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 270 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба? 1 труба - ?л/мин, на 3 л/мин меньше чем вторая 2 труба - ?л/мин, V =270 л. Пусть х л/мин пропускает первая труба, тогда х+3 л/мин пропускает вторая труба. Х 2 +3х – 270=0 D =1089, Х 1 =-18 не удовл. Х 2 =15 л/мин пропускает первая труба. Ответ: 15
Источники: ЕГЭ 3000 задач с ответами. Математика. Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко. Речка http :// www.coollady.ru / puc5001CL-08.jpg Картинки взяты с сайта учителя математики Савченко Е.М. http://le-savchen.ucoz.ru/
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Общая схема решения задач Определить, в чем состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события (исходы). Убедиться, что они равновозможны. Найти общее число элементарных событий N . Определить, какие элементарные события благоприятствуют интересующему нас событию А, и найти их число N (А). 4. Найти вероятность события А по формуле P(A)=
Справочные материалы Элементарные события (элементарные исходы) – это простейшие события, которыми может окончиться случайный опыт. Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта равна 1. Вероятность события А равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию. Объединение событий - событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А и В.
Справочные материалы Пересечение событий - это событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В. Несовместные события – события, которые не наступают в одном опыте. Противоположные события – те, которые состоят из тех и только тех элементарных исходов опыта, которые не входят в А и обозначаются Независимые события . События А и В называются независимыми, если
Вася, Петя, Коля, Леша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя. Решение. 1 . Случайный эксперимент – бросание жребия. 2. Элементарное событие в этом эксперименте - участник, который выиграл жребий. Перечислим их: (Вася), (Петя), (Коля), (Леша). Общее число элементарных событий N =4. Жребий подразумевает, что элементарные события равновозможны. 3. Событию А= { жребий выиграл Петя } благоприятствует только одно элементарное событие (Петя). Поэтому N(A)=1 . 4. Тогда Р(А)=1/4=0,25 Ответ: 0,25.
Игральный кубик (кость) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4 ? Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. 2. Элементарное событие – число на выпавшей грани. Граней всего 6, то есть N =6. Событию А = { выпало больше чем 4 } благоприятствуют два элементарных события: 5 и 6. Поэтому N(A) =2. Все элементарные события равновозможны, поэтому Р(А)=2/6=1/3. Ответ: 1/3.
В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что орел выпал ровно два раза ? Решение. Орел обозначим буквой О, решку – буквой Р. Элементарные исходы – тройки, составленные из букв О и Р. Выпишем их все: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР 3. Всего исходов 8. Значит N=8 . 4. Событию А= { орел выпал ровно два раза } , благоприятствуют элементарные события ООР, ОРО, РОО, поэтому N(A) =3. 5. Тогда Р(А)=3/8=0,375 Ответ. 0,375
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение . Орел обозначим буквой О, решку – буквой Р. 2. Выпишем элементарные исходы: ОО, ОР, РО, РР. Значит N=4. 3. Событию А= { выпал ровно один орел } Благоприятствуют элементарные события ОР и РО. Поэтому N(A) =2. 4. Тогда Р(А)=2/4=0,5. Ответ. 0,5
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции, 5 – из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции. Решение . Элементарный исход – спортсмен, который выступает последним. Последним может оказаться любой. Всего спортсменов 25, то есть N =25. Событию А= { последний из Швеции } благоприятствуют только девять исходов, поэтому N(A) =9, тогда Р(А)=9/25=0,36. Ответ. 0,36.
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых. Решение. Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», « попал при втором выстреле» и т.д. независимы. 2. Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит вероятность промаха равна 1-0,8=0,2. 3. По формуле умножения вероятностей независимых событий, получаем, что последовательность А= { попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся } имеет вероятность Р(А)=0,8*0,8*0,8*0,2*0,2=0,2048 ≈ 0,02 Ответ. 0,02
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо. Решение. Событие А = { выбранная ручка пишет хорошо } Тогда вероятность противоположного события: 3. Используем формулу вероятности противоположного события: Ответ. 0,9
На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему: «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение . Определим события: А= { вопрос на тему «Вписанная окружность } В= { вопрос на тему «Параллелограмм» } 2. События А и В несовместны, так как по условию в списке нет вопросов, относящихся к этим двум темам одновременно.
На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему: «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. 3. Событие С= { вопрос по одной из этих двух тем } является их объединением: 4. Применим формулу сложения вероятностей несовместных событий: Р(С)=Р(А)+Р(В)=0,2+0,15=0,35 Ответ. 0,35
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение. Определим события: А= { кофе закончится в первом автомате } В= { кофе закончится во втором автомате } По условию задачи Р(А)=Р(В)=0,3 и 2. По формуле сложения вероятностей найдем вероятность события:
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. { кофе закончится хотя бы в одном из автоматов } =0,3+0,3-0,12=0,48 Следовательно, вероятность противоположного события «кофе останется в обоих автоматах» равна 1-0,48=0,52. Ответ. 0,52 =Р(А)+Р(В) – =
В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Решение. Найдем вероятность противоположного события: = { оба автомата неисправны } 2. Для этого используем формулу умножения вероятностей независимых событий : Значит вероятность события А= { хотя бы один автомат исправен } равна: Р(А)=1 – 0,0025=0,9975. Ответ. 0,9975
В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1,1,1,1,2, 2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе? Решение. Элементарный исход – карточка, выбранная капитаном российской команды, значит N =16. 2. Событию А= { команда России во второй группе } благоприятствуют четыре карточки с номером «2», то есть N (А)=4. 3. Тогда Р(А)=4/16=0,25. Ответ. 0,25
Три друга А., Б., и В. летят на самолете. При регистрации им достались три кресла подряд, и друзья заняли их в случайном порядке. Найдите вероятность того, что А. сидит рядом с Б. Решение. Перечислим число элементарных событий: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА. N =6. Элементарные события равновозможны. Событию А= { А. сидит рядом с Б. } благоприятствуют четыре события, поэтому N (А)=4. 3. Тогда Р(А)=4/6=2/3. Ответ. 2/3
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра окажется четной? Решение. 1. Общее число элементарных событий равно 10. 2. Все события равновозможны, Событию А= { цифра окажется четной } благоприятствуют цифры 0, 2, 4, 6, 8, поэтому N( А)=5. 3. Тогда Р(А)=5/10=0,5. Ответ. 0,5
Учитель нарисовал на доске квадрат ABCD и предлагает учащемуся выбрать две вершины. Сколько элементарных событий в этом опыте? Решение. Элементарное событие в этом эксперименте – учащийся выбрал две вершины. Перечислим их: AB, AC, AD, BC, BD, CD . Общее число элементарных событий равно 6, то есть N =6. Ответ. 6 А В С D
Литература И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко ЕГЭ 2012. Математика Задача В 10. Теория вероятностей
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Определение вероятности Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместимых событий, которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения: Р = n m Пусть k – количество бросков монеты, тогда количество всевозможных исходов: n = 2 k . Пусть k – количество бросков кубика, тогда количество всевозможных исходов: n = 6 k .
Свойства вероятности Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице: Р(А) = 1 . Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю: Р(А) = 0 . Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей: 0 ≤ Р(А) ≤ 1 .
Решение. Игральные кости – это кубики с 6 гранями. На первом кубике может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Каждому варианту выпадения очков соответствует 6 вариантов выпадения очков на втором кубике. Т.е. всего различных вариантов 6×6 = 36. Варианты (исходы эксперимента) будут такие: 1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6 и т.д. .............................. 6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6 Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых сумма очков двух кубиков равна 8. 2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2. Всего 5 вариантов. Найдем вероятность: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,14. 282853
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение. Всего 4 варианта: о; о о ; р р ; р р ; о . Благоприятных 2: о; р и р ; о . Вероятность равна 2/4 = 1/2 = 0,5 . 282854 Ответ: 0,5.
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные − из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решение. Всего участвует 20 спортсменок, из которых 20 – 8 – 7 = 5 спортсменок из Китая. Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна 5/20 = 1/4 = 0,25. Ответ: 0,25. 282855
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Решение: 1000 – 5 = 995 – насосов не подтекают. Вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна 995/1000 = 0,995. Ответ: 0,995. 282856
Решение: 100 + 8 = 108 – сумок всего (качественных и со скрытыми дефектами). Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна 100/108 = 0,(925) ≈ 0,93. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,93. 282857
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 − из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции. Ответ: 0,36. 282858 Решение: Всего участвует 4 + 7 + 9 + 5 = 25 спортсменов. Вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.
Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов − первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? Ответ: 0,16. 285922 Решение: В последний день конференции запланировано (75 – 17 × 3) : 2 = 12 докладов. Вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 12/75 = 4/25 = 0,16.
Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений − по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? Ответ: 0,225. 285923 Решение: В третий день конкурса запланировано (80 – 8) : 4 = 18 выступлений. Вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса, равна 18/80 = 9/40 = 225/1000 = 0,225.
На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России. Ответ: 0,3. 285924 Решение: Всего участвует 3 + 3 + 4 = 10 ученых. Вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России, равна 3/10 = 0,3.
Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? Ответ: 0,36. 285925 Решение: Нужно учесть, что Руслан Орлов должен играть с каким-либо бадминтонистом из России. И сам Руслан Орлов тоже из России. Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.
В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике. Ответ: 0,2. 285926 Решение: Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике, равна 11/55 =1/5 = 0,2.
В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам. Ответ: 0,6. 285927 Решение: 25 – 10 = 15 – билетов не содержат вопрос по неравенствам. Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна 15/25 = 3/5 = 0,6.
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая. Ответ: 0,36. 285928 Решение: Всего участвует 25 спортсменов. Вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.
Решение: Обозначим право владения первой мячом команды "Меркурий" в матче с одной из других трех команд как "Решка". Тогда право владения второй мячом этой команды – «Орел». Итак, напишем все возможные исходы бросания монеты три раза. «О» – орел, «Р» – решка. Итак, всего исходов получилось 8, нужных нам – 1, следовательно, вероятность выпадения нужного исхода 1/8 = 0,125. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда "Меркурий" по очереди играет с командами "Марс", "Юпитер", "Уран". Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда "Меркурий"? Ответ: 0,125. «Марс» «Юпитер» «Уран» О О О О О Р О Р О О Р Р Р О О Р О Р Р Р О Р Р Р
Решение. В сумме на двух кубиках должно выпасть 8 очков. Это возможно, если будут следующие комбинации: 2 и 6 6 и 2 3 и 5 5 и 3 4 и 4 Всего 5 вариантов. Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых при первом броске выпало 2 очка. Такой вариант 1. Найдем вероятность: 1/5 = 0,2. Даша дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 2 очка. Ответ: 0,2.
Решение. При условии, что у Тоши выпало 3 очка, возможны следующие варианты: 3 и 1 3 и 2 3 и 3 3 и 4 3 и 5 3 и 6 Всего 6 вариантов. Подсчитаем количество исходов, в которых Гоша не выиграет, т.е. наберет 1, 2 или 3 очка. Таких вариантов 3. Найдем вероятность: 3/6 = 0,5. Тоша и Гоша играют в кости. Они бросают кубик по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. Первым бросил Тоша , у него выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Гоша не выиграет. Ответ: 0,5.
Решение: Всего команд 20, групп – 5. В каждой группе – 4 команды. Итак, всего исходов получилось 20, нужных нам – 4, значит, вероятность выпадения нужного исхода 4/20 = 0,2. В чемпионате мира участвует 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе. Ответ: 0,2.
Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя. Ответ: 0,25. 320169 Решение: Вероятность того, что игру должен будет начинать любой из мальчиков равна 1/4 = 0,25. В том числе и для Пети.
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной? Ответ: 0,5. 320178 Решение: Количество четных цифр на клавиатуре равно 5: 0, 2, 4, 6, 8 всего же цифр на клавиатуре 10, тогда вероятность что случайно нажатая цифра будет чётной равна 5/10 = 0,5.
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Ответ: 0,019. 319353 Решение: Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: р 1 = 0,45 · 0,03 = 0,0135. Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: р 2 = 0,55 · 0,01 = 0,0055. Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна р = р 1 + р 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Ответ: 0,156. 319355 Решение: Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: р = 0,52 · 0,3 = 0,156.
На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Ответ: 0,35. 320171 Решение: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: р = 0,2 + 0,15 = 0,35.
320172 Решение: Рассмотрим события А = кофе закончится в первом автомате, В = кофе закончится во втором автомате. Тогда A·B = кофе закончится в обоих автоматах, A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате. По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12. События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48. Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение: Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы. Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность промаха равна 1 – 0,8 = 0,2. 1 выстрел: 0,8 2 выстрел: 0,8 3 выстрел: 0,8 4 выстрел: 0,2 5 выстрел: 0,2 По формуле умножения вероятностей независимых событий, получаем, что искомая вероятность равна: 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых. Ответ : 0,02 . 320173
320174 Решение: Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975. Ответ: 0,9975. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
320175 Решение: Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: р 1 = 0,3 · 0,3 = 0,09. Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна р = 1 – р 1 = 1 − 0,09 = 0,91. Ответ: 0,91. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
320176 Решение: Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», тогда A + B = «чайник прослужит больше года». События A и В совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года – строго в тот же день, час и секунду – равна нулю. Тогда: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B), откуда, используя данные из условия, получаем 0,97 = P(A) + 0,89. Тем самым, для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08. Ответ: 0,08. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
320177 Решение: Пусть х – искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда 1 – х вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем: 0,4х + 0,2(1 – х ) = 0,35 0,2х = 0,15 х = 0,75 Ответ: 0,75. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
320179 Решение: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 Р = = 0,3 Ответ: 0,3. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три? 3 10
320183 Решение: Вероятность того, что Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер равна: 0,4 · (1 − 0,9) = 0,04 Вероятность того, что Джон промахнется, если схватит непристрелянный револьвер равна: 0,6 · (1 − 0,2) = 0,48 Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
320181 Решение: Всего туристов пять, случайным образом из них выбирают двоих. Вероятность быть выбранным равна Р = 2/5 = 0,4. Ответ: 0,4. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?
320180 Решение: Обозначим право владения первой мячом команды «Физик" в матче с одной из трех команд как "Орел". Тогда право владения второй мячом этой команды – «Решка». Итак, запишем все возможные исходы бросания монеты три раза в таблице: «О» – орел, «Р» – решка. Итак, всего исходов получилось 2 3 = 8, нужных нам – 3, следовательно, вероятность выпадения нужного исхода равна: 3/8 = 0,375. Ответ: 0,375. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза. Ф/1 ОР ОР ОР ОР РО РО РО РО Ф/2 ОР ОР РО РО ОР ОР РО РО Ф/3 ОР РО ОР РО ОР РО ОР РО
320184 Решение: В сумме должно выпасть 5 очков. Это возможно, если будут следующие комбинации: 1 и 4 4 и 1 2 и 3 3 и 2 Всего 4 варианта. Ответ: 4. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй – решка). Решение. Всего 4 варианта: о; о о ; р р ; р р ; о . Благоприятных 1: о; р . Вероятность равна 1/4 = 0,25 . 320185 Ответ: 0,25.
320186 Решение: Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Д – Дания, Ш –Швеция, Н – Норвегия): Д − Ш − Н Д − Н − Ш Ш − Н − Д Ш − Д − Н Н − Д − Ш Н − Ш − Д Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна Р = 2/6 = 1/3 ≈ 0,33 Ответ: 0,33. На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.
Решение: Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов: Р(1) = 0,6; Р(2) = Р(1) · 0,4 = 0,24; Р(3) = Р(2) · 0,4 = 0,096; Р(4) = Р(3) · 0,4 = 0,0384; Р(5) = Р(4) · 0,4 = 0,01536. Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? Ответ: 5. 320187
Решение: Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3 + 1, 1 + 3, 3 + 3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий – результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем: P(N ≥ 4) = P(3 + 1) + P(1 + 3) + P(3 + 3) = = P(3) · P(1) + P(1) · P(3) + P(3) · P(3) = = 0,4 · 0,2 + 0,2 · 0,4 + 0,4 · 0,4 = = 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32 . Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4. Ответ: 0,32 . 320188
Решение: Из 5000 тысяч новорожденных 5000 − 2512 = 2488 девочек. Поэтому частота рождения девочек равна: 2488/5000 = 0,4976 ≈ 0,498 В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных. Ответ: 0,498 . 32018 9
Решение: В самолете 12 + 18 = 30 мест удобны пассажиру В., а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна P = 30 : 300 = 0,1. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест. Ответ: 0,1 . 3201 90
Решение: Всего в запасную аудиторию направили 250 − 120 − 120 = 10 человек. Поэтому вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории, равна P = 10 : 250 = 0,04. На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории. Ответ: 0,04 . 3201 91
Решение: Пусть один из близнецов находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй близнец окажется среди этих 12 человек, равна P = 12 : 25 = 0,48. В классе 26 человек, среди них два близнеца – Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе. Ответ: 0,48 . 3201 92
Решение: Машин желтого цвета с черными надписями 23, всего машин 50. Поэтому вероятность того, что на случайный вызов приедет машина желтого цвета с черными надписями, равна: P = 23 : 5 0 = 0,4 6 . В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах, остальные – жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями. Ответ: 0,46 . 3201 93
Решение: На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта, равна: P = 6 : 30 = 0, 2 . В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта. Ответ: 0,2 . 3201 94
Решение: Частота (относительная частота) события «гарантийный ремонт» равна 51 : 1000 = 0,051. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,051 – 0,045 = 0,006. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе? Ответ: 0,006 . 3201 95
Решение: По условию, диаметр подшипника будет находиться в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 66,99 мм, или больше, чем 67,01 мм. Ответ: 0,0 35. 3201 96
Решение: Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма – событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач. Ответ: 0,0 7. 3201 9 8
Решение: Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З. нужно сдать и русский, и математику как минимум на 70 баллов, а помимо этого еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Пусть A, B, C и D – это события, в которых З. сдает соответственно математику, русский, иностранный и обществознание не менее, чем на 70 баллов. Тогда поскольку Р(С + D ) = P(C) + P(D) – P(C · D), для вероятности поступления имеем: P ( AB(C + D) ) = P(A) · P(B) · P(C + D) = P(A) · P(B) · ( P(C) + P(D) – P(C) · P(D) ) = = 0,6 · 0,8 · (0,7 + 0,5 – 0,7 · 0,5) = 0,408. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку – 0,8, по иностранному языку – 0,7 и по обществознанию – 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей. Ответ: 0,408 . 3201 9 9
Решение: Пусть завод произвел n тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 20% невыявленных дефектных тарелок: 0,9 n + 0,2 · 0,1 n = 0,92 n тарелок. Поскольку качественных из них 0,9 n , вероятность купить качественную тарелку равна: На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых. Ответ: 0, 978. 320200
Решение: Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна: В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга). Ответ: 0, 027. 320201
Решение: Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна: Р 1 = 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна: Р 2 = 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: Р 1 · Р 2 = 0,1 · 0,2 = 0,02. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар. Ответ: 0, 02. 320202
Решение: Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = « в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма – событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19. Ответ: 0, 38. 320203
Решение: Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры. Ответ: 0, 125. 320205
Решение: Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х – хорошая, О – отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды: P(XXO) = 0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128; P ( XOO ) = 0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128; P ( OXO ) = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008; P ( OOO ) = 0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128. Указанные события несовместные, вероятность их сумы равна сумме вероятностей этих событий: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода. Ответ: 0, 392. 320206
Решение: Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: а) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; б) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем: P(A) = 0,9 · 0,05 = 0,045, P(B) = 0,01 · 0,95 = 0,0095, P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,045 + 0,0095 = 0,0545. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным. Ответ: 0, 0545. 320207
Решение: В кармане было 4 конфеты, а выпала одна конфета. Поэтому вероятность этого события равна одной четвертой. В кармане у Миши было четыре конфеты – «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж». Ответ: 0, 25. 320208
Решение: На циферблате между десятью часами и одним часом три часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна: Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час. Ответ: 0, 25. 320209
Решение: Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94 · 0,94 = 0,8836. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными. Ответ: 0, 8836. 320210
Решение: Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A = «батарейка действительно неисправна и забракована» или В = «батарейка исправна, но по ошибке забракована». Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий. Имеем: P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) = 0,02 · 0,99 + 0,98 · 0 ,01 = = 0,0 198 + 0,0098 = 0,0296 . Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. Ответ: 0, 0296. 320210
Решение: На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5) 4 = 0,0625. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D . Ответ: 0, 15625. 320212
Используемые материалы ЕГЭ 2012. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко.− М.: МЦНМО, 2012. − 48 с. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – 3-е изд., перераб . и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 543 с. http://mathege.ru/or/ege/Main.html − Материалы открытого банка заданий по математике 2013 года http://reshuege.ru/ − Сайт Дмитрия Гущина
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели: обобщить и систематизировать понятие геометрического смысла производной, обобщить и систематизировать понятие механического смысла производной, решать задания части В ЕГЭ с применением производной.
График производной функции изображен на рис. Найдите промежутки убывания функции. Укажите а)длину наибольшего из них; б)сумму целых чисел принадлежащих промежуткам убывания. 7 3 Ответ: 7 а) б) Решение: х= -1; 0; 1;3; 9 -1+0+1+3+9=12 Ответ: 12
А)Укажите число точек графика функции у= f(x) , в которых производная функции равна 0. Б) Найдите значение производной функции точке x₀ к графику функции у= f(x) и касательной в точке x₀ а) б) Ответ: 6 6 3 Решение: f′(x₀)= tg (180°- α)= - =-0,5 Ответ: - 0,5
Укажите число точек экстремума Ответ: 2 Ответ: 4
Найдите значение производной функции у= f(x) в точке 2 4 4 2 f ‘(x₀)= tg (180 α )=- =- =-0,5 Ответ: -0,5 f′(x₀)= tg α= = =2 Ответ: 2
На рис. и зображен график функции у= f(x) . Укажите из точек х₁, x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x ₇ ,те в которых производная у= f ΄ ( х) <0 . В ответе укажите их число. Решение: x₁,x₂,x₄,x₅,x ₇ - точки, в которых f ΄ (x)<0. Их число равно 5. Ответ: 5
Решите самостоятельно На рис. Изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-4;5). Найдите количество точек экстремума функции На рис. Изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-2;12). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у=2х-15 или совпадает с ней. Ответ:4 Ответ:7
Решите самостоятельно На рис. Изображен график функции f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x ₀ . Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀ Ответ: 2 На рис. Изображен график производной функции у= f(x) , определенной на интервале (-8;7). Найдите сумму точек экстремума функции f(x) Ответ:-14
Ответ:3 Решение: F ΄(х)= f( х). В точках с абсциссами -9, -7, -6 . F ΄ (х)=0 , значит и f( х)=0
Решение: V(t)=S ΄ (t)=0, т.е. c корость точки обращалась в нуль 6 раз. Ответ: 6
Решение: f ΄ (x) > 0 при х f ΄ (x) < 0 при х Ответ: 1
Подумай Ответ: 2
Итоги. Какие рассмотренные задания ЕГЭ оказались наиболее сложными? Почему? В чем заключается механический смысл производной? В чем заключается геометрический смысл производной?
Литература:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Прямая у = 4х + 11 параллельна касательной к графику функции у = х 2 + 8 х + 6 . Найдите абсциссу точки касания. Решение: Если прямая параллельна касательной к графику функции в какой-то точке (назовем ее х о ), то ее угловой коэффициент (в нашем случае k = 4 из уравнения у = 4х + 11 ) равен значению производной функции в точке х о : k = f ′ ( x o ) = 4 Производная функции f ′ ( x ) = ( х 2 + 8 х + 6) ′ = 2x + 8 . Значит, для нахождения искомой точки касания необходимо, чтобы 2х o + 8 = 4 , откуда х о = – 2 . Ответ: – 2. №1
Прямая у = 3 х + 11 является касательной к графику функции у = x 3 − 3 x 2 − 6x + 6 . Найдите абсциссу точки касания. Решение: Заметим, что если прямая является касательной к графику, то ее угловой коэффициент ( k = 3) должен быть равен производной функции в точке касания, откуда имеем Зх 2 − 6 х − 6 = 3 , то есть Зх 2 − 6 х − 9 = 0 или х 2 − 2х − 3 = 0 . Это квадратное уравнение имеет два корня: − 1 и 3 . Таким образом есть две точки, в которых касательная к графику функции у = х 3 − Зх 2 − 6 х + 6 имеет угловой коэффициент, равный 3 . Для того чтобы определить, в какой из этих двух точек прямая у = 3 х + 11 касается графика функции, вычислим значения функции в этих точках и проверим, удовлетворяют ли они уравнению касательной. Значение функции в точке − 1 равно у(− 1 ) = − 1 − 3 + 6 + 6 = 8 , а значение в точке 3 равно у( 3 ) = 27 − 27 − 18 + 6 = − 12 . Заметим, что точка с координатами (−1; 8 ) удовлетворяет уравнению касательной, так как 8 = − 3 + 11 . А вот точка (3; − 12 ) уравнению касательной не удовлетворяет, так как −12 ≠ 9 + 11 . Значит, искомая абсцисса точки касания равна −1 . Ответ: − 1. №2
На рисунке изображен график у = f ′( x ) – производной функции f ( x ) , определенной на интервале (–10; 8) . В какой точке отрезка [–8; –4] функция f(x) принимает наименьшее значение. Решение: Заметим, что на отрезке [–8; –4] производная функции отрицательна, значит, сама функция убывает, а значит, наименьшее значение на этом отрезке она принимает на правом конце отрезка, то есть в точке –4 . Ответ: – 4. №3 – у = f ′( x ) f ( x )
На рисунке изображен график у = f ′( x ) – производной функции f ( x ) , определенной на интервале (–8; 8) . Найдите количество точек экстремума функции f ( x ) , принадлежащих отрезку [– 6 ; 6 ] . Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [–6; 6] три. При этом в каждой точке производная меняет знак либо с «+» на «–» , либо с «–» на «+» . Ответ: 3. №4 + – – + у = f ′( x )
Решение: Заметим, что на интервале (–4; 8) производная в точке х о = 4 обращается в 0 и при переходе через эту точку меняет знак производной с «–» на «+» , точка 4 и есть искомая точка экстремума функции на заданном интервале. №5 На рисунке изображен график у = f ′( x ) – производной функции f ( x ) , определенной на интервале (–8; 10). Найдите точку экстремума функции f ( x ) на интервале ( – 4 ; 8) . . Ответ: 4. – + у = f ′( x )
№6 На рисунке изображен график у = f ′( x ) – производной функции f ( x ) , определенной на интервале (–8; 8) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f ( x ) параллельна прямой у = –2х + 2 или совпадает с ней. Ответ: 4. Решение: Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2x + 2 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент k = –2 , а значит нам нужно найти количество точек, в которых производная функции f ′ ( x) = –2 . Для этого на графике производной проведем прямую у = –2 , и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. Таких точек 4 . у = f ′( x ) у = –2
№7 На рисунке изображен график функции у = f ( x ) , определенной на интервале ( – 6; 5) . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Ответ: 6. Решение: Заметим, что производная функции отрицательна, если сама функция f(x) убывает, а значит, необходимо найти количество целых точек, входящих в промежутки убывания функции. Таких точек 6 : х = −4, х = −3, х = − 2, х = − 1, х = 0, х = 3 . –2 –1 –3 –4 0 3 у = f ( x ) –6 5 у х
0 у = f ( x ) –6 6 у х 2 4 6 3 5 1 №8 На рисунке изображен график функции у = f ( x ) , определенной на интервале ( – 6; 6) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = – 5 . Ответ: 6. Решение: Прямая у = − 5 горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, угловой коэффициент в искомых точках k = f ′( х ) = 0 . В нашем случае – это точки экстремума. Таких точек 6 . у = –5 –5
№9 На рисунке изображен график у = f ( x ) – производной функции f ( x ) , определенной на интервале (–7; 5) и касательная к нему в точке с абсциссой х о . Найдите значение производной функции f ( x ) в точке х о . Ответ: 1,25. Решение: Значение производной функции f ′( х o ) = tg α = k равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. В нашем случае k > 0 , так как α – острый угол ( tg α > 0) . Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg α = ВС : АС = 5 : 4 = 1,25 у = f ( x ) 4 А В С 5 х о α α
180° − α №10 На рисунке изображен график функции у = f ( x ) , определенной на интервале (–10; 2) и касательная к нему в точке с абсциссой х о . Найдите значение производной функции f ( x ) в точке х о . Ответ: − 0 , 7 5. Решение: Значение производной функции f ′( х o ) = tg α = k равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. В нашем случае k < 0 , так как α – тупой угол ( tg α < 0) . Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg (180°− α ) = ВС : АС = 6 : 8 = 0 , 7 5 tg α = − tg (180°− α ) = − 0,75 8 А В С 6 х о α у = f ( x )
. На рисунке изображен график производной у = f ′( x ) –функции f ( x ) , определенной на интервале (–11; 11) . Найдите количество точек максимума функции f ( x ) на отрезке [ − 10; 10] . у х у = f ′( x ) 0 Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует . Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [− 10 ; 10 ] пять. В точках х 2 и х 4 производная меняет знак с «+» на « − » – это точки максимума. – + – + – + х 1 х 2 х 3 х 4 х 5 max max Ответ: 2. f ( x ) – 10 10 №11
Прямая у = 4х – 4 является касательной к графику функции ах 2 + 34х + 11 . Найдите а . Решение: Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за х o принять абсциссу точки касания, имеем: 2ах o + 34 = 4 . То есть ах o = – 15 . Найдем значение исходной функции в точке касания: ах o 2 + 34 х o + 11 = – 15x o + 34 х o + 11 = 19 х o + 11 . Так как прямая у = 4 х – 4 – касательная, имеем: 19 х o + 11 = 4 х o – 4 , откуда х o = – 1 . А значит a = 15 . Ответ: 15 . №12
Прямая у = – 4х – 5 является касательной к графику функции 9 х 2 + b х + 20 . Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0 . Решение. Если х о – абсцисса точки касания, то 18x o + b = –4 , откуда b = – 4 – 18 х о . Аналогично задаче № 12 найдем х о : 9x o 2 + ( – 4 – 18 х о ) x o + 20 = – 4х o – 5 , 9x o 2 – 4x o – 18 х о 2 + 20 + 4х o + 5 = 0 , – 9x o 2 + 25 = 0 , х о 2 = 25 /9 . Откуда x o = 5 /3 или x o = – 5 /3 . Условию задачи соответствует только положительный корень, значит x o = 5 /3 , следовательно b = – 4 – 18 ∙ 5/3 , имеем b = – 34 . Ответ: – 34. №1 3
Прямая у = 2 х – 6 является касательной к графику функции х 2 + 12х + с . Найдите с . Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания х о и приравняем значение производной функции в точке х о угловому коэффициенту касательной. 2х о + 12 = 2 , откуда x o = – 5 . Значение исходной функции в точке – 5 равно: 25 – 60 + с = с – 35 , значит с – 35 = 2 ∙ ( – 5) – 6 , откуда с = 19 . Ответ: 19. №14
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t 2 – 2t – 6 , где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с . Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени t o , прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х (t) , равна значению производной функции х npu t = t o , искомая скорость будет равна x ′ (t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2 , x ′ (6) = 6 – 2 = 4 м/с . Ответ: 4 . №15
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t 2 – 2t – 22 , где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с ? Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени t o , прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х (t) , равна значению производной функции х npu t = t o , искомая скорость будет равна x ′ (t o ) = 0,5 ∙ 2t o – 2 = t o – 2 , Т.к. по условию, x ′ (t o ) = 4 , то t o – 2 = 4 , откуда t o = 4 + 2 = 6 м/с . Ответ: 6 . №16
На рисунке изображен график функции у = f ( x ) , определенной на интервале (–8; 6) . Найдите сумму точек экстремума функции f ( x ) . Решение: Точки экстремума – это точки минимума и максимума. Видно, что таких точек принадлежащих промежутку (–8; 6) пять. Найдем сумму их абсцисс: -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6 . Ответ: 6. №17 у = f ′( x )
На рисунке изображен график производной у = f ′( x ) – функции f ( x ) , определенной на интервале (–10; 8) . Найдите промежутки возрастания функции f ( x ) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. у = f ′( x ) + + Решение: Заметим, что функция f(x) возрастает, если производная функции положительна; а значит, необходимо найти сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания функции. Таких точек 7 : х = −3, х = −2, х = 3, х = 4, х = 5, х = 6, х = 7 . Их сумма: −3+( − 2)+3+4+5+6+7 = 20 7 5 3 -3 Ответ: 20.
Используемые материалы ЕГЭ 2012. Математика. Задача В8. Геометрический смысл производной. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. 3-е изд. стереотип. − М.: МЦНМО, 2012. − 88 с. http://mathege.ru/or/ege/Main − Материалы открытого банка заданий по математике 2012 года
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Липлянская Татьяна Геннадьевна, учитель математики МОБУ «СОШ №3» город Ясный Оренбургская область
Подготовка к ЕГЭ
Исследование функций с применением производной Исследование функции на экстремумы ; Исследование функции на возрастание/ убывание ; Исследование функции на наибольшие и наименьшие значения на отрезке; Исследование функции с помощью графика ее производной (чтение графика производной)
Если f′(x)>0 в каждой точке интервала, то функция y=f(x) возрастает на этом интервале. Если f′(x)<0 в каждой точке интервала, то функция y=f(x) убывает на этом интервале. Исследование функции на возрастание (убывание) f(x) дифференцируема на интервале ( a;b )
Признак максимума . Если функция f(x) – непрерывна в точке х 0 Признак минимума . Если функция f(x) – непрерывна в точке х 0 Исследование функции на экстремумы
x y a b y=f(x) точка максимума точка максимума точка минимума f(x) f′(x) a b + + - - Графическая интерпретация 0 x
a x y 0 b точка максимума точка минимума точка максимума
Алгоритм 1. Найти f ′ (x) 2. Найти стационарные ( f ′ (x) =0 ) и критические точки ( f ′ (x) не существует ) 3. Определить знаки производной, выполнить графическую иллюстрацию. 1) y / = 3x 2 – 48 2) y / = 3x 2 – 48 = 3(x 2 – 16 ) = 3(x – 4 )(x + 4 ) x y \ y - 4 4 1. Найдите точку минимума функции y = x 3 – 48 x + 17 Ответ: 4 3(x – 4 )(x + 4 ) =0 х = 4, х = - 4 Точка минимума Найти область определения функции: D(y)=(-∞;+∞)
Реши самостоятельно! 2. Найдите точку максимума функции Ответ: 2 Проверь себя : D(y)=(-∞;+∞) у у ′ + - -
Реши самостоятельно! 3. Найдите точку максимума функции Ответ: -3 Проверь себя : D(y)=(-∞;+∞) у у ′ + - +
4. Найдите точку минимума функции y = 2х – ln ( x +3) + 7 ( ) / 1 lnx = x x y \ y -2,5 -3 Ответ: -2,5
5. Найдите точку минимума функции x y \ y 8 2 ( ) / / / uv v u uv + = Ответ: 2
6. Найдите точку минимума функции x y \ y -17 ( ) / / / uv v u uv + = Ответ: -17
7. Найдите точку минимума функции x y \ y 4 Ответ: 4 0
8. Найдите точку максимума функции x y \ y 9 Ответ: 9
9. Найдите точку максимума функции x y \ y 17 0 -17 Ответ: 17
10. Найдите точку максимума функции y = ln (9 x +10) – 9х ( ) / 1 lnx = x x y \ y -1 9 10 – Ответ: -1
11. Найдите точку минимума функции x y \ y -1 -3 ( ) / / / uv v u uv + = Ответ: -3
Найдите наименьшее значение функции y = 3 x 2 – 2 x 3 + 1 на отрезке [-4;0] Алгоритм 1. Найти f ′ (x) у′=6х-6х 2 2. Найти стационарные ( f ′ (x) =0 ) и критические точки ( f ′ (x ) не существует ) лежащие внутри отрезка [ а; b] 6х-6х 2 =0 6х(1-х)=0 х=0 или х=1 3. Вычислить значение функции на концах отрезка и в отобранных точках (см. п.2) у (-4)=3∙16-2∙(-64)+1=177 у (0) =3∙0-2∙0+1=1 4. Выбрать наименьшее значение (у min ) y min =1 Ответ: 1 Критических точек нет
Реши самостоятельно! 2. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [1;3] Ответ: 0 Проверь себя : у(1)=-1 у(3)=-3 у(2)=0 ( ) / / / uv v u uv + =
Реши самостоятельно! 3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ -2 ; 2 ] Ответ: -32 Проверь себя : у(-2)=-5 у(2)=-25 у(1)=-32 ( ) / / / uv v u uv + =
Реши самостоятельно! 4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ -1 ; 7 ] Ответ: 108 Проверь себя : у(-1)=-242 у(7)=54 у(4)=108
5. Найдите наименьшее значение функции Ответ: 8 на отрезке [ 2;8 ] Стационарные точки х=-4;4 Критическая точка х=0
Реши самостоятельно! 6. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ -14 ; -1 ] Ответ: -7 Проверь себя : у(-14)=-10,5 у(-1)=-43 у(-7)=-7 х=-7, х=7, х≠0
Реши самостоятельно! 7. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ -10 ; -1 ] Ответ: -25 Проверь себя : у(-10)=-75 у(-1)=-201 у(-5)=-25
5. Найдите наибольшее значение функции Ответ: 11 на отрезке [ -4;4 ] Стационарная точка х=-8,5 Критическая точка х=-5
Использован материал рабочей тетради С.А. Шестакова «ЕГЭ 2012. Математика. Задача В14. Исследование функции»
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
«Я могу только показать тебе дверь, войти в неё ты должен сам» Скотт Мюллер.
Понятие о проценте. Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни . Прежде, чем научиться использовать проценты в практических или научных целях, необходимо овладеть чисто математической техникой работы с процентами. Определение. Процентом называется одна сотая часть величины . Для обозначения процента введен знак %. Вместо , например, 5 процентов пишут 5 %. Если 1% – это сотая часть величины, то вся величина составляет 100%. Пример . Найдите 1% от числа 37. Решение : или 37 0,01 = Ответ: 0,37 . Любое число процентов можно выразить дробью или натуральным числом. Чтобы выразить проценты дробью или натуральным числом, надо разделить число процентов на 100или умножить на 0,01. Пример . , т.е. 24% от какой-либо величины составляют двадцать четыре сотых этой величины. Чтобы выразить число в процентах, надо его умножить на 100. Пример. Обратите десятичную дробь 0,7 в проценты. Решение : Ответ:
Необходимо знать! Поскольку проценты выражаются дробями, то задачи на проценты являются по существу теми же задачами на дроби. Связь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями: % = = % = = % = = Проценты 5% 10% 20% 25% 40% 50% 60% 75% 80% Десятичная дробь 0,05 0,1 0,2 0,25 0,4 0,5 0,6 0,75 0,8 Обыкновенная дробь Проценты 5% 10% 20% 25% 40% 50% 60% 75% 80% Десятичная дробь 0,05 0,1 0,2 0,25 0,4 0,5 0,6 0,75 0,8 Обыкновенная дробь
Простейшие задачи, связанные с понятием проценты. Правило 1. Нахождение процента от числа. Чтобы найти от числа , то есть от надо умножить на : или Чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь. Необходимо знать! Формулу считают основной и называют формулой процентов.
Простейшие задачи, связанные с понятием проценты. Правило 2. Нахождение числа по его проценту. Чтобы найти число по его части , выраженной дробью надо разделить на : или . Чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, разделить на дробь . Правило 3. Нахождение процентного отношения двух чисел. Чтобы найти, сколько процентов число составляет от числа , надо сначала узнать, какую часть составляет от числа а затем эту часть выразить в процентах: Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго , надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100 . Частное двух чисел, выраженное в процентах, называется процентным отношением.
Простейшие задачи, связанные с понятием проценты . Простой процентный рост. Правило 4. Формула простого процентного роста. или . или . Сложный процентный рост. Правило 5. Формула сложного процентного роста. или . или .
Пример 1. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году? Решение. 1. 108% = 1,08. В 2009 году в квартале стало проживать человек). 109% = 1,09. 2. В 2010 году в квартале стало проживать человек). Ответ : 47088 человек. Решите самостоятельно. Пример 2. В 2009 году в городском квартале проживало 20000 человек. В 2010 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 2%, а в 2011 году — на 3% по сравнению с 2010 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2011году? Ответ: Пример 3. В 2009 году в городском квартале проживало 50000 человек. В 2010 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 5%, а в 2011 году — на 3% по сравнению с 2010 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2011 году ? Ответ: Год 2008 2009 Число жителей 40000 человек ? В процентах 100% (100+8)% Год 2009 2010 Число жителей 43200 человек ? В процентах 100% (100+9)% 21012 54075
Необходимо знать! 1 . Последовательное увеличение величины на некоторое число процентов, а затем уменьшение результата на то же число процентов не приводит к начальной величине: ведь второе действие мы совершаем уже с другой величиной . То же самое можно сказать и об обратной последовательности действий. Любопытно, что в любом случае получим в итоге величину, меньшую начальной величины . При увеличении величины на ( получим величину . Если же теперь уменьшить на ( получим . Дважды последовательное увеличение величины на одно и то же число процентов ( приводит к результату 3. Дважды последовательное уменьшение величины на одно и то же число процентов ( приводит к результату
Пример 4. В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник? Решение. 1 . Пусть цена акции до понедельника равна ( Последовательное увеличение величины на некоторое число процентов p ( , а затем уменьшение результата на то же число процентов p приводит к величине: . 2. Если бы величину в понедельник уменьшили на 4%, то она стала бы равна 3. По условию задачи оба выражения и равны. = . Так как , получим уравнение = = 1- =400 Условию задачи удовлетворяет Ответ: 20%. Решите самостоятельно. Пример 5. 4 . В среду акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в четверг подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 64% дешевле, чем при открытии торгов в среду. На сколько процентов подорожали акции компании в среду ? Ответ: Пример 6. В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 36% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг? Ответ: 80% 60%
Пример7 . Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей . Решение. Последовательное уменьшение величины 20000 дважды на некоторое число процентов p ( приводит к величине: 20000 . По условию задачи 20000 =15842 По смыслу задачи Каждый год цена холодильника уменьшалась на 11%. Ответ: 11%. Решите самостоятельно . Пример 8. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 17672 рубля . Ответ: Пример 9. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20400 рублей, через два года был продан за 18411 рублей . Ответ: 6% 5%
Пример10 . Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания "Бета" начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась? Решение. 1. 2006-2001 = 5 (лет) увеличивался капитал компании «Альфа». 2. 5000 (долларов) составил капитал компании «Альфа » к концу 2006 года. 3. 2006-2003 = 3 (года) увеличивался капитал компании «Бета». 4. 10000 (долларов) составил капитал компании «Бета » к концу 2006 года. 5 . Ответ: Решите самостоятельно. Пример11. Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3500 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания "Бета" начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 300% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась ? Ответ: Пример 12. Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 4000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания "Бета" начала инвестировать средства в другую отрасль в 2005 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2006 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась? Ответ: Пример 13. Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год ? Ответ: Пример 14. Бизнесмен Коржов получил в 2000 году прибыль в размере 1200000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 19% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Коржов за 2002 год ? Ответ: 704000 390500 320000 1699320
Пример 15. Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон — 42000 рублей, Гоша — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях . Решение. 1. часть уставного капитала внес Антон. 2. часть уставного капитала внес Борис. 3. 1000000 = 530000 (рублей) причитается Борису от прибыли. Ответ : 530000 рублей. Решите самостоятельно . Пример 16. Митя , Антон, Паша и Гоша учредили компанию с уставным капиталом 100000 рублей. Митя внес 24% уставного капитала, Антон — 55000 рублей, Паша — 0,18 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Гоша. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 600000 рублей причитается Гоше? Ответ дайте в рублях . Ответ: Пример 17. Дима, Андрей, Гриша и Коля учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Дима внес 26% уставного капитала, Андрей — 55000 рублей, Гриша — 0,16 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Коля. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Коле? Ответ дайте в рублях . Ответ: 18000 305000
Пример 18. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки ? Решение. Пусть стоимость куртки составляет 100%. 100 – 8 = 92 (%) составляет стоимость четырех рубашек от стоимости куртки. (%) составляет стоимость одной рубашки от стоимости куртки. 23 (%) составляет стоимость пяти рубашек от стоимости куртки. 115 – 100 = 15 (%) . На 15 процентов пять рубашек дороже куртки. Ответ: 15%. Решите самостоятельно. Пример 19. Десять рубашек дешевле куртки на 4%. На сколько процентов пятнадцать рубашек дороже куртки ? Ответ: Пример 20. Десять рубашек дешевле куртки на 10%. На сколько процентов двенадцать рубашек дороже куртки ? Ответ: 44% 8%
Пример 21. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? Решение. Пусть x % от общего дохода семьи составляет зарплата мужа, y% - зарплата жены, z% - стипендия дочери. (1) З арплата мужа увеличилась бы вдвое , общий доход семьи стал бы 100 + 67 = 167 (%). То есть (2) Вычтем из второго уравнения первое, получим . Стипендия дочери уменьшилась бы втрое, общий доход семьи стал бы 100 - 4 = 96 (%). То есть (3) Вычтем из первого уравнения третье, получим . 100 – (67 + 6) = 27 (%) от общего дохода семьи составляет зарплата жены. Ответ: 27%. Решите самостоятельно . Пример 22. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вчетверо, общий доход семьи вырос бы на 201%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены ? Ответ: Пример 23. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вчетверо, общий доход семьи вырос бы на 192%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вчетверо, общий доход семьи сократился бы на 6%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? Ответ: 25% 28%
Пример 24. Букинистический магазин продал книгу со скидкой 10% с назначенной цены и получил при этом 8% прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально полагал получить магазин? Решение. 1. 2. x Ответ: 20%. Цена, по которой б укинистический магазин приобрел книгу Предполагаемая прибыль Первоначальная цена книги в магазине Скидка от первоначальной цены Цена, по которой магазин продал книгу x рублей, ( x p %, (р (1+0,01р) x рублей 10% 0,9(1+0,01р)х рублей Цена, по которой б укинистический магазин приобрел книгу Предполагаемая прибыль Первоначальная цена книги в магазине Скидка от первоначальной цены Цена, по которой магазин продал книгу (1+0,01р) x рублей 10% 0,9(1+0,01р)х рублей Цена, по которой б укинистический магазин приобрел книгу Прибыль магазина Цена, по которой магазин продал книгу x рублей 8% 1,08х рублей
Задачи на концентрацию, смеси, сплавы. Процентное содержание вещества в растворе называют концентрацией раствора. Обычно, в условиях задач, решение которых связано с использованием понятий «концентрация» и «процентное содержание», речь идет о составлении сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ. Основные допущения, как правило, принимаемые в задачах подобного рода, состоят в следующем: а) все получающиеся сплавы или смеси однородны; б) при слиянии двух растворов, имеющих объемы V 1 и V 2 , получается смесь, объем которой равен V 1 + V 2 , т.е. V o = V 1 + V 2 причем, последнее соотношение является именно допущением, поскольку не всегда выполняется в действительности: при слиянии двух растворов не объем, а масса смеси равняется сумме масс составляющих ее компонент. При решении задач на смеси и сплавы обычно отслеживают изменения, происходящие с «чистым» веществом.
Простейшие задачи на концентрацию, смеси, сплавы. Задача 1. Смешали литров – процентного водного раствора некоторого вещества с литрами – процентного водного раствора этого же вещества. Найти концентрацию получившейся смеси. Решение. Пусть концентрация смеси равна k. При решении задачи можно составить уравнение: 1 . По растворимому веществу или 2 . П о воде или .
Задача 2. Смешали литров – процентного водного раствора некоторого вещества с литрами воды. Найти концентрацию получившейся смеси . Решение. Пусть концентрация смеси равна k . При решении задачи можно составить уравнение: По растворимому веществу или 2. По воде
Задача 3. Смешали литров – процентного водного раствора некоторого вещества с литрами этого же вещества. Найти концентрацию получившейся смеси. Решение. Пусть концентрация смеси равна k При решении задачи можно составить уравнение: 1 . По растворимому веществу 2 . По воде
Пример 25 . Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Решение. + = По массе 4 + 6 = 10, Уравнение по веществу 0,15 ∙ 4 + 0,25 ∙ 6 = 0,01 p ∙ 10, p = 21 . Ответ: 21 % . Вещество Вода 15% Вещество Вода 25% Вещество Вода P%
Соль Вода 8% По массе 30 + y = 30 + y У равнение по растворимому веществу (соли): = 18. Ответ: 18 кг. Пример 26. Морская вода содержит 8% (по весу) соли . Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 5%? Решение. + Вода = Соль Вода 5%
Пример 27. Имеются два раствора серной кислоты в воде – 40 – процентный и 60 - процентный. Эти растворы смешали и добавили 5 кг чистой воды. В результате получили 20 процентный раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили 5 кг 80 - процентного раствора той же кислоты, то получили бы 70 - процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 40 – процентного и 60 процентного растворов использовали для получения смеси? Решение. 1. + + = По массе x + y + 5 = x + y + 5 Первое у равнение по растворимому веществу (серной кислоте): 2. + + = По массе x + y + 5 = x + y +5 В торое уравнение по растворимому веществу (серной кислоте): . Система примет вид: , откуда Ответ : 1 кг 40%- го раствора и 2 кг 60%- го раствора. Серная кислота Вода 40% Серная кислота Вода 60% Вода Серная кислота Вода 20% Серная кислота Вода 40% Серная кислота Вода 60% Серная кислота Вода 80% Серная кислота Вода 70%
Пример 28 . Виноград содержит 90% влаги , а изюм — 5 % влаги. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма ? Решение. влага Сухая масса 90% 10% влага 100% влага Сухая масса 5% 95% _ = По массе х (х – 20) 20. _ = По сухой массе 0,1 ∙ х - 0 = 0,95 ∙20 , х = 190 . Винограда необходимо 190 кг ( По влаге 0,9 ∙ х - 1∙ ( х- 20) = 0,5 ∙20. х = 190) . Ответ: 190 кг.
Cu 10% Пример 29. Имеются два слитка, содержащие медь ( Cu) . Масса второго слитка на 3 кг больше, чем масса первого слитка. Содержание меди в первом слитке - 10%, во втором – 40%. Слитки сплавили. Процентное содержание меди в сплаве – 30%. Определить массу полученного слитка. Решение. + = По массе х + (х+3) = (х +х+ 3) , По меди 0,1 ∙ х + 0,4 ∙(х+3) = 0,3 ∙( х +х+ 3) , х = 3 . Масса полученного слитка 9 кг. Ответ: 9 кг. Cu 40% Cu 30%
Пример 30. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Решение. + = По массе x + x = 2x. Уравнение по веществу 0,1 5 x + 0,19 x = 0,01 так как 0,15 + 0,19 = 0,01 p = , p = 17. Ответ: 17%. Вывод. Концентрация смеси двух или нескольких растворов равной массы равна среднему арифметическому концентраций всех растворов, входящих в данную смесь. Вещество Вода 15% Вещество Вода 19% Вещество Вода P%
Пример 31. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде? Решение . 1. + = По массе 3 0 + 20 = 50 , По кислоте 0,01 p ∙ 30 + 0,01 q ∙ 20 = 0, 6 8 ∙ 5 0 , 2. + = По массе x + x = 2x . Так как массы растворов равны p + q = 2 ∙ 70 . 3. 4. В первом сосуде 0,6∙30=18 (кг) кислоты. Ответ: 18 кг. Кислота P% Кислота q% Кислота 68% Кислота P% Кислота q% Кислота 70%
Для самостоятельного решения. Пример 32. В сосуд, содержащий 7 литров 28-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора ? Пример 33 . В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора ? Пример 34. В сосуд, содержащий 6 литров 11-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Пример 35. Смешали 3 литра 35-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 15-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Пример 36. Смешали 8 литров 10-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 40-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора ? Пример 37. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5т целлюлозной массы, содержащей 85 % воды, чтобы получить массу с содержанием воды 75 %? Пример 38. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси? Пример 39. Имеются два раствора кислоты в воде – 62 – процентный и 93 - процентный. Эти растворы смешали и добавили 10 кг чистой воды. В результате получили 62 процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг чистой воды добавили 10 кг 50 - процентного раствора той же кислоты, то получили бы 67 - процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 62 – процентного раствора использовали для получения смеси ? Пример 40. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго ? Пример 41. Смешали некоторое количество 20-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 16-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора ? Пример 42. Смешали некоторое количество 16-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 18-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора ? Пример 43. Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? Пример 44. Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 60 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 19% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 22% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде ?
Ответы. № задания 32 33 34 35 36 37 Ответ 14% 5% 6% 19% 28% 200 кг № задания 38 39 40 41 42 43 44 Ответ 60 кг 70 кг 100 кг 18 % 17 % 75 кг 10 кг
Для того чтобы научиться решать текстовые задачи надо: Решать разные типы задач с разным уровнем сложности. Искать наиболее рациональные способы решения. Пользоваться разными методами решения. Решать как можно больше задач, как текстовых, так и других видов.
Рекомендации по решению текстовых задач Не просто прочитайте, а тщательно изучите условие задачи . Попытайтесь полученную информацию представить в другом виде – это может быть рисунок, таблица или просто краткая запись условия задачи. Таблица является универсальным средством и позволяет решать большое количество идейно близких задач. Выбор неизвестных. Не надо бояться большого количества неизвестных или уравнений. Главное, чтобы они соответствовали условию задачи и, можно было составить соответствующую «математическую модель» (уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств). Составление и решение «математической модели». При составлении «математической модели» (уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств) ещё раз внимательно прочитайте условие задачи. Проследите за тем, что соответствует каждой фразе текста задачи в полученной математической записи и чему в тексте задачи соответствует каждый «знак» полученной записи (сами неизвестные, действия над ними, полученные уравнения, неравенства или их системы). Очень важно не только составить уравнение, неравенство, систему уравнений или неравенств, но и решить его. Если решение задачи не получается, то нужно ещё раз прочитать и проанализировать задачу (заданный текст и полученную запись). Иногда по условию задачи достаточно отыскать не сами неизвестные, а их комбинации. Например, не значения неизвестных, а их сумму, разность и т.п. Если получилось правильное, но очень сложное выражение, то попробуйте ввести другие неизвестные, может быть, изменив их количество, чтобы получилась более простая модель. Иногда неизвестные в задачах выражаются только целыми числами, тогда при решении задач нужно использовать свойства целых чисел. Решение сложной текстовой задачи – процесс творческий. Иной раз требуется вернуться к самому началу задачи, учитывая и анализируя уже полученные результаты.
Литература Спецификация экзаменационной работы по математике единого государственного экзамена 2012 г. Шестаков С. А., Гущин Д. Д. ЕГЭ 2012. Математика. Задача В13. Задачи на составление уравнений. Рабочая тетрадь / Под ред. А. Л. Семенова и И . В. Ященко.- 3-е изд., дополн . – М.: МЦНМО, 2012. Система дистанционной подготовки к ЕГЭ МИОО. Открытый банк заданий. Левченко Н.П. Математика: Тренировочные задания тестовой формы с кратким ответом: рабочая тетрадь для учащихся общеобразовательных учреждений. (Практикум для подготовки к ЕГЭ.) М.: Вентана -Граф, 2008. Семенов П.В. Алгебра и начала анализа: учеб. пособие. (ЕГЭ: шаг за шагом.) М.: Мнемозина, 2010. Семенов П.В. Математика 2008. Выпуск 4. Текстовые и геометрические задачи. Задачи с развернутым ответом. (Как нам подготовиться к ЕГЭ.) М.: МЦНМО, 2008. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. (Домашний репетитор.) М.: Айрис-пресс, 2011. Юрченко Е.В. Математика. Тематическая рабочая тетрадь для восстановления базовых знаний. Части, отношения, пропорции, проценты. (Тематические тетради.) М.: Айрис-пресс, 2007. М.Л.Галицкий , А.М.Гольдман , Л.И.Звавич Сборник задач по алгебре 8-9 класс Москва «Просвещение» 2010 год Е.Д.Куланин , В.П.Норин , С.Н.Фезин , Ю. А. Шевченко 3000 конкурсных задач по математике. Москва «Мартин» 2010 год С.В.Кравцев , Ю.Н.Макаров , В.Ф.Максимов Методы решения задач по алгебре. Москва «ОНИКС 21 век» 2006 год М.И.Сканави Сборник задач для поступающих в ВУЗы Москва «Мир и Образование» 2010 год
Спасибо!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если вы хотите научиться решать задачи, то решайте их. Джордж Полиа
Решение задач по готовым чертежам
По данным чертежа вычислите объем данного геометрического тела .
Ответ. 216 . № 1.
Ответ. 24. № 2.
Ответ. 216. № 3.
Ответ. 128 № 4.
Ответ. № 5.
Ответ. № 6.
Ответ. 216 № 7.
Ответ. № 8.
Ответы к задачам самостоятельной работы. 1079. 8 1082. 169 1085. 0,75
Домашнее задание. Повторить формулы объемов; №№ 1080, 1088, 1089 (из сборника).
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Правило нахождения процента от числа
Задача К 150г 10-процентного раствора соли добавили 5-процентный раствор этой же соли и получили 8-процентный раствор. Какое количество 5-процентного раствора добавили? При решении этой задачи: 1) рассмотрим химический процесс 2) составим математическую модель
Приготовление растворов Соль Соль Вода Вода
После перемешивания 1 раствор = вода + соль 2 раствор = вода + соль
1 раствор 2 раствор соль соль 3 Полученный раствор соль
Задача К 150 г 10-процентного раствора соли добавили 5-процентный раствор этой же соли и получили 8-процентный раствор. Какое количество 5-процентного раствора добавили? Масса раствора,г Процентная концентрация Масса соли в растворе,г 1 раствор 150 10% 2 раствор х 5% 0,05х Приготовленный раствор 150+х 8% (150+х) 0,08
Задача К 150 г 10-процентного раствора соли добавили 5-процентный раствор соли и получили 8-процентный раствор. Какое количество 5-процентного раствора добавили? Масса раствора,г Процентная концентрация Масса соли,г 1 раствор 150 10% 2 раствор Х 5% 0,05х Приготовленный раствор 150+х 8% Массу соли выразили двумя способами. На основании этого составим уравнение: Ответ: 100 г
Задача Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Масса сплава, кг Процентная концентрация Масса меди в сплаве, кг 1 сплав х 10% 0,1х 2 сплав х+3 40% 0,4(х+3) Полученный сплав х+(х+3) 30% 0,1х+0,4(х+3) 0,1х+0,4(х+3)=0,3(х+(х+3)) х=3 3+(3+3)=9(кг) - масса третьего сплава Ответ: 9кг .
Универсальная таблица при решении задач на растворы и сплавы Количество раствора (сплава) Процентная концентрация Количество вещества в растворе (сплаве) 1 раствор (сплав) 2 раствор (сплав) Полученный раствор (сплав)
Задача В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Количество раствора, л Процентная концентрация Количество вещества в растворе Исходный раствор 5 12% Вода 7 0% 0 Полученный раствор 5+7 Х%
Задача Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Задача Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? Масса сплава, кг Процентное содержание Количество никеля в сплаве,кг 1 сплав х 10% 0,1х 2 сплав у 30% 0,3у 3 полученный сплав 200 25% 0,1х+0,3у
Задача Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси? Масса раствора,кг Процентная концентрация Количество кислоты в растворе,кг 1 раствор х 30% 0,3х 2 раствор у 60% 0,6у Вода 10 0% 0 Полученный раствор х+у+10 36% 0,3х+0,6у 0,36(х+у+10) 2 ситуация 1 раствор х 30% 0,3х 2 раствор у 60% 0,6у 3 раствор 10 50% Полученный раствор х+у+10 41 0,3х+0,6у+
Задача Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором – 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота. Масса сплава, ед. массы Процентное содержание Количество золота в сплаве, ед. массы 1 сплав х 35% 0,35х 2 сплав у 60% 0,6у Новый Сплав х+у 40% 0,35х+0,6у 0,4(х+у) 0,4(х+у)=0,35х+0,6у 0,05х=0.2у
Задачи Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй — 20% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 15% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? В сосуд, содержащий 7 литров 26-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 6 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Первый сплав содержит 5% меди, второй — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 7 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 13% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Смешали некоторое количество 20-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 16-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Смешали 4 литра 20-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 35-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Смешав 62-процентный и 93-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 67-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 62-процентного раствора использовали для получения смеси?
Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 60 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 19% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 22% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде? Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? Смешав 40-процентный и 90-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 40-процентного раствора использовали для получения смеси? Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 85 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 44% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Смешали некоторое количество 14-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 18-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? В сосуд, содержащий 9 литров 13-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 4 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Смешали 3 литра 35-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 15-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Задача 1.1. На рисунке изображен график функции y = f (x) , и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции y = f (x) в точке х 0 . Решение. А С Ответ: 3.
Значение производной функции f(x) в точке х 0 равно tga — угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых — целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим ∆ ABC. Важно помнить, что тангенс острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Знак производной (углового коэффициента) можно определить по рисунку, например, так: если касательная «смотрит вверх» то производная положительна, если касательная «смотрит вниз» - отрицательна (если касательная горизонтальна, то производная равна нулю). Теоретические сведения.
Задача 1.2. На рисунке изображен график функции y = f (x) , и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции y = f (x) в точке х 0 . Решение. Ответ: - 0,5 . Ответ: 0,75. А С В С В А a) б )
Задача 1.3. На рисунке изображен график функции y = f (x) , и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции y = f (x) в точке х 0 . Решение. Ответ: - 0,75 . А В С А В С Ответ: - 3 . a) б )
Задача 2.1. На рисунке изображен график функции y = f (x) , касательная к этому графику, проведенная в точке 4, проходит через начало координат. Найдите f ' (4). Решение. Если касательная проходит через начало координат, то можно изобразить ее на рисунке, проведя прямую через начало координат и точку касания. В качестве точек с целочисленными координатами, лежащих на касательной, можно взять начало координат и точку касания. Дальнейшее решение очевидно: Ответ: 1,5. 6 4
Задача 2.2. На рисунке изображен график функции y = f (x) , касательная к этому графику, проведенная в точке х 0 , проходит через начало координат. Найдите f ' (х 0 ). х 0 = 2 х 0 = - 4 х 0 = - 4 х 0 = 4 1 3 4 2 Решите самостоятельно! Ответ: 2. Ответ: 0,5. Ответ: - 0,5. Ответ: 0,75.
Задача 3.1. На рисунке изображен график функции y = f (x) , определенной на интервале (-8; 3). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Решим эту задачу, воспользовавшись следующим утверждением. Производная непрерывно дифференцируемой функции на промежутке убывания (возрастания) не положительна (не отрицательна). Значит необходимо выделить промежутки убывания функции и сосчитать количество целых чисел, принадлежащих этим промежуткам. Причем производная равна нулю на концах этих промежутков, значит, нужно брать только внутренние точки промежутков. Решение. , если убывает. Целые решения: х=-7; х=-6; х=-2; х=-1. Их количество равно 4. Ответ: 4. Теоретические сведения.
Задача 3.2. На рисунке изображен график функции y = f (x) , определенной на интервале (—8; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. Решение. , если возрастает. Целые решения при : х=-7; х=-6; х=-5; х=-4; х=2; х=3. Их количество равно 6. Ответ: 6.
Задача 3.3 . На рисунке изображен график функции y = f (x) , определенной на интервале ( a ; b ). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. a) б ) Решите самостоятельно! Решение. , если возрастает. Целые решения при : х=-2; х=-1; х=5; х=6. Их количество равно 4. Целые решения при : х=2; х=3; х=4; х=10; х=11. Их количество равно 5. Ответ: 4. Ответ: 5.
Задача 3.4 . На рисунке изображен график функции y = f (x) , определенной на интервале ( a ; b ). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Решите самостоятельно! a) б ) Решение. , если убывает. Целые решения при : х=2; х=7; х=8. Их количество равно 3. Целые решения при : х=-1; х=0; х=1; х=2; х=9; х=10. Их количество равно 6. Ответ: 3. Ответ: 6.
Производная функции в точке х 0 равна 0 тогда и только тогда, когда касательная к графику функции, проведенная в точке с абсциссой х 0 , горизонтальна. Отсюда следует простой способ решения задачи — приложить линейку или край листа бумаги к рисунку сверху горизонтально и, двигая «вниз», сосчитать количество точек с горизонтальной касательной. Задача 4.1. На рисунке изображен график функции y = f (x) , определенной на интервале (-6; 8). Найдите количество точек, в которых производная функции y = f (x) равна 0. Теоретические сведения. Решение. если касательная, проведенная в эту точку имеет вид у = const. Считаем количество точек пересечения графика функции с касательной. Ответ: 7.
Задача 4.2. На рисунке изображен график функции y = f (x) , определенной на интервале ( a ; b ). Найдите количество точек, в которых производная функции y = f (x) равна 0. Решите устно! Ответ: 7. Ответ: 7. Ответ: 8. Ответ: 6. 1 3 4 2
Задача 5.1. На рисунке изображен график функции y = f (x) , определенной на интервале (-8; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 8. Решение. Прямая у = 8 — горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, при решении этой задачи можно воспользоваться решением задачи 2, то есть приложить линейку или край листа бумаги горизонтально и, двигая его «вниз», сосчитать количество точек с горизонтальной касательной. Ответ: 5.
Задача 5.2. На рисунке изображен график функции y = f (x) , определенной на интервале ( a ; b ). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = с. 1 3 4 2 Решите устно! Ответ: 4. Ответ: 9. Ответ: 8. Ответ: 9.
Задача 6.1. На рисунке изображен график производной функции f (x) , определенной на интервале (—7; 5). Найдите точку экстремума функции f (x ) на отрезке [-6; 4]. На этом отрезке производная функции один раз обращается в 0 (в точке -3) и при переходе через эту точку меняет знак, откуда ясно, что точка -3 и есть искомая точка экстремума функции на отрезке. Решение. -6 4 Отметим на рисунке границы отрезка, о котором идет речь в условии задачи. Ответ: -3. -3 + -
Задача 6.2. На рисунке изображен график производной функции f (x) , определенной на интервале ( a ; b ). Найдите точку экстремума функции f (x ) . Решите устно! 1 3 4 2 Ответ: -3 . -3 Ответ: 7 . 7 Ответ: -1 . - 1 Ответ: 4 . 4
В точке минимума производная функции равна нулю либо не существует. Видно, что таких точек на отрезке [-2; 7] три: —1,5; 4,5; 6,5. При этом в точке 4,5 производная слева отрицательна, а справа положительна, значит, это точка минимума. В точках -1,5 и 6,5 производная меняет знак с «+» на «—» это точки максимума. Решение. Ответ: 1 . 4,5 - + Задача 7.1. На рисунке изображен график производной функции y = f (x) , определенной на интервале (-3; 8). Найдите количество точек минимума функции y = f (x) на отрезке [-2; 7] .
Задача 7.2. На рисунке изображен график производной функции y = f (x) , определенной на интервале ( x 1 ; x 2 ). Найдите количество точек максимума функции y = f (x) на отрезке [ a; b ] . Решение. Ответ: 1 . Ответ: 3 . a b a b x 0 - точка максимума, если производная при переходе через x 0 меняет свой знак с плюса на минус . - + Условие выполняется в точке x = 3 . Решение. Условие выполняется в точках: -1; 8; 13 . - + - + - + 1 Найдем точки в которых Это: -3; 3; 5. Решение аналогично. 2
Задача 7.3. На рисунке изображен график производной функции y = f (x) , определенной на интервале ( x 1 ; x 2 ). Найдите количество точек экстремума функции y = f (x) на отрезке [ -3 ; 10 ] . Ответ: 4 . Ответ: 4 . 1 2
Задача 8.1. На рисунке изображен график производной функции y = f (x) , определенной на интервале (-11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x ). В ответе укажите длину наибольшего из них. В этой задаче необходимо сначала найти промежутки возрастания функции, т.е. промежутки на которых f ´ ( x ) > 0. Решение. В нашем случае их три: (-11; -10), (-7; -1) и (2; 3), наибольшую длину из них, очевидно, имеет промежуток (-7; -1), его длина равна: -1-(-7) = 6. Ответ: 6 . -10 - 7 -1 2 6
Задача 8.2. На рисунке изображен график производной функции f ( x ), определенной на интервале ( x 1 ; x 2 ). Найдите промежутки убывания функции f ( x ). В ответе укажите длину наибольшего из них. 1 Решение. Решение. Ответ: 6 . Ответ: 3 . Найдем промежутки убывания функции, т.е. промежутки на которых f´ ( x ) < 0. Наибольшую длину из них имеет промежуток (- 10 ; - 4 ) -10 -4 Решение аналогично: ищем промежутки на которых f´ ( x ) < 0. Наибольший из них имеет длину равную 3. 6 3 2
Задача 8.3. На рисунке изображен график производной функции f ( x ), определенной на интервале ( x 1 ; x 2 ). Найдите промежутки возрастания функции f ( x ). В ответе укажите длину наименьшего из них. 3 Решение. Решение. Ответ: 1 . Ответ: 2 . Найдем промежутки возрастания функции, т.е. промежутки на которых f´ ( x ) > 0. Наименьшую длину из них имеет промежуток (-2; -1). Решение аналогично: ищем промежутки на которых f´ ( x ) > 0. Наименьший из них имеет длину равную 2. 4
Задача 9.1. На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (-11; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f ( x ) параллельна прямой y = 2 x -5 или совпадает с ней. Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2 x -5 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен 2 , а значит нам нужно найти количество точек, в которых производная функции f(x) равна 2 . Для этого на графике производной проведем горизонтальную черту, соответствующую значению y = 2 , и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. В нашем случае таких точек 5 . Решение. y = 2 Ответ: 5 .
Задача 9.2. На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале ( x 1 ; x 2 ). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f ( x ) параллельна прямой y = - 2 x + 7 или совпадает с ней. 1 Решение. Ответ: 3 . Касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -2 x +7 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен -2. Найдем количество точек, в которых f ´ (x) = -2. Решение. Поступим аналогично, найдем количество точек, в которых f ´ (x) = -2. Ответ: 4 . y = - 2 y = - 2 2
Задача 9.3. На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале ( x 1 ; x 2 ). 3 Решение. Ответ: 3 . Найдем количество точек, в которых f ´ (x) = 2. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f ( x ) параллельна прямой y = 2 x + 10 или совпадает с ней. y = -3 Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f ( x ) параллельна прямой y = -3 x +8 или совпадает с ней. Решение. Ответ: 3 . Найдем количество точек, в которых f ´ (x) = -3. y = 2 4
Задача 9.4. На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале ( x 1 ; x 2 ). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f ( x ) параллельна прямой y = 7 - 4 x или совпадает с ней. Для того чтобы найти искомую абсциссу, выясним, в какой точке f ´ (x) = - 4. Для этого проведем горизонтальную прямую y = - 4 и найдем абсциссу точки пересечения этой прямой с графиком производной. Она и будет искомой абсциссой точки касания. Решение. Ответ: 2 . y = -4 y = -4 -1 2 Решение. Поступим аналогично, найдем точку, в которой f ´ (x) = - 4 , проведем горизонтальную прямую y = - 4 и найдем абсциссу точки пересечения этой прямой с графиком производной. Ответ: -1 . 5 6