11 класс

Большакова Елена Константиновна

Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный Решение заданий В10 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2013 года Учитель математики: Семёнова Елена Юрьевна

Слайд 2

Определение вероятности Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместимых событий, которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения: Р = n m Пусть k – количество бросков монеты, тогда количество всевозможных исходов: n = 2 k . Пусть k – количество бросков кубика, тогда количество всевозможных исходов: n = 6 k .

Слайд 3

Свойства вероятности Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице: Р(А) = 1 . Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю: Р(А) = 0 . Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей: 0 ≤ Р(А) ≤ 1 .

Слайд 4

Решение. Игральные кости – это кубики с 6 гранями. На первом кубике может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Каждому варианту выпадения очков соответствует 6 вариантов выпадения очков на втором кубике. Т.е. всего различных вариантов 6×6 = 36. Варианты (исходы эксперимента) будут такие: 1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6 и т.д. .............................. 6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6 Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых сумма очков двух кубиков равна 8. 2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2. Всего 5 вариантов. Найдем вероятность: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,14. 282853

Слайд 5

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение. Всего 4 варианта: о; о о ; р р ; р р ; о . Благоприятных 2: о; р и р ; о . Вероятность равна 2/4 = 1/2 = 0,5 . 282854 Ответ: 0,5.

Слайд 6

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные − из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решение. Всего участвует 20 спортсменок, из которых 20 – 8 – 7 = 5 спортсменок из Китая. Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна 5/20 = 1/4 = 0,25. Ответ: 0,25. 282855

Слайд 7

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Решение: 1000 – 5 = 995 – насосов не подтекают. Вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна 995/1000 = 0,995. Ответ: 0,995. 282856

Слайд 8

Решение: 100 + 8 = 108 – сумок всего (качественных и со скрытыми дефектами). Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна 100/108 = 0,(925) ≈ 0,93. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,93. 282857

Слайд 9

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 − из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции. Ответ: 0,36. 282858 Решение: Всего участвует 4 + 7 + 9 + 5 = 25 спортсменов. Вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.

Слайд 10

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов − первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? Ответ: 0,16. 285922 Решение: В последний день конференции запланировано (75 – 17 × 3) : 2 = 12 докладов. Вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 12/75 = 4/25 = 0,16.

Слайд 11

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений − по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? Ответ: 0,225. 285923 Решение: В третий день конкурса запланировано (80 – 8) : 4 = 18 выступлений. Вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса, равна 18/80 = 9/40 = 225/1000 = 0,225.

Слайд 12

На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России. Ответ: 0,3. 285924 Решение: Всего участвует 3 + 3 + 4 = 10 ученых. Вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России, равна 3/10 = 0,3.

Слайд 13

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? Ответ: 0,36. 285925 Решение: Нужно учесть, что Руслан Орлов должен играть с каким-либо бадминтонистом из России. И сам Руслан Орлов тоже из России. Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.

Слайд 14

В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике. Ответ: 0,2. 285926 Решение: Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике, равна 11/55 =1/5 = 0,2.

Слайд 15

В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам. Ответ: 0,6. 285927 Решение: 25 – 10 = 15 – билетов не содержат вопрос по неравенствам. Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна 15/25 = 3/5 = 0,6.

Слайд 16

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая. Ответ: 0,36. 285928 Решение: Всего участвует 25 спортсменов. Вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.

Слайд 17

Решение: Обозначим право владения первой мячом команды "Меркурий" в матче с одной из других трех команд как "Решка". Тогда право владения второй мячом этой команды – «Орел». Итак, напишем все возможные исходы бросания монеты три раза. «О» – орел, «Р» – решка. Итак, всего исходов получилось 8, нужных нам – 1, следовательно, вероятность выпадения нужного исхода 1/8 = 0,125. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда "Меркурий" по очереди играет с командами "Марс", "Юпитер", "Уран". Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда "Меркурий"? Ответ: 0,125. «Марс» «Юпитер» «Уран» О О О О О Р О Р О О Р Р Р О О Р О Р Р Р О Р Р Р

Слайд 18

Решение. В сумме на двух кубиках должно выпасть 8 очков. Это возможно, если будут следующие комбинации: 2 и 6 6 и 2 3 и 5 5 и 3 4 и 4 Всего 5 вариантов. Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых при первом броске выпало 2 очка. Такой вариант 1. Найдем вероятность: 1/5 = 0,2. Даша дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 2 очка. Ответ: 0,2.

Слайд 19

Решение. При условии, что у Тоши выпало 3 очка, возможны следующие варианты: 3 и 1 3 и 2 3 и 3 3 и 4 3 и 5 3 и 6 Всего 6 вариантов. Подсчитаем количество исходов, в которых Гоша не выиграет, т.е. наберет 1, 2 или 3 очка. Таких вариантов 3. Найдем вероятность: 3/6 = 0,5. Тоша и Гоша играют в кости. Они бросают кубик по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. Первым бросил Тоша , у него выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Гоша не выиграет. Ответ: 0,5.

Слайд 20

Решение: Всего команд 20, групп – 5. В каждой группе – 4 команды. Итак, всего исходов получилось 20, нужных нам – 4, значит, вероятность выпадения нужного исхода 4/20 = 0,2. В чемпионате мира участвует 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе. Ответ: 0,2.

Слайд 21

Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя. Ответ: 0,25. 320169 Решение: Вероятность того, что игру должен будет начинать любой из мальчиков равна 1/4 = 0,25. В том числе и для Пети.

Слайд 22

На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной? Ответ: 0,5. 320178 Решение: Количество четных цифр на клавиатуре равно 5: 0, 2, 4, 6, 8 всего же цифр на клавиатуре 10, тогда вероятность что случайно нажатая цифра будет чётной равна 5/10 = 0,5.

Слайд 23

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Ответ: 0,019. 319353 Решение: Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: р 1 = 0,45 · 0,03 = 0,0135. Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: р 2 = 0,55 · 0,01 = 0,0055. Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна р = р 1 + р 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Слайд 24

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Ответ: 0,156. 319355 Решение: Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: р = 0,52 · 0,3 = 0,156.

Слайд 25

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Ответ: 0,35. 320171 Решение: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: р = 0,2 + 0,15 = 0,35.

Слайд 26

320172 Решение: Рассмотрим события А = кофе закончится в первом автомате, В = кофе закончится во втором автомате. Тогда A·B = кофе закончится в обоих автоматах, A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате. По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12. События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48. Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Слайд 27

Решение: Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы. Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность промаха равна 1 – 0,8 = 0,2. 1 выстрел: 0,8 2 выстрел: 0,8 3 выстрел: 0,8 4 выстрел: 0,2 5 выстрел: 0,2 По формуле умножения вероятностей независимых событий, получаем, что искомая вероятность равна: 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых. Ответ : 0,02 . 320173

Слайд 28

320174 Решение: Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975. Ответ: 0,9975. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Слайд 29

320175 Решение: Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: р 1 = 0,3 · 0,3 = 0,09. Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна р = 1 – р 1 = 1 − 0,09 = 0,91. Ответ: 0,91. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Слайд 30

320176 Решение: Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», тогда A + B = «чайник прослужит больше года». События A и В совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года – строго в тот же день, час и секунду – равна нулю. Тогда: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B), откуда, используя данные из условия, получаем 0,97 = P(A) + 0,89. Тем самым, для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08. Ответ: 0,08. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Слайд 31

320177 Решение: Пусть х – искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда 1 – х вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем: 0,4х + 0,2(1 – х ) = 0,35 0,2х = 0,15 х = 0,75 Ответ: 0,75. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Слайд 32

320179 Решение: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 Р = = 0,3 Ответ: 0,3. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три? 3 10

Слайд 33

320183 Решение: Вероятность того, что Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер равна: 0,4 · (1 − 0,9) = 0,04 Вероятность того, что Джон промахнется, если схватит непристрелянный револьвер равна: 0,6 · (1 − 0,2) = 0,48 Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Слайд 34

320181 Решение: Всего туристов пять, случайным образом из них выбирают двоих. Вероятность быть выбранным равна Р = 2/5 = 0,4. Ответ: 0,4. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

Слайд 35

320180 Решение: Обозначим право владения первой мячом команды «Физик" в матче с одной из трех команд как "Орел". Тогда право владения второй мячом этой команды – «Решка». Итак, запишем все возможные исходы бросания монеты три раза в таблице: «О» – орел, «Р» – решка. Итак, всего исходов получилось 2 3 = 8, нужных нам – 3, следовательно, вероятность выпадения нужного исхода равна: 3/8 = 0,375. Ответ: 0,375. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза. Ф/1 ОР ОР ОР ОР РО РО РО РО Ф/2 ОР ОР РО РО ОР ОР РО РО Ф/3 ОР РО ОР РО ОР РО ОР РО

Слайд 36

320184 Решение: В сумме должно выпасть 5 очков. Это возможно, если будут следующие комбинации: 1 и 4 4 и 1 2 и 3 3 и 2 Всего 4 варианта. Ответ: 4. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?

Слайд 37

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй – решка). Решение. Всего 4 варианта: о; о о ; р р ; р р ; о . Благоприятных 1: о; р . Вероятность равна 1/4 = 0,25 . 320185 Ответ: 0,25.

Слайд 38

320186 Решение: Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Д – Дания, Ш –Швеция, Н – Норвегия): Д − Ш − Н Д − Н − Ш Ш − Н − Д Ш − Д − Н Н − Д − Ш Н − Ш − Д Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна Р = 2/6 = 1/3 ≈ 0,33 Ответ: 0,33. На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

Слайд 39

Решение: Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов: Р(1) = 0,6; Р(2) = Р(1) · 0,4 = 0,24; Р(3) = Р(2) · 0,4 = 0,096; Р(4) = Р(3) · 0,4 = 0,0384; Р(5) = Р(4) · 0,4 = 0,01536. Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? Ответ: 5. 320187

Слайд 40

Решение: Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3 + 1, 1 + 3, 3 + 3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий – результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем: P(N ≥ 4) = P(3 + 1) + P(1 + 3) + P(3 + 3) = = P(3) · P(1) + P(1) · P(3) + P(3) · P(3) = = 0,4 · 0,2 + 0,2 · 0,4 + 0,4 · 0,4 = = 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32 . Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4. Ответ: 0,32 . 320188

Слайд 41

Решение: Из 5000 тысяч новорожденных 5000 − 2512 = 2488 девочек. Поэтому частота рождения девочек равна: 2488/5000 = 0,4976 ≈ 0,498 В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных. Ответ: 0,498 . 32018 9

Слайд 42

Решение: В самолете 12 + 18 = 30 мест удобны пассажиру В., а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна P = 30 : 300 = 0,1. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест. Ответ: 0,1 . 3201 90

Слайд 43

Решение: Всего в запасную аудиторию направили 250 − 120 − 120 = 10 человек. Поэтому вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории, равна P = 10 : 250 = 0,04. На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории. Ответ: 0,04 . 3201 91

Слайд 44

Решение: Пусть один из близнецов находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй близнец окажется среди этих 12 человек, равна P = 12 : 25 = 0,48. В классе 26 человек, среди них два близнеца – Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе. Ответ: 0,48 . 3201 92

Слайд 45

Решение: Машин желтого цвета с черными надписями 23, всего машин 50. Поэтому вероятность того, что на случайный вызов приедет машина желтого цвета с черными надписями, равна: P = 23 : 5 0 = 0,4 6 . В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах, остальные – жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями. Ответ: 0,46 . 3201 93

Слайд 46

Решение: На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта, равна: P = 6 : 30 = 0, 2 . В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта. Ответ: 0,2 . 3201 94

Слайд 47

Решение: Частота (относительная частота) события «гарантийный ремонт» равна 51 : 1000 = 0,051. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,051 – 0,045 = 0,006. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе? Ответ: 0,006 . 3201 95

Слайд 48

Решение: По условию, диаметр подшипника будет находиться в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 66,99 мм, или больше, чем 67,01 мм. Ответ: 0,0 35. 3201 96

Слайд 49

Решение: Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма – событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач. Ответ: 0,0 7. 3201 9 8

Слайд 50

Решение: Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З. нужно сдать и русский, и математику как минимум на 70 баллов, а помимо этого еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Пусть A, B, C и D – это события, в которых З. сдает соответственно математику, русский, иностранный и обществознание не менее, чем на 70 баллов. Тогда поскольку Р(С + D ) = P(C) + P(D) – P(C · D), для вероятности поступления имеем: P ( AB(C + D) ) = P(A) · P(B) · P(C + D) = P(A) · P(B) · ( P(C) + P(D) – P(C) · P(D) ) = = 0,6 · 0,8 · (0,7 + 0,5 – 0,7 · 0,5) = 0,408. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку – 0,8, по иностранному языку – 0,7 и по обществознанию – 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей. Ответ: 0,408 . 3201 9 9

Слайд 51

Решение: Пусть завод произвел n тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 20% невыявленных дефектных тарелок: 0,9 n + 0,2 · 0,1 n = 0,92 n тарелок. Поскольку качественных из них 0,9 n , вероятность купить качественную тарелку равна: На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых. Ответ: 0, 978. 320200

Слайд 52

Решение: Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна: В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга). Ответ: 0, 027. 320201

Слайд 53

Решение: Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна: Р 1 = 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна: Р 2 = 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: Р 1 · Р 2 = 0,1 · 0,2 = 0,02. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар. Ответ: 0, 02. 320202

Слайд 54

Решение: Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = « в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма – событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19. Ответ: 0, 38. 320203

Слайд 55

Решение: Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры. Ответ: 0, 125. 320205

Слайд 56

Решение: Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х – хорошая, О – отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды: P(XXO) = 0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128; P ( XOO ) = 0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128; P ( OXO ) = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008; P ( OOO ) = 0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128. Указанные события несовместные, вероятность их сумы равна сумме вероятностей этих событий: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода. Ответ: 0, 392. 320206

Слайд 57

Решение: Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: а) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; б) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем: P(A) = 0,9 · 0,05 = 0,045, P(B) = 0,01 · 0,95 = 0,0095, P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,045 + 0,0095 = 0,0545. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным. Ответ: 0, 0545. 320207

Слайд 58

Решение: В кармане было 4 конфеты, а выпала одна конфета. Поэтому вероятность этого события равна одной четвертой. В кармане у Миши было четыре конфеты – «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж». Ответ: 0, 25. 320208

Слайд 59

Решение: На циферблате между десятью часами и одним часом три часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна: Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час. Ответ: 0, 25. 320209

Слайд 60

Решение: Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94 · 0,94 = 0,8836. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными. Ответ: 0, 8836. 320210

Слайд 61

Решение: Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A = «батарейка действительно неисправна и забракована» или В = «батарейка исправна, но по ошибке забракована». Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий. Имеем: P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) = 0,02 · 0,99 + 0,98 · 0 ,01 = = 0,0 198 + 0,0098 = 0,0296 . Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. Ответ: 0, 0296. 320210

Слайд 62

Решение: На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5) 4 = 0,0625. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D . Ответ: 0, 15625. 320212

Слайд 63

Используемые материалы ЕГЭ 2012. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко.− М.: МЦНМО, 2012. − 48 с. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – 3-е изд., перераб . и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 543 с. http://mathege.ru/or/ege/Main.html − Материалы открытого банка заданий по математике 2013 года http://reshuege.ru/ − Сайт Дмитрия Гущина


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Конкурс интерактивных презентаций «Интерактивная мозаика» Pedsovet.ru Автор: Хуснуллина Ирина Александровна Государственное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №135 с углубленным изучением английского языка Выборгского района Санкт-Петербурга Учитель математики: 5-11 классы I квалификационная категория Логарифмические неравенства

Слайд 2

Какой системе неравенств равносильно исходное неравенство? Верно Подумай Вспомни свойства

Слайд 3

Какой системе неравенств равносильно исходное неравенство? Ты прав Вспомни свойства Обрати внимание на основание

Слайд 4

Какой системе неравенств равносильно исходное неравенство? Вспомни свойства Подумай Ты прав

Слайд 5

[4;+∞) (3,5;4] (3;4] 1. Решите неравенство:

Слайд 6

2. Решите неравенство: (8;17) (17;+∞) (-∞;17)

Слайд 7

2. Решите неравенство: (8;17) (17;+∞) (-∞;17)

Слайд 8

3. Решите неравенство: [-12; 4,5] [-12;-2,5)∪(1; 4,5) (-∞; - 2,5)∪(1;+∞)

Слайд 9

3. Решите неравенство: [-12; 4,5] [-12;-2,5)∪(1; 4,5) (-∞; - 2,5)∪(1;+∞)

Слайд 10

3. Решите неравенство: [-12; 4,5] [-12;-2,5)∪(1; 4,5) (-∞; - 2,5)∪(1;+∞)

Слайд 11

3. Решите неравенство: [-12; 4,5] [-12;-2,5)∪(1; 4,5) (-∞; - 2,5)∪(1;+∞)

Слайд 12

4. Сколько целых решений имеет неравенство? 45 2 46

Слайд 13

4. Сколько целых решений имеет неравенство? 45 2 46

Слайд 14

4. Сколько целых решений имеет неравенство? 45 2 46

Слайд 15

4. Сколько целых решений имеет неравенство? 45 2 46

Слайд 16

4. Сколько целых решений имеет неравенство? 45 2 46

Слайд 17

4. Сколько целых решений имеет неравенство? 45 2 46

Слайд 18

4. Сколько целых решений имеет неравенство? 45 2 46

Слайд 19

4. Сколько целых решений имеет неравенство? 45 2 46

Слайд 20

5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)

Слайд 21

5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)

Слайд 22

5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)

Слайд 23

5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)

Слайд 24

5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)

Слайд 25

5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)

Слайд 26

5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)

Слайд 27

5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)

Слайд 28

5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)

Слайд 29

5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)

Слайд 30

5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)

Слайд 31

5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)

Слайд 32

5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)

Слайд 33

5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)

Слайд 34

5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)

Слайд 35

5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)

Слайд 36

1 2 3 4 5 отметка + + + + + 5 Ваш результат Молодец!

Слайд 37

1 2 3 4 5 отметка + + + + - 4 Ваш результат

Слайд 38

1 2 3 4 5 отметка + + + - + 4 Ваш результат

Слайд 39

1 2 3 4 5 отметка + + + - - 3 Ваш результат

Слайд 40

1 2 3 4 5 отметка + + - + + 4 Ваш результат

Слайд 41

1 2 3 4 5 отметка + + - + - 3 Ваш результат

Слайд 42

1 2 3 4 5 отметка + + - - + 3 Ваш результат

Слайд 43

1 2 3 4 5 отметка + + - - - 2 Ваш результат

Слайд 44

1 2 3 4 5 отметка + - + + + 4 Ваш результат

Слайд 45

1 2 3 4 5 отметка + - + + - 3 Ваш результат

Слайд 46

1 2 3 4 5 отметка + - + - + 3 Ваш результат

Слайд 47

1 2 3 4 5 отметка + - + - - 2 Ваш результат

Слайд 48

1 2 3 4 5 отметка + - - + + 3 Ваш результат

Слайд 49

1 2 3 4 5 отметка + - - + - 2 Ваш результат

Слайд 50

1 2 3 4 5 отметка + - - - + 2 Ваш результат

Слайд 51

1 2 3 4 5 отметка + - - - - 2 Ваш результат

Слайд 52

1 2 3 4 5 отметка - + + + + 4 Ваш результат

Слайд 53

1 2 3 4 5 отметка - + + + - 3 Ваш результат

Слайд 54

1 2 3 4 5 отметка - + + - + 3 Ваш результат

Слайд 55

1 2 3 4 5 отметка - + + - - 2 Ваш результат

Слайд 56

1 2 3 4 5 отметка - + - + + 3 Ваш результат

Слайд 57

1 2 3 4 5 отметка - + - + - 2 Ваш результат

Слайд 58

1 2 3 4 5 отметка - + - - + 2 Ваш результат

Слайд 59

1 2 3 4 5 отметка - + - - - 2 Ваш результат

Слайд 60

1 2 3 4 5 отметка - - + + + 3 Ваш результат

Слайд 61

1 2 3 4 5 отметка - - + + - 2 Ваш результат

Слайд 62

1 2 3 4 5 отметка - - + - + 2 Ваш результат

Слайд 63

1 2 3 4 5 отметка - - + - - 2 Ваш результат

Слайд 64

1 2 3 4 5 отметка - - - + + 2 Ваш результат

Слайд 65

1 2 3 4 5 отметка - - - + - 2 Ваш результат

Слайд 66

1 2 3 4 5 отметка - - - - + 2 Ваш результат

Слайд 67

1 2 3 4 5 отметка - - - - - 2 Ваш результат

Слайд 68

1. Решите неравенство: 2. Решите неравенство: 3. Решите неравенство: 4. Сколько целых решений имеет неравенство: ? 5. Решите неравенство: Задания

Слайд 69

Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый уровень/ Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин и др., 2010г Математика. 10-11 классы: тестовые задания к основным учебникам: рабочая тетрадь. Фирстова Н.И. Список источников основного содержания

Слайд 70

Повторение - мать учения. http://epo2la.do100verno.com/blog/464/10279 http://20th.su/2010/01/28/logarifmicheskaya-linejka/ http://education.simcat.ru/school31/news/page21/ http://topkran.narod.ru/docs.htm «Учат в школе» Список источников иллюстраций и звуковых дорожек


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Выполнила Учитель математики I категории МБОУ Федосеевской СОШ Лозовая Раиса Михайловна Показательная функция и её применение Урок обобщения и систематизации знаний

Слайд 2

2 . ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ. 1. Показательная функция . 3 . В биологии. 4 . В экономике.

Слайд 3

Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям. Л.Эйлер . «Показательная функция».

Слайд 4

Графики функции у=2 х и у=(½) х График функции у=2 х проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ох. а>1 Д(у): х є R Е(у): у > 0 Возрастает на всей области определения. График функции у= также проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ох. 0<а<1 Д(у): х є R Е(у): у>0 Убывает на всей области определения.

Слайд 5

Блиц – опрос 1.Какая функция называется показательной? 2.Какова область определения функции y= 0,3 x ? 3.Каково множество значения функции y= 3 x ? 4. Дайте определение возрастающей, убывающей функции. 5.При каком условии показательная функция является возрастающей? 6.При каком условии показательная функция является убывающей? 7.Возрастает или убывает показательная функция 8.Определить при каком значении a функция проходит через точку А(1; 2); 9

Слайд 6

Какие из перечисленных функций являются возрастающими, а какие убывающими?

Слайд 7

Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими?

Слайд 8

Показательные уравнения. Уравнения,у которых неизвестное находится в показателе степени, называются показательными. Способы решения: По свойству степени; Вынесение общего множителя за скобки; Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, принимающее значение отличное от нуля при всех действительных значениях х; Способ группировки; Сведение уравнения к квадратному; Графический. . Например:

Слайд 9

Решите уравнения ( устно): 5 х =25 х=2 7 х-2 =49 х=4 4 х =1 х = 0 5,7 х-3 = 1 х = 3 2 2 х =64 х = 5 3 9 х =81 х = 1,5 5 х =7 х х = 0 3,4 х+2 =4,3 х+2 х = -2

Слайд 10

Указать способы решения показательных уравнений.

Слайд 11

Диагностика уровня формирования практических навыков Приведение к одному основанию Вынесение общего множителя за скобки Замена переменного (приведение к квадратному) 2, 5, 10, 12 1, 7, 9, 11 3, 4, 6, 8

Слайд 12

Чтобы решить графически уравнение f (x) = g (x) , надо: построить графики функций у = f (x) и у = g (x) найти абсциссу точки пересечения графиков функций рассмотреть возможность существования других точек пересечения

Слайд 13

у= у=3 x +10

Слайд 14

Определение Показательные неравенства – это неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Примеры:

Слайд 15

Показательные неравенства решаются по следующим свойствам показательной функции: •если а > 1 , то неравенство a х 1 < а х 2 справедливо  х 1 < х 2 •если 0 < а < 1 , то неравенство a х 1 > а х 2 справедливо  х 1 < х 2

Слайд 16

Решите неравенства (устно): 2 х > 0 x- любое 2 x >1 x > 0 х 1 х 0 х < 0 x = Ø 5 x >25 x > 2 0,7 x < 0,49 x > 2 0,2 x+1 < 0,2 4 x > 3 9,7 x-2 < 9,7 10 x < 12

Слайд 17

Решения показательных неравенств: Способ Уравнивание оснований правой и левой части

Слайд 18

Решите неравенство:

Слайд 19

Решите неравенство:

Слайд 20

Решение показательных неравенств Способ 2: Вынесение за скобки степени с меньшим показателем Ответ: х > 3 3 > 1 , то : 10

Слайд 21

Решение показательных неравенств Способ 3: введение новой переменной Ответ: х < 2 . х >0 3 >1 , то

Слайд 22

И её применение в природе и технике. Показательная функция

Слайд 23

Подумайте! Где может использоваться показательная функция? Тема «Показательная функция» является основополагающей при изучении таких тем, как «Производная показательной функции», «Термодинамика», «Электромагнетизм», «Ядерная физика», «Колебания», используется для решения некоторых задач судовождения.

Слайд 24

Наглядный бытовой пример! Все, наверное, замечали, что если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей среды. Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Если сначала температура чайника равнялась То, а температура воздуха T1, то через t секунд температура Т чайника выразится формулой: T=(T1-T0)e-kt+T1, где k - число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и количества воды, которое в нем находится.

Слайд 25

При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определенной величины.

Слайд 26

Рассмотрим задачу о падении парашютиста. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что F= kv , то через t секунд скорость падения будет равна: v= mg /k(1-e-kt/m), где m - масса парашютиста. Через некоторый промежуток времени е- kt /m станет очень маленьким числом, и падение станет почти равномерным. Коэффициент пропорциональности k зависит от размеров парашюта. Данная формула пригодна не только для изучения падения парашютиста, но и для изучения падения капли дождевой воды, пушинки и т.д.

Слайд 27

Много трудных математических задач приходится решать в теории межпланетных путешествий. Одной из них является задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v0, с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя.

Слайд 28

Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определиться формулой: M=m( ev /v0-1) (формула К.Э.Циалковского ). Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8000 м/с, надо при скорости истечения газов 2000 м/с взять примерно 80 т топлива.

Слайд 29

Если при колебаниях маятника, гири, качающейся на пружине, не пренебрегать сопротивлением воздуха, то амплитуда колебаний становится все меньше, колебания затухают. Отклонения точки, совершающей затухающие колебания, выражается формулой: s= Ae-ktsin (?t+?). Так как множитель е- kt уменьшается с течением времени, то размах колебаний становится все меньше и меньше.

Слайд 30

Когда радиоактивное вещество распадется, его количество уменьшается. Через некоторое время остается половина первоначального количества вещества. Этот промежуток времени to называется периодом полураспада. Вообще через t лет масса m вещества будет равна: m=m0(1/2)t/t0, где m0 - первоначальная масса вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество. Явление радиоактивного распада используется для определения возраста археологических находок, например, определен примерный возраст Земли, около 5,5 млрд. лет, для поддержания эталона времени.

Слайд 31

Задача: Период полураспада плутония равен 140 суткам. Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная масса равна 8г ? m = ? Ответ: 1,13 •10 -7 (г).

Слайд 32

Как видите, во всех приведенных выше исследованиях использовалась показательная функция.

Слайд 33

Вот некоторые из Нобелевских лауреатов, получивших премию за исследования в области физики с использованием показательной функции: Пьер Кюри - 1903 г. Ричардсон Оуэн - 1928 г. Игорь Тамм - 1958 г. Альварес Луис - 1968 г. Альфвен Ханнес - 1970 г. Вильсон Роберт Вудро - 1978 г.

Слайд 34

Она не перестаёт нас удивлять! Показательная функция также используется при решении некоторых задач судовождения, например, функцию е-x используют в задачах, требующих применения биноминального закона (повторение опытов), закона Пуассона (редких событий), закона Релея (длина случайного вектора).

Слайд 35

Применение показательной функции в биологии .

Слайд 36

Применение логарифмической функции в биологии. В питательной среде бактерия кишечной палочки делится каждую минуту. Понятно, что общее число бактерий за каждую минуту удваивается. Если в начале процесса была одна бактерия, то через х минут их число ( N ) станет равной 2 х , т.е. N ( х ) = 2 х .

Слайд 37

Применение показательной функции в экономике

Слайд 38

Задача: Ежемесячно на банковский вклад, равный S 0 рублей начисляется р%. На сколько процентов возрастет банковский вклад за х месяцев? Решение. Пусть р = 2%, х = 12 месяцев. Тогда за год банковский вклад возрастет на Ответ: на 27%.

Слайд 39

А теперь, в конце урока хочется, чтобы вы выразили свое отношение к нашей сегодняшней работе и всему уроку в целом. Ответьте на вопросы в листах рефлексии и сдайте их мне. 2) Поставь оценку учителю за работу по 10 бальной системе. 3) Поставь оценку себе за работу по 10 бальной системе. Понравилось на уроке? (отметь галочкой мордашку)

Слайд 40

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Страница 57 учебника – «ПРОВЕРЬ СЕБЯ»

Слайд 41

СПАСИБО ЗА УРОК!


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Производная показательной и логарифмической функций Урок в 11 «Б» классе учитель Копова О.В.

Слайд 2

Вычислить производную устно письменно

Слайд 3

Дана функция . Найти угловой коэффициент касательной, проведенной в точке с абсциссой . Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

Слайд 4

Задание B8 (№ 8319) На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Слайд 5

Задание B8 (№ 9031) На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите точку экстремума функции на отрезке .

Слайд 6

Задание B8 (№ 8795) На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Слайд 7

Прототип задания B14 Найдите точку минимума функции . Найдите наибольшее значение функции . Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Слайд 8

Мини-тест (В8, В14) Ключ к тесту: № 1 5 6 № 2 5 3 № 3 -1 -0,5 № 4 -6 51 В-1 В-2

Слайд 9

Домашнее задание ФИПИ (открытый банк заданий) № 26727, 26724, 77489, 245179, 245183 (В-14) uztest.ru ( производные показательной и логарифмической функции ) С3


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Сычева Г.В. 900igr.net

Слайд 2

Число e. а > 1. 1 1 0

Слайд 3

e = 2,7182818284590……

Слайд 4

Свойства функции : 1. не является четной , ни нечетной; 3. возрастает; не ограничена сверху, ограничена снизу; не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6. непрерывна; 7. 8. выпукла вниз; 9. дифференцируема.

Слайд 5

Производная функции y = f ( x ), где y = g ( x ), где g ( x ) = f ( x - a ) 2.

Слайд 7

Пример 1 . Провести касательную к графику функции в точке x=1. Решение : 1) a=1 2) f(a)=f(1)=e 3) 4) y=e+e(x-1); y = ex Ответ : y=ex

Слайд 8

Пример 2 . Вычислить значение производной функции в точке x=3. Решение : Ответ : 4

Слайд 9

Пример 4 . Исследовать на экстремум и схематически изобразить график функции Решение : 1) 2)

Слайд 10

3) -2 x 0 + + - 4) x=-2 – точка максимума x=0 – точка минимума

Слайд 11

Ось абсцисс – горизонтальная асимптота графика. 0 1 1

Слайд 12

Натуральные логарифмы :

Слайд 13

1. не является четной , ни нечетной; 3. возрастает; не ограничена сверху, не ограничена снизу; не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6. непрерывна; 7. 8. выпукла вверх; 9. дифференцируема. Функция y=ln x, ее свойства, график. 0 1 1


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

МОУ лицей №10 города Советска Калининградской области учитель математики Разыграева Татьяна Николаевна Функция y = log a x , её свойства и график. 1

Слайд 2

Работа устно: № 1 2 3 4 a b c d Н Е П Р Е 2

Слайд 3

Дата рождения: 1550 год Место рождения: замок Мерчистон , в те годы предместье Эдинбурга Дата смерти: 4 апреля 1617 Место смерти: Эдинбург Научная сфера: математика Альма-матер: Сент-Эндрюсский университет Известен как: изобретатель логарифмов Джон Непер John Napier 3

Слайд 4

Прочитайте и назовите график функции, изображённый на рисунке. x y 0 1 1 План Какими свойствами обладает эта функция при 0 < a < 1 ? 4

Слайд 5

1) D(f) – область определения функции . 2) Чётность или нечётность функции . 4) Ограниченность функции . 5) Наибольшие, наименьшие значения функции . 6) Непрерывность функции. 7) E(f) – область значений функции. 3) Промежутки возрастания, убывания функции . 8 ) Выпуклость функции. План прочтения графика: 5

Слайд 6

Леонард Эйлер нем. Leonhard Euler Дата рождения: 4 (15) апреля 1707 Место рождения: Базель, Швейцария Дата смерти: 7 (18) сентября 1783 (76 лет) Место смерти: Санкт-Петербург, Российская империя Научная сфера: Математика, механика, физика, астрономия Современное определение показательной, логарифмической и тригонометрических функций — заслуга Леонарда Эйлера, так же как и их символика. 6

Слайд 7

x y 0 c b c b y = x Показательная функция Логарифмическая функция ( c ; b) Если точка (с; b ) принадлежит показательной функции, то Или, на «языке логарифмов» Что можно сказать о точке ( b ; c )? ( b ; c) Вывод: 7

Слайд 8

x y 0 a a y = x 1 1 График функции симметричен графику функции относительно прямой y = x. 8

Слайд 9

x y y = x 1 1 0 График функции симметричен графику функции относительно прямой y = x. 9

Слайд 10

x ¼ ½ 1 2 4 8 y = log 2 x -2 -1 0 1 2 3 Постройте графики функций: 1 вариант 2 вариант x ¼ ½ 1 2 4 8 y = log 1/2 x 2 1 0 - 1 - 2 - 3 10

Слайд 11

x y 0 1 2 3 1 2 4 8 - 1 - 2 - 3 Проверка: График логарифмической функции называют логарифмической кривой. 11

Слайд 12

x y 0 1 2 3 1 2 4 8 - 1 - 2 График функции y = log a x. Опишите свойства логарифмической функции . 1 вариант: при a > 1 2 вариант: при 0 < a < 1 12

Слайд 13

Свойства функции у = log a x, a > 1 . х у 0 1) D(f) = (0, + ∞) ; 2 ) не является ни чётной, ни нечётной; 3) возрастает на (0, + ∞) ; 4)не ограничена сверху, не ограничена снизу; 5 )не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6) непрерывна; 7 ) E(f) = (- ∞ , + ∞) ; 8 ) в ыпукла вверх. 13

Слайд 14

Свойства функции у = log a x, 0 < a < 1 . х у 0 1) D(f) = (0, + ∞) ; 2 ) не является ни чётной, ни нечётной; 3) убывает на (0, + ∞) ; 4)не ограничена сверху, не ограничена снизу; 5 )не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6) непрерывна; 7 ) E(f) = (- ∞ , + ∞) ; 8 ) в ыпукла вниз. 14

Слайд 15

Основные свойства логарифмической функции № a > 1 0 < a < 1 1 D(f) = (0, + ∞) 2 не является ни чётной, ни нечётной; 3 возрастает на (0, + ∞) убывает на (0, + ∞) 4 не ограничена сверху, не ограничена снизу 5 не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений 6 непрерывна 7 E(f) = (- ∞ , + ∞) 8 выпукла вверх выпукла вниз 15

Слайд 16

Задание №1 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: х у Функция возрастает, значит: y наим . = lg1 = 0 y наиб. = lg1000 = lg10 ³ = 3 х у Функция убывает, значит: y наим . = -3 y наиб. = 2 16

Слайд 17

Задание №2 Решите уравнение и неравенства: x y 0 1 1 - 1 Ответ: х = 1 Ответ: х > 1 Ответ: 0 < х < 1 17

Слайд 18

Самостоятельно: Решите уравнение и неравенства: Ответ: х = 1 Ответ: х > 1 Ответ: 0 < х < 1 х у х у х у 18

Слайд 19

Задание №3 Постройте графики функций: x y 0 1 1 y = - 3 x = - 2 Проверить! Проверить! Самостоятельно. 19

Слайд 20

x y 0 1 1 Проверка: 20

Слайд 21

Проверка: x y 0 1 1 2 4 -3 3 21

Слайд 22

Установите для предложенных графиков значение параметра a ( a >1, 0 < a < 1) х у х у х у х у Не является графиком логарифмической функции 22

Слайд 23

Блиц - опрос. Отвечать только «да» или «нет» Ось у является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции. Графики показательной и логарифмической функций симметричны относительно прямой у = х. Область определения логарифмической функции – вся числовая прямая, а область значений этой функции – промежуток (0, + ∞) . Монотонность логарифмической функции зависит от основания логарифма. Не каждый график логарифмической функции проходит через точку с координатами (1;0). 23

Слайд 24

Блиц - опрос. Отвечать только «да» или «нет» Логарифмическая кривая это та же экспонента, только по - другому расположенная в координатной плоскости. Выпуклость логарифмической функции не зависит от основания логарифма. Логарифмическая функция не является ни чётной, ни нечётной. Логарифмическая функция имеет наибольшее значение и не имеет наименьшего значения при a >1 и наоборот при 0 < a < 1. Проверка: Да, да, нет, да, нет, да, нет, да, нет 24

Слайд 25

Домашнее задание § 49 №1463, 1467,1480,1460 1 вариант – а,б ; 2 вариант – в,г . Удачи!!!!! 25

Слайд 26

http://ru.wikipedia.org Используемые ресурсы и литература Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл .: Учебн . для общеобразоват . учреждений. – 3-е изд. – М.:Мнемозина , 200 7 . Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл .: Задачник для общеобразоват . учреждений/А.Г.Мордкович, Л.О. Денищева , Т.А. Корешкова , Т.Н. Мишустина , Е.Е. Тульчинская . – 3-е изд., испр . – М.:Мнемозина , 200 7 . Л.А. Александрова Алгебра и начала анализа. 11 класс. Самостоятельные работы:Учеб . пособие для общеобразоват . учреждений/ Под ред. А.Г. Мордковича. – 2-е изд. – М.: Мнемозина, 2006. – 96 с. http://nayrok.ru 26


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

ПОНЯТИЕ ЛОГАРИФМА ФУНКЦИЯ , ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК

Слайд 2

ПОНЯТИЕ ЛОГАРИФМА Определение: Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести число a , чтобы получить число b . Например,

Слайд 3

Определение логарифма можно переписать так: Например, Операцию нахождения логарифма числа обычно называют логарифмированием

Слайд 4

Десятичный логарифм Натуральный логарифм

Слайд 5

Функция , ее свойства и график Свойства функции , а >1 1. D(y)= (0,+∞) 2. E(y)=(-∞,+∞) 3 .Не является ни четной, ни нечетной. 4.Не ограничена сверху, не ограничена снизу. 5.Непрерывна на D(y) 6.Возрастает на D(y) 7. у( х )>0 на (1,+ ∞ ), у( х )<0 на (0,1)

Слайд 6

Функция , ее свойства и график Свойства функции ,0 < а <1 1. D(y)= (0,+∞) 2. E(y)=(-∞,+∞) 3 .Не является ни четной, ни нечетной. 4.Не ограничена сверху, не ограничена снизу. 5.Непрерывна на D(y) 6.Возрастает на D(y) 7. у( х )>0 на (1,+ ∞ ), у( х )<0 на (0,1)

Слайд 7

Задание 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке : а) ; ; б) .

Слайд 8

Решение: а) Функция - непрерывная и возрастающая, поскольку основание этой логарифмической функции больше 1. Следовательно, своих наименьшего и наибольшего значений функция достигает на концах заданного отрезка :

Слайд 9

б) Функция - непрерывная и убывающая, поскольку основание этой логарифмической функции больше 0, но меньше 1. Следовательно, своих наибольшего и наименьшего значений функция достигает на концах заданного отрезка :

Слайд 10

Задание 2. Постройте и прочитайте график функции :


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Решение логарифмических уравнений Урок изучения новой темы

Слайд 2

Цель урока: обобщить материал по свойствам логарифмов, логарифмической функции; рассмотреть основные методы решения логарифмических уравнений; развивать навыки устной работы.

Слайд 3

Вспомни и продолжи свойство!

Слайд 4

Вычислите значения выражения

Слайд 5

Вычислить значение выражения

Слайд 6

Определение: Уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма или в основании логарифма называются логарифмическими .

Слайд 7

Методы решения ЛУ: Вид уравнения 1.Применение определения логарифма 2. Введение новой переменной 3. Приведение к одному и тому же основанию 4. Метод потенцирования 5 Метод логарифмирования обеих частей уравнения 6. Функционально-графический метод

Слайд 9

Решение простейшего логарифмического уравнения основано на применении определения логарифма и решении равносильного уравнения Пример

Слайд 10

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их: если loga f(х) = loga g(х), то f(х) = g(х), решив полученное равенство, следует сделать проверку корней. Метод потенцирования

Слайд 12

Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то прежде всего следует свести все логарифмы к одному основанию, используя формулы перехода

Слайд 13

Если в показатели степени содержится логарифм, то обе части уравнения логарифмируют по тому основанию, которое содержится в основании логарифма, находящегося в показателе степени.

Слайд 14

Для решения ЛУ графическим методом надо построить в одной и той же системе координат графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения и найти абсциссу их точки пересечения Пример log 3 х = 4-х. Так как функция у= log 3 х возрастающая, а функция у =4-х убывающая на (0; + ∞ ),то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень.

Слайд 16

Домашнее задание П.19,№337,338(четн.)


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Решение логарифмических уравнений и неравенств Урок-соревнование по математике в 11 классе Воробьева Ирина Юрьевна, учитель математики КГУ «Экономический лицей» Казахстан, Восточно-Казахстанская область,г . Семей,

Слайд 2

Разминка 1. Дайте определение логарифма числа по заданному основанию. 2. Основное логарифмическое тождество. 3. Чему равен логарифм единицы? 4. Чему равен логарифм числа по тому же основанию? 5. Чему равен логарифм произведения? 6. Чему равен логарифм частного? 7. Чему равен логарифм степени? МОЛОДЕЦ!

Слайд 3

Разминка 8. Формула логарифмического перехода от одного основания к другому основанию. 9. Какова область определения функции y= log а x ? 10. Какова область значения функции y= l og а x ? 11. В каком случае функция является возрастающей y=log а x ? 12. В каком случае функция является убывающей y=log а x ? МОЛОДЕЦ!

Слайд 4

Таблица ответов. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Д Ж О Н Н Е П Е Р 1/3 2 3 -1 -1 100 1 100 0 « Проверь себя»

Слайд 5

Историческая справка Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который он перевел как «искусственное число». Джон Непер – шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течение пяти лет в различных университетах Европы изучал математику и другие науки. Затем он серьезно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц».

Слайд 6

Решите логарифмические уравнения : 1) log 2 (2+ log 3 (3+x) )= 0 2) lg (3x-2)-1/2lg(x+2)=2-lg50 3) lg 2 x-5lgx+6=0 4) log х 4+log Х 2 64=5 5) log 3 x +log x 9 = 3

Слайд 7

Решение логарифмических уравнений : 1 ) log2 (2+log3 (3+x) )= 0 Решение: 2+ log 3 ( 3+x) =1 ОДЗ: 3+x>0, log 3 ( 3+x)= -1 2+log 3 (3+x)> 0 3+x= 1\3 x= -2 2\3 Ответ: -2 2\3

Слайд 8

Решение логарифмических уравнений : 2 ) lg ( 3 x -2)- lg √(x+2)=lg100 – lg50 lg (3x-2)\ √(x+2) = lg 2 (3x-2)\ √(x+2) = 2 (3x-2)= 2 √(x+2) 9х 2 - 16х --4= 0 D = 400, х 1 = 2, х 2 = -2\9 - посторонний корень ОДЗ : 3 x-2>0, x+2>0 Ответ: 2

Слайд 9

Решение логарифмических уравнений : 3 ) lg 2 x-5lgx+6=0 Lg x = t t 2 - 5t + 6 = 0 t 1 = 2 t 2 = 3 Lg x = 2 lg x = 3 X = 100 x = 1000 ОДЗ : x>0, Ответ: 100, 1000.

Слайд 10

Решение логарифмических уравнений : 4 ) Log x 4 +1\2 log X 64 =5 ОДЗ x > 0, X ≠1 log x 32 = 5 x =2 Ответ: 2.

Слайд 11

Решение логарифмических уравнений : 5) log 3 x + log х 9 = 3 ОДЗ x > 0 log 3 x + 1\ log 9 x = 3 log 3 x + 2\ log 3 x = 3 log 3 x = t t+ 2\t – 3 = 0 t 2 + 2 -3t = 0, t 1 = 1, t 2 = 2 log 3 x =2 log 3 x = 1 X = 9 x = 3 Ответ: 3 и 9

Слайд 12

Математический поединок. Решите логарифмические неравенства : 1) log1\2 ( 3x-1)< log1\2 ( 3-x) 2) Log 3 (4x-9) <1 3) Log 1\ π ( 2+x) \ ( 2-x) > log 1\ π 2

Слайд 13

«Доказательство» неравенства 2>3 Рассмотрим неравенство 1/4>1/8 Затем сделаем следующее преобразование (1/2) 2 >(1/2) 3 Большему числу соответствует больший логарифм, значит, 2 lg >3 lg После сокращения на lg имеем: 2>3 В чем ошибка этого доказательства? Логарифмическая комедия.

Слайд 14

Задайте формулой любую логарифмическую функцию и запишите на листочке одним из следующих цветов, которые на ваш взгляд соответствуют вашему настроению от проделанной вами работы . Красный - отличное Зеленый - хорошее Синий – удовлетворительное Рефлексия


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Урок итогового повторения. Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств. Цели урока: способствовать выработке навыка решения показательных уравнений и неравенств. Систематизировать знания по данной теме.

Слайд 2

Повторение изученного материала. Дайте определение показательной функции. Перечислите основные свойства показательной функции. Изобразите схематически графики функций: Как используются свойства показательной функции при решении показательных уравнений и неравенств.

Слайд 3

Решите уравнение Х = 4

Слайд 4

Решите уравнение Алгоритм решения: Получим степени с основаниям 2. Используя свойства степени, упростим выражение. Перейдем к равенству показателей степени. Решим уравнение с модулем. Запишем ответ.

Слайд 6

Алгоритм решения: Найти ОДЗ. Ввести замену Решить полученное уравнение, найти у. Вернуться к замене, решить уравнения относительно х. Записать ответ.

Слайд 7

Решение:

Слайд 9

Самостоятельно решите:

Слайд 10

Проверь решение

Слайд 11

Проверь решение

Слайд 12

Проверь решение

Слайд 13

Решите уравнение

Слайд 14

Решение: Заметим, что Введем замену Получим уравнение Решим данное уравнение и получим

Слайд 15

Решение:

Слайд 16

Решаем второе уравнение

Слайд 17

Решите неравенство:

Слайд 18

Ответы к неравенствам

Слайд 22

Переходим к переменной х


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Общие методы решения уравнений Учитель: Протопопова Д.Х.

Слайд 2

Эпиграф: « Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели». Готфрид Лейбниц.

Слайд 3

Номер задания А1 А2 А3 А4 А5 А6 Вариант 1 1 2 1 2 1 1 Вариант 2 4 4 2 3 2 1

Слайд 4

I метод Замена уравнения h ( f ( x )) = h ( g ( x )) уравнением f ( x ) = g ( x ) ПРИМЕР. Решить уравнение Решение: Ответ: 2; 4. X 1 =2, X 2 =4.

Слайд 5

II метод Метод разложения на множители f(x) g(x) h(x) = 0 f(x)=0; g(x)=0; h(x) = 0. ПРИМЕР. Решить уравнение Решение: ОДЗ: x+2 ≥ 0 x-8 > 0 X 1 =7 X 2 = - 1; X 3 = - 5 X 4 = 9 ; ; Проверка найденных корней. Ответ: 9.

Слайд 6

III метод Метод введения новой переменной f(x) = 0 p(g(x)) = 0 p(u) = 0, ( где u=g(x)) g(x) = u 1 ; g(x) = u 2 ; … g(x) = u n ПРИМЕР. Решить уравнение Решение. Пусть , тогда u 1 =2 ; u 2 = - 11 . Проверить корни подстановкой . u 1 = 2 – корень , u 2 = -11 – посторонний корень. x 2 – x = 2; x 1 = 2 ; x 2 = -1. Ответ: 2; -1 .

Слайд 7

IV метод Функционально-графический метод ПРИМЕР 1. Решить уравнение Решение. 2) А(1;1), В(4;2) 1 ) 3) х 1 = 1 ; х 2 = 4 . Ответ: 1; 4. ПРИМЕР 2. Решить уравнение Решение. 1) Подбором находим корень х = 2 . 2) 3) - возрастающая функция - убывающая функция Значит, х = 2 – единственный корень. Ответ: 2.

Слайд 8

Решите уравнения )

Слайд 9

Номер уравнения 1 2 3 4 5 6 Вариант 1 1 3 2 2 4 1 Вариант 2 1 2 4 1 3 4 Вариант 3 4 1 4 3 1 2 Вариант 4 4 1 1 2 3 2

Слайд 10

Номер задания 1а (3 балла) 1б (3 балла) 2 (4 балла) Вариант 1 4 Вариант 2 -1 Вариант 3 2;-5 1 Вариант 4 1


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Когда обязательна проверка всех найденных корней? а). Если произошло расширение области определения уравнения 1) нет 2) да 3) сомневаюсь в ответе б). Если обе части уравнения возвели в одну и ту же нечётную степень 1) сомневаюсь в ответе 2) да 3) нет в). Если какой-либо член уравнения перенесли из одной части уравнения в другую с противоположным знаком 1) сомневаюсь в ответе 2) да 3) нет г). Если умножили обе части уравнения на одно и тоже выражение с переменной 1) да 2) нет 3) сомневаюсь в ответе д). Если от показательного уравнения а f(x) =a g (x) (где a>0,a≠1) перешли к уравнению f(x)=g(x) 1) сомневаюсь в ответе 2) нет 3) да е) Если обе части уравнения возвели в одну и ту же чётную степень 1) нет 2) да 3) сомневаюсь в ответе

Слайд 2

Проведи экспертизу l gx 2 = 4 Какой способ верный и почему ? В чём ошибка? 1 способ х 2 = 10 4 , х 1,2 =± , х 1 = -100, х 2 = 100 . 2 способ 2 l gx = 4, l gx = 2, х = 100 log 3 (2x+3)-log 3 (x-1)=0, log 3 (2x+3)=log 3 (x-1), 2х+3 = х-1, х=-4 ОДЗ: 2х>-3, х>-1,5 х-1 > 0, х>1 -4 - посторонний корень Ответ: нет корней

Слайд 3

Неправильная формула - приведёт к ошибке!

Слайд 4

По какому признаку разбили уравнения на группы? 3 2x – 4 = 1 4 х + 2 х+1 – 24 = 0 4 ·cos x = 4 - sin²x 8Х 6 – 7х 3 -1 = 0 Sin2x = Sinx 3 х+2 + 3 х = 90 lg 2 (x+1)+1g(x+3)·lg(x+1)=0 Х 3 – 9х 2 + 20х = 0

Слайд 5

Общие методы решения уравнений «Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на различных примерах». Датский историк математики Г. Г. Цейтен

Слайд 6

Общие методы решения уравнений Суть метода Уравнение f(x )= g (x) Нужно построить графики функций у=f(x ), у= g (x) и найти координаты точек их пересечения. Корнями уравнения служат абсциссы этих точек Если, например одна из функций у=f(x ), у= g (x) возрастает, а другая убывает, то уравнение f(x )= g (x ) либо не имеет корней, либо имеет один корень ( который можно угадать) Если уравнение у=f(x) преобразовали к виду p( g (x))=0 , то нужно ввести новую переменную u= g (x), решить уравнение p(u)=0 , а затем решить совокупность уравнений g ( u )= u 1 ; g ( u )= u 2 ;…, g ( u )= u n где u 1, …, u n корни p(u)=0 Можно применять только в том случае, когда у = h(x ) - монотонная функция (которая каждое своё значение принимает по одному разу) При решении уравнений показательных (переход от а f(x) =a g (x) (a>0,a≠1) к f(x)= g (x)) логарифмических (от log а f(x)= log а g(x) к f(x)= g (x)) иррациональных (от к f(x)= g (x)) Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно записать совокупностью уравнений f (x)=0, g(x)=0, h(x)=0. Выбираем те корни , которые принадлежат области определения исходного уравнения. 1. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x )= g(x) 2. Метод разложения на множители 3. Метод введения новой переменной 4. Функционально-графический метод

Слайд 7

По какому признаку разбили уравнения на группы? 3 2x – 4 = 1 4 х + 2 х+1 – 24 = 0 4 ·cos x = 4 - sin²x 8Х 6 – 7х 3 -1 = 0 Sin2x = Sinx 3 х+2 + 3 х = 90 lg 2 (x+1)+1g(x+3)·lg(x+1)=0 Х 3 – 9х 2 + 20х = 0

Слайд 8

Всегда ли можно применять метод: Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x )= g(x) ? Можно ли от уравнения Sin2x=Sinx перейти к уравнению 2х=х с единственным корнем х.=0 ?

Слайд 9

Решить уравнение : = 3 - х Х=

Слайд 10

Общие методы решения уравнений Суть метода Уравнение f(x )= g (x) Нужно построить графики функций у=f(x ), у= g (x) и найти координаты точек их пересечения. Корнями уравнения служат абсциссы этих точек Если, например одна из функций у=f(x ), у= g (x) возрастает, а другая убывает, то уравнение f(x )= g (x ) либо не имеет корней, либо имеет один корень ( который можно угадать) Если уравнение у=f(x) преобразовали к виду p( g (x))=0 , то нужно ввести новую переменную u= g (x), решить уравнение p(u)=0 , а затем решить совокупность уравнений g ( u )= u 1 ; g ( u )= u 2 ;…, g ( u )= u n где u 1, …, u n корни p(u)=0 Можно применять только в том случае, когда у = h(x ) - монотонная функция (которая каждое своё значение принимает по одному разу) При решении уравнений показательных (переход от а f(x) =a g (x) (a>0,a≠1) к f(x)= g (x)) логарифмических (от log а f(x)= log а g(x) к f(x)= g (x)) иррациональных (от к f(x)= g (x)) Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно записать совокупностью уравнений f (x)=0, g(x)=0, h(x)=0. Выбираем те корни , которые принадлежат области определения исходного уравнения. 1. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x )= g(x) 2. Метод разложения на множители 3. Метод введения новой переменной 4. Функционально-графический метод

Слайд 11

По какому признаку разбили уравнения на группы? 3 2x – 4 = 1 4 х + 2 х+1 – 24 = 0 4 ·cos x = 4 - sin²x 8Х 6 – 7х 3 -1 = 0 Sin2x = Sinx 3 х+2 + 3 х = 90 lg 2 (x+1)+1g(x+3)·lg(x+1)=0 Х 3 – 9х 2 + 20х = 0 Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x )= g(x) Метод введения новой переменной Метод разложения на множители

Слайд 12

Решить уравнение Иррациональное Показательное Логарифмическое Проверка: ОДЗ исходного уравнения является система неравенств х = 9 є ОДЗ - корень уравнения, остальные посторонние для данного уравнения Ответ: х = 9 ln(x-8) = 0

Слайд 13

, n – номер пальца Sin 0 0 = = 0 Sin 30 0 = = Sin 45 0 = Sin 60 0 = Sin 90 0 = = = 1 90 0 60 0 45 0 30 0 0 0 4 3 2 1 0 Полезно знать! ct g

Слайд 14

Решить уравнение: Log 2 ( x +1)+ Log 2 ( x +3)=3 Решение: Используя свойство логарифма, получаем: Log 2 ( x +1)( x +3)=3 Из этого равенства по определению логарифма получаем: ( x +1)( x +3)=8. Теперь раскроем скобки и решим квадратное уравнение x 2 +4x-5=0 , откуда x 1 =1, x 2 =-5 При X 2 =-5 числа ( x+1 и x+3 ) < 0, следовательно x=-5 посторонний корень. Ответ. X=1 С А М О П Р О В Е Р К А 1 уровень

Слайд 15

Метод разложения на множители х ³ - 3 х ² - 4 х + 12 = 0 х ² ( х - 3) - 4( х - 3) = 0 ( х - 3)( х ² - 4) = 0 ( х - 3)( х - 2)( х + 2) = 0 х 1 = 3, х 2 = 2, х 3 = -2 Ответ: -2; 2; 3 С А М О П Р О В Е Р К А 2 уровень

Слайд 16

Метод введения новой переменной Решите уравнение 4 x + 2 x +1 – 24 = 0. Заметим, что 4 x = (2 2 ) x = (2 x ) 2 , тогда данное уравнение можно записать так: (2 x ) 2 + 2 · 2 x -24 =0. Введем новую переменную y = 2 x , y >0 исходное уравнение принимает вид y 2 + 2 y – 24 = 0, решив полученное квадратное уравнение относительно y , находим y 1 = 4, y 2 = -6. Возвращаясь к подстановке 2 x = y , получаем следующие уравнения 2 x = 4, 2 x = - 6. Решаем эти уравнения: 2 x = 4, x = 2; 2 x = - 6, не имеет решений (корней), поскольку при любых значениях x выполняется неравенство 2 x > 0. Ответ: x =2. С А М О П Р О В Е Р К А 3 уровень

Слайд 17

Укажи метод решения уравнения № Уравнение Метод решения 1 х³ - 7х = 0 Метод разложения на множители 2 Функционально-графический метод 3 log 3 2 х – log 3 х = 2 Метод введения новой переменной 4 Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x )= g(x) 5 7 2 x +1 + 7 2 x +2 + 7 2 x +3 = 57 Метод разложения на множители 6 Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x )= g(x) 7 9 x + 3 x +1 = 4 Метод введения новой переменной 8 Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x )= g(x) 9 Функционально-графический метод


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

«Показательные уравнения и неравенства» Маргиева Нелли Александровна Учитель математики Республиканского физико-математического лицея-интерната .

Слайд 2

«Показательные уравнения и неравенства» Цель урока: обобщение знаний о способах решения показательных уравнений и неравенств, подготовка к ЕГЭ.

Слайд 4

2. 1. если , то если , то решений нет Показательные уравнения

Слайд 5

Показательные неравенства Решение показательных неравенств часто сводиться к решению неравенств или Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции

Слайд 6

Укажите промежуток, на котором лежит корень уравнения 3 x+2 + 3 x+1 + 3 x =39 . Задание № 1

Слайд 7

Решение: x = . Из данных промежутков только промежуток содержит найденный корень. Ответ: 1 (1) [-2;0]; (2) [2;4]; (3) (4;9]; (4) (0;2). Номера правильных ответов: 9 1 13 1, 3 , 1 1 1 1 (0 ;2) 4

Слайд 8

Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения Задание № 2

Слайд 9

Решение: Сделаем замену переменных. Пусть Уравнение принимает вид Полученное уравнение имеет корни Сделаем обратную замену: Из данных промежутков только промежуток содержит найденный корень. Ответ: 1 1 1 1 1 2 у 2 1 -3; 1 0 [ 0 ; 1 ) (1) [log 2 6; 3) ; (2) [0;1) ; (3) [3;4) ; (4) [5;5). Номера правильных ответов: 1 2

Слайд 10

Найдите область определения функции Задание № 3

Слайд 11

Решение: Составим неравенство . Решив его, получим: . Подробнее. (1) ( - ∞; - 1/3 ]; (2) [ 1/3 ; + ∞ ); (3) [- 1/3 ;+ ∞ ); (4) ( - ∞; - 1/3 ). Номера правильных ответов: 0 [ -1/3 ; + ∞ ) 1 0 0 - 1/3 Ответ: 3

Слайд 12

Найдите область определения функции Задание № 4

Слайд 13

Решение: Составим неравенство . Решив его, получим: Подробнее. (1) [7/3; ∞ ); (2) (- ∞ ;-7/3]; (3) (- ∞ ;7/3]; (4) ( - ∞; 7/3). Номера правильных ответов: Ответ: 1 0 (- ∞ ;7/3] 1 0 0 7/3 3

Слайд 14

Уравнивание оснований Вынесение общего множителя за скобку Введение вспомогательной переменной (замена переменной) Способы решения показательных уравнений и неравенств

Слайд 15

Составить и решить уравнение и неравенство Найти ошибку в решении (Бланк №2) Работа в группах

Слайд 16

Укажите промежуток, содержащий корень уравнения Решение. 1) (9;11) 2) (9;10) 3) ( 3 ;5 ] 4) [ 0;3 ]

Слайд 17

Укажите множество решений неравенства Решение. 1) (-1;+∞) 2) (- ∞;-1) 3) ( 3 ;+ ∞) 4) (- ∞;3)

Слайд 18

Выберите уровень задания на Бланке №3 и приступайте к его выполнению. Время на выполнения задания 6 минут . Тест

Слайд 19

I уровень: II уровень: 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) Ответы теста 2 -2,5 -2;2 (5;+∞) (-∞;-2 ] 1 0 -2;2 [5; +∞ ) ( -2;2 )

Слайд 20

I уровень 5 заданий - «4» 4 задания - «3» 3 задания - «2» II уровень 5 заданий - « 5 » 4 задания - « 4 » 3 задания - « 3 » 2 задания - «2» Критерии:

Слайд 21

Возможная запись решения ученика . С 1. Решите уравнение , тогда или или или т.к. , то

Слайд 22

Задание с использованием показательных функций, показательных уравнений и неравенств являются весьма популярными заданиями во всех вариантах ЕГЭ. Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям. Л. Эйлер

Слайд 23

Учебно-методический комплект: Математика. Алгебра и математический анализ. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Мордкович А.Г. 11 класс. Учебное пособие. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. Контрольные и самостоятельные работы под редакцией М.Л.Галицкого и др.


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Урок по теме: "Решение логарифмических уравнений" 10 класс Учитель математики Дедовец Н.А.

Слайд 2

(Античный афоризм) «Незнающий пусть научится, а знающий вспомнит еще раз» Тема: «Решение логарифмических уравнений» Цель: закрепить и углубить знания учащихся по теме, учить применять полученные знания при решении различных уравнений. Девиз:

Слайд 3

Рефлексия – отметить на листе свое настроение на начало урока. I .Организационный этап

Слайд 4

III . Повторение. Актуализация знаний (5 мин) Задания на повторение № 1 Игра «ДОМИНО». Составить цепочку из карточек. Взаимопроверка (соседи по парте проверяют друг у друга). № 2 Разбить уравнения на группы по способу решения. (На магнитной доске карточки с названиями методов решения и примерами уравнений. Необходимо распределить уравнения к соответствующему методу). Выйти к доске и передвинуть уравнения к соответствующему методу.

Слайд 5

Методы решения Уравнения Графический log 2 (x+1)=-2x+3 Использование определения логарифма и его свойств log 5 ( x-2 )= 1 log 3 ( x ² - 3 х +1)= log 3 (2x-3) log 3 (x + 6) + log 3 (x - 2) = 2 Введение новой переменной log 2 2 x - log 2 x - 2 = 0 Разложения на множители lg(x + 3)lg(3x - 5) = 0; 2lg(2x - 1) - lg 2 (2x - 1) = 0 П Р О В Е Р Ь С Е Б Я!

Слайд 6

IV . Повторение методов решения логарифмических уравнений. Графический метод log 2 (x+1)=-2x+3 Решение: Рассмотрим две функции f (х)= log 2 (x+1) у = -2x+3 построим графики этих функций f (х)= log 2 (x+1) - логарифмическая функция D (х) =(-1;+∞), Е (у)=(- ∞ ; +∞) т.к основание 2 >1, то функция на всей области определения возрастает Функция у= -2x+3 – линейная, графиком функции является прямая, т.к. k =-2 < 0, то функция убывает на всей области определения. Графики пересекаются в точке с координатами (1; 1) Ответ х=1

Слайд 7

Метод и спользования определения логарифма и его свойств log 3 (x ² - 3 х + 1)= log 3 ( 2 x - 3) Решение : log 3 (x ² - 3 х +1)= log 3 ( 2 x - 3) x ² - 3 х +1= 2 x – 3 ; x 2 – 5 x + 4 = 0, D = 9, x 1 =4, x 2 =1 Проверка: х = 4 – корень уравнения, х = 1 – не является корнем уравнения. Ответ: х=4

Слайд 8

Метод введения новой переменной log 2 2 x - log 2 x - 2 = 0 Решение : Пусть log 2 х=а, тогда а ² -а-2=0 D =9, а 1 = 2 и а 2 = -1 При а 1 =2, log 2 x =2 , x= 4 При а 2 =-1, log 2 x=-1 , x= 0,5 так как х должен быть положительным, то оба значения являются корнями уравнения. Ответ: х=4, х=0,5

Слайд 9

Будьте внимательны! Метод разложения на множители . 2lg(2x - 1) - lg 2 (2x - 1) = 0 Решение: 2 lg( 2 x-1)- lg² (2х-1)=0 lg( 2 x-1) (2 - lg (2х-1))=0 lg( 2 x-1) =0 2 -lg (2х-1)=0 2 x-1 =1 lg (2х-1)=2 х=1 2х-1=100; х=50,5 так как х должен быть положительным, то оба значения являются корнями уравнения . Ответ: х = 1; х = 50,5

Слайд 10

V . Проверка ЗУН в ходе самостоятельной работы. Самостоятельная работа в виде теста. Самопроверка при выполнении по карточке с ответами. Решить уравнения I вариант II вариант А 1 log 4 (2 x – 1 ) = 0,5 А 1 log 3 (4 - 2 x ) = 1 1) 2 2) 1,5 3) 0,5 4) 2,5 1) 0,5 2) 2,5 3) 2 4) - 0,5 A 2 lg(x + 8) = lg(3x + 20) A 2 log 5 (2x - 3) = log 5 (3x - 7) 1) 1 2) 6 3) - 6 4) 7 1) - 4 2) 4 3) 2 4) 5 В 1 log 2 2 x + 2log 2 x = 3 В 1 log 2 2 x + 2log 2 x = - 1 Ответ: _____ Ответ: _________

Слайд 11

1 вариант: 2 вариант: А 1 – 2; А 2 - 3; В 1 - 2; 1/8 А 1 – 1; А 2 - 1; В 1 - 1/2 Ответы:

Слайд 12

VI. Постановка домашнего задания п.19 № 376(а), 378, № 379 (4), 380(3)

Слайд 13

VII . Итог урока Чем мы сегодня занимались на уроке? Что повторили?

Слайд 14

VIII .Рефлексия Что вам сегодня понравилось на уроке? С каким настроением вы покидаете класс? (отметить на листке настроения)

Слайд 15

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др. Алгебра и начала анализа 10-11 класс, Москва «Просвещение», 2003 г. В. Я Солодухин, Сборник упражнений по алгебре- Показательная и логарифмическая функция, Москва «Школьная пресса», 2002 г. Ковалева Г. И., Математика, учебно-тренировочные тематические тестовые задания с ответами, ( I-III части), Изд. «Учитель»,2003 г. 4. Интернет-ресурсы: http://school- collection.edu.ru/catalog/search/?text=&interface=pupil&class=54&subject=17&rub_guid[]=a87d6303-ae07-46dd-a18a-855c725fb448&context=current&onpage=20&onpage=20&page=4 Используемая литература


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Решение н еравенств с одной переменной Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №30 имени А.И.Колдунова

Слайд 2

Цели: развитие логического мышления формируя умения и навыки решения систем и совокупностей неравенств, выполняя равносильные переходы; развитие умения кратко отвечать на вопрос и ставить его; развитие учебно-коммуникативных умений при работе в группе (слушать, аргументировать, доходчиво объяснять); развитие умений работать во времени; развитие навыков самостоятельной деятельности и самоконтроля.

Слайд 3

Определение Таким образом, два неравенства являются равносильными на множестве Х, если множества решений этих неравенств совпадают. Два неравенства f₁ ( х )> g₁ ( х ) и f₂ ( х )< g₂ ( х ) называются равносильными на множестве Х, если а) выполнены два условия: каждое решение первого неравенства, принадлежащее множеству Х, является решением второго, и наоборот, каждое решение второго неравенства, принадлежащее множеству Х, является решением первого; б) или оба неравенства не имеют решений.

Слайд 4

Поэтому вместо того чтобы решать данное неравенство, можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства другим, равносильным данному на Х, называют равносильным переходом на Х. Равносильный переход обозначат двойной стрелкой Например: х ²<1 |х| <1.

Слайд 5

Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств нет необходимости решать каждое из неравенств, а затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают – достаточно указать одно решение одного из неравенств, которое не является решением другого неравенства.

Слайд 6

Пусть функции f(x), g(x), h(x) определены на множестве Х. Тогда справедливы следующие равносильные переходы:

Слайд 7

Системы и совокупности неравенств Определение. Несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является частным решением заданных неравенств. Частное решение системы неравенств – значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство. Множество всех частных решений системы неравенств представляют собой общее решение системы неравенств.

Слайд 8

Решить систему неравенств – значит найти все её частные решения. Решение системы неравенств представляет собой пересечение решений неравенств, образующих систему. Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой.

Слайд 9

Например: Решим систему неравенств: Ответ:

Слайд 10

Определение. Несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является хотя бы одного из заданных неравенств. Каждое такое значение переменной называют частным решением совокупности неравенств. Множество всех частных решений совокупности неравенств представляет собой решение совокупности неравенств.

Слайд 11

Решение совокупности неравенств представляет собой объединение решений неравенств, образующих совокупность. Неравенства, образующие совокупность, объединяются квадратной скобкой.

Слайд 12

Например Решим совокупность неравенств Ответ:

Слайд 13

Задание группам № 57.4а; № 57.5а; № 57.8а.

Слайд 14

Домашнее задание №№ 57.4б, 57.5б, 57.8б.

Слайд 15

Самостоятельная работа 1 вариант №№ 57.6а, 57.7а, 57.9а. 2 вариант №№ 57.6б, 57.7б, 57.9б.

Слайд 16

Литература: 1. А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа», часть 1, « Мемозина », Москва, 2012. 2. А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа», часть 2, « Мемозина », Москва, 2012.


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Способы решения показательных уравнений Пономарева Вера Владимировна, преподаватель математики КГОУ НПО «ПЛ № 19», г.Барнаул

Слайд 2

Определение показательного уравнения ОПР Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным. Примеры показательных уравнений: 1. 4. 2. 5. 3. 6.

Слайд 3

Выберите показательные уравнения Решите их дома

Слайд 4

Способы решения показательных уравнений Графический Построить графики двух функций (левая и правая части уравнения) Найти абсциссы точек пересечения графиков Записать ответ Аналитические Приравнивание показателей Вынесение общего множителя за скобки Введение новой переменной Использование однородности

Слайд 5

Графический способ решения Пример: Решить графически уравнение дальше Ответ: х=2 2 4 1

Слайд 6

Аналитические способы Приравнивание показателей Вынесение общего множителя за скобки Введение новой переменной Использование однородности

Слайд 7

1. Приравнивание показателей Суть метода: 1. Уединить слагаемое, содержащее переменную 2. Привести степени к одному основания 3. Приравнять показатели 4. Решить полученное уравнение 5. Записать ответ

Слайд 8

Пример Ответ:

Слайд 9

2. Вынесение общего множителя за скобки Примечание: выносим за скобки множитель с меньшим показателем.

Слайд 10

Пример Ответ:

Слайд 11

3. Введение новой переменной Пусть Тогда уравнение примет вид: Ответ:

Слайд 12

4. Однородные уравнения ОПР Показательные уравнения вида называются однородными. Суть метода: Так как показательная функция не может принимать значение, равное нулю, и обе части уравнения можно делить на одно и то же неравное нулю число, разделим обе части уравнения, например, на .

Слайд 13

Пример Ответ:

Слайд 14

Определите способ решения уравнений (однородное уравнение) (приравнивание показателей) (замена переменной) (приравнивание показателей) (вынесение за скобки)

Слайд 15

Решите уравнение

Слайд 16

Домашнее задание Выписанные 5 уравнений.


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Учитель Смолькова Н.П. МОУ СОШ № 9 г. Кандалакша Мурманской обл. Степенная функция Мордкович А.Г. Семенов П.В. Алгебра и начала анализа 11 класс

Слайд 2

Цели урока: Ввести понятие степенной функции Построить графики степенной функции ? Сдвиг графика вдоль осей координат. -Рассмотреть свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Слайд 3

Как алгебраисты вместо АА, ААА, … пишут А 2 , А 3 , … так я вместо пишу а -1 , а -2 , а -3 , … Ньютон И.

Слайд 4

Нам знакомы функции у = х х у у = х 2 х у у = х 3 х у х у Прямая Парабола Кубическая парабола Гипербола

Слайд 5

Все эти функции являются частными случаями степенной функции у = х r , где r – заданное действительное число Свойства и график степенной функции зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях х и r имеет смысл степень х r . у = х, у = х 2 , у = х 3 ,

Слайд 6

Показатель р = 2r – четное натуральное число 1 0 х у у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 , у = х 8 , … у = х 2 Функция у=х 2 n четная, т.к. ( – х) 2 n = х 2 n Функция убывает на промежутке Область определения функции – значения, которые может принимать переменная х Область значений функции – множество значений, которые может принимать переменная у График четной функции симметричен относительно оси Оу. График нечетой функции симметричен относительно начала координат – точки О. Функция возрастает на промежутке

Слайд 7

y x - 1 0 1 2 у = х 2 у = х 6 у = х 4

Слайд 8

Показатель r = 2n -1 – нечетное натуральное число 1 х у у = х 3 , у = х 5 , у = х 7 , у = х 9 , … у = х 2 Функция у=х 2 n -1 нечетная, т.к. ( – х) 2 n -1 = – х 2 n -1 0 Функция возрастает на промежутке

Слайд 9

y x - 1 0 1 2 у = х 3 у = х 7 у = х 5

Слайд 10

Показатель r = – 2n , где n – натуральное число 1 0 х у у = х -2 , у = х -4 , у = х -6 , у = х -8 , … Функция у=х 2 n четная, т.к. ( – х) -2 n = х -2 n Функция возрастает на промежутке Функция убывает на промежутке

Слайд 11

y x - 1 0 1 2 у = х -4 у = х -2 у = х -6

Слайд 12

Функция убывает на промежутке Показатель r = – ( 2n -1), где n – натуральное число 1 0 х у у = х -3 , у = х -5 , у = х -7 , у = х -9 , … Функция у=х -(2 n -1) нечетная, т.к. ( – х) –(2 n -1) = – х –(2 n -1) Функция убывает на промежутке

Слайд 13

y x - 1 0 1 2 у = х -1 у = х -3 у = х -5

Слайд 14

0 Показатель r – положительное действительное нецелое число 1 х у у = х 1,3 , у = х 0,7 , у = х 2,12 , … Функция возрастает на промежутке

Слайд 15

y x - 1 0 1 2 у = х 0,5 у = х 0,84 у = х 0,7

Слайд 16

y x - 1 0 1 2 у = х 1,5 у = х 2,5 у = х 3,1

Слайд 17

0 Показатель r – отрицательное действительное нецелое число 1 х у у = х -1,3 , у = х -0,7 , у = х -2,12 , … Функция убывает на промежутке

Слайд 18

y x - 1 0 1 2 у = х -1,3 у = х -0,3 у = х -2,3 у = х -3,8

Слайд 19

Пользуясь рисунком, найти промежутки, на которых график функции лежит выше (ниже) графика функции у = х. у 0 1 х у=х 0 1 х у у=х

Слайд 20

Пользуясь рисунком, найти промежутки, на которых график функции лежит выше (ниже) графика функции у = х. у 0 1 х у=х 0 1 х у у=х

Слайд 21

Пользуясь рисунком, найти промежутки, на которых график функции лежит выше (ниже) графика функции у = х. 0 1 х у у=х 0 1 х у у=х у 0 1 х у=х

Слайд 22

y x - 1 0 1 2 у = х -4 у = (х – 2) -4

Слайд 23

y x - 1 0 1 2 у = х -4 у = х – 4 – 3

Слайд 24

y x - 1 0 1 2 у = х -4 у = (х+1) – 4 – 3

Слайд 25

y x - 1 0 1 2 у = х -3 у = (х-2) – 3 – 1

Слайд 26

y x - 1 0 1 2 у = (х+2) –1,3 +1 у = х -1,3

Слайд 27

Домашнее задание 9.11 9.14(а,б) 9.16(аб) § 9. Определения и свойства степенной функции( стр.56-59)


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

УМК ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА для 1 курса Решение логарифмических неравенств тип заданий С3 ГБОУ СПО КК «АРМАВИРСКИЙ ЗООВЕТЕРИНАРНЫЙ ТЕХНИКУМ » комиссия естественно-математических наук Преподаватель: Козловских Екатерина Валерьевна

Слайд 2

Решить неравенства

Слайд 3

Решить неравенство log b a + log b c = log b ( ac ) Область допустимых значений неравенства 3x-3 > 0 , 3x-3≠0 , ≠0

Слайд 4

Решить неравенство log b a + log b c = log b ( ac ) ОДЗ: x > 0, x ≠ 1

Слайд 5

Решить неравенство Найдём область допустимых значений неравенства:

Слайд 6

Решить неравенство При переходе от логарифмов к подлогарифмическим выражениям НЕОБХОДИМО учитывать значение величины основания

Слайд 7

ОДЗ Решить неравенство

Слайд 8

Решить неравенство

Слайд 9

Решить неравенство ОДЗ

Слайд 10

Решить неравенство Разложим на множители Решим неравенство методом интервалов. Найдём нули левой части

Слайд 11

Решить неравенство ОДЗ:

Слайд 12

Решить неравенство

Слайд 13

Решить неравенство

Слайд 14

Математику уже за то любить следует, что она ум в порядок приводит М.В. Ломоносов Источники Соболь Б. В., Виноградова И. Ю., Рашидова Е. В. Пособие для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию по математике. Изд. 3-е. – Р н /Д: «Феникс», 2003. – 352 с . Лысенко Ф.Ф.(ред.) Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011 http:// edu.nstu.ru/courses/dovuz/urner/demo/Log/Teor/Fru_m.htm http://reshuege.ru/test?theme=169


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Решение задач на растворы и сплавы с помощью таблиц ЕГЭ. Задание В13 ГИА. 2 часть

Слайд 2

Правило нахождения процента от числа

Слайд 3

Задача К 150г 10-процентного раствора соли добавили 5-процентный раствор этой же соли и получили 8-процентный раствор. Какое количество 5-процентного раствора добавили? При решении этой задачи: 1) рассмотрим химический процесс 2) составим математическую модель

Слайд 4

Приготовление растворов Соль Соль Вода Вода

Слайд 5

После перемешивания 1 раствор = вода + соль 2 раствор = вода + соль

Слайд 6

1 раствор 2 раствор соль соль 3 Полученный раствор соль

Слайд 7

Задача К 150 г 10-процентного раствора соли добавили 5-процентный раствор этой же соли и получили 8-процентный раствор. Какое количество 5-процентного раствора добавили? Масса раствора,г Процентная концентрация Масса соли в растворе,г 1 раствор 150 10% 2 раствор х 5% 0,05х Приготовленный раствор 150+х 8% (150+х) 0,08

Слайд 8

Задача К 150 г 10-процентного раствора соли добавили 5-процентный раствор соли и получили 8-процентный раствор. Какое количество 5-процентного раствора добавили? Масса раствора,г Процентная концентрация Масса соли,г 1 раствор 150 10% 2 раствор Х 5% 0,05х Приготовленный раствор 150+х 8% Массу соли выразили двумя способами. На основании этого составим уравнение: Ответ: 100 г

Слайд 9

Задача Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Масса сплава, кг Процентная концентрация Масса меди в сплаве, кг 1 сплав х 10% 0,1х 2 сплав х+3 40% 0,4(х+3) Полученный сплав х+(х+3) 30% 0,1х+0,4(х+3) 0,1х+0,4(х+3)=0,3(х+(х+3)) х=3 3+(3+3)=9(кг) - масса третьего сплава Ответ: 9кг .

Слайд 10

Универсальная таблица при решении задач на растворы и сплавы Количество раствора (сплава) Процентная концентрация Количество вещества в растворе (сплаве) 1 раствор (сплав) 2 раствор (сплав) Полученный раствор (сплав)

Слайд 11

Задача В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Количество раствора, л Процентная концентрация Количество вещества в растворе Исходный раствор 5 12% Вода 7 0% 0 Полученный раствор 5+7 Х%

Слайд 12

Задача Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Слайд 13

Задача Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? Масса сплава, кг Процентное содержание Количество никеля в сплаве,кг 1 сплав х 10% 0,1х 2 сплав у 30% 0,3у 3 полученный сплав 200 25% 0,1х+0,3у

Слайд 14

Задача Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси? Масса раствора,кг Процентная концентрация Количество кислоты в растворе,кг 1 раствор х 30% 0,3х 2 раствор у 60% 0,6у Вода 10 0% 0 Полученный раствор х+у+10 36% 0,3х+0,6у 0,36(х+у+10) 2 ситуация 1 раствор х 30% 0,3х 2 раствор у 60% 0,6у 3 раствор 10 50% Полученный раствор х+у+10 41 0,3х+0,6у+

Слайд 15

Задача Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором – 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота. Масса сплава, ед. массы Процентное содержание Количество золота в сплаве, ед. массы 1 сплав х 35% 0,35х 2 сплав у 60% 0,6у Новый Сплав х+у 40% 0,35х+0,6у 0,4(х+у) 0,4(х+у)=0,35х+0,6у 0,05х=0.2у

Слайд 16

Задачи Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй — 20% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 15% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? В сосуд, содержащий 7 литров 26-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 6 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Первый сплав содержит 5% меди, второй — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 7 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 13% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Смешали некоторое количество 20-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 16-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Смешали 4 литра 20-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 35-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Смешав 62-процентный и 93-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 67-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 62-процентного раствора использовали для получения смеси?

Слайд 17

Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 60 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 19% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 22% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде? Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? Смешав 40-процентный и 90-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 40-процентного раствора использовали для получения смеси? Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 85 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 44% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Слайд 18

Смешали некоторое количество 14-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 18-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? В сосуд, содержащий 9 литров 13-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 4 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Смешали 3 литра 35-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 15-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?