10 класс
Материалы для 10 класса
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 prezentaciya_po_proizvodnym.ppt | 353 КБ |
| proizvodnaja.ppt | 1.61 МБ |
| issledovanie_funktsii_.ppt | 1.42 МБ |
| podgotovka_k_ege_proizvodnaya_geom_smysl.pptx | 1.84 МБ |
| proizvodnaya_v8.ppt | 2.51 МБ |
| proizvodnaya_i_ee_primenenie.ppt | 627.5 КБ |
| ustnaya_rabota_po_proizvodnoy.ppt | 1.05 МБ |
| ustno_proizvodnaya.ppt | 386 КБ |
| piramida.ppt | 1.86 МБ |
| veroyatnost_na_gia_i_ege.ppt | 969 КБ |
| veroyatnost.pptx | 1.24 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели урока: ОБУЧАЮЩАЯ : 1) Ввести определение производной функции на основе задач физики, рассматривая при этом физический смысл производной; 2) Выяснить геометрический смысл производной дифференцируемой функции; 3) Вывести уравнение касательной к графику функции, с использованием производной; 4) Научиться решать задачи на данную тему, используя полученные знания РАЗВИВАЮЩАЯ : 1) Способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания, 2) Развитие навыков исследовательской деятельности ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ : 1) Способствовать развитию творческой деятельности 2) Развивать у учащихся коммуникативные компетенции, потребности к самообразованию.
S Время в пути равно t А B U=S / t
ЗАДАЧА. По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения(метр) и наравление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой S=s(t) , где t – время (в секундах), s(t) – положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t ( в м/с ) . РЕШЕНИЕ. Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке M ∆ s M P O OM=S(t). Дадим аргументу t приращение ∆ t и рассмотрим ситуацию в момент времени t + ∆ t . Координата материальной точки станет другой, тело в этот момент будет находиться в точке P: OP= s(t+ ∆ t) – s(t). Значит, за ∆ t секунд тело переместилось из точки M в точку P. Имеем: MP=OP – OM = s(t+ ∆ t) – s(t). Полученная разность называется приращением функции: s(t+ ∆ t) – s(t) = ∆ s. Итак, MP= ∆ s (м). Тогда средняя скорость на промежутке времени [t; t+ ∆t ] : ʋ ср = ∆ s / ∆ t ( м /c)
А что такое ʋ( t ) в момент времени t , (её называют мгновенной скоростью). Т.е. мгновенная скорость – это средняя скорость на промежутке [t; t+∆t] при условии, что ∆t → 0. Это значит, что : ʋ( t )= lim ∆s / ∆t ∆ t→ 0
Предел приращения функции к приращению аргумента, если он существует, называют производной функции в точке x 0 и пишут:
Предельное положение секущей при стремлении точки M к A по кривой L, называют касательной к кривой L. y x 0 x 0 x f (x 0 ) f (x) M A B C y = f (x) Вспомним, что понимают под касательной к графику функции: L
Линейная функция и ее график Какой вид имеет линейная функция? y = kx+b - линейная функция . Что является графиком линейной функции? Графиком линейной функции является прямая. Число k называется угловым коэффициентом прямой. Угол α – углом между этой прямой и положительным направлением оси Ox.
y x 0 y = kx + b, k > 0 α Рис.1 a) Линейная функция и ее график
y x 0 y = kx + b, k < 0 α б ) Линейная функция и ее график
Геометрический смысл углового коэффициента прямой k : k = tg α a b c Вспомним определение тангенса – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Т.е. tg α =b/a α
Геометрический смысл производной дифференцируемой функции y = f (x) y x 0 Рис. 2 y = f (x) x 0 x 0 +h f (x 0 ) f (x 0 +h) M A h α α B С
y x 0 Рис. 3 x 0 x 0 +h f (x 0 ) f (x 0 +h) M A h α B β f (x 0 +h) - f (x 0 ) C Геометрический смысл производной дифференцируемой функции y = f (x) y = f (x)
y x 0 Рис. 4 y = f (x) x 0 x 0 +h f (x 0 ) f (x 0 +h) M A α B Геометрический смысл производной дифференцируемой функции y = f (x)
Геометрический смысл производной дифференцируемой функции y = f (x): Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.
Алгоритм нахождения производной функции
Уравнение касательной к графику функции
Домашнее задание Решить предложенные в карточках примеры, для домашнего изучения Башмаков М.И. «Математика», стр. 169-173, составить опорный конспект
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Производная МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» Автор: Семёнова Елена Юрьевна
Содержание Понятие производной. Алгоритм нахождения производной. Примеры. Таблица производных. Физический смысл производной. Правила нахождения производных. Непрерывность функции. Геометрический смысл производной.
Понятие производной Производной функции у = f(x) , заданной на некотором интервале ( a; b) , в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. f ′(x) = lim ∆ f ∆ x ∆ x →0 Нахождение производной называют дифференцированием
Понятие производной f ′(x) = lim ∆ f ∆ x ∆ x →0 х 0 х 0 + ∆ х f(x 0 ) f(x 0 + ∆ х ) ∆ х х у 0 ∆ f у = f(x)
Зафиксировать значение х 0 , найти f(x 0 ) . Дать аргументу х 0 приращение ∆ х , перейти в новую точку х 0 + ∆ х , найти f(x 0 + ∆ х ) . Найти приращение функции: ∆ f = f(x 0 + ∆ х ) – f(x 0 ) . Составить отношение . Вычислить lim . Этот предел и есть f ′ (x 0 ) . Алгоритм нахождения производной ∆ f ∆ х ∆ f ∆ х ∆ x→0
Примеры 1. Найти производную функции y = kx + b в точке х o
Примеры 2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке х o
Примеры 3. Найти производную функции y = x 2 в точке х o
Примеры 4. Найти производную функции y = √x в точке х o
Примеры 4. Найти производную функции y = √x в точке х o
Примеры 5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o
Примеры 5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o
Таблица производных f (x) f ′(x) f (x) f ′(x) C 0 √ x 1/(2 √ x) kx + b k e x e x x 2 2x a x a x lna x n nx n–1 tg x 1/cos 2 x 1/x – 1/x 2 ctg x – 1/sin 2 x sin x cos x ln x 1/x cos x – sin x log a x 1/(x lna)
Физический ( механический ) смысл производной Если при прямолинейном движении путь s , пройденный точкой, есть функция от времени t , т.е. s = s(t) , то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t) = s′(t) . Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t .
Правила нахождения производной 1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем ( u + v )′ = u′ + v′ 2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С ∙ u(x) также имеет в этой точке производную, причем (С u )′ = С∙ u′
Правила нахождения производной 3 . Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке производную, причем ( u ∙ v )′ = u′∙v + u∙v′ 4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем v(x) 1 v 2 v′ = – v 1 ( ) ′
Правила нахождения производной 5 . Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем v(x) u(x) v 2 u′v – uv′ = ( ) v u ′
Производная сложной функции ( f ( g(x) ) ) ′ = f′ ( g(x) ) ∙g′(x) Примеры: 1. ( ( 5 x – 3) 3 ) ′ = 3(5x – 3) 2 ∙(5x – 3) ′ = = 3( 5 x – 3) 2 ∙ 5 = 15(5x – 3) 2 2 . ( sin(4x + 8) ) ′ = cos(4x + 8)∙(4x + 8) ′ = = cos(4x + 8)∙4 = 4 cos(4x + 8)
Если функция имеет производную (дифференцируема) в точке х , то она непрерывна в этой точке.
Геометрический смысл производной
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
«Музыка может возвышать или умиротворять душу, живопись – радовать глаз, поэзия – пробуждать чувства, философия – удовлетворять потребности разума, инженерное дело –совершенствовать материальную сторону жизни людей, а математика способна достичь всех этих целей!» Морис Клайн
"Знания иметь отличные, исследуя функции различные."
Проверка домашнего задания. № 346 а) (-∞;1), (1; +∞) в) (-∞;-1) U (1; +∞), (-1; 1) д) (-∞;-1) U (-1; +∞), ж) (-∞;-3) U (2; +∞), (-3; 2) № 348 в) y=-x 2 +4x
№ 348 в) y=-x 2 +4x
«Кто смолоду делает и думает сам, тот становиться потом, надежнее, крепче, умнее» В. Шукшин.
Устная работа.
Верно ли? 1. Функция возрастает на [-7; 2) и (2; 8], значит она возрастает на [-7; 8]. Верно ли? 2. Производная функции в точке х 0 равна 0, значит х 0 - критическая точка. Верно ли? 3. Производная функции не существует в точке х 0 , значит х 0 - критическая точка. Верно ли? 4. Критическая точка является точкой экстремума. Верно ли? 5. Точка экстремума является критической точкой. Верно ли? -да, -нет
Проверка.
«Примеры учат больше, чем теория». М.В. Ломоносов
« Счастливая случайность выпадает лишь на долю подготовленных умов» Луи Пастер. .
Ответы. Вариант 1 Вариант 2 1 - С 1 - B 2 - A 2 - D 3 - E 3 - E 4 - D 4 - A 5 - B 5 - C
Домашнее задание. стр.155, №346( б, г, е, з), № 348(б, г)
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
А С В tg A- ? tg В - ? 4 7 А В С Найдите градусную меру < В. 3 Найдите градусную меру < А. Работа устно. Вычислите tg α , если α = 135°, 120° , 150°.
Острый или тупой угол образует касательная к графику функции в точке х ₀ с положительной полуосью Ох? Чему равен тангенс угла наклона касательной к графику функции y = x² + 2 в точке х ₀ = -1 ?
Х У 0 касательная α k – угловой коэффициент прямой ( касательной ) Геометрический смысл производной: если к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной, т.е. Поскольку , то верно равенство
х у Если α < 90°, то k > 0. Если α > 90°, то k < 0. Если α = 0°, то k = 0. Касательная параллельна оси ОХ. 0
х у 1 0 1 4 2 Задание №1. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой -1. Найдите значение производной функции f(x) в точке х ₀ = -1. подсказка 4 8
Задание №2 . В 8 0 , 7 5 Ответ: 6 8
Задание №3. В 8 - 3 Ответ:
Задание №4. х у На рисунке изображён график производной функции y = f (x) , определённой на интервале (- 5 ; 6) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y = f(x) параллельна прямой у = 2х – 5 или совпадает с ней. подсказка 2 Ответ: 5 0
Задание № 5 К графику функции y = f(x) провели касательные под углом 135° к положительному направлению оси Ох. На рисунке изображён график производной функции. Укажите количество точек касания. х у -1 Ответ: 5
Задание №6 х у 0 1 1 3 К графику функции y = f(x) проведена касательная в точке с абсциссой х ₀ = 3. Определите градусную меру угла наклона касательной, если на рисунке изображён график производной этой функции. Ответ: В8 4 5
Работа в парах. №1 №2 №3 №4 №8 №7 №6 №5 1 - 0 , 2 5 4 0 , 2 5 1 - 3 1 0 , 2 5
Самостоятельная работа 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 2 1 , 5 - 1 , 5 4 0 , 5 - 0 , 7 5 6 2 - 0 , 5 0 , 2 5
Ну кто придумал эту математику ! У меня всё получилось!!! Надо решить ещё пару примеров.
Спасибо за работу!
№1 В8 1
№2 В8 0 , 2 5
№3 В8 1
№4 В8 1
№5 В8 - 0 , 2 5
№6 В8 4
№7 В8 - 3
№8 В8 0 , 2 5
х у
Для вычисления углового коэффициента касательной, где k = tg α , достаточно найти отрезок касательной с концами в вершинах клеток и, считая его гипотенузой прямоугольного треугольника, найти отношение катетов.
х у 0 х у 0 min max min min max
Задание №5. Укажите точку минимума функции y = f (x) , заданной на отрезке [-6;4] , если на рисунке изображён график её производной. х у -6 4 f / (x) - + f(x ) - 2 -2 Ответ: -2 0
Задание №7 По графику производной функции определите величину угла в градусах между положительным направлением оси Ох и касательной к графику функции y = f(x) в точке х ₀ = -3. х у -3 1 Ответ: В8 4 5
Задание №7 Прямая проходит через начало координат и касается графика функции y = f(x) . Найдите производную в точке х = 4. х у Ответ: В8 0 , 7 5 Производная функции в точке х = 4 – это производная в точке касания х о , а она равна угловому коэффициенту касательной.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
k = f ′(x o ) = tg α – это угловой коэффициент касательной. f(x o ) Касательная к графику дифференцируемой в точке х 0 функции f – это прямая, проходящая через точку (х о ; f(x о )) и имеющая угловой коэффициент f ′ (х о ). х у х о y = kx + b α y = f(x) 0
Общий вид уравнения касательной y = f ′(x o )(x – x o ) + f(x o ) Алгоритм составления уравнения касательной 1 о Находим значение функции в точке х о : f(x o ) . 2 о Дифференцируем функцию: f′(x) . 3 о Находим значение производной в точке х о : f′(x o ) . 4 о Подставляем эти данные в общее уравнения касательной: y = f′(x o )(x – x o ) + f(x o ) .
Приближенные вычисления f(x) ≈ f(x o ) + f ′(x o )∆x (1) √ 1 + ∆x ≈ 1 + ∆x 1 2 (2) (1 + ∆x) n ≈ 1 + n∆x (3)
Монотонность функций 1) Если f′(x) > 0 внутри промежутка I, то функция f возрастает на этом промежутке. 2) Если f′(x) < 0 внутри промежутка I, то функция f убывает на этом промежутке. 3) Если f′(x) = 0 внутри промежутка I, то функция f постоянна на этом промежутке. Примеры: 1 о f(x) = 3x 3 + 4x f ′(x) = 9x 2 + 4 > 0 f(x) возрастает при х R 2 о f(x) = – 2x 5 – 6x f ′(x) = – 10x 4 – 6 < 0 f(x) убывает при х R 3 о f(x) = 12 f ′(x) = 0 f(x) постоянна при х R
x o Максимум функции Точка х о называется точкой максимума функции f(x) , если существует такая окрестность точки х о , что для всех х ≠ х о из этой окрестности выполняется неравенство f(x)< f(x o ) . Если в точке х о производная функции f(x) меняет знак с «+» на «–» , то х о – точка локального максимума функции f(x). f ′(x) f (x) + – x max f (x о ) – максимум функции
f ′(x) x o Минимум функции Точка х о называется точкой минимума функции f(x) , если существует такая окрестность точки х о , что для всех х ≠ х о из этой окрестности выполняется неравенство f(x)> f(x o ) . Если в точке х о производная функции f(x) меняет знак с «–» на «+» , то х о – точка локального минимума функции f(x). f (x) – + x min f (x о ) – минимум функции
Алгоритм исследования функции на монотонность 1 о Дифференцируем функцию: f′(x) . 2 о Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0 . 3 о Решаем неравенства: f′(x) > 0 и f′(x) < 0 . 4 о Полученные данные изображаем на схеме: 5 o a) Промежутки возрастания: (– ∞; х 1 ] ; [x 2 ; x 3 ] . б) Промежутки убывания: [x 1 ; x 2 ] ; [x 3 ; + ∞) . f ′(x) x 2 f (x) – + x + – x 1 x 3
Алгоритм исследования функции на экстремумы 1 о Дифференцируем функцию: f′(x) . 2 о Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0 . 3 о Решаем неравенства: f′(x) > 0 и f′(x) < 0 . 4 о Полученные данные изображаем на схеме: 5 o a) х 1 ; x 3 – точки максимума; x 2 – точка минимума. б) f(x 1 ) ; f(x 3 ) – максимумы функции; f(x 2 ) – минимум функции. f ′(x) x 2 f (x) – + x + – x 1 x 3
Полное исследование функции, построение графика Находим область определения функции D(f) и множество ее значений Е( f) . Определяем четность (нечетность), периодичность функции. Находим точки пересечения с осями координат из условий: (0; f (0) ) и f(x)= 0 . x 01 ; x 02 ; x 03 ; … Находим промежутки знакопостоянства, решая неравенства f(x) > 0 и f(x) < 0 . Дифференцируем функцию: f′(x) . Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0 .
Полное исследование функции, построение графика f ′(x) x 2 f (x) – + x + – x 1 x 3 Решаем неравенства: f′(x) > 0 и f′(x) < 0 . Полученные данные изображаем на схеме: Указываем промежутки монотонности функции а) промежутки возрастания: (– ∞; х 1 ]; [x 2 ; x 3 ] ; б) промежутки убывания: [x 1 ; x 2 ]; [x 3 ; + ∞) .
Полное исследование функции, построение графика Определяем точки экстремума и сами экстремумы функции: a) х 1 ; x 3 – точки максимума; x 2 – точка минимума. б) f(x 1 ) ; f(x 3 ) – максимумы функции; f(x 2 ) – минимум функции. Изображаем все полученные данные в системе координат, строим график функции y = f(x) .
Построение графика x 1 x 2 x 3 x у 0 f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 3 ) f(0) x 01 x 02 x 04 x 03 х 0 1 ; x 02 ; x 03 ; x 04 ; f(0) – точки пересечения с осями (х 1 ; f(x 1 )); (х 2 ; f(x 2 )); (х 3 ; f(x 3 )) – точки экстремумов Через данные точки проводим плавную кривую
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке 1 о Выясняем существование функции на данном отрезке [a; b] . 2 о Дифференцируем функцию: f′(x) . 3 о Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0 . 4 о Отбираем те точки, которые принадлежат заданному промежутку [a; b] . 5 о Находим значение функции в этих точках и на концах промежутка: f(a) ; f(b) ; f(x 1 ) ; f(x 2 ) ; и т. д. 6 о Выбираем среди полученных значений наибольшее или наименьшее .
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Найдите производные функций: Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ
Найдите производные функций: Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ
Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Найдите производные функций:
у х 0 1 1 y = f(x) 2. Чему равна производная в точке М ? М Чему равен угловой коэффициент касательной в точке М? М 135 о М 1 1 0 0 -1 -1 Определите по графику функции у = f (x) : подсказка
у х 0 1 1 y = f(x) 2. Чему равна производная в точке М ? М Чему равен угловой коэффициент касательной в точке М? М 135 о М 1 1 0 0 -1 -1 Определите по графику функции у = f (x) : подсказка
1 20 о у х 0 1 1 y = f(x) 2. Чему равна производная в точке М ? М Чему равен угловой коэффициент касательной в точке М? М М М 4 /3 4 /3 0 0 Определите по графику функции у = f (x) : подсказка
Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью р ( t ) = t 2 /2 + 3 t –3 ( моль) Найти скорость химической реакции через 3 секунды. ЗАДАЧА №2 подсказка РЕШЕНИЕ. 1) v ( t ) = p `( t ) = t + 3, 2) v ( 3 ) = p `( 3 ) = 3 + 3 = 6( моль / сек) Ответ: 6 моль / сек
подсказка Тело, подброшенное вверх движется по закону s ( t ) = 4+ 8 t – 5 t 2 . Найдите: 1) Скорость тела в начальный момент времени; 2) Наибольшую высоту подъёма тела. РЕШЕНИЕ. 2 ) t = 0, v (0) = s `(0) = 8 м / с – скорость тела в начальный момент времени 1) v ( t ) = s ` ( t ) = 8 – 10 t - скорость тела; 3) s ( 0,8 )= 4+ 8· 0,8 – 5· 0,64 = 7,2 м – максимальная высота броска тела. Ответ: 8 м / с ; 7,2 м . ЗАДАЧА №3
Функция y = f(x) задана на интервале ( a;b ), на рисунке изображен график её производной. 1. Укажите промежутки убывания функции. 2. Укажите промежутки возрастания функции. у х 0 1 1 b а 3. Определите длину промежутка, на котором касательная к графику функции имеет отрицательный угловой коэффициент? 6
1. Укажите промежутки убывания функции. 2. Укажите промежутки возрастания функции. у х 0 1 1 b а 3. Определите длину наибольшего промежутка, на котором касательная к графику функции имеет положительный угловой коэффициент? 3 Функция y = f(x) задана на интервале ( a;b ), на рисунке изображен график ее производной.
1. Укажите промежутки убывания функции. 2. Укажите промежутки возрастания функции. у х 0 1 1 b а 3. Определите длину наименьшего промежутка убывания функции. 1 Функция y = f(x) задана на интервале ( a;b ), на рисунке изображен график ее производной.
Функция y=f(x) задана на интервале ( a;b ), на рисунке изображен график ее производной. у х 0 1 1 y = f ‘(x) b а Назовите точки максимумов функции. 2. Назовите точки минимумов функции. х = 0 х = -3 , х = 3
Функция y=f(x) задана на интервале ( a;b ), на рисунке изображен график ее производной. у х 0 1 1 y = f ‘(x) b а Назовите точки максимумов функции. 2. Назовите точки минимумов функции. х = 0 х = -2; х = 2
Функция y=f(x) задана на полуинтервале ( a;b ] , на рисунке изображен график ее производной. у х 0 1 1 y = f ‘(x) b а Назовите точки максимумов функции. 2. Назовите точки минимумов функции. х = -3, х = 2 х = 1, х = 3
Функция y=f(x) задана на полуинтервале ( a;b ] , на рисунке изображен график ее производной. у х 0 1 1 y = f ‘(x) а b х = 0 Нет. 2. Назовите точки максимумов функции. 3. Верно ли, что отмеченные точки являются точками минимумов функции? Нет. 4. Назовите точки минимумов функции. х = -4, х = 4 5. Как называются оставшиеся точки? точки перегиба х = -2, х = 2 1. Верно ли, что отмеченные точки являются точками максимумов функции?
Какую информацию можно получить о функции y = f ( x ) , если задан график её производной? у х 0 1 1 y = f ‘(x) а b Точки максимума: х = -3; х = 1; х = 3 Точки минимума: х = -4; х = 0; х = 2 Функция убывает на промежутках: ( а ;-4), (-3;0),(1;2),(3; b ] Функция возрастает на промежутках: (-4;-3),(0;1),(2; 3 ) Точки экстремума: х = -4; х = -3; х = 0; х = 1; х = 2; х = 3
Функция y = f ( x ) задана на интервале ( a;b ), н а рисунке изображен график ее производной. В скольких точках производная функции равна нулю ? 2. Сколько промежутков возрастания у функции? 3. Назовите точки максимума . 4. Назовите точки минимума. у х 0 1 1 y = f ‘(x) b а 5 х = -3 ; 3 х = 1; 4 3 5. Как называется точка х = -1? Точка перегиба.
у х 0 1 1 у х 0 1 1 у х 0 1 1 у х 0 1 1 1 2 3 4 Найдите функцию по графику её производной
Источники Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. М., «Просвещение», 2004. http://www.zavuch.info/component/mtree/tochnie/algebra/algurok.html Завуч.инфо
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Закон движения точки задан графиком зависимости пути S от времени t. Найдите среднюю скорость движения точки на отрезке S t 0 1 1 S = S(t) [0;1] [1;3] [1;6] 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 [ 0 ;6] [ 3 ;6]
Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции в заданных точках х у 0
Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции в заданных точках х у 0
у х 0 1 1 y = f(x) 2. Чему равна производная в точке М ? На рисунке изображен график функции у= f(x). М Чему равен угловой коэффициент касательной в точке М? М 135 о
Найдите производную каждой из функций: Правильный ответ
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Содержание Примеры пирамид Определение пирамиды Виды пирамид Правильные пирамиды Построение правильной пирамиды Свойства правильной пирамиды Усеченная пирамида Площадь поверхности пирамиды
Пир ами ды древности
Пир ами ды древности
Пир ами ды древности
Магические пирамиды
Пирамиды
Примеры пирамид
Пирамида (др. греч. πυραμίς) – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину боковые грани основание вершина боковые ребра S А B C D E
Виды пирамид
Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. В правильной пирамиде все боковые грани – равные равнобедренные треугольники . Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды. А В С D S Н О
Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему Док – во: S бок = (½al + ½al + ½al + … ) = = ½ l (a + a + a + …)= ½Pl А В С D S Н О S бок = ½ P осн SH l
Построение правильных пирамид O S А В D C M O А С В S M M A D C B E F S O
Задача №1 Дано: SABCD – пирамида, SB ⊥ ABCD ABCD – квадрат, АВ = 2 , ∠SAB = 60°. Найдите: S бок. А В С D S 2 2 60º
Задача № 2 Дано: SABCD – пирамида, ABCD – ромб, АВ = BD, Р ABCD = 16, SO ⊥ (АВС), SO = 1. Найдите: S бок. А В С D S O 1 H А В С D O H М
Задача № 3 Дано: SABCD – пирамида, ABCD – ромб, АС = 8, BD = 6, SO ⊥ (АВС), SO = 1. Найдите: S бок. М А В С D S O 1 H А В С D O H 4 3
Усеченная четырехугольная пирамида В А С О 1 A 1 C 1 D 1 B 1 D О Апофема Верхнее основание Нижнее основание Боковые грани (трапеции)
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему. S бок =½ ( P 1осн. + P 2 осн. ) l Док – во: S бок = (½(a+b)l + ½(a+b)l + +½(a+b)l + … ) = = ½ l ( (a+a+…)+(b+b+…) ) = =½ ( P 1осн. + P 2 осн. ) l В 1 А 1 С 1 О A C D B D 1 О 1 l a b
Усеченная треугольная пирамида В А С A 1 C 1 В 1 Н Н 1 О 1 О F E
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Общая схема решения задач Определить, в чем состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события (исходы). Убедиться, что они равновозможны. Найти общее число элементарных событий N . Определить, какие элементарные события благоприятствуют интересующему нас событию А, и найти их число N (А). 4. Найти вероятность события А по формуле P(A)=
Справочные материалы Элементарные события (элементарные исходы) – это простейшие события, которыми может окончиться случайный опыт. Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта равна 1. Вероятность события А равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию. Объединение событий - событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А и В.
Справочные материалы Пересечение событий - это событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В. Несовместные события – события, которые не наступают в одном опыте. Противоположные события – те, которые состоят из тех и только тех элементарных исходов опыта, которые не входят в А и обозначаются Независимые события . События А и В называются независимыми, если
Вася, Петя, Коля, Леша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя. Решение. 1 . Случайный эксперимент – бросание жребия. 2. Элементарное событие в этом эксперименте - участник, который выиграл жребий. Перечислим их: (Вася), (Петя), (Коля), (Леша). Общее число элементарных событий N =4. Жребий подразумевает, что элементарные события равновозможны. 3. Событию А= { жребий выиграл Петя } благоприятствует только одно элементарное событие (Петя). Поэтому N(A)=1 . 4. Тогда Р(А)=1/4=0,25 Ответ: 0,25.
Игральный кубик (кость) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4 ? Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. 2. Элементарное событие – число на выпавшей грани. Граней всего 6, то есть N =6. Событию А = { выпало больше чем 4 } благоприятствуют два элементарных события: 5 и 6. Поэтому N(A) =2. Все элементарные события равновозможны, поэтому Р(А)=2/6=1/3. Ответ: 1/3.
В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что орел выпал ровно два раза ? Решение. Орел обозначим буквой О, решку – буквой Р. Элементарные исходы – тройки, составленные из букв О и Р. Выпишем их все: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР 3. Всего исходов 8. Значит N=8 . 4. Событию А= { орел выпал ровно два раза } , благоприятствуют элементарные события ООР, ОРО, РОО, поэтому N(A) =3. 5. Тогда Р(А)=3/8=0,375 Ответ. 0,375
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение . Орел обозначим буквой О, решку – буквой Р. 2. Выпишем элементарные исходы: ОО, ОР, РО, РР. Значит N=4. 3. Событию А= { выпал ровно один орел } Благоприятствуют элементарные события ОР и РО. Поэтому N(A) =2. 4. Тогда Р(А)=2/4=0,5. Ответ. 0,5
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции, 5 – из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции. Решение . Элементарный исход – спортсмен, который выступает последним. Последним может оказаться любой. Всего спортсменов 25, то есть N =25. Событию А= { последний из Швеции } благоприятствуют только девять исходов, поэтому N(A) =9, тогда Р(А)=9/25=0,36. Ответ. 0,36.
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых. Решение. Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», « попал при втором выстреле» и т.д. независимы. 2. Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит вероятность промаха равна 1-0,8=0,2. 3. По формуле умножения вероятностей независимых событий, получаем, что последовательность А= { попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся } имеет вероятность Р(А)=0,8*0,8*0,8*0,2*0,2=0,2048 ≈ 0,02 Ответ. 0,02
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо. Решение. Событие А = { выбранная ручка пишет хорошо } Тогда вероятность противоположного события: 3. Используем формулу вероятности противоположного события: Ответ. 0,9
На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему: «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение . Определим события: А= { вопрос на тему «Вписанная окружность } В= { вопрос на тему «Параллелограмм» } 2. События А и В несовместны, так как по условию в списке нет вопросов, относящихся к этим двум темам одновременно.
На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему: «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. 3. Событие С= { вопрос по одной из этих двух тем } является их объединением: 4. Применим формулу сложения вероятностей несовместных событий: Р(С)=Р(А)+Р(В)=0,2+0,15=0,35 Ответ. 0,35
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение. Определим события: А= { кофе закончится в первом автомате } В= { кофе закончится во втором автомате } По условию задачи Р(А)=Р(В)=0,3 и 2. По формуле сложения вероятностей найдем вероятность события:
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. { кофе закончится хотя бы в одном из автоматов } =0,3+0,3-0,12=0,48 Следовательно, вероятность противоположного события «кофе останется в обоих автоматах» равна 1-0,48=0,52. Ответ. 0,52 =Р(А)+Р(В) – =
В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Решение. Найдем вероятность противоположного события: = { оба автомата неисправны } 2. Для этого используем формулу умножения вероятностей независимых событий : Значит вероятность события А= { хотя бы один автомат исправен } равна: Р(А)=1 – 0,0025=0,9975. Ответ. 0,9975
В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1,1,1,1,2, 2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе? Решение. Элементарный исход – карточка, выбранная капитаном российской команды, значит N =16. 2. Событию А= { команда России во второй группе } благоприятствуют четыре карточки с номером «2», то есть N (А)=4. 3. Тогда Р(А)=4/16=0,25. Ответ. 0,25
Три друга А., Б., и В. летят на самолете. При регистрации им достались три кресла подряд, и друзья заняли их в случайном порядке. Найдите вероятность того, что А. сидит рядом с Б. Решение. Перечислим число элементарных событий: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА. N =6. Элементарные события равновозможны. Событию А= { А. сидит рядом с Б. } благоприятствуют четыре события, поэтому N (А)=4. 3. Тогда Р(А)=4/6=2/3. Ответ. 2/3
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра окажется четной? Решение. 1. Общее число элементарных событий равно 10. 2. Все события равновозможны, Событию А= { цифра окажется четной } благоприятствуют цифры 0, 2, 4, 6, 8, поэтому N( А)=5. 3. Тогда Р(А)=5/10=0,5. Ответ. 0,5
Учитель нарисовал на доске квадрат ABCD и предлагает учащемуся выбрать две вершины. Сколько элементарных событий в этом опыте? Решение. Элементарное событие в этом эксперименте – учащийся выбрал две вершины. Перечислим их: AB, AC, AD, BC, BD, CD . Общее число элементарных событий равно 6, то есть N =6. Ответ. 6 А В С D
Литература И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко ЕГЭ 2012. Математика Задача В 10. Теория вероятностей
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Определение вероятности Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместимых событий, которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения: Р = n m Пусть k – количество бросков монеты, тогда количество всевозможных исходов: n = 2 k . Пусть k – количество бросков кубика, тогда количество всевозможных исходов: n = 6 k .
Свойства вероятности Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице: Р(А) = 1 . Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю: Р(А) = 0 . Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей: 0 ≤ Р(А) ≤ 1 .
Решение. Игральные кости – это кубики с 6 гранями. На первом кубике может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Каждому варианту выпадения очков соответствует 6 вариантов выпадения очков на втором кубике. Т.е. всего различных вариантов 6×6 = 36. Варианты (исходы эксперимента) будут такие: 1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6 и т.д. .............................. 6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6 Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых сумма очков двух кубиков равна 8. 2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2. Всего 5 вариантов. Найдем вероятность: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,14. 282853
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение. Всего 4 варианта: о; о о ; р р ; р р ; о . Благоприятных 2: о; р и р ; о . Вероятность равна 2/4 = 1/2 = 0,5 . 282854 Ответ: 0,5.
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные − из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решение. Всего участвует 20 спортсменок, из которых 20 – 8 – 7 = 5 спортсменок из Китая. Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна 5/20 = 1/4 = 0,25. Ответ: 0,25. 282855
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Решение: 1000 – 5 = 995 – насосов не подтекают. Вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна 995/1000 = 0,995. Ответ: 0,995. 282856
Решение: 100 + 8 = 108 – сумок всего (качественных и со скрытыми дефектами). Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна 100/108 = 0,(925) ≈ 0,93. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,93. 282857
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 − из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции. Ответ: 0,36. 282858 Решение: Всего участвует 4 + 7 + 9 + 5 = 25 спортсменов. Вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.
Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов − первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? Ответ: 0,16. 285922 Решение: В последний день конференции запланировано (75 – 17 × 3) : 2 = 12 докладов. Вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 12/75 = 4/25 = 0,16.
Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений − по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? Ответ: 0,225. 285923 Решение: В третий день конкурса запланировано (80 – 8) : 4 = 18 выступлений. Вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса, равна 18/80 = 9/40 = 225/1000 = 0,225.
На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России. Ответ: 0,3. 285924 Решение: Всего участвует 3 + 3 + 4 = 10 ученых. Вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России, равна 3/10 = 0,3.
Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? Ответ: 0,36. 285925 Решение: Нужно учесть, что Руслан Орлов должен играть с каким-либо бадминтонистом из России. И сам Руслан Орлов тоже из России. Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.
В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике. Ответ: 0,2. 285926 Решение: Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике, равна 11/55 =1/5 = 0,2.
В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам. Ответ: 0,6. 285927 Решение: 25 – 10 = 15 – билетов не содержат вопрос по неравенствам. Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна 15/25 = 3/5 = 0,6.
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая. Ответ: 0,36. 285928 Решение: Всего участвует 25 спортсменов. Вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.
Решение: Обозначим право владения первой мячом команды "Меркурий" в матче с одной из других трех команд как "Решка". Тогда право владения второй мячом этой команды – «Орел». Итак, напишем все возможные исходы бросания монеты три раза. «О» – орел, «Р» – решка. Итак, всего исходов получилось 8, нужных нам – 1, следовательно, вероятность выпадения нужного исхода 1/8 = 0,125. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда "Меркурий" по очереди играет с командами "Марс", "Юпитер", "Уран". Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда "Меркурий"? Ответ: 0,125. «Марс» «Юпитер» «Уран» О О О О О Р О Р О О Р Р Р О О Р О Р Р Р О Р Р Р
Решение. В сумме на двух кубиках должно выпасть 8 очков. Это возможно, если будут следующие комбинации: 2 и 6 6 и 2 3 и 5 5 и 3 4 и 4 Всего 5 вариантов. Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых при первом броске выпало 2 очка. Такой вариант 1. Найдем вероятность: 1/5 = 0,2. Даша дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 2 очка. Ответ: 0,2.
Решение. При условии, что у Тоши выпало 3 очка, возможны следующие варианты: 3 и 1 3 и 2 3 и 3 3 и 4 3 и 5 3 и 6 Всего 6 вариантов. Подсчитаем количество исходов, в которых Гоша не выиграет, т.е. наберет 1, 2 или 3 очка. Таких вариантов 3. Найдем вероятность: 3/6 = 0,5. Тоша и Гоша играют в кости. Они бросают кубик по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. Первым бросил Тоша , у него выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Гоша не выиграет. Ответ: 0,5.
Решение: Всего команд 20, групп – 5. В каждой группе – 4 команды. Итак, всего исходов получилось 20, нужных нам – 4, значит, вероятность выпадения нужного исхода 4/20 = 0,2. В чемпионате мира участвует 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе. Ответ: 0,2.
Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя. Ответ: 0,25. 320169 Решение: Вероятность того, что игру должен будет начинать любой из мальчиков равна 1/4 = 0,25. В том числе и для Пети.
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной? Ответ: 0,5. 320178 Решение: Количество четных цифр на клавиатуре равно 5: 0, 2, 4, 6, 8 всего же цифр на клавиатуре 10, тогда вероятность что случайно нажатая цифра будет чётной равна 5/10 = 0,5.
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Ответ: 0,019. 319353 Решение: Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: р 1 = 0,45 · 0,03 = 0,0135. Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: р 2 = 0,55 · 0,01 = 0,0055. Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна р = р 1 + р 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Ответ: 0,156. 319355 Решение: Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: р = 0,52 · 0,3 = 0,156.
На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Ответ: 0,35. 320171 Решение: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: р = 0,2 + 0,15 = 0,35.
320172 Решение: Рассмотрим события А = кофе закончится в первом автомате, В = кофе закончится во втором автомате. Тогда A·B = кофе закончится в обоих автоматах, A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате. По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12. События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48. Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение: Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы. Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность промаха равна 1 – 0,8 = 0,2. 1 выстрел: 0,8 2 выстрел: 0,8 3 выстрел: 0,8 4 выстрел: 0,2 5 выстрел: 0,2 По формуле умножения вероятностей независимых событий, получаем, что искомая вероятность равна: 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых. Ответ : 0,02 . 320173
320174 Решение: Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975. Ответ: 0,9975. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
320175 Решение: Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: р 1 = 0,3 · 0,3 = 0,09. Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна р = 1 – р 1 = 1 − 0,09 = 0,91. Ответ: 0,91. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
320176 Решение: Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», тогда A + B = «чайник прослужит больше года». События A и В совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года – строго в тот же день, час и секунду – равна нулю. Тогда: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B), откуда, используя данные из условия, получаем 0,97 = P(A) + 0,89. Тем самым, для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08. Ответ: 0,08. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
320177 Решение: Пусть х – искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда 1 – х вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем: 0,4х + 0,2(1 – х ) = 0,35 0,2х = 0,15 х = 0,75 Ответ: 0,75. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
320179 Решение: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 Р = = 0,3 Ответ: 0,3. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три? 3 10
320183 Решение: Вероятность того, что Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер равна: 0,4 · (1 − 0,9) = 0,04 Вероятность того, что Джон промахнется, если схватит непристрелянный револьвер равна: 0,6 · (1 − 0,2) = 0,48 Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
320181 Решение: Всего туристов пять, случайным образом из них выбирают двоих. Вероятность быть выбранным равна Р = 2/5 = 0,4. Ответ: 0,4. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?
320180 Решение: Обозначим право владения первой мячом команды «Физик" в матче с одной из трех команд как "Орел". Тогда право владения второй мячом этой команды – «Решка». Итак, запишем все возможные исходы бросания монеты три раза в таблице: «О» – орел, «Р» – решка. Итак, всего исходов получилось 2 3 = 8, нужных нам – 3, следовательно, вероятность выпадения нужного исхода равна: 3/8 = 0,375. Ответ: 0,375. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза. Ф/1 ОР ОР ОР ОР РО РО РО РО Ф/2 ОР ОР РО РО ОР ОР РО РО Ф/3 ОР РО ОР РО ОР РО ОР РО
320184 Решение: В сумме должно выпасть 5 очков. Это возможно, если будут следующие комбинации: 1 и 4 4 и 1 2 и 3 3 и 2 Всего 4 варианта. Ответ: 4. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй – решка). Решение. Всего 4 варианта: о; о о ; р р ; р р ; о . Благоприятных 1: о; р . Вероятность равна 1/4 = 0,25 . 320185 Ответ: 0,25.
320186 Решение: Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Д – Дания, Ш –Швеция, Н – Норвегия): Д − Ш − Н Д − Н − Ш Ш − Н − Д Ш − Д − Н Н − Д − Ш Н − Ш − Д Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна Р = 2/6 = 1/3 ≈ 0,33 Ответ: 0,33. На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.
Решение: Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов: Р(1) = 0,6; Р(2) = Р(1) · 0,4 = 0,24; Р(3) = Р(2) · 0,4 = 0,096; Р(4) = Р(3) · 0,4 = 0,0384; Р(5) = Р(4) · 0,4 = 0,01536. Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? Ответ: 5. 320187
Решение: Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3 + 1, 1 + 3, 3 + 3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий – результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем: P(N ≥ 4) = P(3 + 1) + P(1 + 3) + P(3 + 3) = = P(3) · P(1) + P(1) · P(3) + P(3) · P(3) = = 0,4 · 0,2 + 0,2 · 0,4 + 0,4 · 0,4 = = 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32 . Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4. Ответ: 0,32 . 320188
Решение: Из 5000 тысяч новорожденных 5000 − 2512 = 2488 девочек. Поэтому частота рождения девочек равна: 2488/5000 = 0,4976 ≈ 0,498 В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных. Ответ: 0,498 . 32018 9
Решение: В самолете 12 + 18 = 30 мест удобны пассажиру В., а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна P = 30 : 300 = 0,1. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест. Ответ: 0,1 . 3201 90
Решение: Всего в запасную аудиторию направили 250 − 120 − 120 = 10 человек. Поэтому вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории, равна P = 10 : 250 = 0,04. На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории. Ответ: 0,04 . 3201 91
Решение: Пусть один из близнецов находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй близнец окажется среди этих 12 человек, равна P = 12 : 25 = 0,48. В классе 26 человек, среди них два близнеца – Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе. Ответ: 0,48 . 3201 92
Решение: Машин желтого цвета с черными надписями 23, всего машин 50. Поэтому вероятность того, что на случайный вызов приедет машина желтого цвета с черными надписями, равна: P = 23 : 5 0 = 0,4 6 . В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах, остальные – жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями. Ответ: 0,46 . 3201 93
Решение: На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта, равна: P = 6 : 30 = 0, 2 . В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта. Ответ: 0,2 . 3201 94
Решение: Частота (относительная частота) события «гарантийный ремонт» равна 51 : 1000 = 0,051. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,051 – 0,045 = 0,006. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе? Ответ: 0,006 . 3201 95
Решение: По условию, диаметр подшипника будет находиться в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 66,99 мм, или больше, чем 67,01 мм. Ответ: 0,0 35. 3201 96
Решение: Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма – событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач. Ответ: 0,0 7. 3201 9 8
Решение: Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З. нужно сдать и русский, и математику как минимум на 70 баллов, а помимо этого еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Пусть A, B, C и D – это события, в которых З. сдает соответственно математику, русский, иностранный и обществознание не менее, чем на 70 баллов. Тогда поскольку Р(С + D ) = P(C) + P(D) – P(C · D), для вероятности поступления имеем: P ( AB(C + D) ) = P(A) · P(B) · P(C + D) = P(A) · P(B) · ( P(C) + P(D) – P(C) · P(D) ) = = 0,6 · 0,8 · (0,7 + 0,5 – 0,7 · 0,5) = 0,408. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку – 0,8, по иностранному языку – 0,7 и по обществознанию – 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей. Ответ: 0,408 . 3201 9 9
Решение: Пусть завод произвел n тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 20% невыявленных дефектных тарелок: 0,9 n + 0,2 · 0,1 n = 0,92 n тарелок. Поскольку качественных из них 0,9 n , вероятность купить качественную тарелку равна: На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых. Ответ: 0, 978. 320200
Решение: Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна: В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга). Ответ: 0, 027. 320201
Решение: Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна: Р 1 = 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна: Р 2 = 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: Р 1 · Р 2 = 0,1 · 0,2 = 0,02. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар. Ответ: 0, 02. 320202
Решение: Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = « в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма – событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19. Ответ: 0, 38. 320203
Решение: Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры. Ответ: 0, 125. 320205
Решение: Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х – хорошая, О – отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды: P(XXO) = 0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128; P ( XOO ) = 0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128; P ( OXO ) = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008; P ( OOO ) = 0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128. Указанные события несовместные, вероятность их сумы равна сумме вероятностей этих событий: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода. Ответ: 0, 392. 320206
Решение: Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: а) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; б) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем: P(A) = 0,9 · 0,05 = 0,045, P(B) = 0,01 · 0,95 = 0,0095, P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,045 + 0,0095 = 0,0545. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным. Ответ: 0, 0545. 320207
Решение: В кармане было 4 конфеты, а выпала одна конфета. Поэтому вероятность этого события равна одной четвертой. В кармане у Миши было четыре конфеты – «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж». Ответ: 0, 25. 320208
Решение: На циферблате между десятью часами и одним часом три часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна: Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час. Ответ: 0, 25. 320209
Решение: Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94 · 0,94 = 0,8836. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными. Ответ: 0, 8836. 320210
Решение: Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A = «батарейка действительно неисправна и забракована» или В = «батарейка исправна, но по ошибке забракована». Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий. Имеем: P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) = 0,02 · 0,99 + 0,98 · 0 ,01 = = 0,0 198 + 0,0098 = 0,0296 . Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. Ответ: 0, 0296. 320210
Решение: На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5) 4 = 0,0625. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D . Ответ: 0, 15625. 320212
Используемые материалы ЕГЭ 2012. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко.− М.: МЦНМО, 2012. − 48 с. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – 3-е изд., перераб . и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 543 с. http://mathege.ru/or/ege/Main.html − Материалы открытого банка заданий по математике 2013 года http://reshuege.ru/ − Сайт Дмитрия Гущина