В помощь учителю математики. 7 класс

МОУ «Цивильская средняя общеобразовательная школа №1 имени М.В.Силантьева»

Цивильского района Чувашской Республики

Факультативный курс

по математике

7 класс

Учебно – методическое пособие

Цивильск 2009

МОУ «Цивильская средняя общеобразовательная школа №1 имени М.В.Силантьева»

Цивильского района Чувашской Республики

Факультативный курс

по математике

7 класс

Учебно – методическое пособие

Цивильск 2009

Рецензент: кандидат физико – математических наук, доцент кафедры естественно – научных дисциплин

                     ГОУ «Чувашский Республиканский институт

                     образования» Ярдухин А.К.

Составитель: учитель математики МОУ «Цивильская средняя общеобразовательная школа № 1 имени М.В.Силантьева»

Ермеев Валерий Александрович

Учебно – методическое пособие ориентировано на учеников

7 класса и включает следующие разделы:

• дроби (натуральные, десятичные, периодические);
• проценты и текстовые задачи на процентное

содержание;

• модуль числа, решение уравнений и систем уравнений, построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля;
• линейные уравнения (в т.ч. с параметрами и несколькими переменными) и их системы;
• графическое решение уравнений;
• делимость чисел, сравнения по модулю;
• системы счисления; формулы сокращенного умножения;
• принцип Дирихле;
• деление многочлена на многочлен.

Пояснительная записка

        Факультативные занятия рассчитаны на 2 ч в неделю, в общей сложности – на 68 ч в учебный год. Преподавание факультатива строится как углублённое изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Факультативные занятия дают возможность шире и глубже изучать программный материал, задачи повышенной трудности, больше рассматривать теоретический материал и работать над ликвидацией пробелов знаний учащихся, и внедрять принцип опережения. Регулярно проводимые занятия по расписанию дают возможность разрешить основную задачу: как можно полнее развить потенциальные творческие способности каждого ученика, не ограничивая заранее сверху уровень сложности используемого задачного материала, повысить уровень математической подготовки учащихся.

         Цели данного курса:

1) Повысить интерес к предмету.

2) Эффективная подготовка учащихся 7-х классов к поступлению в гимназические, лицейские классы.

3) Развитие личности, ответственной за осмысление законов математики.

3

4) Овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смешанных дисциплин, для продолжения образования.

5) Интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности.

         Задачи курса:

1) Развитие творческих способностей учащихся на основе проб.

2) Воспитание личности, умеющей анализировать, самоанализировать и создавать программу саморазвития.

3) Развития мышления учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания.

4) Формирование познавательного интереса к математике, развитие творческих способностей, осознание мотивов учения.

5) Формирование умений выдвигать гипотезы, строить логические умозаключения, пользоваться методами аналогии и идеализаций.

4

Учебно - тематический план

5

Содержание курса

Периодические дроби

          Перевести обыкновенную дробь в десятичную легко – надо всего лишь делить уголком. При этом получается либо конечная десятичная дробь (когда знаменатель несократимой обыкновенной дроби не делится ни на какие простые числа, кроме 2 и 5), либо периодическая дробь (чисто периодическая – когда знаменатель не делится ни на 2, ни на 5; смешанная периодическая – в остальных случаях).

         Периодическая дробь - это бесконечная десятичная дробь, в которой с некоторого места, периодически повторяется определенная группа цифр. Например, 2,5131313…

Обычно такую дробь записывают короче: 2,5(13).Если в периодической дроби повторяющаяся группа цифр (период) расположена непосредственно после запятой, то такую дробь называют чисто периодической; в противном случае говорят, что десятичная дробь имеет предпериод, и называют дробь смешанной периодической.

         Общее правило обращения периодических десятичных дробей в обыкновенные:

Чисто периодическая правильная десятичная дробь, равна обыкновенной дроби, в числителе которой записан период, а знаменатель состоит из стольких девяток, сколько цифр в периоде.

Смешанная правильная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой стоит разность между

6

числом, образованным цифрами, стоящими после запятой до начала второго периода, и числом, образованным цифрами, стоящими после запятой до начала первого периода; знаменатель состоит из стольких девяток, сколько цифр в периоде, и стольких нулей, сколько цифр стоит до начала первого периода.

Например:

0,(142857) = ; 0,24(617) =

Задачи для самостоятельного решения

1. Обратите в обыкновенную дробь:

а) 0,(2); б) 0,(23); в) 1,(7); г) 3,5(72); д) 12,3(321).

2. Вычислите:

7

Ответы: Ответы: а) 0,5; б) 0,5; в)г) 11; д) 1; е)1 ж) 9.

Дроби

1. Упростите выражение:

;  ; .

2. Представьте в виде разности дробей:

3. Вычислите:

8

Ответы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Указание. Используйте равенство

4. Докажите, что при любом натуральном n:

а)  < 1;

<

5. Упросите выражение:        

9

6. Найти такую дробь, которая не изменится от прибавления к числителю 30, а к знаменателю 40.

Ответ:

7. Что больше:

8. Что больше:

Проценты

         Процентом от любой величины называется одна сотая часть.

Любое число процентов можно выразить десятичной дробью или натуральным числом. Для этого нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100.

Пример 1. 47% =

Чтобы выразить число в процентах, его надо умножить на 100.

Пример 2. 0,47 = (0,47 ∙ 100)% = 47%.

         Простейшие задачи на проценты:

1. Нахождение процента от числа.

         Чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь.

Пример 3. 13% от 2000 руб. равны 2000 · 0,13 = 260 руб.

10

2. Нахождение числа по его проценту.

         Чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, разделить на соответствующую дробь.

Пример 4. Если 8,4 кг есть 12% массы штанги, то масса штанги равна 8,4: 0,12 = 70 кг.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел.

         Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100.

Пример 5. 18 г. соли в растворе 240 г. составляет  раствора.

Задачи для самостоятельного решения

1.Собрали 140 кг грибов, влажность которых составляла 98%. После подсушивания их влажность снизилась до 93%. Какова стала масса грибов поле подсушивания?

Решение: Влажность 140 кг грибов равна 98%, значит, в них содержится 98% воды и 2% сухого вещества, что составляет

140 · 0,02 = 2,8 кг. В подсушенных грибах 2,8 кг сухой массы составляет уже 100% - 93% = 7%. Следовательно, масса подсушенных грибов равна

Ответ: 40 кг.

2. Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из неё металл – 4% примесей. Сколько получится металла из 24 т руды.

11

Ответ: 15 т.

3. Из 40 т руды выплавляют 20 т металла, содержащего 6% примесей. Каков процент примесей в руде?

Ответ: 53%.

4. Из 38 т сырья второго сорта, содержащего 25% примесей, после переработки получается 30 т сырья первого сорта. Каков процент примесей в сырье первого сорта?

Ответ: 5%.

5. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие – 12%. Сколько получится сухих грибов из 88 кг свежих?

Ответ: 10 кг.

6. Цену товара сперва снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 15% и, наконец, после перерасчёта произвели снижение ещё на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?

Ответ: На 38,8%.

7. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды?

Ответ: 200 кг.

8. В двух бидонах находится 70 литров молока. Если из первого бидона перелить во второй 12,5% молока, находящегося в первом бидоне, то в обоих бидонах будет поровну. Сколько литров молока в каждом бидоне?

Ответ: 40 л и 30 л.

12

9. Цена товара была дважды снижена на одно и то же число

процентов. На сколько процентов снижена цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 2000 р.,

а окончательная 1805 р.?

10. В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных – 20%. На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке?

11. Апельсины подешевели на 30%. Сколько апельсинов можно теперь купить на те же деньги, на которые раньше

покупали 2,8 кг?

12. Что больше: 15,5% от 49 или 49% от 15,5?

13. Множимое увеличили на 50%, а множитель уменьшили на 50%. Как изменилось произведение?

Задачи на концентрацию и процентное содержание

         В задачах, связанных с использованием понятий “концентрация” и “процентное содержание”, речь идёт о составлении сплавов, растворов или смесей несколько веществ.

          Основные допущения, которые принимаются в задачах подобного рода, состоят в следующем:

         а) все получающиеся сплавы или смеси однородны;

         б) при смешивании двух растворов, имеющих объёмы , получается смесь, объём которой  равен сумме .

         Такое допущение не представляет собой закона физики и не всегда выполняется в действительности. На самом деле при смешивании двух растворов не объем, а масса равняется сумме составляющих её компонент.

13

         Рассмотрим смесь трёх компонент А, В, С. Объём смеси  складывается из объёмов чистых компонент: , а три отношения dА=dB=dС= показывают, какую долю полного объёма смеси составляют объёмы отдельных компонент

Отношения объёма чистой компоненты в растворе ко всему объёму смеси : = называется объёмной концентрацией этой компоненты.

              Концентрация – это безразмерная величина.

        Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна единице:

         Объёмным процентным содержанием компоненты А называется величина Р =  · 100%, т. е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах.

Если известно процентное содержание вещества А, то его концентрация находится по формуле.

         Таким же способом определяется массовая концентрация и процентное содержание, а именно как отношение массы чистого вещества А в сплаве к массе всего сплава. О какой концентрации, объёмной или массовой, идёт речь в конкретной задаче, всегда видно из условия.

14

Задача 1. Имеется кусок сплава с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившейся новый сплав содержал

40% меди?

Решение: Пусть масса олова, которую надо добавить к сплаву, равна х кг. Тогда получится сплав массой (12+х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется кг меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т.е. меди в нём было  кг. Так как масса меди и в имевшемся, и в сплаве одна и та же, то можно записать следующее уравнение:  Решив его, получим х = 1,5.

Ответ: 1,5 кг.

Задача 2. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30%?

Решение: Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали второго сорта надо взять (140 - х) т. Содержание никеля в стали первого сорта составляет 5%, значит, в х т стали первого сорта содержится х·0,05 т никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет 40%, значит, в (140 - х) т стали второго сорта содержится (140 – х)0,4 т никеля. По условию после объединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30%-

15

ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной

стали должно быть 140 · 0,3 т никеля. Но это количество никеля складывается из х · 0,05 т, содержащихся в стали первого сорта, и из (140 – х)0,4 т, содержащихся в стали второго сорта. Таким образом, запишем уравнение х · 0,05 + (140 – х)0,4 = 140 · 0,3,

из которого находим х = 40. Следовательно, стали с 5%-ным содержанием никеля надо взять 40 т, а стали с 40%-ным содержанием – 100 т.

Ответ: 40 т, 100 т.

Задачи для самостоятельного решения

1. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы получить раствор, содержащий 2% соли?

Ответ: 60 кг.

2. Сплавили 120 г серебра 640-й пробы со слитком серебра неизвестной пробы и получили 320 г серебра 700-й пробы. Определите пробу второго слитка.

Ответ: 736 пробы.

3. Бронза – сплав меди и олова. В древности из бронзы отливали  колокола, если в ней содержалось 75% меди. К бронзе массой 500 кг, содержащей 70% меди, добавили некоторое количество меди и получили бронзу, необходимое для изготовления колокола. Определите, сколько килограммов меди было добавлено.

Ответ: 100 кг.

Задача 4. В колбе было 200 г 80% спирта. Провизор отлил из

16

колбы некоторое количество этого спирта и затем добавил в неё столько же воды, чтобы получить 60%-ный спирт. Сколько граммов воды добавил провизор?

Ответ: 50 г.

5. Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 60 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили со 100 кг меди и получили латунь, в которой 70% меди. Определите процент содержания меди в первоначальном куске латуни.

Ответ: 60 %.

6 . Имеются два слитка сплава серебра и олова. Первый слиток содержит 360 г серебра и 40 г олова, а второй слиток – 450 г серебра и 150 г олова. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 200 г сплава, в котором оказалось 81% серебра. Определите массу (в граммах) куска, взятого от второго слитка.

Ответ: 120 г.

7. В 100 г 20%-ного раствора соли добавили 300 г её 10%-ного раствора. Определите концентрацию полученного раствора.

8. Какое количество воды надо добавить к 100 г 70%-ной уксусной эссенции, чтобы получить 5%-ный раствор уксуса?

9. Сплавили два слитка серебра: 600-й пробы 75 г и 864-й

пробы 150 г. Определите пробу сплава.

10. Имеются два сплава меди и цинка. В первом из них количество этих металлов находится в отношении 3:5, а во втором 2:7. Сколько килограммов от каждого сплава нужно взять, чтобы получить 11 кг нового сплава, в котором медь и цинк вошли бы

17

в отношении 2:5.

11. В двух сплавах медь и цинк относятся как 4:1 и 1:3. После совместной переплавки 10 кг первого сплава, 16 кг второго сплава и нескольких кг чистой меди получили сплав, в котором медь и цинк относятся как 3:2. Определите вес нового сплава.

Модуль числа. Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля

         Любое действительное число можно изобразить точкой числовой прямой. Расстояние этой точки от начала отсчета на этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка совпадает с началом числовой прямой.

         Расстояние точки, изображающей данное число на числовой прямой, от начала этой прямой называется модулем этого числа. Модуль числа а обозначается ||. Геометрический смысл модуля удобно использовать при решении некоторых уравнений.

Пример 1. Решите уравнение: |х – 6| = 9.

Решение:

         Если число 6 изобразить тачкой А , то по определению модуля следует, что точка Х отстоит от точки А на расстоянии 9 единиц. Но на числовой прямой таких точек две. Одна имеет координату х = 6 + 9 = 15, другая х = 6 – 9 = -3. Следовательно, уравнение имеет два решения: х = 15 и х = -3.

18

Ответ: 15; -3.

Пример 2.Решите уравнение: |х –1 | + |х – 3| = 6.

Решение: Решить уравнение |х – 1| + |х – 3| = 6 – значит найти все такие точки на числовой оси Ох, для каждой из которых сумма расстояний от неё до точек с координатами 1 и 3 равна 6.

          Ни одна из точек отрезка  не удовлетворяет этому условию, так как сумма указанных расстояний для любой из них равна 2 (т.е. не равна 6). Вне этого отрезка существует только две искомые точки: точка с координатами 5 и точка с -1.

Ответ: 5; -1.

         При решении уравнений, содержащих несколько выражений со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля числа: модулем положительного числа и нуля является само число, модулем отрицательного числа называется противоположное ему положительное число.

                                                                  а, если а                                                                                                          

                                                      |а ‌‌‌| =                                                                                                                                  

                                                                  -а, если а < 0.

Пример 3. |2х – 12| + |6х + 48| = 160.

Решение:

а) Найдём корни (нули) каждого выражения, содержащего знак модуля:

2х – 12 = 0,            6х + 48 = 0,

х = 6,                      х = - 8.

19

б) Найденные значения х разбивают числовую прямую на три промежутка: х < -8, -8> 6. Решение данного уравнения рассматривается в каждом промежутке отдельно.

                    Ι        Ι Ι        ΙΙΙ        х

                                                      -8                     6

в) Ι. х < -8.

В данном промежутке оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательны.

- (2х – 12) – (6х + 48) = 160,

- 2х + 12 – 6х – 48 = 160,

- 8х = 196,

х = - 24,5. (х < -8).

ΙΙ.. В данном промежутке первое выражение, стоящие под знаком модуля, отрицательно, а второе положительное,                          

- (2х – 12) + (6х + 48) = 160,

- 2х + 12 + 6х + 48 = 160,

4х = 100,

х = 25 (не принадлежит данному промежутку).

ΙΙΙ. х >6.

Оба выражения, стоящие под знаком модуля, положительны.

                           (2х – 12) + (6х + 48) = 160,

2х – 12 + 6х + 48 = 160,

8х = 124,

х = 15,8. (х>6).

Ответ: -24,5; 15,8.

20

Задачи для самостоятельного решения

Решите уравнение:

1) |3 – х| = 7                                                   Ответ: -4; 10.

2) |2х + 3| = 3х – 3                                          Ответ: 6.

3) |6х – 4| = 3х – 14                                        Ответ: Ø.

4) х - |3х – 2| = 3 - (2х – 5)                 Ответ: 4.

5) |2х + 5| - |3х – 4| = 2х - 2                       Ответ: -7; -1;         

6) |2х + 5| = |3х - 1| + 1 – 2х                      Ответ: -

7) 3х – 2 |х| + |х – 2| - |х – 4| = 3                     Ответ: 3.

8) |3х – 8| - |3х – 2| = 6                                    Ответ: х

9) |х – 1| - 2|х – 2| +3 |х – 3| = 4                      Ответ: 1

10) |2 + |2 + х|| = 3                                     Ответ: -3; -1.

11)                                      Ответ: -3.

12) х2 - 5 = 0                                     Ответ: -5; 0; 5.

13) 2х2 +  - 3х = 0                                     Ответ: 0; 1.

14) 4х2 +                                      Ответ: - 0,5.

15) 2х2 +                                      Ответ: нет решений.

16) |5 –х| - |2 –х| = 3                              Ответ: х

17) 7 - |х – 1| + |х + 5| =0                              Ответ: нет решений.

18) |х – 5| + |5 – х| = 0                              Ответ: 5.

19) - |3 – х| + |2 – х| = 3                              Ответ: нет решений.

Линейные уравнения с параметрами

         Уравнение вида Ах = В, где А, В – выражения, зависящие

21

от параметров, а х – неизвестное, называется линейным уравнением с параметрами.

         Решить уравнение с параметрами – значит для всех значений параметров найти множество всех корней заданного уравнения.

         Линейное уравнение Ах = В исследуется по следующей схеме.

         1) Если А = 0 и В , то уравнение не имеет решений

(х Ø).

         2) Если А = 0 и В = 0, то уравнение имеет вид 0 · х = 0 и удовлетворяется при любом х, т.е. решением уравнения будет множество всех действительных чисел (х

          3) Если А  то уравнение имеет единственное решение х =  

Пример 1. Для всех значений параметров k решить уравнение

(k + 4)х = 2k + 1.

Решение: Уравнение записано в стандартном виде Ах = В, поэтому его исследование проведём по указанной схеме.

         1) Если k + 4 = 0, т.е. k = -4, то уравнение имеет вид

0 · х = -7, откуда х  Ø.

         2) Если k + 4  т.е. k то обе части уравнения можно делить на k + 4. Тогда х =

Ответ: если k = -4, то х Ø;

22

            если k  то х =

Пример 2. Для всех значений параметров а и b решить уравнение (a – 2) х = 4а +3b.        

Решение: 1) а = 2. Уравнение имеет вид 0 · х = 8 + 3b.

         Если 8 + 3b,т.е. b то это равенство ни при каком х не выполняется, поэтому х  Ø.

         Если b= - то уравнение примет вид 0 · х = 0, откуда следует: х

      2) а - 2, т.е. а . Тогда х =

Ответ: если а =2, b то х Ø;

            если а = 2, b= - то х

если а , b- любое, то х =

Задачи для самостоятельного решения

         Для всех значений параметров а, b, n , m решить уравнения.

1. ах – 3 = b.                                                2. 4 + bх = а.

3. b = а(х – 3).                                             4.

5. 2х – 3(х – а) = 3 + а.                               6. ах – 3(1 + х) = 5.

7.3х + 1 = b.                                                 8. 5 + х = ах.

23

9. ах – 3 = 2х – 5.                                        10.mх - 3 = 3х – m.

11. 4 = а – (bх – 1).                                     12.

13. ах – b = 1 – х.                                14. (m – 3)х + m + 2n = 0.

15. (а – 2b)х + а +b = 3                              16.

17. а + х = а2х – 1.                        18. 7 – ах = b(3 + х).

19. а (а – 1) х = а.                                       20.

Линейные диофантовы уравнения

         Определение. Уравнения, в которых неизвестные величины выражаются целыми числами, называются диофантовыми по имени математика Диофанта.

         Рассмотрим уравнение

        ах + bу = с (а      (1)

коэффициенты, которого а, b и с – целые числа.

Пусть d = D (а; b) или d = (а; b) или d = НОD (а; b) - наибольший общий делитель а и b.

         Правило 1. Если с не делится на наибольший общий делитель (а; b), то уравнение (1) не имеет решений в целых числах (тем более в натуральных).

         Правило 2. Если с  делится на НОD (а; b), то уравнение (1) имеет целые решения.

Если с  делится на НОD (а; b) , то уравнение (1) следует упростить, разделив обе его части на НОD (а; b).

24

         Правило 3. Если а и b –взаимно простые числа, то уравнение ах + bу = 1 имеет решение в целых числах х и у.

         Правило 4. Чтобы найти решение уравнения (1) при взаимно простых а и b , нужно сначала найти решение ( уравнения ах + bу = 1; числа  и  составят решение

уравнения (1).

         Правило 5. Если коэффициенты а и b уравнения (1) взаимно просты, то все решения уравнения (1) получаются по формулам х = , у = , n , где  и  одно из решений этого уравнения.

Пример 1. Решите диофантово уравнение 6х + 9у = 2.

Решение: НОD (6; 9) = 3, а 2 на 3 не делится. Значит, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: нет решений.

Пример 2. Решите в целых числах уравнение 28х – 40у = 60.

Решение: НОD (28; 40) = 4, число 60 делится на 4. Значит, уравнение имеет  решений в целых числах. Сократим уравнение на 4, получим уравнение 7х – 10у = 15. Сначала подберём частное решение уравнения 7х – 10у = 1. НОD (7; 10) = 1 . и  - частное решение уравнения 7х – 10у = 1.  и  - частное решение уравнения 7х – 10у = 15.

Общее решение уравнения 7х – 10у = 15 задаётся формулами

х = 45 + 10t, у = 30 + 7t, t

Ответ: (45 + 10t, 30 + 7t), t

25

Пример 3. Решите диофантово уравнение 6х +9у = 3.          (*)

Решение: НОD (6; 9) = 3, число 3 делится на 3. Значит, уравнение имеет решений в целых числах. Сократим уравнение на 3, получим уравнение 2х + 3у = 1.(1) Сначала подберём частное решение уравнения 2х + 3у = 1. х = 5, у = -3 является частным решением уравнения (1), так как справедливо равенство 2·5 + +3·(-3) = 1.

         В уравнении (1) заменим число 1 выражением 2·5 + 3·(-3)

и преобразуем полученное уравнение:

2х + 3у = 2·5 + 3· (-3),

2 (х – 5) + 3 (у + 3) = 0.               (2)

Введём новые неизвестные:

                                                                 (3)

уравнение (2) перепишем в виде

                                                                             (4)

         Все решения однородного уравнения (3) задаются формулами  где n – любое целое число. Используя равенства (3), получим, что все решения уравнения (*) задаются формулами  где n

Ответ: (5 – 3n, -3 + 2n), n

        Линейные диофантовы уравнения применяются при решении задач.

Задача 1. У покупателя и продавца имеются монеты только по

2 р. и 5 р. Сможет ли покупатель заплатить за покупку

26

стоимостью 1 р.?

Решение: Если покупатель даст х монет по 2 р. и у монет по 5 р., то он заплатит (2х + 5у) р., или 1 р.

Следовательно, 2х + 5у = 1.                         (1)

        Пара (3; -1) является частным решением уравнения (1), так как 2 · 3 + 5 · (-1) = 1. Это означает, что покупатель может дать 3 монеты по 2 р. и получить сдачу 1 монету по 5р.

        Общее решение диофантова уравнения (1) имеет вид

х = 3 – 5n, у = -1 + 2n, где n

Способов оплаты товара стоимостью 1 р. в задаче 1 бесконечно много. Если, например, у окажется отрицательным, то это означает, что покупатель должен получить сдачу монетами по 5 р.

Ответ: Сможет.        

Задачи для самостоятельного решения

1.Решите диофантово уравнение:

а) 3х + 4у = 0;                                                 б) 4х + 6у = 3;

в) 5х + 3у = 4;                                                 г) 5х + 3у = 1;

д) 7х – 5у = 2;                                                 е) 5х + 8у = 29;

ж) 7х + 4у – 9z = 89;                                      з) 10х – 13у + 8z = 143.

2. При каких натуральных n число 8n + 3 делится на 13?

3. Объясните, почему не имеет в целых числах решений уравнение:

а) 2х + 6у = 11; б) 3х – 5у = 10; в) 7х – 21у = 12.

4. У покупателя и продавца есть купюры по 5 р. и 50 р. Сможет

27

ли покупатель заплатить за покупку стоимостью:

а) 112 р.; б) 30 р.?

Ответ: а) Нет; б) да.

5. Двенадцать человек несут 12 буханок хлеба; каждый мужчина несёт по 2 буханки, женщина – по половине буханки, ребёнок – по четверти. Сколько было мужчин, женщин и детей?

Ответ: 5 мужчин, 1 женщина и 6 детей.

6. Размен по 2 и 3 копейки.

Каким количеством способов можно разменять 25 копеек монетами по 2 и 3 копейки?

Ответ: 4 способа.

7. 22 монеты.

Как составить сумму в 99 копеек из 22 монет по 2, 3 и 5 копеек?

Ответ: 2 способа.

8. На 5 руб. куплено 100 штук разных фруктов. Цены на фрукты таковы:

арбуз (1 шт.)           -                 50 копеек

яблоки (1 шт.)        -                 10 копеек

сливы (1 шт.)          -                   1 копейка.

Сколько фруктов каждого рода было куплено?

Ответ: 1 арбуз; 39 яблок; 60 слив.

9. Разделите 200 на два слагаемых так, чтобы при делении одного на 6, а другого на 11 получилось соответственно

остатки 5 и 4.

Ответ: 185 + 15; 119 + 81; 53 + 147.

28

10. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 28 даёт в остатке 21, а при делении на 19 даёт

в остатке 17.

Ответ: 245.

Графики функций, содержащих переменную

 под знаком модуля

         Для построения графиков функций, содержащих выражения под знаком модуля сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке отдельно.

         В случае, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет  слагаемых без знака модуля, можно построить график функции, опустив знак модуля, а затем часть графика, расположенную в области отрицательных значений у, отобразить симметрично относительно оси Ох. Это вытекает из определения модуля числа.

Пример 1. Постройте график функции у =

Решение: По определению модуля числа имеем:

                                                      а, если а                                                                                                        

                                         |а ‌‌‌| =                                                                                                                                  

                                                      -а, если а < 0.

29

Используя график функции , постройте график функции:

7. у = 1 -                                                     8. у = 2 -

9. у =                                                    10. у =

11. у =                                      12. у =

13. у =                                    14. у =  

15. у =                               16. у =

Пример 2. Постройте график функции: у =

Решение:        х – 1 = 0;            2 – х = 0;

х = 1.                  х = 2.

30

1) х < 1: у = -х + 1 – 2 + х + 2, у = 1.

2) :у = х – 1 – 2 + х + 2, у = 2х – 1.

3) х > 2: у = х – 1 + 2 –х +2 ,у = 3.        

Постройте график функции:

31

Постройте график уравнения:

Пример 3. Постройте график функции:

Решение: Графиком функции является ломаная линия с вершинами в точках с абсциссами х = 1, х = 2, х = 3 . Найдём ординаты этих точек:

Значит, вершинами ломаной являются точки: (1;-3), (2;0), (3;1). Используя ещё две дополнительные точки (0;-4) и (4;0) , строим график функции.

32

Постройте график функции:         

Графическое решение уравнений        

Пример 1. Решить уравнение: х2 = х + 2.

Решение: 1) Рассмотрим две функции: у = х2, у = х + 2.

                2). Построим в одной системе координат графики

функций у = х2, у = х + 2.

                 3) А(-1;1) и В(2;4) – точки пересечения графиков.

                 4) х = -1; х = 2 – корни уравнения.

                 5) Ответ: -1; 2.

33

         Некоторые задачи с параметрами, особенно задачи, связанные с разрешимостью и числом решений уравнений, наиболее удобно решать графическим методом.

Пример 2. Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение  

Решение: Перепишем уравнение в виде  

                1) Введём две функции: у =

                2) Построим в одной системе координат графики функций

На основании рисунка получаем

Ответ: при а < -1 уравнение не имеет корней;

            при а = - 1 уравнение имеет одно решение;

            при а > -1 уравнение имеет два корня.

34

Задачи для самостоятельного решения

Решите графически уравнение:

                                                         Ответ: -2; 4.

                                       Ответ: нет решений.

3. х2 – 5х + 6 = 0.                                               Ответ: 2; 3.

                                            Ответ: х ≥3 .        

                                           Ответ: 5.

                                                  Ответ: -3; 1.

                                           Ответ: х ≤ 2.

                                         Ответ: -5.

                                                Ответ: -4; 0.

                                                      Ответ: -0,5.

                                               Ответ: -1.

Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение:

35

Двоичная система счисления

        Любое число в двоичной системе представляется в виде ряда нулей и единиц, причем число

а =

Так, например, число 27 в двоичной системе записывается следующим образом:

          27 = .

Полезно помнить чему равны степени 2 хотя бы до

Запись  следует понимать так:

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную

Как же переводить числа из десятичной системы в двоичную?

Покажем это на примере числа 517.

        < 517 < Значит, 517 =  Посмотрим, между какими степенями двойки лежит 5: 22< 5 <23, откуда 517 = 1∙29 + + 1∙22 + 1. Последняя единичка – это просто 20. В итоге получаем, что 517 = 1 ∙ 29 + 1 ∙22 + 1 · 20. Здесь использовали только девятую, вторую и нулевую степени двойки, значит коэффициенты при остальных степенях – нули.

36

Итак,

517 = 1 ∙ 29 + 0 ∙ 28 + 0 ∙ 27  + 0 ∙ 26 + 0 ∙ 25  + + 0 ∙ 24 + 0 ∙ 23 +

+ 1 · 22  + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20  = 10000001012 .

         Есть и другой способ перевода чисел из десятичной системы в двоичную, он удобен для вычислений на компьютере. Покажем его на примере этого же числа.

517 = 2 ∙ 258 + 1,

258 = 2 ∙ 129 + 0,

129 = 2 ∙ 64 + 1,

64 = 2 ∙ 32 + 0,

32 = 2 ∙ 16 + 0,

16 = 2 ∙ 8 + 0,

8 = 2 ∙ 4 + 0,

4 = 2 ∙ 2 + 0,

2 = 2 ∙ 1+ 0,

1 = 2 ∙ 0 + 1.

Получили, что 517 = 10000001012 .

Сделаем проверку: 10000001012  = 1 ∙ 29 + 0 ∙ 28 + 0 ∙ 27  + 0 ∙ 26 + + 0 ∙ 25  + + 0 ∙ 24 + 0 ∙ 23 + 1∙ 22  + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20  = 29 + 22 + 20 =

= 512 + 4 + 1 = 517.

Сложение и вычитание

         Из равенств 0 + 0 = 1, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 10 становится понятно, что в двоичной системе можно складывать числа столбиком, только при этом надо помнить, что две единицы

каждого разряда дают единицу следующего.

37

Например:

        1011101

                                                   10010

                                           +    110011

                                               1011100

                                             11111110

В десятичной системе этот пример выглядел бы так:

93

18

     +     51

92

                                                       254

Вычитание:                         11001011

                                               1010110

                                               1110101        

         В десятичной записи уменьшаемое 110010112 равно 203, вычитаемое 10101102 равно 86, и тогда этот пример можно записать так:                                        203

                                                         86

                                                       117

Умножение

         Таблица умножения в двоичной системе:

0 ∙ 0 = 0, 1 · 0 = 0  ∙1 = 0, 1 · 1 = 1.

Умножение столбиком – это просто сложение нескольких одинаковых чисел, отличающихся только сдвигом:

38

                                                1010011

                                                1001101

                                               1010011

                                        +   1010011

                                           1010011

                                         1010011

                                   1100011110111

А вот как этот же пример выглядит в десятичной системе:

                                                           83

                                                        ×

                                                           77

                                                         581

                                                  +

                                                       581

                                                       6391

Задачи для самостоятельного решения

1. Переведите число 721 из десятичной системы в двоичную.

Ответ: 72110 = 10110100012 .

2. Какое число записывается как 10101101 в двоичной системе счисления?

Ответ: 17310 .

3. Сложите столбиком числа, записанные в двоичной системе:

а) 1010 + 101 = ?                             Ответ: 1111; 10 + 5 = 15.

б) 1111 + 1 = ?                                 Ответ: 10000; 15 + 1 = 16.

в) 1011 + 1 = ?                                 Ответ: 1100; 11 + 1 = 12.

г) 1111 + 1111 = ?                           Ответ: 11110; 15 + 15 = 30.

39

Проверьте ответы, переводя слагаемые и сумму в десятичную систему счисления.

4. Выполните вычитание чисел в двоичной системе в столбик. Проверьте результаты, переводя все числа десятичную систему.

а) 1101 – 101 =?                      Ответ: 1000; 13 – 5 = 8.

б) 110 – 1 =?                      Ответ:101; 6 – 1 = 5.

в) 1000 – 1 =?                      Ответ: 111; 8 – 1 = 7.

5. Перемножьте в столбик записанные в двоичной системе числа 1101 и 1010. Проверьте результат, переводя все числа в десятичную систему.

Ответ: 10000010; 13 · 10 = 130.        

6. Разделите 11011 на 101 (двоичная запись) уголком. Проверьте результат, перейдя в десятичную систему.

7. Сначала выполните действия в десятичной системе, затем переводите числа в двоичную систему, выполните в ней те же действия, ответ переводите в десятичную систему:

 а) 20 + 40; б) 1998 + 23; в) 23 · 34534; 460 · 20.

Делимость целых чисел

Определение и свойства делимости.

         Целое число а делится на целое число b ≠ 0, если существует такое целое число с, что а = bс.

Если а делится на b, то kа делится на b.

Если целые числа а и b делятся на целое число m, то сумма а + b и разность а- b делятся на m.

Если а кратно m и m кратно b, то а кратно b.

40

Если а делится на k, b делится на n, то произведение аb делится на произведение kn.

 Задачи для самостоятельного решения

1. Число а кратно 5. Докажите, что число 3а кратно 15.

2. Числа а и b делятся  на с. Докажите, что число а – b делится

на с.

3. Число а кратно 4, число b кратно 7. Докажите, что число

аb кратно 28.

4. Число а кратно 3. Докажите, что число 2а2 + 6а делится на 18.

5. Число а кратно 2, число b кратно 9. Докажите, что число

9а + 2b кратно 18.

6.Число а кратно 4, число b кратно 8. Докажите, что число

а2 – 2b кратно 16.

7. Докажите, что сумма двухзначного числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 11.

8. Докажите, что разность двухзначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 9.

9. Докажите, что разность квадрата целого числа и самого числа есть четное число.

10. Докажите, что число вида аb(a – b), где а и b – целые числа, четное.

11. Докажите, что 13+23+…+593 делится на 60.

12. Докажите, что 13+23+…+493 не делится на 50.

Теорема о делении с остатком

         Для любого целого числа а и натурального числа b, суще-

41

ствует единственная пара чисел q и r таких что а = bq + r, где q – целое, r – натуральное или нуль, причем r может принимать лишь b различных значений 0; 1; 2; …; b – 1.

Если остаток r равен нулю, то число а делится на b.

Задачи для самостоятельного решения

1. Число а при делении на 8 даёт остаток 6. Чему равен остаток

от деления числа а на 4?

Ответ: 2 Указание. Записать данное число в виде

а = 8k + 6 = 4(2k + 1) + 2.

2. Число b при делении на 10 даёт остаток 7. Чему равен остаток от деления числа b на 2?

3. Напишите общий вид чисел кратных 4 и дающих при делении на 3 остаток 2.

4. Число а при делении на 5 даёт остаток 3. Чему равен остаток от деления на 5 числа а2 – 3а?

5. Найдите все числа, которые при делении на 3 дают остаток 2, а при делении на 4 дают остаток 3.

6. Найдите все числа, которые при делении на 5 дают остаток 1, а при делении на 4 дают остаток 2.

7. Докажите, что если число а не кратно 3, то а 2 – 1 делится на 3.

8.Существует ли такое целое число, которое при делении на 10 даёт в остатке 3, а при делении на 15 даёт в остатке 7?

9. Существует ли такое целое число, которое при делении на 24 даёт в остатке 10, а при делении на 16 даёт в остатке 3?

10. Докажите, что число n3 – n кратно 6 при любом

42

натуральном n.

11. Докажите, что число n3 – n кратно 24 при нечётном n.

12. Известно, а2 + b2 делится на 7. Докажите, что а2 + b2 делится на 49.

13. Известно, а2 + b2 делится на 3. Докажите, что а кратно 3 и

b кратно 3.

Количество делителей.

         Степень p n любого простого числа p имеет n + 1 делителей: 1; p; p2; . . . , p n. Если p1, p2, . . . , pk – различные простые числа, а а1, а2, . . . , а k – натуральные числа, то число

имеет (а1 + 1)(а2 + 1) ··· (а k + 1) различных делителей (считая 1 и n).

Задачи для самостоятельного решения

1. Сколько различных делителей имеет число: а) 35; б) 35 · 5;

в) 22 · 33 · 44 · 55; г) 2700; д) 9!.

2. Натуральное число делится на 12 и имеет 14 различных делителей. Найдите это число.

3. Найдите все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30 различных натуральных делителей.

4. Найдите число, которое делится на 2 и 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 и само это число).

Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное

         Общим делителем чисел а и b называется число, на которое делятся оба числа а и b.

Для нахождения НОД (а;b) можно использовать алгоритм

43

Евклида, выполняя последовательно деление с остатком.

Например. Найти D (7975; 2585).        

Решение. Выполняя деление, получаем

                                                               7975  2585

        7755 3

                                                        2585 220

                                                        2420 11

                                                    220 165

                                                   165  1

                                            165  55        

                                            165  3

                                               0

Так как последний отличный от нуля остаток равен 55, то

D (7975; 2585) = 55.

Общим кратным чисел а и b называется число, которое делится на а  и на b.

                  НОД (а; b) · НОК (а; b) = аb.         

Задачи для самостоятельного решения

1.Найдите с помощью алгоритма Евклида наибольший общий делитель чисел:

а) 846 и 246; б) 1960 и 588; в) 15283 и 10013; г) 42628 и 33124.

2. Сократите дробь         

3. Приведите дроби  и  к одному знаменателю.

4. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 846 и 246; б) 1960 и 588.

5. Найдите а и b, если известно, что:

44

а) а: b = 11: 13, D (а; b) = 5;

б) D(а; b) = 5, К (а; b) =165;

в) D (а; b) = 7, аb = 294;

г) К (а; b) = 75, аb = 375;

д) а: b = 7:8, К (а; b) = 224.

Признаки делимости

Задачи для самостоятельного решения

1. В числе 1234567 укажите последнюю цифру так, чтобы число делилось на:

а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 8; е) 11; з) 25.

2. Докажите, что число: а) 100 100 – 1; б) 10 n + 35 – составное.        

3. Докажите, что число: а) 19 1990 - 34 10; б) 34 1990 – 19 10 кратно 5.

4. Замените звёздочки в записи числа 72 цифрами так, чтобы это число делилось без остатка на 45.

5 Число 82 делится на 90. Найдите делимое.

6.Найти цифры х и у пятизначного числа 42х4у, если известно, что это число делится на 72.

Сравнения. Периодичность остатков при возведения

в степень

        Определение. Если два числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m, то говорят, что а и b сравнимы по модулю m, и пишут: а

         Запись а можно прочитать так: а сравнимо с b по модулю m; это означает, что а и b имеют одинаковые остатки при делении на m.

45

         Сравнения – это другая запись свойств делимости. С помощью этой записи можно проще и короче объяснить некоторые из них.

Например, числа 12 и 27 сравнимы по модулю 5

(27 ), так как 27 – 12 =15, а число 15 делится на 5. То же самое можно было объяснить и так: 12 = 5 · 2 + 2, 27 = 5 · 5 + + 2, откуда видно, что 12 и 27 имеют одинаковые остатки при делении на 5.

Свойства сравнений:

     1) Сравнимость чисел а и b по модулю m равносильна возможности представить число а виде а = b + mt, где t- целое.

Например, 43  и 43 = 1 + 6 · 7.

     2) Каждое число а сравнимо с самим собой по произвольному модулю, т.е. а

     3) Если а ≡  и b ≡ с (mod m), то а 

Например, 9 ≡ 5(mod 4) и 13 ≡ 5(mod 4), а, значит,

9 ≡ 13(mod 4).

     4) Сравнения с общим модулем можно почленно складывать (или вычитать). Например, 23 ≡ 3(mod 5) и 9 ≡ 24(mod 5),

а следовательно 32 ≡ 27(mod5).

     5) Сравнения можно почленно перемножить и возводить в степень, например: 9 ≡ 5(mod 4), следовательно:

а) 90 ≡ 50(mod 4) - обе стороны умножены на 10;

б) 81 ≡ 25(mod 4) – обе стороны возведены в квадрат.

46

     6) Сравнение а имеет место в том и только в том случае, если разность а – b делится на m.

Пример 1. Докажите, что число  при делении на 7 даёт в

остатке 1.

Решение: Имеем:

Теперь, умножая обе части полученного сравнения на 2,

получим:              

Вычитаем затем 1 из обеих частей последнего сравнения:

откуда и следует, что число при делении на 7 даёт в

остатке 1.

Пример 2. Найти остаток от деления числа  на 7.

Решение: Так как 222 = 7 ∙ 31 + 5 , то 222 ≡ 5 (mod 7), и поэтому

Теперь посмотрим, как повторяются остатки степеней пятёрки при делении на 7. Находим: ∙ 5     Итак,  Возводя в степень k , получаем: ) при любом натуральном k. Но 555 = 6 · 92+ 3.

Поэтому

47

Таким образом, число  даёт при делении на 7 остаток 6.

Задачи для самостоятельного решения

1. Делится ли число  на 7?

2. Найдите остаток от деления числа  на 11.

3. Найдите остаток от деления числа  на 13.

4. Докажите, что число  делится на 100.

5. Делится ли число  на 10?

6. Найдите остаток от деления числа  на 24.

7. Докажите, что число  делится на 1001.

8. Найдите остаток от деления числа 2 100 на 7.

9. Какой цифрой оканчивается число 777 777?

10. Какой цифрой оканчивается число ?

Формулы сокращенного умножения

(а ± b)2 = а2 ± 2аb + b2;

(а1 + а 2+ ··· + а n)2 = а 12 + а 22+ ··· + а n2 + 2а 1а 2 + 2а1а 3 + ··· +

+ 2а n-1а n;

(а ± b)3 = а3 ± 3а 2b+ 3аb 2 ± b 3;

а2- b2 = (а + b)(а – b);

аn- bn = (а – b)(а n-1 + а n-2b + … + a n-kbk-1 + …+ ab n-2 + b n-1);

аn – 1 = (a -1)(a n-1 + a n-2 + …+ a n – k+ …+ a + 1);

a2m +1 + b 2m +1 = (a + b) (a 2m – a 2m -1b + …+ (-1) ka 2m – kb k +

+ ··· - ab 2m -1 + b 2m);

a2m +1 + 1 = (a + 1) (a 2m – a 2m -1 + ··· + (-1) ka 2m – k + ··· - a + 1).

48

Задачи для самостоятельного решения

1. Преобразуйте выражение в многочлен:

а) (а + b + с)2;                        г) (а – b – с)2;

б) (p + х + с + d)2;                        д) (2а – х + 3с)2;

в) (х + у – z)2;                        е) (m + 5k – 2b – 3р)2.

2. Упростите выражение:

а) (2х + у – 3z)2 – (х -2у + 2z)2;

б) (m – 4n + 5z)2 – (3m – n -3k)2;

в) (4 – 2p + q2)2 – (3p 2 – 5q +7)2;

г) (а + b + с)2 + (а – b – с)2 + (b – а – с)2 + (с – а – b)2.

3. Решите уравнение:

а) х2 + у2 – 2у + 1 = 0;        

б) |х| + у2 + z2 -2у+ 4z + 5 = 0;

в) 4х2- 10ху + 25у2 = 10ху - |у – 2| .

4.Докажите, что если а + b + с = 0 и а2 + b 2 + с2  = 1, то

аb + bс + са = -

5. Докажите, что если а = b + 1, то (а + b) (а2 + b2) (а4 + b4) (а8+

+ b8) ··· (а64+ b64) = а128 – b128.

6. Докажите, что если а2 + b2 + с2  = аb + bс + са, то а = b = с.

7. Докажите, что если а3+ b3 + с3= 3аbс, если а + b + с = 0.

8. Докажите, что при любом натуральном значении n:

а) 7n- 1 кратно 6;

б) 33n – 1 кратно 13;

в) 5n + 3 делится на 4;

49

г) 15n + 6 делится на 7.

9. Сократите дробь:

10. Докажите, что из равенства (а – b)2 + (b – c)2 + (c – а)2 =

= (а + b – 2с)2 + (b + с – 2а)2 ++ (с + а – 2b)2 следует,

что а = b = с.

Двузначные и трёхзначные числа

         Запись означает число, в котором a десятков и b единиц. Это число можно представить в виде многочлена:  = 10а + b.

         Запись  означает число, в котором а сотен, b десятков и с единиц. Это число можно представить в виде многочлена:  = 100а + 10b + с.

Пример 1.Первая цифра трёхзначного числа 8. Если эту цифру переставить на последнее место, то число увеличится на 18. Найдите первоначальное число.

Решение: Пусть а – цифра десятков искомого числа, b – цифра его единиц. Тогда по условию задачи имеем:

откуда    первоначальное число 890.

Ответ: 890.        

50

Задачи для самостоятельного решения

1. Представьте в виде многочлена число:

а)  б)  в)

2. Представьте в виде многочлена и упростите получившуюся сумму или разность:

а)         в)

б)         г)

3.Докажите, что:

а) сумма чисел  и  кратна сумме а и b;

б) разность чисел  и  кратна 9.

4. К числу х приписали справа цифру 4 . Представьте полученное число в виде суммы, если:

а) двузначное число; б) трехзначное число.

5. К числу у приписали слева цифру 5. Представьте полученное число в виде суммы, если у:

а) двузначное число; б) трехзначное число.

6. В двузначном числе зачеркнули одну цифру. Получилось число в 31 раз меньше первоначального. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?

Ответ: 31; 62; 93; зачеркнуть нужно первую цифру.

7.Найдите двузначное число, которое в четыре раза больше суммы его цифр.

Ответ: 12; 24; 36; 48.

8.Найдите все трёхзначные числа, которые в 25 раз больше

51

суммы своих цифр,

9. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 7. Найдите это число.

Ответ: 37.

10. Сумма цифр двузначного числа равна наибольшему из однозначных чисел, а число десятков на 2 меньше этой суммы. Какое это число?

Ответ: 72.

11. Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему из двузначных чисел, а цифра десятков в четыре раза меньше цифры единиц. Найти число.

Ответ: 28.

Делание многочлена на многочлен

         Чтобы разделить многочлен F(х) на многочлен f(х), надо:

1) расположить делимое и делитель по убывающим степеням х;

2) разделить старший член делимого на старший член делителя; полученный одночлен является первым членом частного;        

3) первый член частного умножить на делитель, результат вычесть из делимого; полученная разность является первым остатком;

4) чтобы получить следующий член частного, надо с первым остатком поступить так же, как поступали с делимым в п. 2 и 3.

Это следует продолжить до тех пор, пока не будет получен остаток, равный нулю, или остаток, степень которого ниже степени делителя.

52

Пример 1. Выполните деление с остатком х3 – 3х + 2 на х + 2.

Решение:

         х + 2        

         х3 + 2х2                х2 – 2х + 1

(первый остаток        )     -2х2 – 3х + 2

                                   -2х 2 – 4х                                                     (второй остаток)                   х + 2

        х + 2

                                                   0        

Пример 2. Найдите все такие целые с, при которых дробь  является целым числом.

Решение: Выделим целую часть из дроби.

         с + 7  с - 4                                                                                                                                                    

         с – 4  1

            11

 поэтому исходное число будет целым, если 11 кратно с – 4. 11 – простое число, значит, его делителями будут

- 11, - 1, 1, 11. Решим 4 уравнения: с – 4 = - 11; с – 4 = - 1;

с – 4 = 1; с – 4 = 11.

Получаем с = -7; с = 3; с = 5; с = 15.

Ответ: -7; 3; 5; 15.

Задачи для самостоятельного решения

Выполните деление с остатком:

 на х – 1.

на х 2 - х + 1.

3. х4 – 3х 2 + 1 на х – 2.

4. х4 + х + 1 на х 3 + 1.

53

5. х5 – 6х3 + 2х2 – 4 на х2 – х + 1.

6. х4 + х2 + 1 на х + 5.

7. х7 – 1 на х3 + х + 1.

8. х4 – 64 на х – 3 .

9. а) Представьте выражение  в виде где а, b и с – целые числа. 

  б) Представьте выражение  в виде

ах +b + где а, b, с, d -целые числа.

10. При каких натуральных значениях n выражение  является целым числом?

Ответ: 4.

11. При каких целых значения n выражение  является натуральным числом?

Ответ: -9; -3; 5.

12. При каких целых значениях n дробь  есть целое число?

Ответ: -6: -2; 0; 4.

13. Найти все целые а, при которых дробь  принимала бы

54

целые значения.

Ответ: -1; 0; 2; 3.

        Принцип Дирихле

Пример 1. Можно ли рассадить 5 кроликов в 4 клетки так, чтобы в каждой клетке было не более одного кролика?

Решение: Предположим, что нам это удалось. Тогда, если в каждой клетке не более одного кролика, то в 4 клетках не более четырёх кроликов, а у нас их 5. Значить, это сделать невозможно.

        Более общий вывод из этой задачи можно сформулировать в следующем виде:

        Если у нас имеется сколько-то клеток, а кроликов на одного больше, то после рассаживания кроликов по клеткам найдётся клетка, где сидит по крайней мере два кролика.

        Это и есть принцип Дирихле. Его можно записать и иначе на «математическом» языке:

         После рассаживания в n клетках n + 1 кролика найдётся клетка, где сидит, по крайней мере, два кролика.

Попробуем обобщить принцип Дирихле,

Пример 2. Можно ли рассадить 9 кроликов в 4 клетки так, чтобы в каждой клетке было не более двух кроликов?

Решение. Этого сделать нельзя: по крайней мере в одной клетке будет сидеть не меньше трёх кроликов. Отметим, что их может быть и больше трёх (если, например, посадить в 3 клетки по одному кролику, а в четвёртую всех остальных).

Пример 3. Можно ли рассадить в 20 клеток 101 кролика так,

55

чтобы в каждой клетке было не более 5 кроликов?

Решение. Нельзя. В некоторой клетке будет не меньше шести кроликов.

         Обобщение принципа Дирихле. В данные n клеток мы разместили nk + 1 кролика. Тогда найдётся клетка, где сидит не менее k + 1 кролика.

Пример 4. В классе учится 29 человек. Серёжа допустил в диктанте 13 ошибок, и никто другой не сделал большего числа ошибок. Доказать, что по крайней мере трое учеников сделали одинаковое количество ошибок.

Решение: Пусть «клетки» - это количество ошибок, которые могли сделать школьники: 0, 1, 2, ···, 13. Их 14. За «кроликов» примем учеников, писавших диктант. Их 29 = 14 · 2 + 1. Тогда по принципу Дирихле (а точнее, по его обобщению) найдётся «клетка», в которой сидит не меньше трёх «кроликов», а это и означает, что найдётся трое школьников, сделавших одинаковое количество ошибок.

Задачи для самостоятельного решения

1. В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трёх сортов, причём в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?

Ответ: Можно. (Так как сортов имеется 3, а ящиков 25, то хотя бы одного сорта не меньше 9 ящиков).

2. В ящике лежат цветные карандаши: 10 красных, 8 синих, 8 зелёных и 4 жёлтых. В темноте берём из ящика карандаши. Какое

56

наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них заведомо

            а) было не меньше 4-х карандашей одного цвета?

            б) был хотя бы один карандаш каждого цвета?

            в) было не меньше 6 синих карандашей?

Ответ: а) 13; б) 27; в) 28.

 3. В классе 40 учеников. Найдётся ли такой месяц в году, в котором отмечают свой день рождения не меньше чем 4 ученика этого класса?

Ответ: Найдётся. (Так как 40 > 36 = 12 ∙ 3, то найдётся месяц, в котором родились не менее четырёх одноклассников).

4. В школе 30 классов и 1000 учащихся. Доказать, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.

5.У мальчика 25 медных монет (это монеты достоинством в

1 коп, 2 коп, 3 коп, 5 коп.). Докажите, что у него найдётся

7 монет одинаково достоинства.

6. В 500 ящиках лежат яблоки, в каждом не более 240 штук.

Докажите, что найдутся три ящика, в которых яблок поровну.

7. В ящике 35 яблок трех сортов: анис, антоновка и славянка. В темноте мальчики выбирают яблоки. Какое наименьшее число яблок надо взять, чтобы среди них наверняка оказалось не меньше 4 яблок донного сорта?

8. Найдите значение дроби:

57

(Разные буквы – это разные цифры, а между буквами стоит знак умножения.)

Ответ: а) 0; б) 0. (Поскольку в этом ребусе 10 различных букв, то встречаются все цифры, включая нуль. На нуль делить нельзя, поэтому множитель 0 – в числителе).

9. Алёша в среду, четверг, пятницу съел всего 7 конфет. Докажите, что хотя бы в один день он съел более 2 конфет

10. В районе 15 школ. Докажите, что как бы ни распределяли между ними 90 компьютеров, обязательно найдутся две школы, получившие одинаковое число компьютеров (возможно, ни

одного).

11. В клетках таблицы 3 × 3 расставлены числа -1, 0, 1. Рассмотрим восемь сумм: сумма трёх чисел в каждой строчке, каждом столбце и по двум главным диагоналям. Докажите, что среди них найдутся хотя бы две одинаковые.

Принцип Дирихле и делимость целых чисел

1. Доказать, что среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5.

Решение: При делении на 5 возможных 5 разных остатков:

0; 1; 2; 3; 4. Так как чисел 6, то найдутся 2 числа с одинаковыми остатками; их разность  разделится на 5.

2. Доказать, что из любых трех целых чисел можно найти два, сумма которых делится на 2.

Решение: Среди трёх целых чисел обязательно найдутся два числа одинаковой чётности (так как чисел 3, а классов – чётных

58

и нечётных чисел – лишь два). Сумма их делится на 2 .

3. Докажите, что среди любых 11 целых чисел можно найти два, разность которых делится на10.

4. Верно ли, что среди любых семи натуральных чисел найдутся три, сумма которых делится на 3?

Решение: При делении на 3 есть три остатка: 0, 1, 2. Так как

7 = 3 ∙ 2 + 1, то найдутся три числа, дающие один остаток.

5. Доказать, что найдётся число вида 11· · ∙ 10 ∙ · · 00, делящееся

на 1998.

Решение: Рассмотрим 1999 чисел:         

                                     1, 11, …, 11…111                                                            

                                                            1999

Среди них есть два с одинаковыми остатками при делении на 1998. Их разность – искомое число.

Системы линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля

Пример 1. Решите систему уравнений:

Решение: Преобразуем  систему:

    (1)

59

Решим второе уравнение системы, используя определение модуля числа:  

Тогда из первого уравнения системы (1) находим:

1)         

2)(1;-6); (5;-6).

Ответ: (1;-6); (5;-6).

Задачи для самостоятельного решения

Решите систему уравнений:        

.

                                    Ответ: (0; 2); (3; 1).

                                          Ответ: (3; 1);

                                            Ответ: (0; -1); (1; 0).

                                        Ответ: (1; -1); (-1; -1).

60

                                           Ответ: (5; 0), (-3; 2).

                                         Ответ: (1; 2).

                                Ответ: (1,5; 5,5), (2,5; 5,5).

                                      Ответ: (х; 5 – х), где х ≥ 3.

Системы линейных уравнений с параметрами

        Система вида

                (1)

где А1, А2 , В1, В2, С1, С2 – выражения, зависящие от параметров,

а х, у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

        Если из какого-нибудь уравнения системы можно найти одну из неизвестных х или у через другую, то, подставив найденную неизвестную в другое уравнение, получим линейное уравнение с параметрами относительно одной неизвестной. Тем самым, исследование системы сведётся к исследованию линейного уравнения.

        Каждое из уравнений системы двух уравнений с двумя неизвестными представляют собой прямые.

        На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух прямых. Эти прямые могут:

61

а) пресекаться, в этом случае система (1) имеет единственное решение; коэффициенты системы удовлетворяют условию

б) совпадать, в этом случае система (1) имеет бесконечно много решений; коэффициенты системы удовлетворяют условию

= =

в) параллельны, в этом случае система (1) не имеет решений;

коэффициенты системы удовлетворяют условию

        = ≠

Пример 1. Определить, при каких значения m система

 имеет единственное решение.

Решение: Даннаясистема имеет единственное решение, если

Ответ: m ≠ 6.

Пример 2. Определить, при каком значении m система  не имеет решений.

Решение: Так как  то данная система не имеет реше-

62

ний, если = т. е. m=4.

Ответ: m = 4.

Пример 3. Определить, при каком значении m система  имеет бесконечное множество решений.

Решение: Так как = то данная система имеет бесконечное множество решений, если = т. е. при m = 10.

Ответ: m = 10.

Задачи для самостоятельного решения

1. При каких значениях параметра k система уравнений имеет решения?

Ответ: k= 0.

2. Найти все значения параметра m, при которых система  не имеет решений.

Ответ: m =

3. Найти все значения параметра k, при которых система  имеет единственное решение.

Ответ: k ≠ ±2.

63

4. Найти все значения параметра k, при которых система  имеет бесконечно много решений.

5. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение, укажите это решение:

        б)        

Ответ: а) а = 4, (0;2); б) а = 6, (3;0).

6. Найти все значения параметра k, при которых прямые

3х + 2kу = 1 и 3 (k-1)х – kу = 1:

а) пересекаются в одной точке; б) совпадают; в) не имеют общих точек.

7. При каких значениях p система уравнений имеет решение:                          

8. При каком значении а  прямые 5х – 2у = 3 и х + у = а  пересекаются в точке, принадлежащей оси у?

Ответ: а = - 1,5.

9. При каком значении b прямые bх + 3у = 10 и х – 2у = 4 пересекаются в точке, принадлежащей оси х?

Ответ: b = 2,5.

64

Литература

1. Альхова З. Н., Макеева А. В. Внеклассная работа по математике. – Саратов: Лицей, 2002.

2. Абрамович М. И., Стародубцев М. Т. Математика (алгебра

и элементарные функции). Учебное пособие. – М., Высшая школа, 1976.

3. Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. - М.:

Наука, 1975.

4. Бернштейн Е. А., Пушкарь Е. Е. Методические разработки для экспериментального курса математического отделения. Учебное пособие для учащихся ОЛ ВЗМШ при МГУ им. Ломоносова. – М.: 2004.

5. Виленкин Н. Я. и др. Алгебра: Для 8 класса. : Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики /Н. Я. Виленкин и др., Под ред. Н. Я Виленкина. – М.:

Просвещение, 1995.

6. Галицкий М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов. – М.: Просвещение, 1992.

7. Горбачёв Н. В. Сборник олимпиадных задач по математике. – М.: МЦНМО, 2004.

8. Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел, ч. 1.Числа. Учебное пособие для студентов физ.– мат. фак-тов. пед. ин-тов.- М.: Просвещение, 1974.

9. Мочалов В. В., Сильвестров В. В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учебное пособие. – 2-е изд., доп., перераб. –

65

Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2000.

10. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений. Под ред. С. А. Теляковского. –

10-е изд. – М.: Просвещение, 2001.

11. Никольский С. М. и др. Алгебра: Учебник для 7 класса

общеобразовательных учреждений. – 4-е изд. – М.:

Просвещение, 2003.

12. Сикорский К. П. Дополнительные главы по курсу математики 7 – 8 классов для факультативных занятий. Пособие для учащихся. М.: Просвещение, 1969.

13.Спивак А. В. Тысяча и одна задача по математике: кн. для учащихся 5 – 7 кл. – 2-ое изд. - М.: Просвещение, 2005.

14. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы. Учебное пособие. Под ред. М. И. Сканави. - 3-е изд., доп. – М.: Высшая школа, 1978.

66