А. В. Фарков

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ В ШКОЛЕ

5 класс

Вариант 1

1. Расшифруйте два ребуса, в которых одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам — разные цифры в обоих примерах. (3 б.)

2. Летели утки: одна впереди и две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд. Сколько всего летело уток? (3 б.)

3. Докажите, что из трех целых чисел всегда можно найти два, сумма которых делится на два. (4 б.)

4. Найдите наибольшее целое число, дающее при делении на 13 с остатком частное 17. (5 б.)

5. Определить расстояние АВ и расстояние между точками О и М, если М - середина отрезка АВ, ОА = а, ОВ = b. (6 б.)

6. Из числа        12345678910111213...5657585960    вычеркните 100 цифр так, чтобы оставшееся число стало  наибольшим. (8 6.)

Вариант 2

1. Вычеркните в числе 4000538 пять цифр так, чтобы  оставшееся число стало наибольшим.

2. Для того чтобы разрезать металлическую балку на две части, нужно уплатить за работу 5 рублей. Сколько будет  стоить работа, если балку нужно разрезать на 10 частей?

3. Парусник отправляется в плавание в понедельник в  полдень. Плавание будет продолжаться 100 часов. Назовите день и час его возвращения в порт.

4. Разбейте циферблат часов (см. рис. 1) с помощью  отрезков на три части таким образом, чтобы сумма чисел в каждой из этих частей была одной и той же.

5. На улице, став в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя, Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какое платье носит каждая из девочек?

6. Соедините точки А и В (см. рис. 2) линией длиной 19 см так, чтобы она прошла через все точки, изображенные на  рисунке (расстояние между двумя соседними точками,  расположенными горизонтально или вертикально, равно 1 см).

Вариант 3

1. Сколько раз к наибольшему однозначному числу надо прибавить наибольшее двузначное число, чтобы получить  наибольшее трехзначное число.

2. Расставьте скобки в записи 7-9 + 12: 3-2 так, чтобы значение полученного выражения было равно    а) 23;     б) 75.

3. Если Сережа поедет в школу автобусом, а обратно пойдет пешком, то он затратит на весь путь 1 ч 30 мин. Если же в оба конца он поедет автобусом, то затратит всего 30 мин. Сколько времени потратит Сережа на дорогу, если он пойдет пешком и в школу и обратно?

4. Школьный драмкружок, готовясь к постановке отрывка из сказки А. С. Пушкина о царе Салтане, решил распределить роли между участниками.

— Я буду Черномором, — сказал Юра.

— Нет, Черномором буду я, — заявил Коля.

— Ладно, — уступил ему Юра, — я могу сыграть Гвидона.

— Ну, я могу стать Салтаном, — тоже проявил  уступчивость Коля.

— Я же согласен быть только Гвидоном! — произнес Миша.

Желания мальчиков были удовлетворены. Как  распределились роли?

5. У Ивана имеется деревянный параллелепипед с  измерениями 6 см, 12 см, 18 см. Он распиливает его на кубики с ребром 1 см и ставит их один на другой. Сможет ли Иван  достроить вышку из этих кубиков, если даже он заберется на трехметровую лестницу.

Вариант 4

1. Запишите наибольшее и наименьшее семизначные числа.

2. У щенят и утят вместе 44 ноги и 17 голов. Сколько щенят и сколько утят?

3. Если школьник купит 11 тетрадей, то у него останется 5 рублей. А на 15 тетрадей у него не хватает 7 рублей. Сколько денег у школьника?

4. Как, имея два сосуда вместимостью 5 л и 7 л, налить из водопроводного крана 6 л?

5. Как разрезать прямоугольник, длина которого 16 см, а ширина 9 см, на две равные части, из которых можно составить квадрат?

Вариант 5

1. Вычислите: 101101 • 999-101 • 999 999.

2. Разместите на трех грузовиках 7 полных бочек, 7 бочек, наполненных на половину, и 7 пустых бочек так, чтобы на всех грузовиках был одинаковый по массе груз.

3. На школьной викторине участникам предложили 20  вопросов. За правильный ответ ученику ставилось 12 очков, а за неправильный списывали 10 очков. Сколько правильных  ответов дал один из учеников, если он ответил на все вопросы и набрал 86 очков?

4. Сколько прямоугольников изображено на рис. 3?  Площадь каждого квадрата равна 1 кв. ед.

5. Сколько нулей стоит в конце произведения всех  

натуральных чисел от 10 до 25?

Вариант 6

1. Решите уравнение: 2 + 180 : ( х -11) = 22.

2. Внучке столько месяцев, сколько лет дедушке. Вместе им 91 год. Сколько лет дедушке и сколько лет внучке?

3. В трех мешках находятся крупа, вермишель и сахар. На одном мешке написано «крупа», на другом — «вермишель», на третьем — «крупа или сахар». В каком мешке что находится, если содержимое каждого из них не соответствует записи?

4. Можно ли треугольник разрезать так, чтобы получилось три четырехугольника?  (Если «да», то выполните рисунок.)

5. Даны числа от 1 до 9. Расставьте их в кружки так,  чтобы сумма трех чисел вдоль каждой линии (см. рис. 4) была равна 15. Какое число должно быть в центре?

Вариант 7

1. В шести кружках, расположенных в форме  равностороннего треугольника (см. рис. 5), расставьте числа 31, 32, 33, 34, 35, 36 так, чтобы сумма чисел на всех трех сторонах  треугольника была одинаковой и равнялась 100.

2. Чашка и блюдце вместе стоят 25 рублей, а 4 чашки и 3 блюдца стоят 88 рублей. Найдите цену чашки и цену блюдца.

3. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик  сосчитал количество голов, их оказалось 30; а затем он сосчитал 53 количество ног, их оказалось 84. Сколько гусей и сколько  поросят было на скотном дворе?

4. Разделите данную фигуру (см. рис. 6) на четыре равные фигуры.

5. Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором были перемешаны мак и просо, и велела перебрать их. Когда Золушка уезжала на бал, она оставила три мешка: в одном — просо, в другом — мак, а в третьем — еще не разобранная смесь. Чтобы не перепутать мешки, Золушка к каждому из них приклеила таблички: «Мак», «Просо», «Смесь». Мачеха вернулась с бала первой и нарочно поменяла местами таблички так, чтобы на каждом мешке оказалась неправильная запись. Ученик Феи успел предупредить Золушку, что теперь ни одна надпись на мешках не соответствует действительности. Тогда Золушка достала только одно-единственное зернышко из  одного мешка и, посмотрев на него, сразу догадалась, где что лежит. Как она это сделала?

6. Из 9 монет — одна фальшивая, она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какая монета фальшивая?

7. Найдите сумму: 1 + 2 + 3 + ... + 111.

Вариант 8

1. Найдите среди чисел вида За + 1 первые три числа,  которые кратны 5.  

2. Малыш может съесть 600 г варенья за 6 мин, а Карлсон — в 2 раза быстрее. За какое время они съедят это варенье вместе?

3. Угадайте корни уравнения: 12 : х = 7-х.

4. Квадрат разрезали по ломаной линии, состоящей из трех равных отрезков. Начало разреза в точке А (см. рис. 7).  Получили две равные фигуры. Как это сделали?

5. Как с помощью семилитрового ведра и трехлитровой банки налить в кастрюлю ровно 5 литров воды?

6. Догадайся, какие цифры надо поставить вместо  звездочек?

7. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся  молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

Вариант 9

1. На прямой линии посажено 10 кустов так, что  расстояние между любыми соседними кустами одно и то же. Найдите это расстояние, если расстояние между крайними кустами 90 дм.

2. Выразите х из формулы а = (х + 8): 9.

3. Когда велосипедист проехал  пути, лопнула шина. На  остальной путь пешком он затратил вдвое больше времени, чем на велосипедную езду. Во сколько раз велосипедист ехал быстрее, чем шел?

4. В записи 1*2*3*4*5 замените «*» знаками действий и расставьте скобки так, чтобы получилось выражение,  значение которого равно 100.

5. Было 9 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на три части. Всего стало 15 листов. Сколько листов бумаги  разрезали?

6. Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1392 цифры. Сколько страниц в этой книге?

Вариант 10

1. Угадайте корень уравнения у • у + 5 = 21 и выполните проверку.

2. Попрыгунья Стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть времени каждых суток  танцевала, шестую часть — пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме?

3. Найдите значение выражения: 26∙25-25∙24 + 24∙23-23∙22+ 22∙21-21∙20 +20∙19-19 18+18∙17-17∙16 + 16∙15-15∙14.

4. Восстановите запись:

5. В семье четверо детей, им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера, Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на 3?

6. Приехало 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого, ни французского языка, 75 знали немецкий язык и 83 знали французский. Сколько туристов знали французский и немецкий языки?

Вариант 11

1. Решите уравнение 3 +  = 33.

2. Вычислите площадь фигуры, изображенной на рис. 8.

3. Из 18 одинаковых кубиков сложили прямоугольный  параллелепипед высотой в три кубика. Найдите площадь  поверхности параллелепипеда, если площадь поверхности одного  кубика равна 19 см2.

4. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 26. Найдите уменьшаемое.

Вариант 12

1. 3 ученика делают 3 самолетика за 3 минуты. Сколько учеников сделают 9 самолетиков за 9 минут?

2. Рыбаки поймали 19 рыбин массой 100 г, 200 г,..., 1900 г. Можно ли весь улов поделить поровну между 10 рыбаками? Если можно, то как? Если нет, то почему?

3. Средний возраст 11 игроков футбольной команды 22  года. Когда одного игрока удалили с поля, средний возраст  оставшихся игроков стал 21 год. Сколько лет удаленному игроку?

4. Цена билета на стадион была 150 руб. После снижения цены билета количество посетителей увеличилось на 50%, а сбор увеличился на 25%. На сколько снизили цену билета?

5. Напишите в строку пять чисел так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была отрицательной, а сумма всех чисел положительной.

Вариант 13

1. Внуку столько же месяцев, сколько лет бабушке.  Бабушке с внуком вместе 52 года. Сколько лет бабушке и сколько лет внуку?

2. Петя провел три прямые линии и отметил на них 6  точек. Оказалось, что на каждой прямой он отметил 3 точки. Покажите, как он это сделал.

3. Три охотника варили кашу. Один положил 2 кружки крупы, второй — 1 кружку, а у третьего крупы не было. Кашу же они съели все поровну. Третий охотник и говорит:  «Спасибо за кашу! В благодарность я даю вам 5 патронов, но как их поделить в соответствии с вашим вкладом в мою порцию каши?»

4. Четверо девочек выбирали водящую с помощью  считалки. Тот, на кого падало последнее слово, выходил из круга, и счет повторялся вновь. Считающая девочка каждый круг начинала с себя и в результате стала водящей, причем счет  каждый раз кончался перед ней. Какое наименьшее число слов могло быть в считалке?

6 класс

Вариант 1

1. Решите уравнение: 5(х + 2,6) = 3(2* + 5,2). (3 б.)

2. Дан прямоугольник ABCD, где А(-4;-1), В(3;-1), С(3; 5), D(-4; 5). Задайте с помощью двойного неравенства:

а) множество абсцисс всех точек прямоугольника;

б) множество ординат всех точек прямоугольника. (4 б.)

3. В записи 52*2* замените звездочки цифрами так,  чтобы полученное число делилось на 36. Укажите все возможные решения. (5 б.)

4. Сколько воды надо добавить к 600 г жидкости,  содержащей 40% соли, чтобы получился 12%-ый раствор этой соли? (8 6.)

5. Ученик вышел из дома в школу в 8 ч утра. В какое время он придет в школу, если до нее 1 км? (9 б.)

6. Олег, Игорь и Аня учатся в 6 классе. Среди них есть лучший математик, лучший шахматист и лучший художник. Известно, что:

а) лучший художник не нарисовал своего портрета, но  

нарисовал портрет Игоря;

б) Аня никогда не проигрывала мальчикам в шахматы.

Кто в классе лучший математик, лучший шахматист и  

лучший художник? (10 б.)

Вариант 2

1. Поставьте вместо звездочек цифры:

2. Выразите число 16 с помощью четырех пятерок,  соединяя их знаками действий.

3. Найдите два корня уравнения: |-0,63|: |х| = |-0,9|.

4. Разместите восемь козлят и девять гусей в пяти хлевах так, чтобы в каждом хлеве были и козлята и гуси, а число их ног равнялось 10.

5. На столе стоят три одинаковых ящика, в одном  находятся 2 черных шарика, в другом — 1 черный и 1 белый шарик, в третьем — 2 белых шарика. На ящиках написано: «2 белых», «2 черных», «черный и белый». При этом известно, что ни  

одна из надписей не соответствует действительности. Как, вынув только 1 шарик, определить правильное расположение  надписей?

Вариант 3

1. Решите уравнение: 0,5 • (х + 3) =  • (11-х).

2. Найдите все дроби со знаменателем 15, которые больше  и меньше 1.

3. Переложите одну из семи спичек, изображающих число , записанное римскими цифрами (т. е. ) так, чтобы получившаяся дробь равнялась .

4. Возраст старика Хоттабыча записывается числом с  различными цифрами. Об этом числе известно следующее:

• если первую и последнюю цифру зачеркнуть, то  получится двузначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим;

• первая цифра больше последней в 4 раза. Сколько лет старику Хоттабычу?

5. Древнегреческая задача.

— Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?

— Вот сколько, — ответил Пифагор, — половина  изучает математику, четверть — природу, седьмая часть проводит время в размышлении и, кроме того, есть еще три женщины. Сколько всего учеников посещают школу Пифагора?

Вариант 4

1. Решите уравнение: -  : 3,1 = х : 9,3.

2. Вместо звездочек расставьте пропущенные цифры:

3. Некоторый товар стоил 500 рублей. Затем цену на него увеличили на 10%, а затем уменьшили на 10%. Какой стала цена в итоге?

4. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

5. В летний лагерь приехали отдыхать три друга: Миша, Володя и Петя. Известно, что каждый из них имеет одну из  следующих фамилий: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша — не Герасимов. Отец Володи — инженер. Володя учится в 6 классе. Герасимов учится в 5 классе. Отец  Иванова — учитель. Какая фамилия у каждого из трех друзей?

Вариант 5

1. Даны числа 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9. Расставьте их так, чтобы сумма их на каждой стороне треугольника (см. рис. 9) была  равна 20.

2. Найдите наиболее рациональным способом значение  выражения: 25- • 7 + (12-4) • 25 + 125 • 357 • 0,008.

3. Решите уравнение: Iх—4I = 3.

4. Школьник прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал 0,2 всей книги и еще 16 страниц, во второй день — 0,3 остатка и еще 20 страниц. В третий день — 0,75 остатка и последние 30 страниц книги. Сколько страниц в книге?

5. Инопланетяне сообщили жителям Земли, что в системе их звезды три планеты А, Б, В. Они живут на второй планете. Далее передача сообщения ухудшилась из-за помех, но было принято еще два сообщения, которые, как установили ученые, оказались оба ложными:

а) А — не третья планета от звезды;

б) Б — вторая планета.

Какими планетами от звезды являются А, Б, В?

Вариант 6

1. Выполните действия: 15,81 : (24-23,66)-18 : 37,5.

2. Решите уравнение: |x—3| = 7.

3. Расшифруйте запись. Одинаковыми буквами  обозначены одинаковые цифры, разными буквами — разные цифры.

4. В шестизначном числе первая цифра совпадает с  четвертой, вторая — с пятой, третья — с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.

5. В школьной математической олимпиаде принимали  участие 9 учеников шестого класса. За каждую решенную задачу ученик получал 2 очка, а за каждую нерешенную задачу с него списывалось 1 очко. Всего было предложено 10 задач.  Докажите, что среди участников олимпиады из шестого класса было, по крайней мере, два ученика, набравших одинаковое число очков. (Считается, что ученик, набравший больше штрафных очков, чем зачетных, набрал ноль очков.)

Вариант 7

1. Расшифруйте запись. Одинаковыми буквами  обозначены одинаковые цифры, разными буквами — разные цифры.

2. Какая часть квадрата (см. рис. 10) закрашена?

3. Один купец прошел через три города, и взыскали с него в первом городе пошлины половину и треть имущества, и во втором городе половину и треть (с того, что осталось), и в  третьем городе снова взыскали половину и треть (с того, что у него было); и когда он прибыл домой, у него осталось имущества на 1000 денежных единиц. Узнайте, какова была стоимость  имущества у купца?

4. Расставьте числа ; ; ;  в порядке убывания.

5. Ни у кого из тысячи пиратов

Не наберется тысячи дукатов.

Но даже самый маленький пират

Имеет все же хоть один дукат.

Так можно ли сказать о тех пиратах,

Что среди них — безусых и усатых,

Косматых, безбородых, бородатых —

Есть двое одинаково богатых?

6. По кругу написано 2009 натуральных чисел. Докажите, что найдутся два соседних числа, сумма которых четна.

Вариант 8

1. Масса бидона с молоком 32 кг, без молока — 2 кг. Какова масса бидона, заполненного молоком наполовину?

2. Расшифруйте запись. Одинаковыми буквами  обозначены одинаковые цифры, разными буквами — разные цифры.

3. Три подруги вышли в белом, синем, зеленом платьях и туфлях таких же цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и туфель совпадает. Ни платье, ни туфли Вали не  были белыми. Наташа была в зеленых туфлях. Определить цвет платья и туфель каждой подруги.

4. В классе 35 учеников. Из них: 20 школьников  занимаются в математическом кружке, 11 — в экологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько экологов увлекается  математикой?

5. В школе 33 класса, 1150 учеников. Найдется ли класс, в котором меньше 35 учеников?

Вариант 9

1. Первый раз Дима на рыбалку поехал на велосипеде.  Рыбы поймал много, поэтому обратно шел пешком. На весь путь он затратил 40 минут. Во второй раз он до реки туда и  обратно ехал на велосипеде и затратил 20 минут. Сколько времени Диме потребуется, чтобы пройти путь в оба конца пешком?

2. Разрежьте клетчатый прямоугольник размером 5 х 8 на фигурки из четырех клеток вида (рис. 11).

3. На окраску куба размерами 2x2x2 требуется 2 грамма краски. Сколько краски потребуется на покраску куба  размером 6x6x6?

4. Маша купила в магазине тетради по 13 рублей и  блокноты по 15 рублей. За всю покупку она заплатила ровно 239  рублей. Сколько тетрадей и блокнотов купила Маша?

Вариант 10

1. Решите уравнение:  = .

2. Произведение двух взаимно простых чисел равно 3232. Чему равно наименьшее общее кратное этих чисел? Найдите эти числа.

3. Сравните числа х и у, если 13,5% числа х равны 12,5% числа у.

4. Прямоугольник разделен двумя отрезками на четыре прямоугольника, площади трех из которых 2 см2, 4 см2, 6 см2 (рис. 12). Найдите площадь прямоугольника.

Вариант 11

1. В стаде 8 овец. Первая съест копну сена за 1 день,  вторая — за 2 дня, третья — за 3 дня,..., восьмая — за 8 дней. Кто быстрее съест копну сена: две первые овцы или все остальные вместе?

2. В начале забега на 1000 м вперед вырвался Андрей,  вторым шел Борис, а третьим — Виктор. За время бега Андрей и Борис менялись местами 6 раз, Борис и Виктор — 5 раз, Андрей и Виктор — 4 раза. В каком порядке прибежали спортсмены? Почему?

3. В классе девочек, которым нравится математика,  столько же, сколько и мальчиков, которым не нравится математика. Кого в классе больше: учеников, которым нравится  математика или мальчиков?

4. Придумайте натуральное число, которое делится на 2004 и сумма его цифр также делится на 2004.

Школьная олимпиада г. Кострома 2009г.

5 класс

Задание №1

В записи 999999999 поставьте между некоторыми цифрами знаки сложения и деления, чтобы сумма оказалась равной 2009.

Задание №2

Если бы пятиклассница Маша купила 11 тетрадей, то у неё осталось бы 5 рублей. А на 15 тетрадей у неё не хватило 7 рублей. Сколько денег было у Маши?

Задание №3

Назовём натуральное число «симпатичным», если в его записи встречаются только нечётные цифры. Сколько существует 4-значных «симпатичных» чисел?

Задание №4

Двенадцать кузнецов должны подковать 18 лошадей. Какое наименьшее время они затратят на работу, если каждый кузнец тратит на одну подкову 5 минут?

Задание №5

В квадрате 7×7 закрасьте некоторые клетки, чтобы в каждом столбце и в каждой строке оказалось ровно по три закрашенные клетки.

6 класс

Задание №1

В классе работает три секции. В лыжной секции занимаются 19 человек, в секции плавания – 13 человек, а в велосипедной секции – 12 человек. Сколько школьников занимается велосипедом и плаванием, если каждый спортсмен посещает две секции?

Задание №2

У Пети 44 монеты и 10 карманов. Сможет ли он разложить все свои монеты по карманам так, чтобы количество монет в каждом кармане было бы различным ( в частности оно может быть равно нулю)?

Задание №3

Квадрат 6 × 6 разрезать на фигуры:

так, чтобы в каждой фигуре была ровно одна закрашенная клетка.

Задание №4

У Саши на дне рождения было пятеро друзей. Первому он отрезал 1 часть пирога, второму  остатка, третьему  того, что осталось, четвертому  нового остатка. Последний кусок Саша разделил пополам с пятым другом. Кому достался самый большой кусок?

Задание №5

В бочку запустили 40 крыс, которые постепенно поедают друг друга. Крыса считается сытой, если она съела 4 крысы (сытых или голодных). Докажите, что как бы крысы не поедали друг друга, 10 крыс никогда не смогут насытиться.

Школьная олимпиада г. Кострома 2011г.

5 класс

1. В двузначном числе зачеркнули цифру, и оно уменьшилось в 46 раз. Определите, какое это было число и какую цифру зачеркнули?

2. Кот Матроскин принёс с базара несколько яблок и хвастается Шарику: «Я купил в четыре раза больше яблок, чем ты вчера, но заплатил за каждое яблоко вдвое меньше». Сколько денег заплатил Матроскин, если Шарик истратил на яблоки 75 рублей?

3. Сложить квадрат, используя четыре из пяти изображённых фигурок. Какая фигурка останется  лишней?

4.В семье четверо детей. Им исполнилось 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Миша, Вера и Женя. Одна из девочек ходит в детский сад. Аня старше Миши. Сумма возрастов Ани и Жени делится на 3. Кто Женя: мальчик или девочка?

5. У пяти пиратов было по 16 монет. Потом первый отдал половину своих монет второму, второй – половину от имеющихся теперь монет третьему, третий половину четвертому, а четвертый – половину пятому. На сколько монет у пятого пирата стало больше, чем у первого?

6 класс

1. Замените звёздочки цифрами, чтобы получилось верное равенство  −   =  

2. Доктор Айболит раздал пяти заболевшим зверям 2011 чудодейственную таблетку. Носорог получил на одну больше, чем крокодил, бегемот на одну больше, чем носорог, а слон – на одну больше, чем бегемот. Удаву досталось столько же таблеток, сколько и крокодилу. Сколько таблеток придётся съесть слону?

3. На новогодний праздник Тянитолкай получил подарок от доктора Айболита. Собака Авва считает, что ему подарили красный бант, попугай Карудо уверен, что это синий бант, а сова Бумба говорит, что подарен белый воздушный шар. Какой подарок получил Тянитолкай, если известно, что каждый из них угадал либо цвет  подарка, либо его вид? Ответ обоснуйте.

4. Требуется разрезать по клеточкам, изображенную на рисунке фигуру на несколько равных частей. Сколько частей может получится ? Найдите все возможные ответы и для каждого из них укажите способ разрезания. (Части считаются равными, если они совпадают при наложении.)

5. Среди 101 монеты есть одна фальшивая, которая по весу отличается от настоящей. Но на этот раз неизвестно, в какую сторону. За два взвешивания определите, легче или тяжелее настоящей фальшивая монета. (Саму монету определять не нужно.)

Творческая лаборатория «Дважды Два»:

письменный тур олимпиады пятиклассников 2009

http://mathbaby.ru/olympiads/5th/2009/1st-tour

Часть А

1. На полке в один ряд стоят книги. Энциклопедия стоит пятой слева и семнадцатой справа. Сколько книг на полке?

2. 5 окуней легче 6-ти карасей, но тяжелее 10 лещей. Что тяжелее — 2 карася или 3 леща?

3. Лиса, Волк и Заяц сыграли в домино. Заяц сказал: «Волк глупее лисы». Волк: «Лиса выиграла». Известно, что один из зверей — самый глупый — соврал. Выиграл же самый умный зверь. Кто это был?

4. Костя мечтает: «Если бы у меня было конфет в три раза больше, чем сейчас, то у меня было бы на 12 конфет больше». Сколько конфет у Кости?

5. Отличница Настя составила огромное число, выписав подряд натуральные числа от 1 до 500: 123456789101112...498499500. Двоечник Миша стер у этого числа первые 200 цифр. С какой цифры начинается оставшееся число?

6. Лида вяжет шарф длиной 2м. Каждое утро она садится за вязание и вяжет 30см. Каждую ночь котенок Непоседа распускает 20см связанного шарфа. Лида начала вязать 1 февраля. Какого числа шарф будет связан?

7. Чему равна сумма 123456789 + 234567891  + 345678912  + ... +912345678 ?

8. В одной сказочной стране Лилипуты и Гуливеры построили рядом многоэтажные дома, которые соединены горизонтальным переходом с 5-го этажа дома Гуливеров на 25-ый этаж дома Лилипутов.

(а) Пол какого этажа Лилипутов напротив пола 10 этажа Гуливеров?

(б) Во сколько раз этаж Гуливеров выше этажа Лилипутов?

9. Встретились три мальчика: Вася, Лёша и Миша. Вася сказал: «Мы все лжецы». Лёша сказал: «Мы все всегда говорим правду». А Миша промолчал. Сколько лжецов среди ребят?

10. В городе Урюпинске на главной площади города устроили каток странной формы (см.план справа). Какова площадь катка, если площадь одной клеточки на плане 1м2 ?

11. Первого сентября в школе начались занятия кружков пения, рисования, по математике и по физике. Кружок пения проходит через два дня на третий, рисования — каждый 4-й день, кружок по математике — каждый 5-й день и по физике- каждый 6-й день. Кружки ведутся и в выходные, и в каникулы.

(а) Сколько было осенью дней, когда собирались все четыре кружка?

(б) Сколько занятий кружка по математике было осенью?

Часть Б

1. В зимней математической школе начальник смены повел школьников кататься на лыжах. Начало и конец маршрута — в точке С (см.рис.). Могли ли школьники пройти 10 километров по этому маршруту?

2. Аня, Саша и Витя и Настя решали контрольную, на которой задали 9 задач. Могло ли быть так, что Аня списала семь задач у Саши, Саша списал семь задач у Вити, Витя списал семь задач у Насти, а Настя списала семь задач у Ани?

3. Юля, Семен, Василиса, Илларион и Татьяна Петровна ели конфеты (причем, не деля их на части). Когда все конфеты кончились, их спросили: «Кто сколько съел конфет?» На что они ответили:

Юля: «Я и Василиса съели 97 конфеты»;

Семен: «Я и Илларион съели 234 конфеты»;

Василиса: «Я, Семен и Татьяна Петровна съели 153 конфет»;

Илларион: «Я, Татьяна Петровна и Юля съели 277 конфет».

После этого Татьяна Петровна сказала, что так быть не могло. Почему она пришла к такому выводу?

4. У Буратино есть 6 монет: две золотые, две серебряные и две медные. В каждой паре одна монета настоящая, а другая фальшивая. Известно, что все настоящие монеты весят одинаково и все фальшивые тоже весят одинаково. Фальшивые легче настоящих. Как за 2 взвешивания на чашечных весах без гирь найти все настоящие монеты?

5. Клетки тетрадного листа раскрашены в 8 цветов. Докажите, что найдется фигура вида , внутри которой есть две клетки одного цвета.

Областной этап олимпиады по математике

учащихся  общеобразовательных учреждений  (2010г.)

5 класс

(Время работы над заданиями – 1 час)

1. Восстановите пример  

                   ОГОГО+УГУГУ=УГУГУГ.

   Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные  буквы – разные  цифры.

   2. Фирма «Рога и копыта» изготавливает деревянные кубики со стороной 20 см. Материалы для изготовления одного кубика стоят 40 копеек (10 копеек — дерево, 30 копеек — лак для покрытия всей поверхности). Во сколько раз дороже обойдутся материалы для производства одного кубика со стороной 40 см?

3. Гриб называется плохим, если в нем не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?

4.    Поросенок Наф-Наф придумал, как сложить параллелепипед из одинаковых кубиков и оклеить его тремя квадратами без щелей и наложений. Сделайте это и вы.

5. Рассеянный математик, переселившийся в новый район, забыл номер своей квартиры. Он лишь помнил, что номер двузначный, является разностью  квадратов двух чисел,  меньшее из которых равно цифре десятков и вдвое больше числа единиц номера квартиры. Можно ли по этим данным восстановить номер квартиры?

6 класс

(Время работы над заданиями – 1,5 часа)

1. Малыш и Карлсон идут на  обед с плюшками к Фрекен Бок.

Шаги Карлсона на 20% короче, чем шаги Малыша, но зато он за то же время  делает на 20%  больше шагов, чем Малыш. Кто ходит быстрее?

2. Из клетчатого квадрата размером 9×9 клеточек вырезали центральную клетку. Как разрезать оставшуюся часть квадрата на 40 одинаковых треугольников?

3. Существуют ли три последовательных натуральных числа, каждое из которых делится на квадрат какого-нибудь натурального числа, отличного от единицы?

4. В Стране Чудес состоялись рыцарские состязания на звание Бравного  Воина.  Победитель получал из рук Алисы приз – Вострый  меч. Всего состоялось 105 поединков, причем  в них каждый участник встретился с каждым другим  ровно один раз. Победил Шляпник. Сколько рыцарей, кроме него, участвовали в состязаниях?  

5. Кролик, готовясь к приходу гостей, повесил в трёх углах своей многоугольной норы по лампочке. Пришедшие к нему Винни-Пух и Пятачок увидели, что не все горшочки с мёдом освещены. Когда они полезли за мёдом, две лампочки разбились. Кролик перевесил оставшуюся лампочку в некоторый угол так, что вся нора оказалась освещена. Могло ли такое быть? (Если да, нарисуйте пример, если нет, обоснуйте ответ.)

Межрегиональная заочная математическая олимпиада 2008/09 учебного года (Всероссийской школы математики и физики «Авангард»).

6  класс

1.  Разрежьте произвольный треугольник на четыре одинаковых треугольника.

2.  Восстановите пропущенные цифры:

3.  На сколько частей делят пространство продолженные плоскости граней куба?

4.  В чемпионате страны СооБразилии по пляжному футболу, проходящем по круговой системе в два круга, было сыграно 9702 матча. Сколько команд приняло участие в чемпионате?

5.  Среди 2012 внешне неразличимых шариков половина имеет один вес, а вторая половина — другой. Требуется выделить две кучки шариков так, чтобы количество шариков в кучках было одинаковым, а массы кучек — разными. Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь это можно сделать?

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

5 класс

Вариант 1

2.3.

3. Из трех чисел как минимум два являются одинаковой четности, значит, их сумма делится на 2.

4. а = 13 17 +12 = 233.

5. Точки А и В могут лежать по одну или по разные стороны от точки О. Рассмотрим первый случай: Аи В лежат по одну сторону от точки О (см. рис. 1).

рисунок 1

1) а < b. Тогда АВ = ОВ-ОА = b-а, ОМ = ОВ-МВ = b - (b-а)= (а + b).

2) а > b, тогда А и В меняются местами и АВ = ОА—ОВ = a - b,  ОМ = ОА-МА = а - (а-b) - а + b = (a + b).

3) a = b, тогда точки А и В совпадут и ОМ = ОА = a = b.

Рассмотрим второй случай: точки Аи В лежат по разные

стороны от точки О (см. рис. 2).

рисунок 2

Рассуждая аналогично, получаем:

ОМ = (b-а), если b > а,

ОМ = (а-b), если b < а,

ОМ = 0, если b = а.

6.  Надо вычеркнуть 100 цифр, причем оставить как  можно больше цифр «9» впереди. Тогда до первой цифры «9»  вычеркнем 8 цифр, до второй — 19, до третьей — 19, до  четвертой — 19, до пятой — 19. Таким образом, мы  вычеркнем 19 • 4 + 8 = 84 цифры. Останется вычеркнуть 16 цифр из оставшегося числа 999995051525354555657585960.  Вычеркнем теперь 15 цифр, стоящих перед семеркой. Остается  число 999997585960. Осталось вычеркнуть одну пятерку. Таким образом, останется число  99999785960.

Вариант 2

1.58.

2. 45 рублей, так как распилов надо сделать 9.

3. В сутках 24 часа, поэтому 100 ч = 4-24ч+4ч = 4сут+4ч. Поэтому парусник вернется в пятницу в 16 ч.

4. См. рис. 3.

рисунок 13

5. Из второго предложения ясно, что Аня и Валя не в  зеленом платье, Надя — не в зеленом и не в голубом. Из  третьего предложения следует, что Валя не в розовом и не в белом платье. Тогда Валя будет в голубом платье, а Галя в зеленом. Используя первое предложение, изобразив девочек по кругу, получим, что Галя будет стоять между Валей и Надей. Тогда Аня в белом, а Надя в розовом платье.

Ответ: Валя, Аня и Надя соответственно в голубом, белом и розовом платьях.

6. См. рис. 4.

Вариант 3

1. 9 + n -99 = 999, n = 10.

Ответ: 10 раз.

2. а) (7-9 +12): 3-2 = 23, б) (7-9+12): (3-2) = 75.

3. 30 мин : 2 = 15 мин — Сережа едет в школу автобусом в одну сторону.

1 ч 30 мин—15 мин = 1 ч 15 мин — Сережа идет пешком в одну сторону.

1 ч 15 мин 4-1 ч 15 мин = 2 ч 30 мин — пешком в оба конца.

Ответ: 2 ч 30 мин.

4. Для решения задачи применим графы (см. рис. 5).

Так как к Салтану идет лишь одна стрелка, то Коля будет

играть Салтана. Тогда Коля не будет Черномором, а значит, Черномором будет Юра и Миша — Гвидоном.

5. 6-12-18 = 1536 (см3) — объем параллелепипеда. При  постановке кубиков объемом 1 см3 друг на друга получим вышку высотой 15 м 36 см. Так как лестница всего длиной 3 м, то рост мальчика с вытянутой рукой должен быть 15 м 36 см—3 м = = 12 м 36 см, чего не может быть.

Вариант 4

1. 9999999 — наибольшее и 1000000 — наименьшее.

2. 5 щенят и 12 утят.

3. 38 рублей.

4. 1) Наполняем семилитровый сосуд, переливаем из него 5 л в пятилитровый, затем 5 л выливаем, а оставшиеся 2 л в семилитровом сосуде выливаем вновь в  пятилитровый сосуд.

2) Снова наполняем семилитровый сосуд, отливаем из него 3 л в пятилитровый сосуд. Тогда в семилитровом остается 4 л. Выливаем все из пятилитрового сосуда и выливаем в него 4 л из семилитрового сосуда.

3) Наполняем вновь семилитровый сосуд, отливаем из него 1 л в пятилитровый сосуд. Таким образом, в  семилитровом сосуде получаем 6 л.

5. См. рис. 6.

Рисунок 6

Вариант 5

1. 101101 • 999-101 • 999999 = 101 • 1001 • 999-101 • 999 • 1001 = 0.

2. На первый грузовик поместить 3 полных бочки, 1  наполненную наполовину, 3 пустых бочки; на второй грузовик — 3 полных, 1 наполненную наполовину и 3 пустых бочки; на третий грузовик — 1 полную, 5 наполненных наполовину, 1  пустую.

3. Изобразим таблицу набранных очков соответственно при верных 20, 19 и т. д. вопросах:

Из таблицы видно, что ученик ответил верно на 13  вопросов. Можно было заметить закономерность, что каждый раз число набранных очков уменьшается на 22.

Ответ: 13.

4. С площадью по 1 кв. ед. будет 9 прямоугольников; 12 — с площадью по 2 кв. ед.; 6 прямоугольников — по 3 кв. ед.; 4 прямоугольника имеют площадь по 4 кв. ед. и 4 — по 6 кв. ед. и 1 — 9 кв. ед.

Ответ: 36 прямоугольников.

5. В произведении содержится 5 «пятерок»: по одной дают разложения 10, 15 и 20 на простые множители; а 25 = 5 х 5. Произведение каждой «пятерки» на четный множитель дает нуль, поэтому произведение оканчивается 5 нулями.

Ответ: 5 нулей.

Вариант 6

1. x = 20.

2. Внучке 7 лет, дедушке 84 года.

3. Используем таблицу.

Так как в первом мешке не крупа, то ставим в  соответствующей клетке « — ». Аналогично, во второй строке ставим « — » — против вермишели. Так как в третьем мешке — не крупа и не сахар, то ставим «минусы» в столбцах с надписями «крупа» и «сахар». Тогда из таблицы получаем, что в третьем мешке — вермишель, во втором — крупа (крупы нет в 1 и 3 мешках), значит, сахар — в 1 мешке.

Ответ: В мешке с надписью «крупа» находится сахар, с надписью «вермишель» — крупа, с надписью «крупа или  сахар» — вермишель.

4. Да, возможный вариант изображен на рис. 7.

5.10 =1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6. Разместим «5» в центре.

Тогда возможный вариант может быть такой (см. рис. 8).

рисунок 8

Вариант 7

1. См. рис. 9.

2. Одна чашка и одно блюдце вместе стоят 25 рублей,

поэтому 4 чашки и 4 блюдца будут стоить 100 рублей. Так как

по условию задачи 4 чашки и 3 блюдца стоят 88 рублей, то одно блюдце стоит 12 рублей. Тогда одна чашка будет стоить (25-12) рублей = 13 рублей.

Ответ: Цена чашки 13 рублей, цена блюдца 12 рублей.

3. Если бы все поросята встали на задние ноги, то на земле оказалось бы 30 • 2 ног. Тогда вверху будет 84-60 = 24  (ноги). Так как каждый поросенок вверх поднял по две ноги, то поросят будет 24 : 2 = 12. Тогда гусей будет 30-12 = 18.

Ответ: 12 поросят и 18 гусей.

4. См. рис. 10.

рисунок 140

5. Золушка взяла зернышко из мешка с надписью «смесь»; так как ни одна табличка не соответствовала содержимому мешка, то там был мак или просо. Если взятое Золушкой  зернышко — мак, то в мешке с надписью «смесь» — мак, тогда в мешке с надписью «мак» — просо, а в мешке с надписью «просо» — смесь.  Аналогично, если взятое зернышко — просо, то в мешке с надписью «смесь» —просо. Тогда в мешке с надписью «мак» — смесь, а в мешке с надписью «просо» — мак.

6. Разделим 9 монет на три кучки по 3 монеты. Произведем первое взвешивание: положим 2 кучки по 3 монеты на каждую чашку весов. Возможны 2 случая:

а) весы находятся в равновесии, тогда на весах находятся настоящие монеты; фальшивая монета находится среди тех монет, которые не взвешивались;

б) равновесия на весах нет, тогда фальшивая монета среди тех монет, где кучка легче.

Определив таким образом кучку с фальшивой монетой,  выполним с ней второе взвешивание. Возьмем из трех монет  любые две и положим их на чашки весов. Снова возможны 2  случая:

а) весы находятся в равновесии, тогда фальшивая монета оставшаяся;

б) равновесия нет, в этом случае фальшивая монета там, где вес меньше.

7. Напишем искомую сумму дважды:

S = 1 + 2 + 3 + ... + 109 + 110+111.

S = 111 + 110 + 109 + ... + 3 + 2 + 1.

Сложим почленно:

2S = (1 + 111)+ (2+ 110)+... + (110+ 2)+ (111 + 1) = 112∙111.

Тогда S = 112∙111 : 2 = 6216.

Вариант 8

1.10,25,40.

2. 600 : 6 = 100 (г) — съест Малыш за 1 минуту,

6:2 = 3 (мин) — за такое время Карлсон съест все варенье,

600 : 3 = 200 (г) — съест варенье Карлсон за 1 минуту,

100 + 200 = 300 (г) — могут съесть вместе варенье Малыш и Карлсон,

600 : 300 = 2 (мин) — за такое время съедят варенье вместе Малыш и Карлсон.

Ответ: 2 мин.

3. х = 3 или х = 4.

4. См. рис. 11.

5. С помощью трехлитровой банки нальем 6 л воды в ведро. Еще раз нальем 3 л воды в банку и наполним семилитровое  ведро доверху. Тогда в банке останется 2 л воды, которую выльем в кастрюлю. Добавим к ним 3 л воды с помощью банки,  получим всего 5 л воды. Возможны и другие варианты решения.

7. Молоко в кувшине, лимонад в бутылке, квас в банке, вода в стакане.

Вариант 9

1. Так как посажено 10 кустов, то промежутков между  ними будет 9. Поэтому расстояние между соседними кустами  будет 90 : 9 = 10 (дм).

2. х = 9а-8.

3. Велосипедист прошел пешком  пути, то есть в 2 раза меньше, чем проехал на велосипеде. Времени же затратил вдвое больше. Поэтому он ехал в 4 раза быстрее, чем шел.

4.1 • (2 + 3) • 4 • 5 = 100.

5. При разрезании каждого листа на 3 части число листов увеличивается на 2. Добавилось: 15—9 = 6 (листов). Значит, 6:2 = 3 (листа) бумаги разрезали.

6. На первые девять страниц потребуется 9 цифр, на  каждые следующие 90 страниц надо по 2 цифры на каждую  страницу, а значит, надо 2 • 90 цифр. Пусть в книге х страниц, тогда страниц с тремя цифрами будет  x-99, а цифр на них —

3 • (x-99). Получаем уравнение: 9 + 2∙90 + 3(x-99)=1392.

Решая его, получаем х = 500.

О т в е т: В книге 500 страниц.

Вариант 10

1. у = 4. Проверка: 4-4 + 5 = 21.

2. В сутках 24 ч, из них Стрекоза спала 24 : 2 = 12 (ч), танцевала 24 : 3 = 8 (ч), пела 24 : 6 = 4 (ч). Всего на эти дела она потратила 12 + 8 + 4 = 24 (ч), поэтому на подготовку к зиме времени у нее не осталось.

3. 26∙25-25∙24+24∙23-23∙22+22∙21-21∙20+20∙19-19∙18+18∙17-17∙16+16∙15-15∙14 = 25 • (26-24) + 23 • (24-22) + 21 • (22-20) + 19 • (20-18) + 17 • (18-16) + 15 • (16-14) =

= 2(25 + 23 + 21 +19 + 17 + 15) = 2(40 + 40 + 40) = 2-120 = 240.

5. Так как девочка ходит в детский сад, то Боре не 5 лет. Так как Аня старше Бори, то Ане 13 или 15 лет. Но сумма лет Ани и Веры делится на 3, поэтому Ане 13 лет, тогда Вере 5 лет. Тогда так как Аня старше Бори, то Боре 8 лет. Гале остается 15 лет.

Ответ: Вере 5 лет, Боре 8 лет, Ане 13 лет, Гале 15 лет.

6. 100-10 = 90 (чел.) — знали немецкий или французский языки;

90-75 = 15 (чел.) — не знали немецкого языка;

90-83 = 7 (чел.) — не знали французского языка;

90-(15 + 7) = 68 (чел.) — знали и французский и немецкий языки.

Ответ: 68 туристов знали и французский и немецкий языки.

Вариант 11

1. Можно решить устно: перенести 3 в правую часть и  получить 30, затем поделить обе части на 30 и получить в  числителе 7. Так как числитель равен знаменателю, то х-3 = 7, откуда находим х = 10.

2. Площадь фигуры равна 131.

3. Возможны 2 варианта параллелепипеда, построенного из 18 кубиков высотой 3 кубика: 3x3x2 или 3x6x1. Площадь поверхности данных параллелепипедов будет равна 42 и 54 площадей 1 грани. Учитывая, что площадь грани равна  см2, получим площадь поверхности: 133 см2 или 171 см2.

4. Так как вычитаемое и разность в сумме дают  уменьшаемое, то два уменьшаемых будут равны 26, а, значит,  уменьшаемое будет равно 13.

Вариант 12

1. Так как 3 ученика делают за 3 минуты 3 самолетика, то за 9 минут они сделают 9 самолетиков.

О т в е т: 3 ученика.

2. Так как масса всей рыбы будет равна (1900 + 100) • 9 + 1000 = 19000 (г), то каждому рыбаку должно достаться по 1900 г. Значит, разделить рыбу можно следующим образом: 1900 г; 100 г и 1800 г; ... 900 г и 1000 г.

3. Сумма возрастов всех футболистов была равна 11 • 22 = 242, а после удаления стала 10 • 21 = 210. Значит, возраст удаленного футболиста 32 года.

4. Обозначим за х и у — соответственно первоначальное число посетителей и новую цену билета. Тогда, после  снижения цены, посетителей будет 1,5л:, а сбор денег 1,5ху. Так как первоначально денег собрали 150л:, а сбор увеличился на 25%, то получаем уравнение 1,5ху—150л: = 0,25 • 150л:. Решая его, находим у = 125 (руб.), то есть цену снизили на 25 руб.

5. Задача имеет много решений, например: (4,-5,4, -5, 4); (5, -6, 5, -6, 5) и т. д.

Вариант 13

1. 48 лет и 4 года.

2. Возможный вариант показан на рис. 12.

3. Второй охотник съел столько каши, сколько положил крупы, поэтому третий охотник от него ничего не получил. Поэтому все патроны надо отдать первому охотнику.

4. В первом круге число слов должно делиться на 4, во  втором — на 3, а в последнем — на 2. Наименьшее число,  делящееся на 2; 3; 4, будет 12. Значит, наименьшее число слов в считалке будет равно 12.

6 класс

Вариант 1

1.x = -2,6.

2. -4x≤ 3;-1 ≤ у≤ 5.

3. Число делится на 36, если оно делится и на 4 и на 9. Так как сумма цифр 5, 2, 2 равна 9, то сумма двух  недостающих цифр должна равняться 0, 9 или 18. Учитывая, что число должно делиться на 4, а предпоследняя цифра равна 2, то  последняя цифра может быть лишь 0 или 4 или 8. Тогда ответами будут числа: 52524, 52128, 52020, 52920.

4. 600 • 40 : 100 = 240 (г) — содержится соли в 600 г  жидкости;

240 : 12 • 100 = 2000 (г) — будет 12% -й жидкости;

2000-600 = 1400 (г) — воды надо добавить.

Ответ: 1400 г.

5. Так как скорость ученика не может превышать 10 км/ч, то время на дорогу будет не менее  ч, то есть не менее 6 мин. Поэтому ответ может быть таким: ученик придет в школу не раньше 8 часов 6 минут. Возможны и другие варианты ответа.  Например, ученик придет в школу между 8 ч 6 мин и 8 ч 20 мин.

6. Так как Аня не проигрывала мальчикам в шахматы, то она — лучший шахматист. Так как художник не нарисовал своего портрета, а нарисовал портрет Игоря, то Игорь —  лучший математик, а Олег — лучший художник.

Ответ: Олег — лучший художник, Аня — лучший  шахматист, Игорь — лучший математик.

Вариант 2

4. Обозначим число гусей в одном хлеве за х > а число козлят за у, тогда, учитывая, что ног в одном хлеве должно быть 10, получим уравнение: 2х+4у = 10. Из данного уравнения имеем, что число козлят может быть только 1 или 2, соответственно гусей будет 3 или 1. Тогда размещение будет такое: в двух хлевах будет по 1 козленку и 3 гусям, в трех хлевах — по 2 козленка и 1 гусю.

5. Необходимо вынуть шарик из ящика с надписью  «черный или белый». Если вынутый шарик окажется белым,  значит, в этом ящике 2 белых, в ящике с надписью «2 белых»  будет 2 черных, а с надписью «2 черных» будут черный и белый. Аналогично рассуждаем, если вынутый шарик — черный.

Вариант 3

2. Числа  и 1 представим в виде дробей со знаменателем,  кратным 15. Тогда  = , 1 = ?. Между числами  и 1 лежат дроби ; ; ;. Условию удовлетворяет лишь  = .

Ответ: .

3.  =  =  .

4. Так как после зачеркивания получается наибольшее  число с суммой цифр 13, то вторая и третья цифры равны 9 и 4. Так как первая цифра больше последней в 4 раза и все цифры различны, то первая цифра будет 8, а последняя 2. В результате получаем число 8942.

Ответ: старику Хоттабычу 8942 года.

5. Решается с помощью уравнения: x + x + x +3 = x

О т в е т: 28 учеников.

Вариант 4

3. 550-55 = 495 (руб) — стала цена в итоге.

4. Так как число после приписывания двух цифр должно делиться на 15, значит, оно будет делиться на 3 и на 5. По признаку делимости на 5 последняя цифра в числе может быть лишь 0 или 5. Используя признак делимости на 3, получим, что первая цифра может быть 3,6,9 (если последняя цифра — 0) или 1,4,7 (если последняя цифра — 5). Тогда ответом будут числа: 1155, 3150, 4155, 6150, 7155, 9150.

5. Так как Володя учится в 6 классе, а Герасимов в 5 классе, то Володя — не Герасимов. Так как отец Иванова — учитель, отец Володи — инженер, то Володя — не Иванов. Тогда  Володя — Семенов, Миша — Иванов, а Петя — Герасимов. Можно для наглядности применить графы или таблицы.

Вариант 5

1. Возможный вариант указан на рис. 13.

2. Возможный вариант:

3. х = 7 или х = 1.

4. Пусть х — число страниц, которое было в книге. В  первый день прочитали (0,2x + 16) страниц; осталось прочитать во второй и третий дни (0,8x -16) страниц; во второй день  прочитали (0,3(0,8x -16) + 20) = (0,24x + 15,2) страниц; в третий день прочитать осталось (0,56x —31,2) страниц. Так как в  третий день прочитали 0,75 остатка и еще 30 книг, то остаток будет составлять 120 страниц. В итоге получаем уравнение:

0,56x - 31,2 = 120, откуда находим х = 270.

Ответ: 270 страниц.

5. Так как второе и третье сообщения ложны, то А является третьей планетой, а Б — не второй, поэтому Б — первая планета от звезды. Тогда В будет второй планетой, на которой живут инопланетяне.

Вариант 6

4. Обозначим соответственно первую, вторую и третью  цифру числа за a, b и с. Тогда число можно записать

Данное число делится на 7, на 11, на 13.

5. Для доказательства составим таблицу зависимости  числа набранных очков от числа решенных задач.

Из таблицы видно, что существует всего 8 различных  возможностей получения очков. А так как учеников было 9, то, по крайней мере, два из них получили одинаковое количество очков.

Вариант 7

3. В первом городе взыскали с купца  имущества, значит, осталось  всего имущества. Во втором городе взыскали  =  имущества, значит,  осталось

  -   имущества. Аналогично рассуждая, получим, что после третьего  города у купца останется  часть имущества. Так как это  имущество стоит 1000 денежных единиц, то всего имущества было на 21 600 денежных единиц.

Ответ: 21600.

4. Найдем дополнения каждой дроби до 1 и сравним их.

5. Число различных денежных сумм, которые можно  составить из менее чем 1000 дукатов, меньше 1000, то есть  меньше числа пиратов. Поэтому у 2 пиратов будет одинаковое число дукатов.

6. Сумма 2 чисел будет четной, если они оба четные или оба нечетные. Сумма 2 чисел будет нечетной, если одно из них  будет четное, а другое — нечетное. Допустим, что сумма любых 2 соседних чисел нечетна, тогда четные и нечетные числа  должны чередоваться. Значит, общее число чисел будет четным, а по условию чисел 2009, — нечетное количество. Значит,  допущение сделано неверно, и на самом деле найдутся 2 числа, сумма которых будет четна.

Вариант 8

1.17 кг.

3. Так как Наташа в зеленых туфлях, а Валя не в белых, то Валя в синих туфлях. Значит, Аня в белых туфлях. Так как цвет платья и туфель у Ани совпадает, то Аня в белом платье. Так как у остальных девочек цвет платья и туфель не совпадает, то Валя в зеленом платье, а Наташа — в синем.

Ответ: Аня в белом платье и белых туфлях, Валя в  зеленом платье и синих туфлях, Наташа в синем платье и зеленых туфлях.

4. 35—10 = 25 (учеников) — посещают кружки,

25—20 = 5 (учеников) — посещают лишь экологический  кружок,

11—5 = 6 (учеников) — посещают оба кружка.

О т в е т: 6 экологов увлекаются математикой.

5. Допустим, что во всех классах не менее 35 учеников,  тогда во всей школе будет не менее чем 35-33 = 1155 (учеников), что противоречит условию задачи. Значит, в школе найдется класс, в котором менее, чем 35 учеников.

Вариант 9

1. Так как в один конец Дима пешком тратит на 20 минут больше, чем на велосипеде, то в оба конца он потратит пешком больше на 40 минут. Значит, всего на путь туда и обратно пешком он потратит 1 час.

2. Возможный вариант показан на рис. 14.

3. Так как каждая грань большего кубика в 9 раз больше

грани маленького, то и краски понадобится в 9 раз больше, то есть 18 г.

4. Решение лучше найти подбором. Пусть Маша за все  покупки заплатила по 13 рублей, тогда покупок она сделала 18 и 5 рублей осталось (239 = 13 • 18 + 5). Но 5 рублей остаться не может, так как разность в стоимости 1 блокнота и 1 тетради  

составляет 2 рубля. Денег должно остаться четное число. Значит, надо сделать 17 покупок, а 18 рублей доплатить за 9  блокнотов. Тогда тетрадей будет 8, а блокнотов — 9. Других решений не будет, так как следующее четное число после 18 будет 34. Оно получается при 15 покупках, а так как 34 : 2 = 17, то получается противоречие.

Замечание: Задачу в старших классах можно было решить, применив метод решения линейных уравнений с 2  переменными в целых числах.

Вариант 10

1. Так как знаменатель второй дроби в 20 раз больше  знаменателя первой дроби, то корень уравнения можно найти устно:

х= 12,3-20 + 4 = 250.

2. Разложив 3232 на множители, получим:

3232 = 32 • 101 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 101.

Так как все двойки должны быть в одном числе, то эти  числа будут 32 и 101. Так как наименьшее кратное двух взаимно простых чисел будет равно их произведению, то оно будет  равно 3232.

3. Из уравнения 13,5х = 12,5у следует, что

х < у, если х и у — положительные числа;

х = у, если х = 0 и у = 0;

х > у, если х и у — отрицательные числа.

4. Так как верхние прямоугольники имеют общую сторону и площадь правого в 2 раза больше, то и его вторая сторона  будет в 2 раза больше. Аналогично и вторая сторона правого  нижнего прямоугольника будет больше стороны верхнего левого прямоугольника в 3 раза. А это означает, что площадь  нижнего правого четырехугольника будет в 6 раз больше площади левого верхнего прямоугольника, то есть будет равна 12 см2.

Поэтому площадь всего прямоугольника будет равна 24 см2.

Вариант 11

1. За 1 день первая и вторая овцы съедят вместе  копны сена, а все остальные:  

 первые две овцы имеют большую скорость поедания, а значит, и съедят 1 копну сена быстрее.

2. Андрей и Борис менялись местами четное число раз,  поэтому Андрей останется впереди Бориса. Андрей и Виктор  менялись местами также четное число раз, поэтому Андрей  останется впереди Виктора. Борис же и Виктор менялись местами нечетное число раз, поэтому Виктор придет раньше Бориса.

Тогда порядок спортсменов на финише будет такой: Андрей, Виктор, Борис.

3. Разделим всех учеников на 2 группы: в первой —  мальчики, во второй — девочки. Затем мальчиков, которые не  любят математику, переведем во вторую группу, а девочек,  которые любят математику, — в первую. Численности групп от этого не изменятся. Но в первой группе будут все ученики,  которые любят математику, поэтому учеников, которые любят математику столько же, сколько и мальчиков.

4. Например: 20042004...2004 (цифры 2,0, 0, 4  повторяются 334 или 2004 раза).

Школьная олимпиада г. Кострома 2009г.

Решения, указания

5 класс

Задание №1

Ответ: 999+999+99:9=2009.

Возможны другие варианты.

Задание №2

Ответ: 38 рублей.

Решение.

15-11=4 (тетради), 5+7=12 (рублей). Разница между предполагаемыми покупками в тетрадях и рублях. Значит, 4 тетради стоят 12 рублей, а одна тетрадь стоит 12:4=3 (рубля). 11×3+5=38 (рублей) или 15×3-7=38 (рублей) было у Маши.

Задание №3

Ответ: 625.

Решение.

Число однозначных чисел равно 5. К каждому однозначному «симпатичному» числу вторая нечётная цифра может быть дописана пятью различными способами. Таким образом, двузначных «симпатичных» чисел всего 5・5=25. Аналогично 3-значных симпатичных чисел 5・5・5=125, и 4-значных - 5・5・5・5=625.

Задание №4

Ответ: 30 минут.

Решение.

Задача состоит из двух частей: доказать, что за 30 минут управиться можно, и доказать, что быстрее выполнить работу нельзя. Начнём со второй части. Всего у 18 лошадей 18×4=72 копыта. Если бы всю работу делал один кузнец, то ему потребовалось бы 72×5=360 минут. Значит, 12 кузнецов никак не смогут выполнить всю работу быстрее, чем за 360:12=30 минут. Покажем теперь, как можно подковать всех лошадей за 30 минут. Разобьем кузнецов на 3 бригады по 4 кузнеца в каждой и выделим каждой бригаде по 6 лошадей. Каждая бригада сможет подковать «своих» лошадей за 30 минут следующим образом. Организуем конвейер, назначив каждого кузнеца «ответственным» за определённую ногу лошади. Первые 5 минут первый кузнец подковывает переднюю правую ногу первой лошади, второй – переднюю левую второй лошади, третий – заднюю правую третьей, четвертый – заднюю левую четвёртой. Пятая и шестая лошади пока отдыхают.

Затем сдвигаем лошадей «по кругу». Вторые пять минут первый кузнец подковывает переднюю правую ногу второй лошади, второй – переднюю левую третьей, третий – заднюю правую четвёртой, четвёртый – заднюю левую пятой. Шестая и первая лошади отдыхают. Третьи пять минут первый кузнец подковывает переднюю правую ногу третьей лошади, второй – переднюю левую ногу четвёртой лошади, третий – заднюю правую пятой, четвёртый – заднюю левую шестой. Первая и вторая лошади отдыхают. Продолжив работу по это схеме, каждая бригада подкуёт «своих» лошадей за 30 минут, а, значит, 12 кузнецов подкуют 18 лошадей за 30 минут.

Задание №5

Ответ:

Возможны другие варианты.

6 класс

Задание №1

Ответ: 3 школьника

Решение:

Пусть каждому занимающемуся в секциях дадут удостоверение. Тогда, секции плавания и велосипеда выдали 25 удостоверений. Из них 19-ребятам, занимающимся в лыжной секции. Значит, ребятам посещающим и секцию плавания, и лыжную секцию выдано 25-19=6 удостоверений, и каждый их них получил ровно два удостоверения. Значит, всего таких ребят 6:2=3.

Задание №2

Ответ: не сможет.

Решение:

Упорядочим Петины карманы по возрастанию. Тогда в самом «маленьком» может быть ноль монет, в следующем будет лежать не менее одной монеты и т.д. Наконец, в последнем, в десятом кармане окажется не менее 9 монет. Следовательно, во всех 10 карманах будет лежать не менее 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 монет. А всего монет 44.

Задание №3

Ответ:

Задание №4

Решение.

Представим, что пирог разрезали на шесть равных частей. Первому другу Саша дал  пирога, то есть одну из шести равных частей, – осталось пять таких же частей. Второму другу Саша дал  остатка, то есть такую же часть, как и первому. Осталось четыре такие же части. Третьему он дал еще одну часть: то есть  того, что осталось, четвертому тоже один кусок:  нового остатка. Последние две равные части Саша разделил с пятым другом. Всем досталось поровну.

Задание №5

Решение:

Если 10 крыс насытились, то всего было съедено не менее 10∙4=40 крыс. Но хотя бы одна крыса осталась в живых. Значит, 10 крыс насытиться не могли.

Школьная олимпиада г. Кострома 2011г.

Решение

5 класс

1. Ответ: Число 92

Решение: Зачёркнута цифра 9

2. Ответ: 150 рублей

Решение: Если бы Матроскин купил яблоки по той же цене, что Шарик, то заплатил бы за них 75∙4=300 рублей. Так как за каждое яблоко он заплатил вдвое меньше, то Матроскин истратил 300:2=150 рублей.

3. Ответ:

Решение: сосчитаем, сколько всего клеточек в данных фигурках. 4+5+6+7+8=30. Чтобы получился квадрат, нам надо 25 клеточек, а у нас их 30. Значит, лишней окажется фигурка из 5 клеток.

4. Ответ: Женя — девочка

Решение: Так как в детский сад может ходить только пятилетний ребёнок, то самый младший ребёнок — девочка. Значит, Мише — не пять лет. Аня старше Миши, то есть Ане исполнилось либо 13, либо 15 лет. Так как сумма возрастов Ани и Жени делится на три, то Ане не может быть пятнадцать лет. Следовательно, Ане — тринадцать. Миша её младше, значит, Мише — восемь. Тогда Жене пять лет и она девочка.

5. Ответ: на 24 монеты.

Решение: После того, как первый пират отдал второму половину своих монет, то есть 8, у него осталось 8 монет, а у второго пирата стало 16 + 8 = 24 монеты. Теперь второй отдаёт третьему пирату 24:2 = 12 монет, и у него остается 12 монет, а у третьего 16 + 12 = 28 монет. Когда третий пират отдаст четвёртому 28:2 = 14 монет, то у него останется 14 монет, а у четвёртого станет 16 + 14 = 30 монет. Теперь четвёртый отдаст пятому пирату 30:2 = 15 монет, и у пятого пирата стало 16 + 15 = 31 монета. Итак, у пятого пирата монет стало больше, чем у первого на 31 – 8 = 24 монеты.

6 класс

1. Решение: Достаточно одного примера:

 −   =    или   −   =

2.  Ответ: 404 таблетки

Решение:

Пусть х таблеток выдал Айболит крокодилу и столько же удаву.

(х+1) таблеток получил носорог,

(х+2) таблетки бегемот и (х+3) таблетки слон.

х+х+х+1+х+2+х+3=2011, х=401. Значит, слон получил 404 таблетки.

3. Ответ: белый бант

Решение: Предположим, что сова угадала вид подарка (шарик), тогда собака и попугай угадали его цвет. Поскольку они назвали разные цвета, то такого быть не может. Следовательно сова угадала цвет подарка (белый), а собака и

попугай угадали его вид (бант).

4. Решение: Данная фигура содержит 24 клетки. Поскольку её требуется разрезать на равные части, то в каждой должно быть равное количество клеток. Значит количество частей должно быть делителем числа 24. Выпишем все делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. На одну часть разрезать фигуру нет смысла, поэтому покажем все остальные случаи.

  рис. а                   рис.б                     рис. В             рис.г                          рис.д                              рис.е

 рис.ж

5. Ответ: фальшивая тяжелее

Решение. Положим на каждую чашу по 50 монет. Если чаши будут весить одинаково, то оставшаяся монета фальшивая, а монеты, которые лежат на чашах, настоящие. Чтобы узнать, тяжелее или легче весит фальшивая настоящей, достаточно сравнить ее с любой настоящей монетой. Если же одна из чаш весит больше другой, то возьмем ее и разобьем на две кучки по 25 монет. Если они весят одинаково, то фальшивая монета была на другой чаше, значит, фальшивая легче. Если же одна из чаш перевесит, то фальшивая монета была в этих 50, т. е. фальшивая тяжелее.

Творческая лаборатория «ДваждыДва»:

письменный тур олимпиады пятиклассников 2009

Часть А

1.Ответ: 21 книга.

Решение. Слева до энциклопедии стоит 4 книги, а справа — 16 книг. Всего 4+16+1=21.

2.Ответ: тяжелее 2 карася.

Решение. Из условия следует, что 6 карасей тяжелее 10 лещей. То есть 3 карася тяжелее 5 лещей. Значит, карась тяжелее леща и 4 карася тяжелее 6 лещей.

3.Ответ: Заяц.

Решение. Поскольку самый глупый зверь соврал, то это либо заяц, либо волк. Если солгал заяц, то, значит, волк сказал правду. Тогда лиса выиграла и волк не глупее лисы, но тогда лиса не может быть самой умной и по условию не может выиграть. Противоречие. Если же солгал волк, то выиграла не лиса и верно, что волк глупее лисы. Но тогда волк не мог выиграть и, значит, выиграл заяц.

4.Ответ: 6 конфет.

Решение. Если конфет будет в три раза больше, то 12 конфет составляют две трети от того, что было бы, значит одна треть равна 6.

5.Ответ: 3.

Решение. У всех однозначных чисел всего 9 цифр. Сосчитаем, сколько цифр у двузначных чисел. Двузначных чисел 90, значит цифр 180. Так как вычеркнуто 200 цифр, то вычеркнуто 11 цифр трехзначных чисел. Это 100, 101, 102 и 10.

6.Ответ: 18 февраля.

Решение. За каждый сутки длина шарфа увеличивается на 10см. Значит утром 18 февраля шарф будет длиной 170см. Связав к вечеру еще 30см, Лида довяжет шарф.

7.Ответ:  4 999 999 995 .

Решение. Поскольку в каждом разряде побывают все цифры, то требуется сумму всех цифр умножить на 111 111 111.

8.Ответ: (а) 55; (б) в 6 раз.

Решение. Высота четырех этажей дома Гуливеров равна высоте 24 этажей дома Лилипутов. Значит на один этаж Гуливеров приходится 6 этажей Лилипутов.

9.Ответ: два.

Решение. Утверждение Васи не может быть верно, так как если все лжецы, то Вася должен лгать, а он сказал правду. Значит, говорящий правду точно есть. И лжец тоже есть (Вася) Тогда утверждение Лёши тоже неверно. Следовательно, два лжеца точно есть (Вася и Лёша). Тогда Миша — не лжец.

10.Ответ: 46,5м2.

Решение. Размер всей площади 70м2 (=7×10) Чтобы найти площадь катка, нужно из 70 вычесть площадь внешней области. Заметим, что серые треугольники равны и, соответственно, равны их площади. Каждый из них есть половина прямоугольника 1×2, то есть площадь каждого их них равна 1м2. Из трех оставшихся белых треугольников два равны и составляют вместе квадрат 2×2, а третий есть половина от прямоугольника 1×3 и, следовательно, его площадь равна 1,5 м2. Суммируя найденные площади и площадь темных клеток, получаем 5 + 4 + 1,5 +13 = 23,5.

11.Ответ: (а) два; (б) 16.

Решение. Осенью (с 1 сентября по 30 ноября) 91 день. Кружок математики проходит один раз в 6 дней. 91 = 6×15 + 1. Поскольку 1 сентября занятия тоже были, то в оставшиеся 90 дней было ровно 15 занятий. Чтобы все четыре кружка после 1 сентября снова были в один день, нужно, чтобы прошло НОК(3;4;5;6)=60 дней. Второй раз (когда пройдет еще 60 дней) это случится уже после ноября.

Часть Б

1.Ответ: не могли.

Решение. Заметим, что сумма длин горизонтальных стрелок на плане равно удвоенному расстоянию, пройденному вправо, то есть 6км. Аналогично для вертикальных стрелок. Таким образом, школьники прошли 12км, а не 10.

2.Ответ: не может.

Решение. Если Настя списала семь задач, то их кто-то должен был решить, но Аня, Саша и Витя решили не более, чем по две задачи каждый, то есть не более 6 задач.

3. Решение. Запишем условие задачи в виде уравнений: Ю+В=97; С+И=234; В+С+ТП=153; И+ТП+Ю=277. Тогда, складывая эти уравнения, получим, что 2(Ю+В+С+И+ТП) = 97+234+153+277 — нечетное число. Противоречие.

4. Решение. Обозначим монеты З1, З2, С1, С2, М1, М2. Первым взвешиванием взвесим пару З1 и С1 с парой З2 и М1. Разберем два случая: весы в равновесии. Поскольку среди золотых ровно одна фальшивая, то и среди С1 и М1 ровно одна фальшивая и ровно одна настоящая. И на каждой чаше лежит одна настоящая и одна фальшивая. Тогда вторым взвешиванием взвесим С2 и М2. Равновесие уже невозможно, поэтому мы в любом случае определим, какая из монет легче. Пусть это М2, тогда М1, С2 и З2 настоящие. Если же это С2, то настоящие М2, С1 и З1. Одна чаша перевесила. Пусть тяжелее З1 и С1 (второй вариант разбирается аналогично). Это означает, что З1 точно настоящая, З2 — фальшивая. Для пары С1;М1 возможны варианты НН, ФФ и НФ, варианта ФН быть не может. Теперь вторым взвешиванием взвесим обе золотые монеты с парой С2 и М2. Если весы окажутся в равновесии, то означает, что реализуется вариант НФ, если золотые перевесят, то обе монеты С2 и М2 фальшивые, если же перевесит чаша с серебряной и медной монетой, то они обе настоящие.

5. Решение. Рассмотрим на этом клетчатом листе квадратик 3×3 клетки. Для любых двух клеток этого квадрата найдется фигура заданного вида, что эти клетки принадлежат этой фигуре. Но тогда, поскольку в квадрате 3×3 содержится 9 клеток, а цветов только 8, то найдутся две клетки одного цвета. Фигура, содержащая эти две клетки и будет искомой.

Областной этап олимпиады по математике

учащихся  общеобразовательных учреждений  (2010г.)

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

5 класс

 1.  Решение. Перепишем ребус в виде

      ОГОГО

    +УГУГУ

    УГУГУГ.

     Сразу можно определить, что У=1.  Тогда О= 8 или О=9. Если О=8, то

    8Г8Г8

  +1Г1Г1

  1Г1Г1Г. Если Г=9, то  89898+19191=109089.

  Значит, Г≠9 и О=9. Получаем 90909+10101=101010.

Ответ: 90909+10101=101010.

   2. Решение. Чтобы сложить куб со стороной 40 см, нужно 8 кубиков со стороной 20 см. Поэтому дерево для него будет стоить 8⋅10 = 80 копеек. При этом каждая грань большого куба — квадрат со стороной 40 см — будет складываться из четырёх граней маленьких кубиков. Поэтому лак для его лакировки обойдётся вчетверо дороже, то есть будет стоить 4⋅30 = 120 копеек. Таким образом, всего материалы для изготовления куба со стороной в 40 см обойдутся в 80+120 = 200 копеек. Деля 200 на 40, получаем ответ.

Ответ: В 5 раз.

3. Решение. 

     Пусть первоначально было 90 плохих грибов с 10 червяками каждый. Всего 900 червяков. При переползании по 1 червяку из каждого плохого гриба в хорошие, в каждом грибе из 100 станет по 9 червей, т.е. все они станут хорошими.

Ответ: могут.

4. Ответ. Например, он может сложить башню из

четырех кубиков 1×1×1, «завернуть» ее в квадрат 4×4,

а низ и  верх  заклеить квадратами 1×1

5.  По условию задачи в качестве искомых рассмотрим числа 21, 42, 63, 84.

Рассмотрим равенства

21=х2-4,

42=у2-16,

63=с2-36,

84=а2-64.

 Тогда х2=25, у2=58, с2=99 и а2=148. Получаем, что х=5 (натуральных у, с и а, удовлетворяющих данным равенствам, не существует).

Ответ: Можно, номер квартиры – 21 .

6 класс

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

1. Решение. 

   Пусть шаг Малыша – n см, а количество шагов в минуту m. Тогда шаг Карлсона 0,8n, а количество шагов 1,2m. Малыш проходит за минуту m⋅n см, а Карлсон 0,8n⋅1,2m =0,96mn (см). Значит, быстрее ходит Малыш.

Ответ: Малыш.

2. Решение. 

Достаточно разрезать её на 20 прямоугольников размером 1×4 клеточки, а потом каждый прямоугольник разрезать по диагонали на два одинаковых треугольника. Это можно сделать многими разными способами, один из которых — на рисунке справа.

3.  Решение. 

Приведем несколько примеров: 1) 48 = 3⋅42; 49 = 72; 50 = 2⋅52; 2) 98 = 2⋅72, 99 = 11⋅32, 100 = 22⋅52; 3) 124 = 31⋅22, 125 = 53, 126 = 14⋅32.

Указанные «тройки» чисел – наименьшие из возможных.

Ответ: да, существуют

4.  Решение. 

    Пусть х – количество рыцарей. Тогда каждый из них провел х-1 поединок, а всего состоялось х(х-1):2 поединков (каждый поединок учитывается  двоим рыцарям). Получаем уравнение х(х-1):2=105 или  х(х-1)=210.  

    Разложим число 210 на простые множители: 210=2⋅3⋅5⋅7. Поскольку, по условию, количество рыцарей и проведенных ими поединков отличается на 1, то рыцарей было 15 (т.к. 210=14⋅15). Поэтому, кроме Шляпника, в состязании приняло участие 14 рыцарей.

Ответ: 14 рыцарей.  

5. Ответ. Да, могло (см. рисунок). Жирной точкой отмечена лампочка,
Замечание. Такое возможно, даже если заменить три на любое другое, сколь угодно большое число.

Межрегиональная заочная математическая олимпиада 2008/09 учебного года (Всероссийской школы математики и физики «Авангард»).

6  класс

Решения задач

1.  Для решения соединим середины сторон треугольника (см. рисунок).

2. Очевидно, что вторая цифра второго сомножителя — 0. Последняя цифра второго сомножителя может быть либо четверкой, либо девяткой. В первом случае первая строка результата — 3764, а во втором — 8469. Чтобы третья от конца цифра произведения равнялась трем, последняя цифра второй строки результата (и соответственно первая цифра второго сомножителя) должна быть в первом случае — 6, а во втором — 9. При этом вторая строка результата в первом случае будет 5646, а во втором — 8469. Второй случай невозможен, поэтому второй сомножитель — 604. Пример принимает вид: 941·604 = 568 364.

3.  Продолженные грани куба представляют собой три пары параллельных плоскостей. Каждая пара делит пространство на три части. Следовательно, всего будет 3·3·3 = 27 частей.

4.  Турнирная таблица двухкругового чемпионата из N команд имеет размер N x N с перечеркнутыми диагональными клетками, то есть содержит N 2 – N = N(N – 1) клеток для внесения результатов. Столько должно быть и матчей. То есть число 9702 нужно представить в виде произведения двух последовательных натуральных чисел. 9702 = 2·32·72·11 и представимо в искомом виде единственным способом: 9702 = 99·98. В чемпионате участвуют 99 команд.

5.  Задача может быть решена в одно взвешивание. Разделим шарики на две кучки по 1006 шариков и взвесим их. Если неравенство — задача решена. Если в результате взвешивания получится равенство, то значит, что в каждой кучке по 503 шарика каждого вида (понятно, что равные по весу кучки из равного количества шариков должны быть одинаковы по их составу). Теперь разделим любую из этих кучек по 1006 шариков на две по 503 (взвешивать для этого ничего не надо). Полученные две кучки всегда имеют разный вес. Действительно, если предположить, что их вес может быть одинаковым, то в этом случае в обеих кучках должно быть равное количество шариков каждого вида, что невозможно, так как 503 не делится на 2.

Интернет-ресурсы для  подготовки школьников к участию в олимпиадах по Математике

Задачи: информационно-поисковая система задач по математике. Сайт включает такие рубрики как «Условие», «Решение», «Подсказка» (указания к решению), «Информация» (методы и приемы решения, используемые в решении; факты, используемые в решении; объекты и понятия, используемые в решении; источники и прецеденты использования), каждую из которых ученик может открыть при решении любой содержащейся в сайте задачи.   http://zadachi.mccme.ru 
 
Конкурсные задачи по математике: справочник и методы решения 
Методы решения уравнений, систем, неравенств. Текстовые задачи и задачи с параметрами. Задачи по планиметрии и стереометрии. Примеры и задачи для самостоятельного решения. Краткий справочник по элементарной математике и типовая программа для абитуриентов.
http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/tit.htm 
 
Материалы (полные тексты) свободно распространяемых книг по математике, предоставленные авторами и издательствами (по возможности в форме оригинал-макетов с исходными текстами), а также записки лекций, сборники задач, программы курсов и т.п.
http://www.mccme.ru/free-books/ 
 
Математика для поступающих в ВУЗы 
Сборник задач по математике (более 2000). В основном задачи, которые в разное время предлагались на письменных экзаменах в МГУ и МФТИ до 1999 года включительно. Задачи даны с ответами. Некоторые варианты вступительных экзаменов дополняются решениями задач. Для просмотра требуется браузер с поддержкой JAVA.  http://www.matematika.agava.ru/ 
 
Выпускные и вступительные экзамены по математике: варианты, методика 
Варианты выпускных школьных экзаменов по математике (общероссийских и Санкт-Петербургских) для классов с разными уровнями изучения предмета. Варианты вступительных (предварительных и основных) экзаменов в СПбГУ и другие вузы Санкт-Петербурга. Несколько методических статей.   http://www.mathnet.spb.ru/ 
 
Олимпиадные задачи по математике: база данных 
Около 8000 задач школьных, региональных, всероссийских и международных конкурсов, олимпиад и турниров по математике. Многие задачи с ответами, указаниями, решениями. До 2001 года (включительно). Возможности поиска.  http://zaba.ru/ 
 
Московские математические олимпиады 
Задачи окружных туров олимпиады для школьников 5-11 классов, начиная с 2000 года. Задачи городских туров олимпиады для школьников 8-11 классов начиная с 1999 года. Все задачи с подробными решениями и ответами. Новости олимпиады. Победители и призеры олимпиад. Статистика.    http://www.mccme.ru/olympiads/mmo/ 
 
Школьные и районные математические олимпиады в Новосибирске 
Задачи для 3-11 классов с 1998 года по настоящее время. Без решений. Раздел занимательных и веселых задач. http://aimakarov.chat.ru/school/school.html 
 
Виртуальная школа юного математика
"Виртуальная школа юного математика" содержит задачи, комментарии, подробные контрпримеры, полные доказательства некоторых математических проблем теоретического характера, темы и задачи, малоизучаемые (или вообще не изучаемые) в школьном курсе математики, практикум абитуриента, странички из истории математики, математические словари, условия и решения задач выпускных экзаменов. Раздел "Практикум абитуриента" содержит необходимый минимум задач, которые нужно уметь решать поступающему в вуз. Задачи по каждой теме расположены в порядке возрастания их сложности и по возможности классифицированы и снабжены решениями.   http://math.ournet.md/indexr.html 
 
Библиотека электронных учебных пособий по математике 
Задачи математических олимпиад и турниров. Интерактивные обучающие ресурсы по многим разделам элементарной и высшей математики. Математические тесты, пособия и справочники. http://mschool.kubsu.ru/ 
 
Интерактивный ознакомительный вариант ЕГЭ по математике 2004 года 
http://ege.edu.ru/demo-ege/mathematics-2004.shtml 

Карточки устного счета по математике

для 5 класса.

(Учебник: Математика 5. Виленкин Н.Я. и др.)

Автор: Шепелева Ольга Михайловна, учитель математики  

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 41» г. Владимира

Аннотация

     Цель: организовать работу с учащимися 5 класса по формированию базовых вычислительных навыков.

     Материал содержит карточки устного счета по нескольким темам 5 класса по учебнику Виленкина Н.Я. и др.

     В 5 классе устный счет проводится на каждом уроке. С помощью карточек можно проводить письменный устный счет, и за эту работу может быть выставлена оценка. Материал поможет учителю определить уровень вычислительных навыков каждого ученика.

     Материал содержит карточки в четырех вариантах.

№1. Тема «Натуральные числа».

№2. Тема «Натуральные числа».

№3. Тема «Сложение десятичных дробей».

№4. Тема «Вычитание десятичных дробей».

№5. Тема «Умножение десятичных дробей».

№6. Тема «Деление десятичных дробей».

№7. Тема «Умножение и деление десятичных дробей».

№8. Тема «Все действия с десятичными дробями».

№9. Тема «Все действия с десятичными дробями».